2024年7月15日发(作者：鲍驹)
概率答案第四章习题
第四章习题 2. 某产品的次品率为0.1检验员每天检验4次.每次随机地取10件产品
进行检验如发现其中的次品数多于1就去调整设备.以X表示一天中调整设备的次数试求
EX.设诸产品是否为次品是相互独立的. 解 设Zi表示第i次检验时所发现的次品数i1234
则Zib10 0.1 PZik 0.1k0.910-k k012…10. 10k设随机变量Xi 1 第i次检验时要调整设备
Zi1 0 第i次检验时不调整设备Zi1 i1234 则 XX1 X2 X3 X4 由于 PXi0PZi1PZi0PZi1
0.910100.10.991.90.99 PXi11-PXi01-1.90.99 Xi服从0-1分布故其数学期望 而
EXEX1EX2EX3EX441-1.90.991.0556 EXiPXi11-1.90.99 i1234 11 5. 在下列句子中随机
地取一单词以X表示取到的单词所包含的字母个数写出X的分布律并求EX. “THE GIRL
PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” 解 共有8个单词随机取到每个单词的概率都是
1/8X的分布律为 X 2 3 4 9 pk 1/8 5/8 1/8 1/8 4812XE 设在某一规定的
时间间隔里某电气设备用于最大负荷的时间X以分计是一个随机变量其概率密度为 其它
115001xxxxxf求EX. dxxxfXE解
dxxxdxx3
03232xxx1506. 7. 设随机变量X的分布律为 X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求
EXEX2E3X25. 解
2.03.023.004.0231kkkpxXE8.23.023.004.022223122kkkpxXE4.133.05233.05034.052
353532223122kkkpxXE或 E3X25 3EX2 5 32.8 5 13.4 设随机变量X的概率密度为
000xxexfx求1Y2X2Ye-2X的数学期望. 解
dxxedxxxfXExxxxxedxexeexddxeedxxfeeExxxXxxedxe
9. 设XY的概率密度为 其它010122xyyyxf求EXEYEXYEX2Y2. x o y 1 1 yx 解 如图阴
影部份是fxy不为零的区域
dxdyyxxfXE10410025/4412dxxdyyxdxxdxdyyxyfYE10410035/3312dxxdyydxxdxdyy
xxyfXYE10510032/1312dxxdyyxdxxdxdyyxfyxYXE22221xxdyydxdyy
dxx15325124dxxdxxdxx也可以先求边缘概率密度 dyyxfxfX其它
010412032xxdyyxdxyxfyfY其它
yyydxyydxxxfXEX1045/44dxxdyyyfYEY12dxyy13. 设随
机变量X1X2的概率密度分别为 000221xxexfx000442xxexfx1求EX1X2E2X1-3X22 2
又设X1X2相互独立求EX1X2. 解 法一:利用已知概率密度计算积分 1 EX1X2EX1EX2
dxxxfdxxxf2xxxxexdexddxxedxxe4341214121xxxxxxee
dxexedxexeE2X1-3X222EX1-3EX22
dxxfx321222dtetdxextxtx312EX1X2
22221dxxfxdxxfxdxdxxfxfxx8102121dxexdxexxx2 设随
机变量Xi 0 第i次未抽到开门钥匙 1 第i次抽到开门钥匙 i12…n 基本事件是从n把钥匙
中抽取一把 故基本事件总数为n.而取到每把钥匙是等可能的.由于只有一把钥匙能打开门
上的锁每把钥匙试开一次后除去所以第i次抽到开门钥匙只能从n-i-1把中抽取. 故
PXi1n-i1/n 由0-1分布的数学期望EXiPXi1n-i1/n i12…n 而 XX1 X2 … Xn
21nnnnnnnninXEXEninii17. 设随机变量X服从瑞利分布其概率密度为
0002222xxexxfx其中0是常数求EXDX. 解 法一:利用 2022dtet令tx/则
20222dxexdxxxfXE2222202022xxexddxex202022222dxexexxdxxfxXE22222220220
23xxedxdxex2222222xxxedxxeex22224XEXEXD法二:利用函数的定义
及性质 .21111001aaaadtetata令 tx2/22 则
dttdxtx22dtetdttteXEtt22322222dttedttetXEtt20. 设
长方形的高以m计XU02己知长方形的周长以m计为20求长方形面积A的数学期望和
方差. 解 法一: X的概率密度为 其它02021xxfAx10-x10x-x2
dxxxdxxfxxAE2022211010dxxxxdxxfxxAE2310021205
43xxx42.251448222mAEAEAD67.832635212032mxx法二:利用已知均
匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解
31120212202XDXE3422XEXDXE3263410101022XEXEXXEAEDAD10X-X2
D10XDX2-2Cov10XX2
100DXEX4-EX22-20EX320EXEX2
100DXEX4-EX22-2E10X3-E10XEX2
50444xdxxdxxfxXE242xdxxdxxfxXE4596445416203804
AD211 设随机变量 X1X2X3X4相互独立且有EXii DXi5-i i1234.
设 .21324321XXXXY求EYDY.
解 .24321XEXEXEXEXXXXEYE742133212.44321XDXDX
DXDXXXXDYD25.3745925154EZ2EX-YEX-EY720-64080.
DZ2DX-YDXDY9006251525.
DXYDXDY9006251525. 故
故
Z2N801525
.
. EXYEXEY7206401360
PXYPX-Y0PZ201-PZ20 XYN13601525
9798.005.21115258001PXY14001-PXY1400 1539.08461.0102.4001设
随机变量 XY相互独立且 XN720 302 YN640 252 求Z12XY Z2X-Y的分布并求概率
PXYPXY1400. 解 EX720 DX302 EY640 DY252 . EZ1E2XY2EXEY27206402080
DZ1D2XY4DXDY49 故 Z1N2080652 212 24. 设二维随机变量XY的概
率密度为 其它01122yxyxf试验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的. 解 先求
边缘概率密度 dyyxfxfXx y 1 -1 21xy21xy其它xxdyxxdxyxfyfY同理 其
它yydxyy显然在单位圆内即 时 122yx1114222yxfyxyfxfYX因此X和Y
不是相互独立的. dxxxfXEX012211dxxx同理
0dyyyfYEYdxdyyxxyfXYE01111122xxydyxdxCovXYEXY-EXEY0 0YDXDYXCovXY因此
X和Y是不相关的. 25. 设随机变量 XY的分布律为 X -1 0 1 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
-1 1/8 1/8 1/8 PXi 3/8 2/8 3/8 1.0 PYj 3/8 2/8 3/8 验证X和Y是不相关的 但X和Y
不是相互独立的. 解 先求出关于XY的边缘分布律如右 显然对每一组ij ij -101 都有
PXiYj PXiPYj 因此X和Y不是相互独立的.
XEYE8111XYE18110000Cov
XYEXY-EXEY0 0YDXDYXCovXY因此X和Y是不相关的. 27. 设随机变量XY具有概率密
度 其它0101xxyyxf求EXEYCovXY. 解 如图阴影部份是fxy不为零的区域G x y G xy x-y
1 1 -1 0
dxdyyxxfXE10210322dxxdyxdxxxdxdyyxyfYE010xxydydxdxdyyxxyfXYE010xxydyxdx
CovXYEXY-EXEY0. 法一: 法二:先求出边缘概率密度利用p106.12的结果 其它
01021xxdyxfxxX其它
011yyyfYdxxxfXEX322102dxxdyyyfYEY1101dxyyCovXYEX-EXY-EY
0323210xxydydxxdxdyyxyfx
2024年7月15日发(作者：鲍驹)
概率答案第四章习题
第四章习题 2. 某产品的次品率为0.1检验员每天检验4次.每次随机地取10件产品
进行检验如发现其中的次品数多于1就去调整设备.以X表示一天中调整设备的次数试求
EX.设诸产品是否为次品是相互独立的. 解 设Zi表示第i次检验时所发现的次品数i1234
则Zib10 0.1 PZik 0.1k0.910-k k012…10. 10k设随机变量Xi 1 第i次检验时要调整设备
Zi1 0 第i次检验时不调整设备Zi1 i1234 则 XX1 X2 X3 X4 由于 PXi0PZi1PZi0PZi1
0.910100.10.991.90.99 PXi11-PXi01-1.90.99 Xi服从0-1分布故其数学期望 而
EXEX1EX2EX3EX441-1.90.991.0556 EXiPXi11-1.90.99 i1234 11 5. 在下列句子中随机
地取一单词以X表示取到的单词所包含的字母个数写出X的分布律并求EX. “THE GIRL
PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” 解 共有8个单词随机取到每个单词的概率都是
1/8X的分布律为 X 2 3 4 9 pk 1/8 5/8 1/8 1/8 4812XE 设在某一规定的
时间间隔里某电气设备用于最大负荷的时间X以分计是一个随机变量其概率密度为 其它
115001xxxxxf求EX. dxxxfXE解
dxxxdxx3
03232xxx1506. 7. 设随机变量X的分布律为 X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求
EXEX2E3X25. 解
2.03.023.004.0231kkkpxXE8.23.023.004.022223122kkkpxXE4.133.05233.05034.052
353532223122kkkpxXE或 E3X25 3EX2 5 32.8 5 13.4 设随机变量X的概率密度为
000xxexfx求1Y2X2Ye-2X的数学期望. 解
dxxedxxxfXExxxxxedxexeexddxeedxxfeeExxxXxxedxe
9. 设XY的概率密度为 其它010122xyyyxf求EXEYEXYEX2Y2. x o y 1 1 yx 解 如图阴
影部份是fxy不为零的区域
dxdyyxxfXE10410025/4412dxxdyyxdxxdxdyyxyfYE10410035/3312dxxdyydxxdxdyy
xxyfXYE10510032/1312dxxdyyxdxxdxdyyxfyxYXE22221xxdyydxdyy
dxx15325124dxxdxxdxx也可以先求边缘概率密度 dyyxfxfX其它
010412032xxdyyxdxyxfyfY其它
yyydxyydxxxfXEX1045/44dxxdyyyfYEY12dxyy13. 设随
机变量X1X2的概率密度分别为 000221xxexfx000442xxexfx1求EX1X2E2X1-3X22 2
又设X1X2相互独立求EX1X2. 解 法一:利用已知概率密度计算积分 1 EX1X2EX1EX2
dxxxfdxxxf2xxxxexdexddxxedxxe4341214121xxxxxxee
dxexedxexeE2X1-3X222EX1-3EX22
dxxfx321222dtetdxextxtx312EX1X2
22221dxxfxdxxfxdxdxxfxfxx8102121dxexdxexxx2 设随
机变量Xi 0 第i次未抽到开门钥匙 1 第i次抽到开门钥匙 i12…n 基本事件是从n把钥匙
中抽取一把 故基本事件总数为n.而取到每把钥匙是等可能的.由于只有一把钥匙能打开门
上的锁每把钥匙试开一次后除去所以第i次抽到开门钥匙只能从n-i-1把中抽取. 故
PXi1n-i1/n 由0-1分布的数学期望EXiPXi1n-i1/n i12…n 而 XX1 X2 … Xn
21nnnnnnnninXEXEninii17. 设随机变量X服从瑞利分布其概率密度为
0002222xxexxfx其中0是常数求EXDX. 解 法一:利用 2022dtet令tx/则
20222dxexdxxxfXE2222202022xxexddxex202022222dxexexxdxxfxXE22222220220
23xxedxdxex2222222xxxedxxeex22224XEXEXD法二:利用函数的定义
及性质 .21111001aaaadtetata令 tx2/22 则
dttdxtx22dtetdttteXEtt22322222dttedttetXEtt20. 设
长方形的高以m计XU02己知长方形的周长以m计为20求长方形面积A的数学期望和
方差. 解 法一: X的概率密度为 其它02021xxfAx10-x10x-x2
dxxxdxxfxxAE2022211010dxxxxdxxfxxAE2310021205
43xxx42.251448222mAEAEAD67.832635212032mxx法二:利用已知均
匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解
31120212202XDXE3422XEXDXE3263410101022XEXEXXEAEDAD10X-X2
D10XDX2-2Cov10XX2
100DXEX4-EX22-20EX320EXEX2
100DXEX4-EX22-2E10X3-E10XEX2
50444xdxxdxxfxXE242xdxxdxxfxXE4596445416203804
AD211 设随机变量 X1X2X3X4相互独立且有EXii DXi5-i i1234.
设 .21324321XXXXY求EYDY.
解 .24321XEXEXEXEXXXXEYE742133212.44321XDXDX
DXDXXXXDYD25.3745925154EZ2EX-YEX-EY720-64080.
DZ2DX-YDXDY9006251525.
DXYDXDY9006251525. 故
故
Z2N801525
.
. EXYEXEY7206401360
PXYPX-Y0PZ201-PZ20 XYN13601525
9798.005.21115258001PXY14001-PXY1400 1539.08461.0102.4001设
随机变量 XY相互独立且 XN720 302 YN640 252 求Z12XY Z2X-Y的分布并求概率
PXYPXY1400. 解 EX720 DX302 EY640 DY252 . EZ1E2XY2EXEY27206402080
DZ1D2XY4DXDY49 故 Z1N2080652 212 24. 设二维随机变量XY的概
率密度为 其它01122yxyxf试验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的. 解 先求
边缘概率密度 dyyxfxfXx y 1 -1 21xy21xy其它xxdyxxdxyxfyfY同理 其
它yydxyy显然在单位圆内即 时 122yx1114222yxfyxyfxfYX因此X和Y
不是相互独立的. dxxxfXEX012211dxxx同理
0dyyyfYEYdxdyyxxyfXYE01111122xxydyxdxCovXYEXY-EXEY0 0YDXDYXCovXY因此
X和Y是不相关的. 25. 设随机变量 XY的分布律为 X -1 0 1 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
-1 1/8 1/8 1/8 PXi 3/8 2/8 3/8 1.0 PYj 3/8 2/8 3/8 验证X和Y是不相关的 但X和Y
不是相互独立的. 解 先求出关于XY的边缘分布律如右 显然对每一组ij ij -101 都有
PXiYj PXiPYj 因此X和Y不是相互独立的.
XEYE8111XYE18110000Cov
XYEXY-EXEY0 0YDXDYXCovXY因此X和Y是不相关的. 27. 设随机变量XY具有概率密
度 其它0101xxyyxf求EXEYCovXY. 解 如图阴影部份是fxy不为零的区域G x y G xy x-y
1 1 -1 0
dxdyyxxfXE10210322dxxdyxdxxxdxdyyxyfYE010xxydydxdxdyyxxyfXYE010xxydyxdx
CovXYEXY-EXEY0. 法一: 法二:先求出边缘概率密度利用p106.12的结果 其它
01021xxdyxfxxX其它
011yyyfYdxxxfXEX322102dxxdyyyfYEY1101dxyyCovXYEX-EXY-EY
0323210xxydydxxdxdyyxyfx