2024年6月6日发(作者：容痴梅)
湖南省衡阳市第八中学2023届高三高考适应性考试数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
2
AIB=
1
．已知集合
A=xx-3x<0
，集合
B=xlog
3
(
x-1
)
<1
，则（
）．
{}
{}
A
．
x0 {} C ． x0 {} B ． x1 {} D ． x1 {} 2 ．设 x ， y Î R ，则“ x ”是 “0 ( x-y ) ×y 2 < ”的（ ） A ．充分不必要条件 C ．充要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．若数据 x+m 、 x+m 、 L 、 x+m 的平均数是 5 ，方差是 4 ，数据 3x+1 、 3x+1 、 12n 12 L 、 3x+1 的平均数是 10 ，标准差是 s ，则下列结论正确的是（ ） n A ． m=2 ， C ． B ． m=2 ， s=36 D ． m=4 ， s=36 s=6 m=4 ， s=6 4 ．已知数列 { a } 的通项公式为 a=2 n +n ，若数列 { a } 的前 n 项和为 S n ，则 S= 8 n nn （ ） A ． 546B ． 582C ． 510D ． 548 5 ．如图，一圆形信号灯分成 A,B,C,D 四块灯带区域，现有 3 种不同的颜色供灯带使用， 要求在每块灯带里选择 1 种颜色，且相邻的 2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号 总数为（ ） 试卷第11页，共33页 A ． 18B ． 24C ． 30D ． 42 6 ．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 +y 2 -4y=0 ，若直线 y=kx-1 上存在 一点 P ，使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的值不可能是（ ） -1 A ． B ． - 1 4 C ． 2 1 D ． 3 4 7 ．已知实数 x,y ，满足 x 2 +xy+3y 2 =3 ，则 x+y 的最大值为（ ） A ． 311 11 B ． 611 11 C ． 3 + 1 3 D ． 3 + 3 3 rr r rr rr rr rr r ab b×c=0 a×c=-1 c a×b=1 b a=1 8 ．已知平面向量 、、满足，，，，则 +c 的最小 值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 2 D ． 4 二、多选题 9 ．设 z 1 ， z 2 ， z 3 为复数， z 1 ≠0. 下列命题中正确的是（ ） A ．若 |z 2 | ＝ |z 3 | ，则 z 2 ＝ ±z 3 C ．若 z 2 =z ，则 |z 1 z 2 | ＝ |z 1 z 3 | 3 B ．若 z 1 z 2 ＝ z 1 z 3 ，则 z 2 ＝ z 3 D ．若 z 1 z 2 ＝ |z 1 | 2 ，则 z 1 ＝ z 2 π π ö 10 ．已知函数 f ( x ) = 2sin ( w x + j ) æ ，其图象相邻对称轴间的距离为， w > 0, j < ç÷ 2 2 øè π ö 点 æ ç - ,0 ÷ 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） è 3 ø 试卷第21页，共33页 A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为 π π B ．函数 f ( x ) 图象的一条对称轴方程是 x= 12 ù C ．函数 f ( x ) 在区间 é - π5π ê 12 , 12 ú 上单调递增 ëû D ．将函数 f ( x ) 图象上所有点横坐标伸长原来的 2 倍，纵坐标缩短原来的一半，再把 得到的图象向左平移 π 个单位长度，可得到正弦函数 g ( x ) =sinx 的图象 3 11 ．“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积 的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即 为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定 值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面 面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积． 其大体思想可用如图表示，其中图 1 为棱长为 2r 的正方体截得的“牟合方盖”的八分 之一，图 2 为棱长为 2r 的正方体的八分之一，图 3 是以底面边长为 r 的正方体的一个 底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（ ） 试卷第31页，共33页 A ．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B ．图 2 中阴影部分的面积为 h 2 C ．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 π:4 D ．由棱长为 2r 的正方体截得的“牟合方盖”体积为 16 3 r 3 12 ．已知抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 的焦点 F 到准线 l 的距离为 2 ，则（ ） A ．过点 A ( -1,0 ) 恰有 2 条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点 B ．若 T ( 3,2 ) ,P 为 C 上的动点，则 PT+PF 的最小值为 5 C ．直线 x+y-1=0 与抛物线 C 相交所得弦长为 8 D ．抛物线 C 与圆 x 2 +y 2 =5 交于 M,N 两点，则 MN=4 三、填空题 π ö 13 ．已知 sin 5ππ - a = 3cos a + ，则 tan æ a + ç÷ 的值为 ______. 66 6 øè ( ) ( ) 14 ．在 æ x - 2 ö 的展开式中，二次项系数是 ___________. （用数字作答） ç÷ x øè 22 222 F 2 15 ．已知双曲线 C: x 2 - y 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左 ､ 右焦点分别为 F 1 ､ ，圆 O:x+y=a ， 13 ab uuuruuuur 过点 F 1 作圆 O 的切线交双曲线的右支于点 P ，点 M 为 PF 1 的中点，且 PF^MF ，则 12 双曲线 C 的离心率是 ___________. 16 ．明年是我校建校 120 周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱 同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了 一枚“ NK 章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊” 设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中： 试卷第41页，共33页 在这盒子中有一枚我们留下的微章，它由“ N” ，“ K” 两个字母组合而成 . 其中“ N” 蕴含 在函数 f ( x ) = 1 3 x+3x 2 +x-1 的图象中，过点 P 2 ( -6,a ) 与曲线 y=f ( x ) 相切的直线恰 有三条，这三条切线勾勒出了“ K” 的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的 整数 a 的个数，这就是打开盒子的密码： ______. 欧阳南德 & 上官索爱 四、解答题 17 ．在 VABC 中，内角 A､B､C 的对边分别为 a､､bc ，从① sinC - sinBc - a ，② = sinC + sinAb ( 2c-b ) cosA=acosB ，③ 3cos ( B+C ) +sinA=0 ，这三个条件中任选一个作为题目的 补充条件，你的选择是 ___________ ，并解答下面问题： (1) 求角 (2) 若 A 的大小； a=2 ，求 VABC 面积的最大值 . 18 ．已知等差数列 { a } 与等比数列 { b } 的前 n 项和分别为： S,T ，且满足： nn n n a 1 = 3, S 2n 4 ( n + 1 ) ， T n - S 2n = 2 n - n 2 - n - 1 = 4 S n n + 2 (1) 求数列 { a } , { b } 的通项公式； nn 2n U 2n ì b n ,n 为奇数 { c n } (2) 若 c = ï . 求数列的前项的和 í 1 n ï 2S ,n 为偶数 î n 试卷第51页，共33页 19 ．如图，已知圆锥 P-ABC ， AB 是底面圆 О 的直径，且长为 4 ， C 是圆 O 上异于 A ， B 的一点， PA=23 . 设二面角 P-AC-B 与二面角 P-BC-A 的大小分别为 a 与 b . (1) 求 11 的值； + tan 2 a tan 2 b (2) 若 tan b =3tan a ，求二面角 A-PC-B 的余弦值 . 20 ．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业 为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过 程，现从该企业生产的该零件中随机抽取 100 件，测得该零件的质量差（这里指质量 与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表 . 质量差（单位： 5667707886 mg ） 件数（单位：件） 102048193 (1) 求样本平均数 x 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质 量与生产标准的差的绝对值） X 近似服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，其中 s 2 的近似值为 36 ， 用样本平均数 x 作为 m 的近似值，求概率 P(64 ）的值； (2) 若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产 线的生产效率的两倍 . 若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015 ，第 2 条生产线出现废 品的概率约为 0.018 ，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否 出现废品相互独立 . 现从该企业生产的该零件中随机抽取一件 . 试卷第61页，共33页 （ i ）求该零件为废品的概率； （ ii ）若在抽取中发现废品，求该废品来自第 1 条生产线的概率 . 参考数据：若随机变量 x 服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，则： P( m - s < x £ m + s )»0.6827 ， P( m -2 s < x £ m +2 s )»0.9545 ， P( m -3 s < x £ m +3 s )»0.9973 21 ．已知双曲线 C: x 2 y 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左顶点为 A ( -1,0 ) ，渐近线方程为 y=±2x . 2 ab 直线 l 交 C 于 P,Q 两点，直线 AP,AQ 的斜率之和为 -2. (1) 证明：直线 过定点； l (2) 若在射线 AQ 上的点 R 满足 ÐAPQ=ÐARP ，求直线 PR 的斜率的最大值 . 22 ．设函数f ( x ) = x +lnx-x . e x (1) 求 f ( x ) 的极值； (2) 已知 f ( x ) =f ( x )( x ) ， kx+x 有最小值，求 k 的取值范围 . 12 1212 试卷第71页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】求出集合 A 、 B ，利用交集的定义可求得集合 AÇB . 2 【详解】因为 A=xx-3x<0= { x0 } ， {} B=xlog 3 ( x-1 ) <1= { x0 } = { x1 } ， {} 因此， AÇB= { x1 } . 故选： B. 2 ． B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答 . 【详解】 x ， y Î R ，若 x<0,y=0 满足 x ，则 ( x-y ) ×y 2 =0 ，即 ( x-y ) ×y 2 <0 不成立； 若 ( x-y ) ×y 2 <0 ，即有 y¹0 ，必有 y 2 >0 ，从而得 x-y<0 ，即 x 成立， 所以 x 是 ( x-y ) ×y 2 <0 成立的必要不充分条件 . 故选： B 3 ． A 【分析】设数据 x 、 x 、 L 、 x n 的平均数为 x ，标准差为 s ，利用方差公式和平均数公式 1 2 可求得结果 . 【详解】设数据 x 、 x 、 L 、 x n 的平均数为 x ，标准差为 s ， 12 则 ( 3x 1 + 1 ) + ( 3x 2 + 1 ) + L + ( 3x n + 1 ) 3 ( x 1 + x 2 + L + x n ) x=3 ， =+ 1 = 3x + 1 = 10 ，可得 nn ( x 1 + m ) + ( x 2 + m ) + L + ( x n + m ) = x 1 + x 2 + L + x n + m = x + m = 5 ，可得 m=2 ， nn 答案第11页，共22页 é ( x 1 + m ) - x + m ù + é ( x 2 + m ) - x + m ù + L + é ( x n + m ) - x + m ù ûëûëû 由方差公式可得 ë n () 2 () 2 () 2 = ( x 1 - x + x 2 - x + L + x n - x n )( 2 ) 2 () 2 = s 2 = 4 ， 22 é ( 3x 1 + 1 ) - 3x + 1 ù + é ( 3x 2 + 1 ) - 3x + 1 ù + L + é ( 3x n + 1 ) - 3x + 1 ù ûëûëû 2 s = ë n () 2 ()() = 9x 1 - x + 9x 2 - x + L + 9x n - x n () 2 () 2 () 2 = 9 s = 36 2 ，解得 s=6 . 故选： A. 4 ． A 【分析】利用分组求和法求和 . 【详解】由题意可得： S 8 =a 1 +a 2 +L+a 8 = ( 2 1 +1 ) + ( 2 2 +2 ) +L+ ( 2 8 +8 ) = ( 2 1 +2 2 +L+2 8 ) + ( 1+2+L+8 ) 2 ( 1 - 2 8 ) 1 - 2 1 ( 1 + 8 ) ´ 8 2 =+ =510+36 =546 . 故选： A 5 ． A 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的 方法数 . 【详解】若用 3 种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么 A,C ，要么 B,D 相同， 答案第21页，共22页 有 2 种方案，则不同的信号数为 2A 3 =12 ； 3 若只用 2 种不同的颜色灯带，则 A,C 颜色相同， B,D 颜色相同，只有 1 种方案，则不同的 信号数为 C 2 A 2 =6 ； 32 则不同的信号总数为 12+6=18 . 故选： A ． 6 ． B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，依题意 P 、 C 及两切点构成正 方形且 PC=22 ，只需圆心到直线的距离小于等于 22 ，即可得到不等式，求出 k 的取 值范围，即可判断 . 【详解】由 x 2 +y 2 -4y=0 ，得 x 2 +(y-2) 2 =4 ，则圆心 C ( 0,2 ) ，半径 r=2 ， 因为过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以 P 、 C 及两切点构成边长为 2 的正方形， 且对角线 PC=22 ， P 又在直线 y=kx-1 上，则圆心到直线的距离 d = 0 - 2 - 1 1 + k 2 £ 22 ，解得 k³ 2 ， 2 或 k£- 4 4 ö ，根据选项，满足条件的为 B ． 2 ùé 2 即 k Î æ -¥ , - U , +¥ ç÷ úê ç÷ 4 ûë 4 èø 故选： B ． 7 ． B 【分析】令 t=x+y ，把方程化为 3y 2 -ty+t 2 -3=0 ，根据方程有解，利用 Δ0³ ，求得 答案第31页，共22页 t 2 £ x+y 36 ，进而求得 的最大值 . 11 【详解】令 t=x+y ，则 x=t-y ， 方程 x 2 +xy+3y 2 =3 可化为 (t-y) 2 + ( t-y ) y+3y 2 -3=0 ， 整理得 3y 2 -ty+t 2 -3=0 ，则满足 Δ(=)-t 2 12- ( t3- ) 0³ 2 ， 解得 t 2 £ 36 ，所以 - 611 £t£ 611 ，即 x+y£ 611 ， 11 111111 所以 x+y 的最大值为 611 . 11 故选： B. 8 ． C rrr 【分析】不失一般性，在平面直角坐标系 xOy 中，设 a= ( 1,0 ) ， b= ( x,y ) ， c= ( x,y ) ， 1122 根据平面向量数量积的坐标运算可得出 x 、 x 的值，以及 y 1 y 2 的值，再利用平面向量的模 12 rr b 长公式以及基本不等式可求得 +c 的最小值 . rrr 【详解】不失一般性，在平面直角坐标系 xOy 中，设 a= ( 1,0 ) ， b= ( x,y ) ， c= ( x,y ) ， 1122 rrrrrr 因为 a×b=x=1 ， a×c=x=-1 ， b×c=xx+yy=yy-1=0 ， 12121212 rr 所以， b + c = ( 1 - 1 ) + ( y 1 + y 2 ) 22 = y 1 + y 2 = y 1 + 111 = y 1 +³ 2y 1 ×= 2 ， y 1 y 1 y 1 当且仅当 y 1 =±1 时，等号成立 . 答案第41页，共22页 rr 2 因此， b+c 的最小值为 . 故选： C. 9 ． BC 【分析】根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可 以举反例． 【详解】 A ：由复数模的概念可知， z=z 不能得到 z 2 =±z 3 ，例如 z 2 =1+i ， z 3 =1-i ， 23 A 错误； B ：由 zz=zz 可得 z ( z-z ) =0 ，因为 z¹0 ，所以 z-z=0 ，即 z 2 =z 3 ， B 正确； 1213 123 123 22 C ：若 z 2 =z 3 ，则 z=z ，有 z 1 z 2 -z 1 z 3 =(z 1 z 2 )(z 1 z 2 )-(z 1 z 3 )(z 1 z 3 ) ， 23 又 z 1 ¹0 ，则 zz 2 -zz 2 =0 ，故 zz=zz ，故 C 正确； 1213 1213 D ：取 z 1 =1+i ， z 2 =1-i z¹z 2 D ，显然满足 z 1 z 2 =z 1 ，但 1 ，错误 . 2 故选： BC ． 10 ． ACD w Tπ π π ö 【分析】根据相邻对称轴间的距离为，可得 = ，可求，根据点 æ - ,0 ÷ 是其中的一 ç 22 2 è 3 ø j π 个对称中心及 j < 可求，从而可得 f ( x ) 的解析式，再逐项判断即可 . 2 A T=π π Tπ 【详解】因为函数 f ( x ) 图象相邻对称轴间的距离为，则 = ，即，所以正确； 22 2 因为 T=π ，则 w =2 π ö ，即 f ( x ) =2sin ( 2x+ j ) ，且点 æ - ,0 ÷ 是对称中心， ç è 3 ø 答案第51页，共22页 当 x=- 时， - π 3 2π2π kÎZ ) ， + j= k π ( kÎZ ) ，即 j =+kπ ( 33 又 j < π π π ö . ，所以 j =- ，即 f ( x ) = 2sin æ 2x - ç÷ 3 2 3 øè 令 2πx- ππ =+k 32 ( kÎZ ) , 解得 x= 5ππk + ( kÎZ ) ， 122 B 5ππk 所以函数 f ( x ) 的对称轴为 x=+ ( kÎZ ) ，所以 错误； 122 πππ k£x-£2π+k ( kÎZ ) , 解得 - π5π 令 - 2 +2π2 +kππ£x£+k 32 1212 ( kÎZ ) ， π5π ù 函数 f ( x ) 的单调增区间为： é -+ kπ,π + k ú ( k Î Z ) ，所以 C 正确； ê 12 ë 12 û 函数 f ( x ) 图象上所有点横坐标伸长原来的 2 倍，纵坐标缩短原来的一半，得到 π öæ y = sin ç x - ÷ 的图象， 3 øè D π 个单位长度，得函数 g ( x ) =sinx ，所以正确 . 3 再把得到的图象向左平移 故选 :ACD. 11 ． BCD 【分析】根据“牟盒方盖”的定义、祖暅原理及几何体的体积公式计算可得 . 【详解】由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的， 故只要用水平面去截它们，那么所得的截面为正方形，故 A 错误； 根据祖暅原理，图 2 中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图 3 中正 四棱锥中阴影部分的面积相等，故 B 正确； 由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，且只要 用水平面去截它们， 答案第61页，共22页 那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为 2r 的球和高为 2r 的牟合方盖来说， 使用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积 之比，也就是 π:4 ，故 C 正确； 由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等； 1 而正四棱锥体的体积为 V 倒棱锥 =r 3 ． 3 所以八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积 V 1 8 牟盒方盖 12 =r 3 -r 3 =r 3 ， 33 216 从而得到整个牟合方盖的体积为 8´r 3 =r 3 ，故 D 正确 33 故选： BCD ． 12 ． CD 【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项 A ；利用抛物线的定义进行距离转化 进而判断选项 B ；利用焦点弦公式计算并判断选项 C ；由抛物线方程设出点 M 坐标，利用 M 到圆心的距离等于半径求出 M 的坐标，就可以判断选项 D. 【详解】因为抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 的焦点 F 到准线 l 的距离为 2 ，所以 p=2 ， 从而抛物线 C 的方程是 y 2 =4x . 过点 A ( -1,0 ) 可以作 2 条直线与抛物线 C 相切， 而直线 y=0 与抛物线 C 相交，只有 1 个交点，从而过点 A ( -1,0 ) 恰有 3 条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点，故 A 不正确； 答案第71页，共22页 抛物线 C 的准线方程是 x= - 1 ，设 T 到准线的距离为 d ，则 d=4 ； 过 P 作准线的垂线，垂足为 Q ，则由抛物线的定义知 PQ=PF ，所以 PT+PF=PT+PQ ³d ，所以 PT+PF 的最小值为 4 ，故 B 不正确； 抛物线的焦点为 F ( 1,0 ) ，直线 x+y-1=0 过焦点， 不妨设直线 x+y-1=0 与抛物线的两个交点分别是 A ( x,y ) ， B ( x,y ) ， 1122 x+x=6 x + y - 1 = 0 x 2 -6x+1=0 ì AB=x+x+p 12 则，又 í 2 得，则 12 ， î y = 4x 所以 AB=x+x+p=8 ，故 C 正确； 12 抛物线 C 与圆 x 2 +y 2 =5 交于 M,N 两点，则 M,N 关于 x 轴对称 . 答案第81页，共22页 2 t=2 MN=4 ，故 D 正确； t 2 ö (t>0) ，则 t 22 设 M æ ，解得，所以 ,t OM=()+t=5 ç÷ è 4 ø 4 故选： BD 13 ． 3 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解 . - a = 3cos a + 可得【详解】由 sin 5ππ 66 ( ) ( ) é cossinπ3 - πππππ + a ù = sin êú 6 ëû ( ) ( a + 6 ) Þ 3cos ( 6 + a ) = tan3 ( a + 6 ) Þ ( a + 6 ) = ， 故答案为： 3 14 ． -2288 r r=3 【分析】由二项展开式的通项 C r (x) 13 - r × æ - 2 ö 可知，当时，可得二次项系数为 13 ç÷ è x ø -2288 . 【详解】 Q C(x) × æ - 2 ö =- 8C 3 × x 2 =- 2288x 2 ， 13 ç÷ è x ø 3 13 10 3 即二次项系数是 -2288 . 故答案为： -2288 . 答案第91页，共22页 2024年6月6日发(作者：容痴梅) 湖南省衡阳市第八中学2023届高三高考适应性考试数学 试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 2 AIB= 1 ．已知集合 A=xx-3x<0 ，集合 B=xlog 3 ( x-1 ) <1 ，则（ ）． {} {} A ． x0 {} C ． x0 {} B ． x1 {} D ． x1 {} 2 ．设 x ， y Î R ，则“ x ”是 “0 ( x-y ) ×y 2 < ”的（ ） A ．充分不必要条件 C ．充要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．若数据 x+m 、 x+m 、 L 、 x+m 的平均数是 5 ，方差是 4 ，数据 3x+1 、 3x+1 、 12n 12 L 、 3x+1 的平均数是 10 ，标准差是 s ，则下列结论正确的是（ ） n A ． m=2 ， C ． B ． m=2 ， s=36 D ． m=4 ， s=36 s=6 m=4 ， s=6 4 ．已知数列 { a } 的通项公式为 a=2 n +n ，若数列 { a } 的前 n 项和为 S n ，则 S= 8 n nn （ ） A ． 546B ． 582C ． 510D ． 548 5 ．如图，一圆形信号灯分成 A,B,C,D 四块灯带区域，现有 3 种不同的颜色供灯带使用， 要求在每块灯带里选择 1 种颜色，且相邻的 2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号 总数为（ ） 试卷第11页，共33页 A ． 18B ． 24C ． 30D ． 42 6 ．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 +y 2 -4y=0 ，若直线 y=kx-1 上存在 一点 P ，使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的值不可能是（ ） -1 A ． B ． - 1 4 C ． 2 1 D ． 3 4 7 ．已知实数 x,y ，满足 x 2 +xy+3y 2 =3 ，则 x+y 的最大值为（ ） A ． 311 11 B ． 611 11 C ． 3 + 1 3 D ． 3 + 3 3 rr r rr rr rr rr r ab b×c=0 a×c=-1 c a×b=1 b a=1 8 ．已知平面向量 、、满足，，，，则 +c 的最小 值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 2 D ． 4 二、多选题 9 ．设 z 1 ， z 2 ， z 3 为复数， z 1 ≠0. 下列命题中正确的是（ ） A ．若 |z 2 | ＝ |z 3 | ，则 z 2 ＝ ±z 3 C ．若 z 2 =z ，则 |z 1 z 2 | ＝ |z 1 z 3 | 3 B ．若 z 1 z 2 ＝ z 1 z 3 ，则 z 2 ＝ z 3 D ．若 z 1 z 2 ＝ |z 1 | 2 ，则 z 1 ＝ z 2 π π ö 10 ．已知函数 f ( x ) = 2sin ( w x + j ) æ ，其图象相邻对称轴间的距离为， w > 0, j < ç÷ 2 2 øè π ö 点 æ ç - ,0 ÷ 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） è 3 ø 试卷第21页，共33页 A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为 π π B ．函数 f ( x ) 图象的一条对称轴方程是 x= 12 ù C ．函数 f ( x ) 在区间 é - π5π ê 12 , 12 ú 上单调递增 ëû D ．将函数 f ( x ) 图象上所有点横坐标伸长原来的 2 倍，纵坐标缩短原来的一半，再把 得到的图象向左平移 π 个单位长度，可得到正弦函数 g ( x ) =sinx 的图象 3 11 ．“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积 的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即 为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定 值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面 面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积． 其大体思想可用如图表示，其中图 1 为棱长为 2r 的正方体截得的“牟合方盖”的八分 之一，图 2 为棱长为 2r 的正方体的八分之一，图 3 是以底面边长为 r 的正方体的一个 底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（ ） 试卷第31页，共33页 A ．若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B ．图 2 中阴影部分的面积为 h 2 C ．“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 π:4 D ．由棱长为 2r 的正方体截得的“牟合方盖”体积为 16 3 r 3 12 ．已知抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 的焦点 F 到准线 l 的距离为 2 ，则（ ） A ．过点 A ( -1,0 ) 恰有 2 条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点 B ．若 T ( 3,2 ) ,P 为 C 上的动点，则 PT+PF 的最小值为 5 C ．直线 x+y-1=0 与抛物线 C 相交所得弦长为 8 D ．抛物线 C 与圆 x 2 +y 2 =5 交于 M,N 两点，则 MN=4 三、填空题 π ö 13 ．已知 sin 5ππ - a = 3cos a + ，则 tan æ a + ç÷ 的值为 ______. 66 6 øè ( ) ( ) 14 ．在 æ x - 2 ö 的展开式中，二次项系数是 ___________. （用数字作答） ç÷ x øè 22 222 F 2 15 ．已知双曲线 C: x 2 - y 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左 ､ 右焦点分别为 F 1 ､ ，圆 O:x+y=a ， 13 ab uuuruuuur 过点 F 1 作圆 O 的切线交双曲线的右支于点 P ，点 M 为 PF 1 的中点，且 PF^MF ，则 12 双曲线 C 的离心率是 ___________. 16 ．明年是我校建校 120 周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱 同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了 一枚“ NK 章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊” 设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中： 试卷第41页，共33页 在这盒子中有一枚我们留下的微章，它由“ N” ，“ K” 两个字母组合而成 . 其中“ N” 蕴含 在函数 f ( x ) = 1 3 x+3x 2 +x-1 的图象中，过点 P 2 ( -6,a ) 与曲线 y=f ( x ) 相切的直线恰 有三条，这三条切线勾勒出了“ K” 的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的 整数 a 的个数，这就是打开盒子的密码： ______. 欧阳南德 & 上官索爱 四、解答题 17 ．在 VABC 中，内角 A､B､C 的对边分别为 a､､bc ，从① sinC - sinBc - a ，② = sinC + sinAb ( 2c-b ) cosA=acosB ，③ 3cos ( B+C ) +sinA=0 ，这三个条件中任选一个作为题目的 补充条件，你的选择是 ___________ ，并解答下面问题： (1) 求角 (2) 若 A 的大小； a=2 ，求 VABC 面积的最大值 . 18 ．已知等差数列 { a } 与等比数列 { b } 的前 n 项和分别为： S,T ，且满足： nn n n a 1 = 3, S 2n 4 ( n + 1 ) ， T n - S 2n = 2 n - n 2 - n - 1 = 4 S n n + 2 (1) 求数列 { a } , { b } 的通项公式； nn 2n U 2n ì b n ,n 为奇数 { c n } (2) 若 c = ï . 求数列的前项的和 í 1 n ï 2S ,n 为偶数 î n 试卷第51页，共33页 19 ．如图，已知圆锥 P-ABC ， AB 是底面圆 О 的直径，且长为 4 ， C 是圆 O 上异于 A ， B 的一点， PA=23 . 设二面角 P-AC-B 与二面角 P-BC-A 的大小分别为 a 与 b . (1) 求 11 的值； + tan 2 a tan 2 b (2) 若 tan b =3tan a ，求二面角 A-PC-B 的余弦值 . 20 ．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业 为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过 程，现从该企业生产的该零件中随机抽取 100 件，测得该零件的质量差（这里指质量 与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表 . 质量差（单位： 5667707886 mg ） 件数（单位：件） 102048193 (1) 求样本平均数 x 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质 量与生产标准的差的绝对值） X 近似服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，其中 s 2 的近似值为 36 ， 用样本平均数 x 作为 m 的近似值，求概率 P(64 ）的值； (2) 若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产 线的生产效率的两倍 . 若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015 ，第 2 条生产线出现废 品的概率约为 0.018 ，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否 出现废品相互独立 . 现从该企业生产的该零件中随机抽取一件 . 试卷第61页，共33页 （ i ）求该零件为废品的概率； （ ii ）若在抽取中发现废品，求该废品来自第 1 条生产线的概率 . 参考数据：若随机变量 x 服从正态分布 N ( m , s 2 ) ，则： P( m - s < x £ m + s )»0.6827 ， P( m -2 s < x £ m +2 s )»0.9545 ， P( m -3 s < x £ m +3 s )»0.9973 21 ．已知双曲线 C: x 2 y 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左顶点为 A ( -1,0 ) ，渐近线方程为 y=±2x . 2 ab 直线 l 交 C 于 P,Q 两点，直线 AP,AQ 的斜率之和为 -2. (1) 证明：直线 过定点； l (2) 若在射线 AQ 上的点 R 满足 ÐAPQ=ÐARP ，求直线 PR 的斜率的最大值 . 22 ．设函数f ( x ) = x +lnx-x . e x (1) 求 f ( x ) 的极值； (2) 已知 f ( x ) =f ( x )( x ) ， kx+x 有最小值，求 k 的取值范围 . 12 1212 试卷第71页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】求出集合 A 、 B ，利用交集的定义可求得集合 AÇB . 2 【详解】因为 A=xx-3x<0= { x0 } ， {} B=xlog 3 ( x-1 ) <1= { x0 } = { x1 } ， {} 因此， AÇB= { x1 } . 故选： B. 2 ． B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答 . 【详解】 x ， y Î R ，若 x<0,y=0 满足 x ，则 ( x-y ) ×y 2 =0 ，即 ( x-y ) ×y 2 <0 不成立； 若 ( x-y ) ×y 2 <0 ，即有 y¹0 ，必有 y 2 >0 ，从而得 x-y<0 ，即 x 成立， 所以 x 是 ( x-y ) ×y 2 <0 成立的必要不充分条件 . 故选： B 3 ． A 【分析】设数据 x 、 x 、 L 、 x n 的平均数为 x ，标准差为 s ，利用方差公式和平均数公式 1 2 可求得结果 . 【详解】设数据 x 、 x 、 L 、 x n 的平均数为 x ，标准差为 s ， 12 则 ( 3x 1 + 1 ) + ( 3x 2 + 1 ) + L + ( 3x n + 1 ) 3 ( x 1 + x 2 + L + x n ) x=3 ， =+ 1 = 3x + 1 = 10 ，可得 nn ( x 1 + m ) + ( x 2 + m ) + L + ( x n + m ) = x 1 + x 2 + L + x n + m = x + m = 5 ，可得 m=2 ， nn 答案第11页，共22页 é ( x 1 + m ) - x + m ù + é ( x 2 + m ) - x + m ù + L + é ( x n + m ) - x + m ù ûëûëû 由方差公式可得 ë n () 2 () 2 () 2 = ( x 1 - x + x 2 - x + L + x n - x n )( 2 ) 2 () 2 = s 2 = 4 ， 22 é ( 3x 1 + 1 ) - 3x + 1 ù + é ( 3x 2 + 1 ) - 3x + 1 ù + L + é ( 3x n + 1 ) - 3x + 1 ù ûëûëû 2 s = ë n () 2 ()() = 9x 1 - x + 9x 2 - x + L + 9x n - x n () 2 () 2 () 2 = 9 s = 36 2 ，解得 s=6 . 故选： A. 4 ． A 【分析】利用分组求和法求和 . 【详解】由题意可得： S 8 =a 1 +a 2 +L+a 8 = ( 2 1 +1 ) + ( 2 2 +2 ) +L+ ( 2 8 +8 ) = ( 2 1 +2 2 +L+2 8 ) + ( 1+2+L+8 ) 2 ( 1 - 2 8 ) 1 - 2 1 ( 1 + 8 ) ´ 8 2 =+ =510+36 =546 . 故选： A 5 ． A 【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的 方法数 . 【详解】若用 3 种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么 A,C ，要么 B,D 相同， 答案第21页，共22页 有 2 种方案，则不同的信号数为 2A 3 =12 ； 3 若只用 2 种不同的颜色灯带，则 A,C 颜色相同， B,D 颜色相同，只有 1 种方案，则不同的 信号数为 C 2 A 2 =6 ； 32 则不同的信号总数为 12+6=18 . 故选： A ． 6 ． B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，依题意 P 、 C 及两切点构成正 方形且 PC=22 ，只需圆心到直线的距离小于等于 22 ，即可得到不等式，求出 k 的取 值范围，即可判断 . 【详解】由 x 2 +y 2 -4y=0 ，得 x 2 +(y-2) 2 =4 ，则圆心 C ( 0,2 ) ，半径 r=2 ， 因为过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，所以 P 、 C 及两切点构成边长为 2 的正方形， 且对角线 PC=22 ， P 又在直线 y=kx-1 上，则圆心到直线的距离 d = 0 - 2 - 1 1 + k 2 £ 22 ，解得 k³ 2 ， 2 或 k£- 4 4 ö ，根据选项，满足条件的为 B ． 2 ùé 2 即 k Î æ -¥ , - U , +¥ ç÷ úê ç÷ 4 ûë 4 èø 故选： B ． 7 ． B 【分析】令 t=x+y ，把方程化为 3y 2 -ty+t 2 -3=0 ，根据方程有解，利用 Δ0³ ，求得 答案第31页，共22页 t 2 £ x+y 36 ，进而求得 的最大值 . 11 【详解】令 t=x+y ，则 x=t-y ， 方程 x 2 +xy+3y 2 =3 可化为 (t-y) 2 + ( t-y ) y+3y 2 -3=0 ， 整理得 3y 2 -ty+t 2 -3=0 ，则满足 Δ(=)-t 2 12- ( t3- ) 0³ 2 ， 解得 t 2 £ 36 ，所以 - 611 £t£ 611 ，即 x+y£ 611 ， 11 111111 所以 x+y 的最大值为 611 . 11 故选： B. 8 ． C rrr 【分析】不失一般性，在平面直角坐标系 xOy 中，设 a= ( 1,0 ) ， b= ( x,y ) ， c= ( x,y ) ， 1122 根据平面向量数量积的坐标运算可得出 x 、 x 的值，以及 y 1 y 2 的值，再利用平面向量的模 12 rr b 长公式以及基本不等式可求得 +c 的最小值 . rrr 【详解】不失一般性，在平面直角坐标系 xOy 中，设 a= ( 1,0 ) ， b= ( x,y ) ， c= ( x,y ) ， 1122 rrrrrr 因为 a×b=x=1 ， a×c=x=-1 ， b×c=xx+yy=yy-1=0 ， 12121212 rr 所以， b + c = ( 1 - 1 ) + ( y 1 + y 2 ) 22 = y 1 + y 2 = y 1 + 111 = y 1 +³ 2y 1 ×= 2 ， y 1 y 1 y 1 当且仅当 y 1 =±1 时，等号成立 . 答案第41页，共22页 rr 2 因此， b+c 的最小值为 . 故选： C. 9 ． BC 【分析】根据复数的模的定义，共轭复数的定义，复数的乘法判断各选项，错误的选项可 以举反例． 【详解】 A ：由复数模的概念可知， z=z 不能得到 z 2 =±z 3 ，例如 z 2 =1+i ， z 3 =1-i ， 23 A 错误； B ：由 zz=zz 可得 z ( z-z ) =0 ，因为 z¹0 ，所以 z-z=0 ，即 z 2 =z 3 ， B 正确； 1213 123 123 22 C ：若 z 2 =z 3 ，则 z=z ，有 z 1 z 2 -z 1 z 3 =(z 1 z 2 )(z 1 z 2 )-(z 1 z 3 )(z 1 z 3 ) ， 23 又 z 1 ¹0 ，则 zz 2 -zz 2 =0 ，故 zz=zz ，故 C 正确； 1213 1213 D ：取 z 1 =1+i ， z 2 =1-i z¹z 2 D ，显然满足 z 1 z 2 =z 1 ，但 1 ，错误 . 2 故选： BC ． 10 ． ACD w Tπ π π ö 【分析】根据相邻对称轴间的距离为，可得 = ，可求，根据点 æ - ,0 ÷ 是其中的一 ç 22 2 è 3 ø j π 个对称中心及 j < 可求，从而可得 f ( x ) 的解析式，再逐项判断即可 . 2 A T=π π Tπ 【详解】因为函数 f ( x ) 图象相邻对称轴间的距离为，则 = ，即，所以正确； 22 2 因为 T=π ，则 w =2 π ö ，即 f ( x ) =2sin ( 2x+ j ) ，且点 æ - ,0 ÷ 是对称中心， ç è 3 ø 答案第51页，共22页 当 x=- 时， - π 3 2π2π kÎZ ) ， + j= k π ( kÎZ ) ，即 j =+kπ ( 33 又 j < π π π ö . ，所以 j =- ，即 f ( x ) = 2sin æ 2x - ç÷ 3 2 3 øè 令 2πx- ππ =+k 32 ( kÎZ ) , 解得 x= 5ππk + ( kÎZ ) ， 122 B 5ππk 所以函数 f ( x ) 的对称轴为 x=+ ( kÎZ ) ，所以 错误； 122 πππ k£x-£2π+k ( kÎZ ) , 解得 - π5π 令 - 2 +2π2 +kππ£x£+k 32 1212 ( kÎZ ) ， π5π ù 函数 f ( x ) 的单调增区间为： é -+ kπ,π + k ú ( k Î Z ) ，所以 C 正确； ê 12 ë 12 û 函数 f ( x ) 图象上所有点横坐标伸长原来的 2 倍，纵坐标缩短原来的一半，得到 π öæ y = sin ç x - ÷ 的图象， 3 øè D π 个单位长度，得函数 g ( x ) =sinx ，所以正确 . 3 再把得到的图象向左平移 故选 :ACD. 11 ． BCD 【分析】根据“牟盒方盖”的定义、祖暅原理及几何体的体积公式计算可得 . 【详解】由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的， 故只要用水平面去截它们，那么所得的截面为正方形，故 A 错误； 根据祖暅原理，图 2 中正方体与“牟合方盖”的八分之一之间空隙的截面面积与图 3 中正 四棱锥中阴影部分的面积相等，故 B 正确； 由于牟盒方盖可以由两个直径相等且相互垂直的圆柱体相交得到的，存在内切球，且只要 用水平面去截它们， 答案第61页，共22页 那么所得的正方形和圆，也是相切在一起的，对于直径为 2r 的球和高为 2r 的牟合方盖来说， 使用同一高度处的水平面来截它们，所得的截面积之比正好总是相切的圆和正方形的面积 之比，也就是 π:4 ，故 C 正确； 由图中正方体与牟合方盖的八分之一之间空隙的体积与正四棱锥体的体积相等； 1 而正四棱锥体的体积为 V 倒棱锥 =r 3 ． 3 所以八分之一牟合方盖的体积等于正方体的体积减去正四棱锥的体积 V 1 8 牟盒方盖 12 =r 3 -r 3 =r 3 ， 33 216 从而得到整个牟合方盖的体积为 8´r 3 =r 3 ，故 D 正确 33 故选： BCD ． 12 ． CD 【分析】利用直线与抛物线位置关系的知识判断选项 A ；利用抛物线的定义进行距离转化 进而判断选项 B ；利用焦点弦公式计算并判断选项 C ；由抛物线方程设出点 M 坐标，利用 M 到圆心的距离等于半径求出 M 的坐标，就可以判断选项 D. 【详解】因为抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 的焦点 F 到准线 l 的距离为 2 ，所以 p=2 ， 从而抛物线 C 的方程是 y 2 =4x . 过点 A ( -1,0 ) 可以作 2 条直线与抛物线 C 相切， 而直线 y=0 与抛物线 C 相交，只有 1 个交点，从而过点 A ( -1,0 ) 恰有 3 条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点，故 A 不正确； 答案第71页，共22页 抛物线 C 的准线方程是 x= - 1 ，设 T 到准线的距离为 d ，则 d=4 ； 过 P 作准线的垂线，垂足为 Q ，则由抛物线的定义知 PQ=PF ，所以 PT+PF=PT+PQ ³d ，所以 PT+PF 的最小值为 4 ，故 B 不正确； 抛物线的焦点为 F ( 1,0 ) ，直线 x+y-1=0 过焦点， 不妨设直线 x+y-1=0 与抛物线的两个交点分别是 A ( x,y ) ， B ( x,y ) ， 1122 x+x=6 x + y - 1 = 0 x 2 -6x+1=0 ì AB=x+x+p 12 则，又 í 2 得，则 12 ， î y = 4x 所以 AB=x+x+p=8 ，故 C 正确； 12 抛物线 C 与圆 x 2 +y 2 =5 交于 M,N 两点，则 M,N 关于 x 轴对称 . 答案第81页，共22页 2 t=2 MN=4 ，故 D 正确； t 2 ö (t>0) ，则 t 22 设 M æ ，解得，所以 ,t OM=()+t=5 ç÷ è 4 ø 4 故选： BD 13 ． 3 【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解 . - a = 3cos a + 可得【详解】由 sin 5ππ 66 ( ) ( ) é cossinπ3 - πππππ + a ù = sin êú 6 ëû ( ) ( a + 6 ) Þ 3cos ( 6 + a ) = tan3 ( a + 6 ) Þ ( a + 6 ) = ， 故答案为： 3 14 ． -2288 r r=3 【分析】由二项展开式的通项 C r (x) 13 - r × æ - 2 ö 可知，当时，可得二次项系数为 13 ç÷ è x ø -2288 . 【详解】 Q C(x) × æ - 2 ö =- 8C 3 × x 2 =- 2288x 2 ， 13 ç÷ è x ø 3 13 10 3 即二次项系数是 -2288 . 故答案为： -2288 . 答案第91页，共22页