2024年6月10日发(作者：布凌晓)
第四讲 VNM效用……
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
clcsedr2004@
第四讲 VNM效用函数与风险升水
1 （单项选择）一个消费者的效用函数为
u(w)=−ae
为：
（A）
a
（B）
a+b
（C）
b
（D）
c
解：B．计算过程为
−bw
+c
，则他的绝对风险规避系数
−abe
′′
R
a
(w)=−
u(w)
′
=−
u(w)
abe
−bw
2−bw
=b
−cw
2 证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数
c
，则其效用函数形式必为
u(w)=−e
这里
w
代表财产水平．（这个结论是有问题的，见证明结果）
证明：由已知得
，
R
a
(w)=−
u
′′
(w)
=c
u
′
(w)
因此
~
−cw
u
′′
(w)
−cw+C
′′
lnu(w)=−cw+C⇒u(w)=e=Ce
⇒
dw=−cdw⇒
∫
u
′
(w)
∫
~
C
−cw
~
u(w)=−e+C
1
，其中
C=e
C
>0
，
C
1
为任意实数．
c
如果
c
>
0
，根据效用函数可单调变换的性质，该偏好可以用效用函数形式
u(w)=−e
−
cw
表示．如果
c<0
，那么该偏好可以用效用函数形式
u(w)=e
−
cw
表示．
3 证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数． 若一个人的效用函数为
u=w−
α
w
，
证明：直接运用绝对风险规避系数的定义：
2
R
a
(
w
)
=−
1
时，
2
α
1
2
α
u
′′
(
w
)
，当
w≠
时．
=
′
u
(
w
)1
−
2
α
w
2
α
因此，当
w≠
2
dR
a
(w)
−
(
2
α
)
=−>0
，
2
dw
(
1−2
α
w
)
1
第四讲 VNM效用……
4
即，绝对风险规避系数是财富的严格增函数．
设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8．计算该彩票的期望收
入．若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式．（形
式不唯一）
解：最方便的一个形式就是有常绝对风险规避系数的效用函数形式，比如
u(w)=e
w
5 证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：
5.1
u(w)=
(
w+
α
)
，
α
≥
0
，
0<
β
<1
．
β
dR
a
(w)
β
(
β
−
1)(
w+
α
)
β
−
2
1
−
β
u
′′
(
w
)
由
R
a
(
w
)=−=
，得到
<0
，因
=−
w+
α
dw
u
′
(
w
)
β
(
w+
α
)
β
−
1
此该效用函数显示出递减的风险规避行为．
5.2
u(w)=w
由
R
a
(
w
)
=0
，知
dR
a
(w)
=0
，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．
dw
5.3
u(w)=ln(w+
α
)
，
α
≥0
u
′′
(
w
)
=−
由
R
a
(
w
)
=−
u
′
(
w
)
−
1
dR
a
(
w
)
1
(
w
+
α
)
2
=
，得到
<0
，因此该效
1
w+
α
dw
w
+
α
用函数显示出递减的风险规避行为．
5.4
u(w)=w
3
由
R
a
(w)
=−
dR
(
w
)
u
′′
(
w
)6
w
2
=−
2
=−
，得到
a
>0
，因此该效用函数不显
′
u
(
w
)
w
dw
3
w
6
示出递减的风险规避行为．
一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种
发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失
120000．他的效用函数形式是
u(w)=w
．若他购买保险，保险公司要求他自己承担
前7620单位的损失（若火灾发生）．什么是这个投保人愿支付的最高保险金？（需要补
充的条件为：两种火灾的发生是相斥事件）
解：如果保险人不购买保险，他不发生火灾损失的概率为他的期望效用水平为
Eu(w)=0.9×160000+0.05×90000+0.05×40000=385
同时，他愿支付的最高保险金
I
，就是使他在支付前后效用水平相等的保险金．
1
1
一般的假定是，如果决策者在选择间无差异的时候，就表示他在做一个随机决策，也就是说，任何决策
都是可以接受的．反过来，假定决策者在选择间无差异时，却出现了他不愿意选择某一个决策的情况，那
2
2024年6月10日发(作者：布凌晓)
第四讲 VNM效用……
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
clcsedr2004@
第四讲 VNM效用函数与风险升水
1 （单项选择）一个消费者的效用函数为
u(w)=−ae
为：
（A）
a
（B）
a+b
（C）
b
（D）
c
解：B．计算过程为
−bw
+c
，则他的绝对风险规避系数
−abe
′′
R
a
(w)=−
u(w)
′
=−
u(w)
abe
−bw
2−bw
=b
−cw
2 证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数
c
，则其效用函数形式必为
u(w)=−e
这里
w
代表财产水平．（这个结论是有问题的，见证明结果）
证明：由已知得
，
R
a
(w)=−
u
′′
(w)
=c
u
′
(w)
因此
~
−cw
u
′′
(w)
−cw+C
′′
lnu(w)=−cw+C⇒u(w)=e=Ce
⇒
dw=−cdw⇒
∫
u
′
(w)
∫
~
C
−cw
~
u(w)=−e+C
1
，其中
C=e
C
>0
，
C
1
为任意实数．
c
如果
c
>
0
，根据效用函数可单调变换的性质，该偏好可以用效用函数形式
u(w)=−e
−
cw
表示．如果
c<0
，那么该偏好可以用效用函数形式
u(w)=e
−
cw
表示．
3 证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数． 若一个人的效用函数为
u=w−
α
w
，
证明：直接运用绝对风险规避系数的定义：
2
R
a
(
w
)
=−
1
时，
2
α
1
2
α
u
′′
(
w
)
，当
w≠
时．
=
′
u
(
w
)1
−
2
α
w
2
α
因此，当
w≠
2
dR
a
(w)
−
(
2
α
)
=−>0
，
2
dw
(
1−2
α
w
)
1
第四讲 VNM效用……
4
即，绝对风险规避系数是财富的严格增函数．
设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8．计算该彩票的期望收
入．若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式．（形
式不唯一）
解：最方便的一个形式就是有常绝对风险规避系数的效用函数形式，比如
u(w)=e
w
5 证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：
5.1
u(w)=
(
w+
α
)
，
α
≥
0
，
0<
β
<1
．
β
dR
a
(w)
β
(
β
−
1)(
w+
α
)
β
−
2
1
−
β
u
′′
(
w
)
由
R
a
(
w
)=−=
，得到
<0
，因
=−
w+
α
dw
u
′
(
w
)
β
(
w+
α
)
β
−
1
此该效用函数显示出递减的风险规避行为．
5.2
u(w)=w
由
R
a
(
w
)
=0
，知
dR
a
(w)
=0
，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为．
dw
5.3
u(w)=ln(w+
α
)
，
α
≥0
u
′′
(
w
)
=−
由
R
a
(
w
)
=−
u
′
(
w
)
−
1
dR
a
(
w
)
1
(
w
+
α
)
2
=
，得到
<0
，因此该效
1
w+
α
dw
w
+
α
用函数显示出递减的风险规避行为．
5.4
u(w)=w
3
由
R
a
(w)
=−
dR
(
w
)
u
′′
(
w
)6
w
2
=−
2
=−
，得到
a
>0
，因此该效用函数不显
′
u
(
w
)
w
dw
3
w
6
示出递减的风险规避行为．
一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种
发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失
120000．他的效用函数形式是
u(w)=w
．若他购买保险，保险公司要求他自己承担
前7620单位的损失（若火灾发生）．什么是这个投保人愿支付的最高保险金？（需要补
充的条件为：两种火灾的发生是相斥事件）
解：如果保险人不购买保险，他不发生火灾损失的概率为他的期望效用水平为
Eu(w)=0.9×160000+0.05×90000+0.05×40000=385
同时，他愿支付的最高保险金
I
，就是使他在支付前后效用水平相等的保险金．
1
1
一般的假定是，如果决策者在选择间无差异的时候，就表示他在做一个随机决策，也就是说，任何决策
都是可以接受的．反过来，假定决策者在选择间无差异时，却出现了他不愿意选择某一个决策的情况，那
2