2024年8月2日发(作者：泉朝)
“0”是什么？
甘肃省合作市藏族小学 甘肃 合作 747000 徐 忠
[关键词]数字的产生 0在数学中的引入 0的特殊性 有数无量 不能物化 关于0的争议
对于这个问题都会说：“0”就是数字0，从基数意义上讲“表
示一个物体也没有”；从序数意义上讲，“表示起点和开始”的意思。
但是，“0”并非如此简单，他还有更为丰富的内含和争议。
首先，先简要的回顾一下数字的产生和“0”在数学中的引入。
古人为了记数实物，常采用结绳记数，刻道记数，实物记数
等办法来记数实物的数量，后来就由此而演化出了各种记数的符
号，于是就产生了数字。
如：罗马数字：ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
阿拉伯数字（印度数字）1、2、3、4、5、6、7、8、9
最初的这些数字都是与实物一一对应而产生的，唯独0无法与
实物一一对应，所以，最初在各种数字中都没有0，后来随着计量、
测量，计算的需要，在中世纪产生并引入了数字0.
数学中0的引入是从自然数，集合中的空集，减法计算这几个
方面引入的。
一个物体也不存在，为了用数表示这一事实，就引入了0，于
是0就与“一个物体也没有”建立了对应关系。
根据自然数的基数理论，自然数是非空有限集合的基数，为了
1
表示集合里一个元素也没有这一特征，把“零”定义为空集集合的
基数，记作“0”.
在减法计算中，当被减数和减数相同时，它们的差就无法用
“1-9”中的数来表示，只好用一个新的数“0”来表示，这样0在
数学中就被引入。
其次，再根据0在不同条件下所扮演的角色来认识其特性。
在小学教学“数的认识”时，虽然0是最小的自然数，但并没
有先教学0，而是先教学数字“1-5”，然后再教学0。原因是从直观
识数的角度上讲，0不能和实物一一对应，刚入学的儿童从直观识
数上就很难理解0所表示的意义，只有在教学了和实物一一对应的
自然数后，再教学0时，儿童才便于理解抽象概念下的0。教材的
这一编排体现了0的特殊性，他不同于一般的自然数。
为此，对0在加法、减法、乘法、除法中都有一个补充定义。
1、加法补充定义表明：
“一个数加上0，还得原数”。如：7+0=7 0+7=7 0+0=0
2、减法补充定义表明：
（1）“一个数减去0，还得原数”。如5-0=5
（2）“被减数等于减数，差是0”。如：10-10=0 0-0=0
3、乘法的补充定义表明：
“一个数和0相乘，仍得0”。如：0×3=0 3×0=0 0×0=0
4、除法的补充定义表明：
（1）“0除以一个非0的数还得0”。如：0÷5=0 0÷0.1=0
2
（2）“0不能作除数。0作除数，除法无意义”。
其原因是：“n÷0(n≠0)”不可能得到商，因为找不到一个同
“0”相乘得“n”的数；“0÷0”不可能得到一个确定的商，因为
任何数同0相乘都得0.所以，0 不能做除数。
除了上述情况外，“0”还有如下的特殊意义和规定。
1、根据乘法的补充定义可知，0是除0以外所有自然数的倍数。
2、0既不是质数，也不是合数。
3、0没有倒数，也无对数，更无相反数。
4、任何数的“0”次方都是1，0的零次幂无意义。
5、数轴上的0表示分界点，是正负数的“分水岭”，是其它一
切坐标点建立的参照点和依据，是唯一的中性数。
6、0在整数中写在非0数字前面不占位，如“012”，表示两位
数，并不表示三位数。但在小数中，写在非0数字前却表示占位。
如：“0.002”第一个0表示整数部分是0，第二个0表示十分位是
0，第三个0表示百分位是0。
7、在整数中表示数量时，0不能写在“1-9”的数字前面，而
在表示序号时，却能写在“1-9”的数字前面。如：编号“01”。
8、0在整数末尾不能去掉简写，而在小数的末尾就可以简写。
另外，小数末尾的“0”还表示精确度。如：“1.00”表示精确到百
分位。
9、在分数中0不能做分母；在比中不能作比的后项。
在比中“3：0”无意义，但是在记分牌上的“3：0”虽然不表
3
示比，而却有意义，表示一方是3分，另一方是0分，双方相差3
分。另外，在时间的记写上“3：00”又表示3点整。
10、在表示温度时，“0C”中的0并不表示没有温度，“0C”
表示一个确定的温度，是水的结冰点。
……
综合以上情况，可以说0是一个具有特殊身份，能够充当多重
角色的数。
最后，从0的争议上再说说0。
争议一，0是不是最小的自然数？
在原来的小学教材和中学教材中都规定0不是自然数，0小于
一切自然数，而把0划归到扩大自然数中。原因是0与自然数所表
示的实物无法形成一一对应关系，不能物化，不表示实际存在的
“物”。另外，自然数都是由若干个“1”组成的，自然数的单位是
“1”，“1+1=2，2+1=3…”，但“0+0=0”，不论有多少个0相加也找
不到除0以外的任何自然数来，所以，旧教材中规定0不是自然数，
而是扩大自然数。
在新的九年义务教材和实验教材中却明确规定0是自然数。其
理由是：0虽然不能与实物形成一一对应关系，不能物化，但生活
中确实存在着什么也没有的事实，这一事实用数字表示，就要用0
来记写，0表示没有，于是0就与“什么也没有”这一生活现象建
立对应关系。“没有物”这是自然存在的事实，0能表示这一事实，
所以，就把0划归到自然数中，并明确规定0是自然数。这也就得
4
00
出了虽然自然数的单位是1，但最小的自然数是0的结论。0已被
归结到自然数中，这已是不争的事实，从0的意义上讲，也理应划
归到自然数中，所以，0是最小的自然数。
争议二，0是不是最小的一位数？
要说清这个问题，那就要弄明白0是不是一位数。
数位是数量的载体，用来承载有“量”的数，拥有数位首先必
须是有“量”的客观存在，存在即“有”，是可物化的，而0无法
与具体的物建立对应关系，不能物化而有“量”，因此说：“0只是
一个纯粹的概念而已，有数无量，不具有客观存在”。所以，就单
独的0而言，不含有数位，他就不是一位数。
在整数中，0只有放在非0数字的右边才占数位。放在左边并
不占位。这也就是说只有将0放在“1-9”这些有实际意义的数字
之后才占位，虽然0是整数，但他不具有实际意义的占位作用，不
具有占位作用，就不能占位。不能占位就无位数可言，那他就不是
一位数。
如果说单独的0能占位，是一位数的话，那么，就可以依次类
推出“00”是两位数，且是最小的两位数，但最小的两位数是10；
“000”是三位数，且是最小的三位数，但最小的三位数是100；等
矛盾问题。我们还知道一个最大的两位数加上一个最小的一位数得
到一个最小的三位数；一个最大的三位数加上一个最小的一位数得
到一个最小的四位数，……。如果说0是最小的一位数，这些规律
便不存在，所以，0不是一位数。
5
既然0不是一位数，那怎么会有最小的一位数是0之说呢？因
此，最小的一位数应该是1。
争议三，0是不是偶数？
对于这一问题在小学范围内一般不研究0的奇偶性，但是“0
能被2整除，0是2的倍数”，根据这一情况和偶数的定义，可以推
判出0是偶数。在新编实验教材中，明确规定0是偶数。在中学课
本和一些资料书中都把0看作偶数。
我们知道任意两个奇数相加其和都是偶数，但是，在自然数中
就无法找到两个奇数之和是0的奇数。再说最小的奇数是“1”，
“1+1=2”，那无疑最小的偶数应该是2，而不是0。从研究奇偶性
的初衷来说，奇数和偶数就等同于生活中常说的单数和双数，是以
研究个体能否完全配对为出发点而言的。0不可物化，表示没有，
没有就不存在个体，无个体，怎么配对呢？不能配对，从何谈奇偶
性呢？所以说，0无奇偶性可言。
以上是从数的产生，0的数学引入，0的特殊性以及有关0的
争议几个方面浅谈了一些0的知识。总之，0表示一个物体也没有，
还具有起点和开始的含义。另外，0在特定条件下，又有其特定的
含义，是一个具有特殊身份，能够充当多重角色，有数无量，不具
有客观存在，不能物化，具有一定抽象性的纯概念下的特殊的整数。
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2024年8月2日发(作者：泉朝)
“0”是什么？
甘肃省合作市藏族小学 甘肃 合作 747000 徐 忠
[关键词]数字的产生 0在数学中的引入 0的特殊性 有数无量 不能物化 关于0的争议
对于这个问题都会说：“0”就是数字0，从基数意义上讲“表
示一个物体也没有”；从序数意义上讲，“表示起点和开始”的意思。
但是，“0”并非如此简单，他还有更为丰富的内含和争议。
首先，先简要的回顾一下数字的产生和“0”在数学中的引入。
古人为了记数实物，常采用结绳记数，刻道记数，实物记数
等办法来记数实物的数量，后来就由此而演化出了各种记数的符
号，于是就产生了数字。
如：罗马数字：ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
阿拉伯数字（印度数字）1、2、3、4、5、6、7、8、9
最初的这些数字都是与实物一一对应而产生的，唯独0无法与
实物一一对应，所以，最初在各种数字中都没有0，后来随着计量、
测量，计算的需要，在中世纪产生并引入了数字0.
数学中0的引入是从自然数，集合中的空集，减法计算这几个
方面引入的。
一个物体也不存在，为了用数表示这一事实，就引入了0，于
是0就与“一个物体也没有”建立了对应关系。
根据自然数的基数理论，自然数是非空有限集合的基数，为了
1
表示集合里一个元素也没有这一特征，把“零”定义为空集集合的
基数，记作“0”.
在减法计算中，当被减数和减数相同时，它们的差就无法用
“1-9”中的数来表示，只好用一个新的数“0”来表示，这样0在
数学中就被引入。
其次，再根据0在不同条件下所扮演的角色来认识其特性。
在小学教学“数的认识”时，虽然0是最小的自然数，但并没
有先教学0，而是先教学数字“1-5”，然后再教学0。原因是从直观
识数的角度上讲，0不能和实物一一对应，刚入学的儿童从直观识
数上就很难理解0所表示的意义，只有在教学了和实物一一对应的
自然数后，再教学0时，儿童才便于理解抽象概念下的0。教材的
这一编排体现了0的特殊性，他不同于一般的自然数。
为此，对0在加法、减法、乘法、除法中都有一个补充定义。
1、加法补充定义表明：
“一个数加上0，还得原数”。如：7+0=7 0+7=7 0+0=0
2、减法补充定义表明：
（1）“一个数减去0，还得原数”。如5-0=5
（2）“被减数等于减数，差是0”。如：10-10=0 0-0=0
3、乘法的补充定义表明：
“一个数和0相乘，仍得0”。如：0×3=0 3×0=0 0×0=0
4、除法的补充定义表明：
（1）“0除以一个非0的数还得0”。如：0÷5=0 0÷0.1=0
2
（2）“0不能作除数。0作除数，除法无意义”。
其原因是：“n÷0(n≠0)”不可能得到商，因为找不到一个同
“0”相乘得“n”的数；“0÷0”不可能得到一个确定的商，因为
任何数同0相乘都得0.所以，0 不能做除数。
除了上述情况外，“0”还有如下的特殊意义和规定。
1、根据乘法的补充定义可知，0是除0以外所有自然数的倍数。
2、0既不是质数，也不是合数。
3、0没有倒数，也无对数，更无相反数。
4、任何数的“0”次方都是1，0的零次幂无意义。
5、数轴上的0表示分界点，是正负数的“分水岭”，是其它一
切坐标点建立的参照点和依据，是唯一的中性数。
6、0在整数中写在非0数字前面不占位，如“012”，表示两位
数，并不表示三位数。但在小数中，写在非0数字前却表示占位。
如：“0.002”第一个0表示整数部分是0，第二个0表示十分位是
0，第三个0表示百分位是0。
7、在整数中表示数量时，0不能写在“1-9”的数字前面，而
在表示序号时，却能写在“1-9”的数字前面。如：编号“01”。
8、0在整数末尾不能去掉简写，而在小数的末尾就可以简写。
另外，小数末尾的“0”还表示精确度。如：“1.00”表示精确到百
分位。
9、在分数中0不能做分母；在比中不能作比的后项。
在比中“3：0”无意义，但是在记分牌上的“3：0”虽然不表
3
示比，而却有意义，表示一方是3分，另一方是0分，双方相差3
分。另外，在时间的记写上“3：00”又表示3点整。
10、在表示温度时，“0C”中的0并不表示没有温度，“0C”
表示一个确定的温度，是水的结冰点。
……
综合以上情况，可以说0是一个具有特殊身份，能够充当多重
角色的数。
最后，从0的争议上再说说0。
争议一，0是不是最小的自然数？
在原来的小学教材和中学教材中都规定0不是自然数，0小于
一切自然数，而把0划归到扩大自然数中。原因是0与自然数所表
示的实物无法形成一一对应关系，不能物化，不表示实际存在的
“物”。另外，自然数都是由若干个“1”组成的，自然数的单位是
“1”，“1+1=2，2+1=3…”，但“0+0=0”，不论有多少个0相加也找
不到除0以外的任何自然数来，所以，旧教材中规定0不是自然数，
而是扩大自然数。
在新的九年义务教材和实验教材中却明确规定0是自然数。其
理由是：0虽然不能与实物形成一一对应关系，不能物化，但生活
中确实存在着什么也没有的事实，这一事实用数字表示，就要用0
来记写，0表示没有，于是0就与“什么也没有”这一生活现象建
立对应关系。“没有物”这是自然存在的事实，0能表示这一事实，
所以，就把0划归到自然数中，并明确规定0是自然数。这也就得
4
00
出了虽然自然数的单位是1，但最小的自然数是0的结论。0已被
归结到自然数中，这已是不争的事实，从0的意义上讲，也理应划
归到自然数中，所以，0是最小的自然数。
争议二，0是不是最小的一位数？
要说清这个问题，那就要弄明白0是不是一位数。
数位是数量的载体，用来承载有“量”的数，拥有数位首先必
须是有“量”的客观存在，存在即“有”，是可物化的，而0无法
与具体的物建立对应关系，不能物化而有“量”，因此说：“0只是
一个纯粹的概念而已，有数无量，不具有客观存在”。所以，就单
独的0而言，不含有数位，他就不是一位数。
在整数中，0只有放在非0数字的右边才占数位。放在左边并
不占位。这也就是说只有将0放在“1-9”这些有实际意义的数字
之后才占位，虽然0是整数，但他不具有实际意义的占位作用，不
具有占位作用，就不能占位。不能占位就无位数可言，那他就不是
一位数。
如果说单独的0能占位，是一位数的话，那么，就可以依次类
推出“00”是两位数，且是最小的两位数，但最小的两位数是10；
“000”是三位数，且是最小的三位数，但最小的三位数是100；等
矛盾问题。我们还知道一个最大的两位数加上一个最小的一位数得
到一个最小的三位数；一个最大的三位数加上一个最小的一位数得
到一个最小的四位数，……。如果说0是最小的一位数，这些规律
便不存在，所以，0不是一位数。
5
既然0不是一位数，那怎么会有最小的一位数是0之说呢？因
此，最小的一位数应该是1。
争议三，0是不是偶数？
对于这一问题在小学范围内一般不研究0的奇偶性，但是“0
能被2整除，0是2的倍数”，根据这一情况和偶数的定义，可以推
判出0是偶数。在新编实验教材中，明确规定0是偶数。在中学课
本和一些资料书中都把0看作偶数。
我们知道任意两个奇数相加其和都是偶数，但是，在自然数中
就无法找到两个奇数之和是0的奇数。再说最小的奇数是“1”，
“1+1=2”，那无疑最小的偶数应该是2，而不是0。从研究奇偶性
的初衷来说，奇数和偶数就等同于生活中常说的单数和双数，是以
研究个体能否完全配对为出发点而言的。0不可物化，表示没有，
没有就不存在个体，无个体，怎么配对呢？不能配对，从何谈奇偶
性呢？所以说，0无奇偶性可言。
以上是从数的产生，0的数学引入，0的特殊性以及有关0的
争议几个方面浅谈了一些0的知识。总之，0表示一个物体也没有，
还具有起点和开始的含义。另外，0在特定条件下，又有其特定的
含义，是一个具有特殊身份，能够充当多重角色，有数无量，不具
有客观存在，不能物化，具有一定抽象性的纯概念下的特殊的整数。
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