2024年6月13日发(作者：析孤萍)

2022-2023学年云南省部分名校高二下学期3月大联考数学试题

一、单选题

1．已知集合

A．

M



x∣∣1x6



,N{xZ3x6}

，则

MN

（

）



3,4



B．



4



C．



4,5,6



D．



4,5



【答案】D

【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.

【详解】因为

故选：D

3

42

2．现有以下四个命題：①

xR,x10

；②

xN,x1

；③

xZ,x0

；④

xQ,x3

.

MN



4,5



N



4,5



,M



x∣1x6



，所以.

2

3

其中命题正确的是（

）

A．①④

【答案】C

【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，由于对任意

x



R

，都有

xx0

，故命题“

xR,x10

”是真命题；

32

2

3

B．①②③C．①③D．②③

2

3

4

4

对于②中，由于

0N

，当

x0

时，

x1

不成立，所以命题“

xN,x1

”是假命题；

3

3

对于③中，由于

1Z

，当

x=



1

时，

x0

成立，所以命题“

Z,x0

”是真命题；

2

对于④中，由于使

x3

成立的数只有

x3

，而

3

都不是有理数，因此没有任何一个有理数

2

的平方等于3，所以命题“

Q,x3

”是假命题.

故选：C.

3．高三（1）班8名女生百米比赛的成绩（单位：

s

）分别为

13.8，15.2，14.8，14，15.4，15.1，13.6，14.6，则所给数据的第25百分位数是（

）

A．13.6

【答案】B

【分析】先将数据从小到大排序，计算

825%2

，利用百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】将8个数据从小到大排序，可得

13.6,13.8,14,14.6,14.8,15.1,15.2,15

，

B．13.9C．14.4D．14.7

13.8



14



13.9

825%2

2

因为，所以数据的第25百分位数是.

故选：B.

31



(xm)(yn)1

x3y1

mn0

mn

的最小值为4．已知直线经过圆的圆心，其中，则

22

（

）

A．7

【答案】D

【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.

22



m,n



，【详解】因为直线

x3y1

经过圆

(xm)(yn)1

的圆心

B．8C．9D．12

故

m3n1

，

319nm9nm



31







m



3n











6



6



2



12

mnmnmnmn



所以，

9nm

1



m3n

2

时，等号成立.当且仅当

mn

，即

故选：D

5．函数

f



x



(32sin2x)

2

的最小正周期为（

）

3π

C．

2

π

A．

2

【答案】B

B．

π

D．

2π

【分析】化简函数的解析式为

【详解】因为

所以

f



x



32sin2x

，结合最小正周期的计算公式，即可求解.

，

f



x



(32sin2x)

2

32sin2x32sin2x

T

2π

π

2

.

f



x



的最小正周期

故选：B.

6．已知函数

A．

ylog

1

x

2

2ax5a

2





2,



在上为减函数，则实数

a

的取值范围是（

）

C．



,2



B．



2,





4,2



D．



1,2



【答案】C

【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可.

【详解】令

因为函数

所以要想函数

f



x



x

2

2ax5a

，对称轴为

xa

，

ylog

1

x

2

是正实数集上的减函数，

ylog

1

x

2

2ax5a

2





2,



在上为减函数，

只需函数

f



x



x

2

2ax5a

在



2,



上为增函数，且

f



x



0

在



2,



上恒成立，

所以

a2

，且

解得

4a2

.

故选：C

f



2



4a0

，

7．已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56

π

，则该圆台的高为

（

）

A．3

【答案】D

【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可.

【详解】设该圆台的高为

h

，上､下底面圆的半径分别为

r,R

.

B．4C．5D．6

由圆台的体积公式

故选：D

V

π

2

π

rR

2

rRh2

2

4

2

8h56π

3

，得

3

，解得

h6

.





8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为

“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽











2





ABa,ADb,CFCM

3

DM

（

）弦图”中若，则

12



16



ab

2525

A．

4



6



ab

1313

C．

【答案】C

16



12



ab

2525

B．

6



4



ab

1313

D．

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合方程的思想求解作答.



2



2



2



2



4



2



4



2



DMDNANADANbAEbaBEb

33339393

，而【详解】依题意，



BEDM

，



4



6





4



2



DMab

DMaDMb

1313

，

93

因此，解得







4



6



DMab

1313

.所以

故选：C

二、多选题

9．已知复数

A．

z



3



i

1



i

，则下列说法正确的是（

）

z5

B．

z

的虚部为-1

C．

z

在复平面内对应的点在第一象限

D．

z

的共轭复数为

2i

【答案】BD

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、

复数模的运算公式逐一判断即可.

z



【详解】因为

3



i



3



i



1



i



4



2i



2



i

1



i



1



i



1



i



2

2

，所以

z

的虚部为

1,z

的共轭复数为

2i,z2

2





1



5,z

故选：BD

10．已知点

在复平面内对应的点在第四象限.

A



3,1



,B



1,3



，且点

P

在直线

l:xy10

上，则（

）

A．存在点

P

，使得

PAPB

B．存在点

P

，使得

C．

3PAPB

PAPB

的最小值为

52

D．

||PA||PB||

的最大值为

25

【答案】BCD

【分析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.

【详解】对于

A

，由

AB2025,AB

2,-1

)

的中点坐标为

(

，所以以

AB

为直径的圆的方程为

(x2)

2

(y1)

2

5

，而该圆心到直线

l:xy10

的距离

对于

B

，设

d



2



1



1

2



22



5

，故

A

错误；

P



x,y



，则满足

3PAPB

的动点

P

的方程为

3(x3)

2

(y1)

2

(x1)

2

(y3)

2

22



4,3



到直线

l

的距，化简得

(x4)(y3)15

，则圆心

d



离

4



3



1

2



2



15

A



3,1



，故

B

正确；

对于

C

，因为关于

xy10

的对称点为

A





a,b



，



b



1



1



1





a



3





3



a



1



b



1



0

A





0,4



2



2

所以有



，解得

a0,b4

，即，

所以

PAPBA



B52

，故

C

正确；对于

D,PAPBAB25

（当且仅当

A,P,B

三点共

线时，等号成立），故

D

正确.

故选：BCD

11．已知直线

l:



m1



x



2m1



y2m30

22

和圆

C:(x2)y9

，下列说法正确的是（

）

A．对任意

mR

，直线

l

与圆

C

相交

B．存在

mR

，使得直线

l

与圆

C

相切

C．存在

mR

，使得直线

l

被圆

C

截得的弦长为5

D．对任意

mR

，圆

C

上都存在四点到直线

l

的距离为2

【答案】AC

【分析】先求得直线直线

l

恒过点

P



4,1



，根据点

P

在圆

C

内，可判定A正确，B错误；再利用

直线与圆的位置关系和弦长公式，可判定C正确，D错误.

【详解】由直线

l:



m1



x



2m1



y2m30

，可得

m



x2y2



xy30

，



x



2y



2



0



P



4,1



联立方程组





x



y



3



0

，解得

x4,y1

，即无论

m

为何值，直线

l

恒过点，因为点

P



4,1



在圆

C

内，故A正确，B错误；

当直线

l

过圆心

C



2,0



时，直线

l

被圆截得的弦长最大，最大值为

6

；

29|PC|

2

2954

lPC

l

当直线时，直线被圆截得的弦长最小，且最小值为，所以

C

正确；

因为

PC5

，且圆

C

的半径为

R3

，

所以当直线

lPC

时，圆

C

上只存在两点到直线

l

的距离为

2

，所以D错误.

故选：AC

x

2

y

2

C:

2



2



1



a



0,b



0



F

F

O

1

2

ab

12．已知为坐标原点，、分別为双曲线的左、右焦点，点

P

在双

曲线

C

的右支上，下列说法正确的是（

）

A．当

B．

POPF

2

时，双曲线的离心率

e

的取值范围是





2,





△PF

1

F

2

的内心在直线

xa

上

11

2a

2



b

2



d

d

ab

C．若点

P

到

C

的两条浙近线的距离分别为

1

、

2

，则

d

1

d

2

的最小值为

D．当射线

F

2

P

与双曲线的一条渐近线交于点

Q

时，

【答案】BCD

【分析】对于A，设点

QF

1

QF

2

2a

P



x

0

,

y

0



，可求得

x

0



c

a

2

，求出

e

的取值范围，可判断A选项；利用切

a

2

b

2

d

1

d

2



2

△PFF

12

a



b

2

，结合线长定理结合双曲线的定义求出内心的横坐标，可判断B选项；求得

基本不等式可判断C选项；利用双曲线的定义结合三角形三边关系可判断D选项.

【详解】对于A，设点

由

P



x

0

,

y

0



2

0

，则

x

0

a

，

2

POPF

2

可得

xy

2

0



x

0

c



y

2

0

，则

x

0



c

c

a

e



2

2

a

，可得，A错；

对于B，设

△PF

1

F

2

的内心为

I

，

设

△PF

1

F

2

的内切圆切

PF

1

、

PF

2

、

F

1

F

2

分别于点

D

、

M

、

N

，

由切线长定理可得

所以，

PDPM

，

DF

1

NF

1

，

MF

2

NF

2

，

2aPF

1

PF

2





PDDF

1







PMMF

2



DF

1

MF

2

NF

1

NF

2





x

N

c







cx

N





2

x

N

xa

，，

N

xx

N

a

，B对；由圆的几何性质可知，

INx

轴，故

I

22

x

0

y

0



2



1

2

P



x

0

,

y

0



bxay0

C

ab

对于C，设，双曲线的渐近线方程为，且有，即

22

b

2

x

0

a

2

y

0

a

2

b

2

，

d

1



bx

0



ay

0

a

2



b

2

，

d

2



bx

0



ay

0

a

2



b

2

，则所以，

d

1

d

2



22

b

2

x

0



a

2

y

0

a

2



b

2

a

2

b

2



2

a



b

2

，

112



d

1

d

2

d

1

d

2

所以，

当且仅当

d

1

d

2

时，即当

对于D，若

2

ab

a

2



b

2

2a

2



b

2



ab

，

y

0

0

时，等号成立，C对；

QF

1

QF

2

QF

1

QF

2

QF

1





QPPF

2

QF

1

QF

2

，则







QF

1

QP



PF

2

PF

1

PF

2

2a

，

若

则

QF

1

QF

2

，设

QF

1

交双曲线的左支于点

H

，

QF

1

QF

2

QF

2

QF

1

QF

2





QHHF

1







QF

2

QH



HF

1

HF

2

HF

1

2a

，

若

QF

1

QF

2

，即当点

Q

与原点

O

重合时，

，D对.

QF

1

QF

2

02a

，

综上所述，

故选：BCD.

QF

1

QF

2

2a

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等

式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

三、填空题

13．如图，在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

E,F

分别为

AB,DD

1

的中点，若



EFxDAyDCzDD

1

，

则

xyz

__________.

【答案】

1

【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.



1



1



EFEAADDFDADCDD

1

22

【详解】因为，

11

11

xyz11

x1,y,z,

22

22

所以所以.

故答案为:

1

.

yx

2





a3



x3

1,2



y2xlnx

14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则

a

__________.

【答案】



4

【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判断别式进行求解即可.

【详解】因为



2x



lnx





2



'

1

x

，

所以曲线

y2xlnx

在点

则所求的切线方程为



1,2



处的切线斜率为3，

，即

y3x1

.

y23



x1





y



x

2





a



3



x



3,



yx

2





a3



x3

y



3x



1,

y3x1

因为直线与抛物线相切，联立方程组



消去

x

，得

x

2

ax40

，

2

所以

Δa160

，解得

a4

.

故答案为：

4

2

15．已知

O

为坐标原点，抛物线

C:x8y

的焦点为

F

，直线

l

与

C

交于

A,B

两点，且

AB

的中点到

x

轴的距离为3，则

AB

的最大值为__________.

【答案】10

【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.

【详解】由题意知

F



0,2



，抛物线

C

的准线方程为

y=



2

.设

AB

的中点为

M

，分别过点

A,B,M

作

准线的垂线，垂足分别为

C,D,N

.因为

M

到

x

轴的距离为2，所以

由抛物线的定义知

因为

MN325

.

.

ACAF,BDBF

，所以

，所以

2MNACBDAFBF10

AFBFAB

AB10

.

故答案为：10

2024年6月13日发(作者：析孤萍)

2022-2023学年云南省部分名校高二下学期3月大联考数学试题

一、单选题

1．已知集合

A．

M



x∣∣1x6



,N{xZ3x6}

，则

MN

（

）



3,4



B．



4



C．



4,5,6



D．



4,5



【答案】D

【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.

【详解】因为

故选：D

3

42

2．现有以下四个命題：①

xR,x10

；②

xN,x1

；③

xZ,x0

；④

xQ,x3

.

MN



4,5



N



4,5



,M



x∣1x6



，所以.

2

3

其中命题正确的是（

）

A．①④

【答案】C

【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，由于对任意

x



R

，都有

xx0

，故命题“

xR,x10

”是真命题；

32

2

3

B．①②③C．①③D．②③

2

3

4

4

对于②中，由于

0N

，当

x0

时，

x1

不成立，所以命题“

xN,x1

”是假命题；

3

3

对于③中，由于

1Z

，当

x=



1

时，

x0

成立，所以命题“

Z,x0

”是真命题；

2

对于④中，由于使

x3

成立的数只有

x3

，而

3

都不是有理数，因此没有任何一个有理数

2

的平方等于3，所以命题“

Q,x3

”是假命题.

故选：C.

3．高三（1）班8名女生百米比赛的成绩（单位：

s

）分别为

13.8，15.2，14.8，14，15.4，15.1，13.6，14.6，则所给数据的第25百分位数是（

）

A．13.6

【答案】B

【分析】先将数据从小到大排序，计算

825%2

，利用百分位数的计算方法，即可求解.

【详解】将8个数据从小到大排序，可得

13.6,13.8,14,14.6,14.8,15.1,15.2,15

，

B．13.9C．14.4D．14.7

13.8



14



13.9

825%2

2

因为，所以数据的第25百分位数是.

故选：B.

31



(xm)(yn)1

x3y1

mn0

mn

的最小值为4．已知直线经过圆的圆心，其中，则

22

（

）

A．7

【答案】D

【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.

22



m,n



，【详解】因为直线

x3y1

经过圆

(xm)(yn)1

的圆心

B．8C．9D．12

故

m3n1

，

319nm9nm



31







m



3n











6



6



2



12

mnmnmnmn



所以，

9nm

1



m3n

2

时，等号成立.当且仅当

mn

，即

故选：D

5．函数

f



x



(32sin2x)

2

的最小正周期为（

）

3π

C．

2

π

A．

2

【答案】B

B．

π

D．

2π

【分析】化简函数的解析式为

【详解】因为

所以

f



x



32sin2x

，结合最小正周期的计算公式，即可求解.

，

f



x



(32sin2x)

2

32sin2x32sin2x

T

2π

π

2

.

f



x



的最小正周期

故选：B.

6．已知函数

A．

ylog

1

x

2

2ax5a

2





2,



在上为减函数，则实数

a

的取值范围是（

）

C．



,2



B．



2,





4,2



D．



1,2



【答案】C

【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可.

【详解】令

因为函数

所以要想函数

f



x



x

2

2ax5a

，对称轴为

xa

，

ylog

1

x

2

是正实数集上的减函数，

ylog

1

x

2

2ax5a

2





2,



在上为减函数，

只需函数

f



x



x

2

2ax5a

在



2,



上为增函数，且

f



x



0

在



2,



上恒成立，

所以

a2

，且

解得

4a2

.

故选：C

f



2



4a0

，

7．已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56

π

，则该圆台的高为

（

）

A．3

【答案】D

【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可.

【详解】设该圆台的高为

h

，上､下底面圆的半径分别为

r,R

.

B．4C．5D．6

由圆台的体积公式

故选：D

V

π

2

π

rR

2

rRh2

2

4

2

8h56π

3

，得

3

，解得

h6

.





8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为

“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽











2





ABa,ADb,CFCM

3

DM

（

）弦图”中若，则

12



16



ab

2525

A．

4



6



ab

1313

C．

【答案】C

16



12



ab

2525

B．

6



4



ab

1313

D．

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合方程的思想求解作答.



2



2



2



2



4



2



4



2



DMDNANADANbAEbaBEb

33339393

，而【详解】依题意，



BEDM

，



4



6





4



2



DMab

DMaDMb

1313

，

93

因此，解得







4



6



DMab

1313

.所以

故选：C

二、多选题

9．已知复数

A．

z



3



i

1



i

，则下列说法正确的是（

）

z5

B．

z

的虚部为-1

C．

z

在复平面内对应的点在第一象限

D．

z

的共轭复数为

2i

【答案】BD

【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、

复数模的运算公式逐一判断即可.

z



【详解】因为

3



i



3



i



1



i



4



2i



2



i

1



i



1



i



1



i



2

2

，所以

z

的虚部为

1,z

的共轭复数为

2i,z2

2





1



5,z

故选：BD

10．已知点

在复平面内对应的点在第四象限.

A



3,1



,B



1,3



，且点

P

在直线

l:xy10

上，则（

）

A．存在点

P

，使得

PAPB

B．存在点

P

，使得

C．

3PAPB

PAPB

的最小值为

52

D．

||PA||PB||

的最大值为

25

【答案】BCD

【分析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.

【详解】对于

A

，由

AB2025,AB

2,-1

)

的中点坐标为

(

，所以以

AB

为直径的圆的方程为

(x2)

2

(y1)

2

5

，而该圆心到直线

l:xy10

的距离

对于

B

，设

d



2



1



1

2



22



5

，故

A

错误；

P



x,y



，则满足

3PAPB

的动点

P

的方程为

3(x3)

2

(y1)

2

(x1)

2

(y3)

2

22



4,3



到直线

l

的距，化简得

(x4)(y3)15

，则圆心

d



离

4



3



1

2



2



15

A



3,1



，故

B

正确；

对于

C

，因为关于

xy10

的对称点为

A





a,b



，



b



1



1



1





a



3





3



a



1



b



1



0

A





0,4



2



2

所以有



，解得

a0,b4

，即，

所以

PAPBA



B52

，故

C

正确；对于

D,PAPBAB25

（当且仅当

A,P,B

三点共

线时，等号成立），故

D

正确.

故选：BCD

11．已知直线

l:



m1



x



2m1



y2m30

22

和圆

C:(x2)y9

，下列说法正确的是（

）

A．对任意

mR

，直线

l

与圆

C

相交

B．存在

mR

，使得直线

l

与圆

C

相切

C．存在

mR

，使得直线

l

被圆

C

截得的弦长为5

D．对任意

mR

，圆

C

上都存在四点到直线

l

的距离为2

【答案】AC

【分析】先求得直线直线

l

恒过点

P



4,1



，根据点

P

在圆

C

内，可判定A正确，B错误；再利用

直线与圆的位置关系和弦长公式，可判定C正确，D错误.

【详解】由直线

l:



m1



x



2m1



y2m30

，可得

m



x2y2



xy30

，



x



2y



2



0



P



4,1



联立方程组





x



y



3



0

，解得

x4,y1

，即无论

m

为何值，直线

l

恒过点，因为点

P



4,1



在圆

C

内，故A正确，B错误；

当直线

l

过圆心

C



2,0



时，直线

l

被圆截得的弦长最大，最大值为

6

；

29|PC|

2

2954

lPC

l

当直线时，直线被圆截得的弦长最小，且最小值为，所以

C

正确；

因为

PC5

，且圆

C

的半径为

R3

，

所以当直线

lPC

时，圆

C

上只存在两点到直线

l

的距离为

2

，所以D错误.

故选：AC

x

2

y

2

C:

2



2



1



a



0,b



0



F

F

O

1

2

ab

12．已知为坐标原点，、分別为双曲线的左、右焦点，点

P

在双

曲线

C

的右支上，下列说法正确的是（

）

A．当

B．

POPF

2

时，双曲线的离心率

e

的取值范围是





2,





△PF

1

F

2

的内心在直线

xa

上

11

2a

2



b

2



d

d

ab

C．若点

P

到

C

的两条浙近线的距离分别为

1

、

2

，则

d

1

d

2

的最小值为

D．当射线

F

2

P

与双曲线的一条渐近线交于点

Q

时，

【答案】BCD

【分析】对于A，设点

QF

1

QF

2

2a

P



x

0

,

y

0



，可求得

x

0



c

a

2

，求出

e

的取值范围，可判断A选项；利用切

a

2

b

2

d

1

d

2



2

△PFF

12

a



b

2

，结合线长定理结合双曲线的定义求出内心的横坐标，可判断B选项；求得

基本不等式可判断C选项；利用双曲线的定义结合三角形三边关系可判断D选项.

【详解】对于A，设点

由

P



x

0

,

y

0



2

0

，则

x

0

a

，

2

POPF

2

可得

xy

2

0



x

0

c



y

2

0

，则

x

0



c

c

a

e



2

2

a

，可得，A错；

对于B，设

△PF

1

F

2

的内心为

I

，

设

△PF

1

F

2

的内切圆切

PF

1

、

PF

2

、

F

1

F

2

分别于点

D

、

M

、

N

，

由切线长定理可得

所以，

PDPM

，

DF

1

NF

1

，

MF

2

NF

2

，

2aPF

1

PF

2





PDDF

1







PMMF

2



DF

1

MF

2

NF

1

NF

2





x

N

c







cx

N





2

x

N

xa

，，

N

xx

N

a

，B对；由圆的几何性质可知，

INx

轴，故

I

22

x

0

y

0



2



1

2

P



x

0

,

y

0



bxay0

C

ab

对于C，设，双曲线的渐近线方程为，且有，即

22

b

2

x

0

a

2

y

0

a

2

b

2

，

d

1



bx

0



ay

0

a

2



b

2

，

d

2



bx

0



ay

0

a

2



b

2

，则所以，

d

1

d

2



22

b

2

x

0



a

2

y

0

a

2



b

2

a

2

b

2



2

a



b

2

，

112



d

1

d

2

d

1

d

2

所以，

当且仅当

d

1

d

2

时，即当

对于D，若

2

ab

a

2



b

2

2a

2



b

2



ab

，

y

0

0

时，等号成立，C对；

QF

1

QF

2

QF

1

QF

2

QF

1





QPPF

2

QF

1

QF

2

，则







QF

1

QP



PF

2

PF

1

PF

2

2a

，

若

则

QF

1

QF

2

，设

QF

1

交双曲线的左支于点

H

，

QF

1

QF

2

QF

2

QF

1

QF

2





QHHF

1







QF

2

QH



HF

1

HF

2

HF

1

2a

，

若

QF

1

QF

2

，即当点

Q

与原点

O

重合时，

，D对.

QF

1

QF

2

02a

，

综上所述，

故选：BCD.

QF

1

QF

2

2a

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等

式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

三、填空题

13．如图，在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

E,F

分别为

AB,DD

1

的中点，若



EFxDAyDCzDD

1

，

则

xyz

__________.

【答案】

1

【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.



1



1



EFEAADDFDADCDD

1

22

【详解】因为，

11

11

xyz11

x1,y,z,

22

22

所以所以.

故答案为:

1

.

yx

2





a3



x3

1,2



y2xlnx

14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则

a

__________.

【答案】



4

【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判断别式进行求解即可.

【详解】因为



2x



lnx





2



'

1

x

，

所以曲线

y2xlnx

在点

则所求的切线方程为



1,2



处的切线斜率为3，

，即

y3x1

.

y23



x1





y



x

2





a



3



x



3,



yx

2





a3



x3

y



3x



1,

y3x1

因为直线与抛物线相切，联立方程组



消去

x

，得

x

2

ax40

，

2

所以

Δa160

，解得

a4

.

故答案为：

4

2

15．已知

O

为坐标原点，抛物线

C:x8y

的焦点为

F

，直线

l

与

C

交于

A,B

两点，且

AB

的中点到

x

轴的距离为3，则

AB

的最大值为__________.

【答案】10

【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.

【详解】由题意知

F



0,2



，抛物线

C

的准线方程为

y=



2

.设

AB

的中点为

M

，分别过点

A,B,M

作

准线的垂线，垂足分别为

C,D,N

.因为

M

到

x

轴的距离为2，所以

由抛物线的定义知

因为

MN325

.

.

ACAF,BDBF

，所以

，所以

2MNACBDAFBF10

AFBFAB

AB10

.

故答案为：10