2024年10月5日发(作者：宓访冬)

近代微波技术课程报告

姓 名 王翩

学 号 M*********

院 系 电子信息工程

专 业 电磁场与微波技术

类 别 硕士

指导老师 马洪

考试日期2011年7月8日

微带线低通滤波器设计

设计参数要求

设计特征阻抗为

50

的低通滤波器，其截止频率为f

1

=2.5GHz(3dB衰减)，在f

2

=5GHz

处要求衰减大于30dB，要求有详细设计步骤，并且用分布参数元件实现。

滤波器选型

选择巴特沃兹型滤波器，其衰减特性表示为

A(f)10lg[1



2

(f/f

1

)

2n

]

其中n为滤波器阶数，这里取



1

。

A(f

2

)30

代入上式解的

n

4.98，取n=5，即选取5阶巴特沃兹滤波器。5阶归一化

巴特沃兹低通滤波器（截止频率

1/(2



)

Hz，特征阻抗

1

）有如下两种实现方式。第一种

是第一个元件是串联电感，第二种是第一个元件是并联电容，以下简称电感型和电容型。

图1 第一个元件是串联电感的5阶归一化巴特沃兹LPF

图2 第一个元件是并联电容的5阶归一化巴特沃兹LPF

使用集总参数实现巴特沃兹型LPF

设待求滤波器截止频率(

f

1

)与基准滤波器截止频率(

f

0

)的比值为M，则有

M

f

1

2.5GHz

1.5710

10

f

0

1/(2



)Hz

设计截止频率为

f

1

的滤波器，要经过频率变换，将基准滤波器中各元件值除以M。

滤波器特征阻抗变换是通过先求出带设计滤波器阻抗与基准滤波器特征阻抗的比值K，

再用K去乘基准滤波器中的所有电感元件值和用这个K去除基准滤波器中所有电容元件值来

实现的。公式如下：

K

待设计滤波器的特征阻抗50

50

基准滤波器的特征阻抗1

通过上述两步变换可以得到实际的元件值计算公式：

L

NEW

L

OLD

K/M

C

NEW

C

OLD

/(KM)

下面以以上公式推导出待求滤波器各元件取值。

表一：电感型滤波器各元件值

基准滤波器

待求滤波器

H1

0.61803H

C1

1.61803F

H2

2H

C2

1.61803F

H3

0.61803H

1.96723nH 2.06013pF 6.36618nH 2.06013pF 1.96723nH

表二：电容型滤波器各元件值

基准滤波器

待求滤波器

C1

0.61803F

0.78690 pF

H1

1.61803H

5.15035nH

C2

2F

2.54648 pF

H2

1.61803H

5.15035nH

C3

0.61803F

0.78690 pF

图3 电感型5阶巴特沃兹LPF

10

0

-10

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

m1m2

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-30.107

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

-50

-60

-70

freq, GHz

图4(a) 电感型衰减特性曲线

0

X: 2.5

Y: -3.01

-10

-20

X: 5

Y: -30.11

幅

值

(

d

B

)

-30

-40

-50

-60

-70

0123456

频率(GHz)

78910

图4(b) Matlab编程得到的衰减特性

0

-100

-200

p

h

-300

-400

-500

freq, GHz

图4(c) ADS仿真相频特性

0

-50

-100

-150

相

位

(

度

)

-200

-250

-300

-350

-400

-450

0123456

频率(GHz)

78910

图4(d) Matlab得到的相频特性

图5 电容型5阶巴特沃兹LPF

0

-10

-20

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

m1m2

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-30.107

-30

-40

-50

-60

-70

012345

freq, GHz

678910

图6(a) 电容型衰减特性曲线

0

X: 2.5

Y: -3.01

-10

-20

X: 5

Y: -30.11

幅

值

(

d

B

)

-30

-40

-50

-60

-70

0123456

频率(GHz)

78910

图6(b) Matlab编程得到的衰减特性曲线

0

-100

-200

p

h

-300

-400

-500

freq, GHz

图6(c) ADS仿真电容型LPF相频特性

0

-50

-100

-150

相

位

(

度

)

-200

-250

-300

-350

-400

-450

0123456

频率(GHz)

78910

图6(d) Matlab得到的电容型LPF相频特性

通过图4和图6使用ADS软件和Matlab仿真结果可以看出，在2.5GHz处衰减为3dB，

在5GHz处衰减大于30dB，而且通过相频特性曲线可以看出两种LPF都具有很好的线性相频

特性曲线。因此设计的两种五阶巴特沃兹LPF都可以很好的满足设计要求。

将集总参数元件转换为分布参数元件

集总元件如电感和电容等，只是对有限的数值范围有效，在微波频率实现很困难，而且

必须用分布元件来近似，在微波频率，元件之间的距离是不能忽略的。这里需要采用Richards

变换，将集总元件变换到传输线；同时采用Kuroda恒等式，以利用传输线段来分隔滤波器

元件。由于这些附加的传输线段并不影响滤波器响应，这种类似的设计称之为冗余滤波器综

合。设计滤波器时可吸收这些线段的优点，以便改善滤波器的响应。

1. Richards变换

如果一个传输线在相反端短路而且电长度为



/4

时，那么输入的正弦信号将会被反射

回输入端，而且与输入信号正好同相，阻止了任何的电流的流动。这与并联谐振电路在谐振

时具有无限阻抗相似。

如果一个传输线在相反端开路而且电长度为



/4

时，那么输入的正弦信号将会被反射

回输入端，而且与输入信号正好反向，这抵消了信号。因而在这个频率上出现一个衰减极点，

这与和信号源并联的串联谐振电路在谐振时的情况类似。

低于谐振频率时，并联谐振电路呈感性，而串联谐振电路呈容性。于是传输线能被用来

实现微波滤波器中的电感和电容，其中假设波长小于



/4

。滤波器的截止频率

f

1

一般选为



/8

，于是衰减极点发生在2

f

1

处(



/4

)。开路和短路传输线“短截线”的行为在图中给

出。



/4

谐振处





/4



/4

谐振处





/4

图7 短路和开路传输线短截线的等效电路

Richards变换使得将集总元件的滤波器转换为用印制电路板走线作为传输线的分布参

数滤波器成为可能。

对于短路的传输线短截线可以和电感等效，由Richards变换可以得到

j



LjZ

0

tan(



f

2f

Q

)

2f

1

的频率范围上与阻抗为

Z

0

的上式意味着一个特征阻抗为

Z

0

的短路传输线在

f

电感等效。这里

f

Q

对应



/4

的频率。对于

ff

Q

，

j



L

的值为无穷大。这里，频率平面

Sj



被映射成一个以

f

Q

为界的新的压缩频率平面，

f

Q

对应原始频率平面上的





。

对于一个短路线：在

0ff

Q

的频域内

LZ

0

。

同样，可以得到电容和开路短截线之间的变换式：

j



CjY

0

tan(



f

2f

Q

)

对于开路线：在

0ff

Q

的频域内

CY

0

1/Z

0

。

将表一、表二中基准滤波器各电容、电感用上述方法替换再乘以特征阻抗50



即可得

到各传输线特征阻抗，如下表所示：

表三：电感型LPF转换为传输线

实际阻抗

TL1

30.9015

TL2

30.90178

TL3

2

100

TL4

1/1.61803

30.90178

TL5

0.61803

30.9015

归一化阻抗

0.61803 1/1.61803

表四：电容型LPF转换为传输线

TL1 TL2

1.61803

80.9015

TL3

1/2

25

TL4

1.61803

80.9015

TL5

1/0.61803

80.90222

归一化阻抗

1/0.61803

实际阻抗

80.90222

图8 电感型LPF传输线电路

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-3.010

0

-100

-200

-300

-400

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-500

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

0246810

freq, GHz

图9(a) 电感型LPF转换为传输线后衰减幅频特性

0

-200

p

h

-400

-600

-800

0246810

freq, GHz

图9(b) 电感型LPF转换为传输线后衰减相频特性

图10 电容型LPF传输线电路

m1

0

-100

-200

-300

-400

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-500

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

freq, GHz

图11(a) 电容型LPF转换为传输线后衰减幅频特性

0

-100

-200

-300

p

h

-400

-500

-600

-700

-800

0246810

freq, GHz

图11(b) 电容型LPF转换为传输线后衰减相频特性

按照表三、表四中换算的传输线阻抗画成电路如图8和图10所示，所有传输线电长度

均为



/8

，即45度。图9(a)、(b)分别是经过Richards变换后，使用ADS软件仿真得到的电

感型LPF的衰减幅频特性曲线和相频特性曲线；图11(a)、(b)分别是电容型LPF经过Richards

变换后仿真的衰减幅频特性曲线和相频特性特性曲线。

可以看出，经过Richards变换，在≤5GHz的频率范围内，并没有改变LPF的衰减幅频特

性和相频特性，同时可以看出，经过Richards变换，滤波器的衰减幅频曲线变为周期性的，

且以4f

1

为周期，即10GHz一个周期，这是由于Richards变换将原来的0−

∞

频率范围变成

了0—4f

1

，这使得LPF转变为窄带滤波器，但在一定的频率范围内，并不影响滤波器的性能。

2. Kuroda恒等式变换

使用Richards变换后得到的滤波器实现方式需要使用远端短路的串联短截线。如果不用

同轴传输线这类辅助手段，要在印制电路板上实现这些短路短截线是极其困难的。

Kuroda恒等式允许将串联短截线变换为并联短截线，反之亦然。这是一个精确的变换，

而不是一个逼近。这个变换需要引入一个被称为“单位元件(UE)”的构建模块。UE是一段

在f

1

处长度为



/8

，归一化特征阻抗为1



的传输线。

图12(a)和(b)演示了如何应用Kuroda恒等式完成串联短截线和并联短截线的互换。

Z

1

Z

C

Z

0

Z

1

Z

0

2

Z

E

Z

0



Z

1

Z

0

Z

c

Z

E

图12(a) 串联短截线到并联短截线

Z

0

Z

0

Z

1

Z

0

Z

1

Z

0

2

Z

E



Z

0

Z

1

Z

C



Z

c

Z

E

Z

1

图12(b) 并联短截线到串联短截线

经过多次Kuroda变换，可以将所有短路线转换为开路线，电感型LPF和电容型LPF各

元件特征阻抗值分别如表五、表六所示，单位为



。

表五：

元件编号

TL1 TL2 TL3 TL4 TL5 TL6 TL7 TL8 TL9

特征阻抗

230.90223 63.81962 58.54120 94.72117 27.36072 122.36071 30.90178 80.90150 130.90223

表六：

元件编号

特征阻抗

TL1

180.90223

TL2

69.09822

TL3

42.70527

TL4

111.80328

TL5

25

TL6 TL7 TL8

69.09822

TL9

180.90223 111.80328 42.70527

图13电感型LPF经过Kuroda变换后的电路

m1

freq=

m1

dB(S(2,1))=-3.010

2.500GHz

0

-100

-200

-300

-400

)

)

1

-500

,

2

(

S

(

B

d

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

0246810

freq, GHz

图14(a) ADS仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

X: 2.5

-200

Y: -3.01

-400

-600

)

-800

(

d

B

值

幅

-1000

-1200

-1400

X: 5

-1600

Y: -1621

-1800

频率(GHz)

图14(b) Matlab仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-300

-600

p

h

-900

-1200

-1500

0246810

freq, GHz

图14(c) ADS仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

0

-500

相

位

(

度

)

-1000

-1500

0123456

频率(GHz)

78910

图14(d) Matlab仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

图15 电容型LPF经过Kuroda变换后的电路

0

m1

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

0

freq, GHz

图16(a) ADS仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-200

-400

-600

幅

值

(

d

B

)

X: 2.5

Y: -3.01

-800

-1000

-1200

-1400

-1600

-1800

X: 5

Y: -1621

0123456

频率(GHz)

78910

图16(b) Matlab仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-300

-600

p

h

-900

-1200

-1500

0246810

freq, GHz

图16(c) ADS仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

0

-500

相

位

(

度

)

-1000

-1500

0246

频率(GHz)

810

图16(d) Matlab仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

图13和图15分别是电感型LPF和电容型LPF的电路实现，其各元件值如表五、表六所

示。可以看出，经过Kuroda变换后，只有并联的开路传输线和串联单元，不再有串联的短

路传输线。

图14和图16分别是使用ADS和Matlab仿真两种电路的衰减幅频特性和相频特性，可

以看出，Kuroda变换前后，并没有改变衰减的幅频特性，只是由于增加了单位元件，增加

了相位衰减，使得相频特性衰减更大，但这并不会影响滤波器的性能，可见Richards变换和

Kuroda变换能够精确的将集中参数的电容、电感元件转换为响应的分布参数的传输线，而

不影响滤波器的衰减特性。

使用微带线实现低通滤波器

前面讨论的低通滤波器在高达几百MHz的频率上都可以很好的工作。但频率更高时，

元件将显著偏离理想值，寄生开始起支配作用，而且元件值变得没有意义，电容会变成电感，

反之亦然。元件间的距离变得很重要，印制电路板上的走线将引入不希望的电容和电感。本

文使用印制电路板走线来产生传输线，控制它们的特性，然后将这些传输线配置成滤波器结

构。显然这样产生的滤波器是基于分布参数的，而不是基于集总电感器和电容器。图17是

微带线的结构，下面将传输线的特征阻抗转换为微带线的尺寸。

走线

介质基板

接地面

图17 微带线结构

表七、表八为微带线的尺寸，微带线尺寸是在介质基板相对介电常数为4.2，厚度为

1.5mm，微带线铜箔厚度为0.02mm的条件下通过阻抗变换得到的。

表七：电感型LPF微带线尺寸

1 2 3 4 5 6 7 8 9

W(mm) 0.0069 1.9041 2.2382 0.7791 7.1625 0.3542 6.0744 1.1548 0.2763

L(mm) 9.4762 8.5001 8.4423 8.7649 7.9798 8.9271 8.0457 8.6624 8.9714

表八：电容型LPF微带线尺寸

1 2 3 4 5 6 7 8 9

W(mm) 0.0571 1.6267 3.7931 0.4795 8.0662 0.4795 3.7931 1.6267 0.0571

L(mm)

9.2229 8.5554 8.2368 8.8695 7.9331 8.8695 8.2368 8.5554 9.2229

图18 电感型LPF转换为微带线尺寸后电路

m1

0

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.161

-50

-100

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-150

-200

-250

-300

freq, GHz

图19 电感型转换为微带线后仿真衰减幅频曲线

图20电容型LPF转换为微带线尺寸后电路

m1

0

-20

-40

-60

-80

-100

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.148

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-120

-140

-160

-180

-200

-220

-240

-260

freq, GHz

图21电容型转换为微带线后仿真衰减幅频曲线

图19和图21是换算成具体尺寸的微带线后，ADS仿真的结果，可以看出，微带线满足

滤波器设计要求，在2.5GHz处衰减3dB左右，而在5GHz处的衰减达到了250dB，比集总参

数元件组成的滤波器要衰减的严重的多。

图22 电感型微带线版图

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-0.146

0

-10

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

m2

-50

0123456

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-48.178

Min

78910

freq, GHz

图23 ADS版图仿真

图24 电容型微带线版图

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-0.287

0

-10

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-45.519

m2

Min

-50

0246810

freq, GHz

图25 版图仿真

图22和24是电感型LPF和电容型LPF转换成微带线后的版图。图23和图25是其仿真

结果，可以看出生成的版图在一定频带范围内可以满足低通滤波的要求，滤波器在使用微带

线实现后变成了窄带滤波器。

参考文献

[1]马洪.近代微波技术讲义.

[2]闫润卿，李英惠.微波技术基础(第3版).北京理工大学出版社，2004

[3]Arthur等著，宁彦卿，姚金科译.电子滤波器设计.科学出版社，2008

[4]甘本祓，吴万春.现代微波滤波器的结构与设计.科学出版社，1973

[5]森荣二著，薛培鼎译.LC滤波器设计与制作.科学出版社，2006

[6]梁联倬.微波网络及其应用.电子工业出版社，1985

[7]周学军，董军堂等. 微波低通滤波器的分析与设计. Vol.43,No.03,2010

[8]杨金伟.基于Richards变换与Kuroda规则的射频滤波器设计. Vol.28,No.03,Jun,2010

[9]王汉江，吴姣等. 基于Richards变换与Kuroda规则的微带低通滤波器的设计仿真.

Vol.32 No.04,Dec,2010

附件：

代码1

%巴特沃思低通滤波器集总参数电路实现--电感型

clc;

clear;

%电路参数

c1=2.06013e-12;

c2=2.06013e-12;

L1=1.96723e-9;

L2=6.36618e-9;

L3=1.96723E-9;

z0=50;

%ABCD矩阵

syms w;

a1=[1,0;j*w*c1,1];

a2=[1,0;j*w*c2,1];

b1=[1,j*w*L1;0,1];

b2=[1,j*w*L2;0,1];

b3=[1,j*w*L3;0,1];

%级联矩阵

A=b1*a1*b2*a2*b3;

%S参数

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

f=(0:0.01:10)*1e+9;

S21=subs(S21,w,2*pi*f);

figure(1);

plot(f*1e-9,20*log10(abs(S21)));grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(f*1E-9,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码2

%电感型LPF转换为传输线后衰减特性曲线

clc;

clear;

close all;

%参数

N=5;%阶数

z0=50;%输入输出特性阻抗

z1=230.90223;

zue1=63.81962;

z2=58.5412;

zue2=94.72117;

z3=27.36072;

zue3=122.36071;

z4=30.90178;

zue4=80.9015;

z5=130.90223;

%-----------------------------

syms f;

f0=2.5;%截止频率，单位GHz

theta=pi*f/(4*f0);

TH=tan(theta);

%ABCD矩阵

a1=[1,0;j*TH/(z1),1];

a2=[1,0;j*TH/(z2),1];

a3=[1,0;j*TH/(z3),1];

a4=[1,0;j*TH/(z4),1];

a5=[1,0;j*TH/(z5),1];

b1=[cos(theta),j*zue1*sin(theta);j*sin(theta)/(zue1),cos(theta)];

b2=[cos(theta),j*zue2*sin(theta);j*sin(theta)/(zue2),cos(theta)];

b3=[cos(theta),j*zue3*sin(theta);j*sin(theta)/(zue3),cos(theta)];

b4=[cos(theta),j*zue4*sin(theta);j*sin(theta)/(zue4),cos(theta)];

A=a1*b1*a2*b2*a3*b3*a4*b4*a5;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

% S21=2/(A(1,1)+A(1,2)+A(2,1)+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

w=(0:0.01:10);

S21=subs(S21,f,w);

figure(1);

plot(w,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(w,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码3

%巴特沃思低通滤波器集总参数电路实现--电容型

clc;

clear;

%电路参数--------------------------

c1=0.7869e-12;

c2=2.54648e-12;

c3=0.7869e-12;

L1=5.15035e-9;

L2=5.15035e-9;

z0=50;

%ABCD矩阵

syms w;

a1=[1,0;j*w*c1,1];

a2=[1,0;j*w*c2,1];

a3=[1,0;j*w*c3,1];

b1=[1,j*w*L1;0,1];

b2=[1,j*w*L2;0,1];

A=a1*b1*a2*b2*a3;;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

f=(0:0.01:10)*1e+9;

S21=subs(S21,w,2*pi*f);

figure(1);

plot(f*1e-9,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(f*1E-9,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码4

%电容型LPF转换为传输线后衰减特性曲线

clc;

clear;

close all;

%参数

N=5;%阶数

z0=50;%输入输出特性阻抗

z1=180.90223;

zue1=69.09822;

z2=42.70527;

zue2=111.80328;

z3=25;

zue3=111.80328;

z4=42.70527;

zue4=69.09822;

z5=180.90223;

%-----------------------------

syms f;

f0=2.5;%截止频率，单位GHz

theta=pi*f/(4*f0);

TH=tan(theta);

%ABCD矩阵

a1=[1,0;j*TH/(z1),1];

a2=[1,0;j*TH/(z2),1];

a3=[1,0;j*TH/(z3),1];

a4=[1,0;j*TH/(z4),1];

a5=[1,0;j*TH/(z5),1];

b1=[cos(theta),j*zue1*sin(theta);j*sin(theta)/(zue1),cos(theta)];

b2=[cos(theta),j*zue2*sin(theta);j*sin(theta)/(zue2),cos(theta)];

b3=[cos(theta),j*zue3*sin(theta);j*sin(theta)/(zue3),cos(theta)];

b4=[cos(theta),j*zue4*sin(theta);j*sin(theta)/(zue4),cos(theta)];

A=a1*b1*a2*b2*a3*b3*a4*b4*a5;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

% S21=2/(A(1,1)+A(1,2)+A(2,1)+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

w=(0:0.01:10);

S21=subs(S21,f,w);

figure(1);

plot(w,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

ylim([-1800,0])

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(w,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

2024年10月5日发(作者：宓访冬)

近代微波技术课程报告

姓 名 王翩

学 号 M*********

院 系 电子信息工程

专 业 电磁场与微波技术

类 别 硕士

指导老师 马洪

考试日期2011年7月8日

微带线低通滤波器设计

设计参数要求

设计特征阻抗为

50

的低通滤波器，其截止频率为f

1

=2.5GHz(3dB衰减)，在f

2

=5GHz

处要求衰减大于30dB，要求有详细设计步骤，并且用分布参数元件实现。

滤波器选型

选择巴特沃兹型滤波器，其衰减特性表示为

A(f)10lg[1



2

(f/f

1

)

2n

]

其中n为滤波器阶数，这里取



1

。

A(f

2

)30

代入上式解的

n

4.98，取n=5，即选取5阶巴特沃兹滤波器。5阶归一化

巴特沃兹低通滤波器（截止频率

1/(2



)

Hz，特征阻抗

1

）有如下两种实现方式。第一种

是第一个元件是串联电感，第二种是第一个元件是并联电容，以下简称电感型和电容型。

图1 第一个元件是串联电感的5阶归一化巴特沃兹LPF

图2 第一个元件是并联电容的5阶归一化巴特沃兹LPF

使用集总参数实现巴特沃兹型LPF

设待求滤波器截止频率(

f

1

)与基准滤波器截止频率(

f

0

)的比值为M，则有

M

f

1

2.5GHz

1.5710

10

f

0

1/(2



)Hz

设计截止频率为

f

1

的滤波器，要经过频率变换，将基准滤波器中各元件值除以M。

滤波器特征阻抗变换是通过先求出带设计滤波器阻抗与基准滤波器特征阻抗的比值K，

再用K去乘基准滤波器中的所有电感元件值和用这个K去除基准滤波器中所有电容元件值来

实现的。公式如下：

K

待设计滤波器的特征阻抗50

50

基准滤波器的特征阻抗1

通过上述两步变换可以得到实际的元件值计算公式：

L

NEW

L

OLD

K/M

C

NEW

C

OLD

/(KM)

下面以以上公式推导出待求滤波器各元件取值。

表一：电感型滤波器各元件值

基准滤波器

待求滤波器

H1

0.61803H

C1

1.61803F

H2

2H

C2

1.61803F

H3

0.61803H

1.96723nH 2.06013pF 6.36618nH 2.06013pF 1.96723nH

表二：电容型滤波器各元件值

基准滤波器

待求滤波器

C1

0.61803F

0.78690 pF

H1

1.61803H

5.15035nH

C2

2F

2.54648 pF

H2

1.61803H

5.15035nH

C3

0.61803F

0.78690 pF

图3 电感型5阶巴特沃兹LPF

10

0

-10

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

m1m2

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-30.107

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

-50

-60

-70

freq, GHz

图4(a) 电感型衰减特性曲线

0

X: 2.5

Y: -3.01

-10

-20

X: 5

Y: -30.11

幅

值

(

d

B

)

-30

-40

-50

-60

-70

0123456

频率(GHz)

78910

图4(b) Matlab编程得到的衰减特性

0

-100

-200

p

h

-300

-400

-500

freq, GHz

图4(c) ADS仿真相频特性

0

-50

-100

-150

相

位

(

度

)

-200

-250

-300

-350

-400

-450

0123456

频率(GHz)

78910

图4(d) Matlab得到的相频特性

图5 电容型5阶巴特沃兹LPF

0

-10

-20

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

m1m2

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-30.107

-30

-40

-50

-60

-70

012345

freq, GHz

678910

图6(a) 电容型衰减特性曲线

0

X: 2.5

Y: -3.01

-10

-20

X: 5

Y: -30.11

幅

值

(

d

B

)

-30

-40

-50

-60

-70

0123456

频率(GHz)

78910

图6(b) Matlab编程得到的衰减特性曲线

0

-100

-200

p

h

-300

-400

-500

freq, GHz

图6(c) ADS仿真电容型LPF相频特性

0

-50

-100

-150

相

位

(

度

)

-200

-250

-300

-350

-400

-450

0123456

频率(GHz)

78910

图6(d) Matlab得到的电容型LPF相频特性

通过图4和图6使用ADS软件和Matlab仿真结果可以看出，在2.5GHz处衰减为3dB，

在5GHz处衰减大于30dB，而且通过相频特性曲线可以看出两种LPF都具有很好的线性相频

特性曲线。因此设计的两种五阶巴特沃兹LPF都可以很好的满足设计要求。

将集总参数元件转换为分布参数元件

集总元件如电感和电容等，只是对有限的数值范围有效，在微波频率实现很困难，而且

必须用分布元件来近似，在微波频率，元件之间的距离是不能忽略的。这里需要采用Richards

变换，将集总元件变换到传输线；同时采用Kuroda恒等式，以利用传输线段来分隔滤波器

元件。由于这些附加的传输线段并不影响滤波器响应，这种类似的设计称之为冗余滤波器综

合。设计滤波器时可吸收这些线段的优点，以便改善滤波器的响应。

1. Richards变换

如果一个传输线在相反端短路而且电长度为



/4

时，那么输入的正弦信号将会被反射

回输入端，而且与输入信号正好同相，阻止了任何的电流的流动。这与并联谐振电路在谐振

时具有无限阻抗相似。

如果一个传输线在相反端开路而且电长度为



/4

时，那么输入的正弦信号将会被反射

回输入端，而且与输入信号正好反向，这抵消了信号。因而在这个频率上出现一个衰减极点，

这与和信号源并联的串联谐振电路在谐振时的情况类似。

低于谐振频率时，并联谐振电路呈感性，而串联谐振电路呈容性。于是传输线能被用来

实现微波滤波器中的电感和电容，其中假设波长小于



/4

。滤波器的截止频率

f

1

一般选为



/8

，于是衰减极点发生在2

f

1

处(



/4

)。开路和短路传输线“短截线”的行为在图中给

出。



/4

谐振处





/4



/4

谐振处





/4

图7 短路和开路传输线短截线的等效电路

Richards变换使得将集总元件的滤波器转换为用印制电路板走线作为传输线的分布参

数滤波器成为可能。

对于短路的传输线短截线可以和电感等效，由Richards变换可以得到

j



LjZ

0

tan(



f

2f

Q

)

2f

1

的频率范围上与阻抗为

Z

0

的上式意味着一个特征阻抗为

Z

0

的短路传输线在

f

电感等效。这里

f

Q

对应



/4

的频率。对于

ff

Q

，

j



L

的值为无穷大。这里，频率平面

Sj



被映射成一个以

f

Q

为界的新的压缩频率平面，

f

Q

对应原始频率平面上的





。

对于一个短路线：在

0ff

Q

的频域内

LZ

0

。

同样，可以得到电容和开路短截线之间的变换式：

j



CjY

0

tan(



f

2f

Q

)

对于开路线：在

0ff

Q

的频域内

CY

0

1/Z

0

。

将表一、表二中基准滤波器各电容、电感用上述方法替换再乘以特征阻抗50



即可得

到各传输线特征阻抗，如下表所示：

表三：电感型LPF转换为传输线

实际阻抗

TL1

30.9015

TL2

30.90178

TL3

2

100

TL4

1/1.61803

30.90178

TL5

0.61803

30.9015

归一化阻抗

0.61803 1/1.61803

表四：电容型LPF转换为传输线

TL1 TL2

1.61803

80.9015

TL3

1/2

25

TL4

1.61803

80.9015

TL5

1/0.61803

80.90222

归一化阻抗

1/0.61803

实际阻抗

80.90222

图8 电感型LPF传输线电路

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-3.010

0

-100

-200

-300

-400

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-500

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

0246810

freq, GHz

图9(a) 电感型LPF转换为传输线后衰减幅频特性

0

-200

p

h

-400

-600

-800

0246810

freq, GHz

图9(b) 电感型LPF转换为传输线后衰减相频特性

图10 电容型LPF传输线电路

m1

0

-100

-200

-300

-400

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-500

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

freq, GHz

图11(a) 电容型LPF转换为传输线后衰减幅频特性

0

-100

-200

-300

p

h

-400

-500

-600

-700

-800

0246810

freq, GHz

图11(b) 电容型LPF转换为传输线后衰减相频特性

按照表三、表四中换算的传输线阻抗画成电路如图8和图10所示，所有传输线电长度

均为



/8

，即45度。图9(a)、(b)分别是经过Richards变换后，使用ADS软件仿真得到的电

感型LPF的衰减幅频特性曲线和相频特性曲线；图11(a)、(b)分别是电容型LPF经过Richards

变换后仿真的衰减幅频特性曲线和相频特性特性曲线。

可以看出，经过Richards变换，在≤5GHz的频率范围内，并没有改变LPF的衰减幅频特

性和相频特性，同时可以看出，经过Richards变换，滤波器的衰减幅频曲线变为周期性的，

且以4f

1

为周期，即10GHz一个周期，这是由于Richards变换将原来的0−

∞

频率范围变成

了0—4f

1

，这使得LPF转变为窄带滤波器，但在一定的频率范围内，并不影响滤波器的性能。

2. Kuroda恒等式变换

使用Richards变换后得到的滤波器实现方式需要使用远端短路的串联短截线。如果不用

同轴传输线这类辅助手段，要在印制电路板上实现这些短路短截线是极其困难的。

Kuroda恒等式允许将串联短截线变换为并联短截线，反之亦然。这是一个精确的变换，

而不是一个逼近。这个变换需要引入一个被称为“单位元件(UE)”的构建模块。UE是一段

在f

1

处长度为



/8

，归一化特征阻抗为1



的传输线。

图12(a)和(b)演示了如何应用Kuroda恒等式完成串联短截线和并联短截线的互换。

Z

1

Z

C

Z

0

Z

1

Z

0

2

Z

E

Z

0



Z

1

Z

0

Z

c

Z

E

图12(a) 串联短截线到并联短截线

Z

0

Z

0

Z

1

Z

0

Z

1

Z

0

2

Z

E



Z

0

Z

1

Z

C



Z

c

Z

E

Z

1

图12(b) 并联短截线到串联短截线

经过多次Kuroda变换，可以将所有短路线转换为开路线，电感型LPF和电容型LPF各

元件特征阻抗值分别如表五、表六所示，单位为



。

表五：

元件编号

TL1 TL2 TL3 TL4 TL5 TL6 TL7 TL8 TL9

特征阻抗

230.90223 63.81962 58.54120 94.72117 27.36072 122.36071 30.90178 80.90150 130.90223

表六：

元件编号

特征阻抗

TL1

180.90223

TL2

69.09822

TL3

42.70527

TL4

111.80328

TL5

25

TL6 TL7 TL8

69.09822

TL9

180.90223 111.80328 42.70527

图13电感型LPF经过Kuroda变换后的电路

m1

freq=

m1

dB(S(2,1))=-3.010

2.500GHz

0

-100

-200

-300

-400

)

)

1

-500

,

2

(

S

(

B

d

-600

-700

-800

-900

-1000

-1100

0246810

freq, GHz

图14(a) ADS仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

X: 2.5

-200

Y: -3.01

-400

-600

)

-800

(

d

B

值

幅

-1000

-1200

-1400

X: 5

-1600

Y: -1621

-1800

频率(GHz)

图14(b) Matlab仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-300

-600

p

h

-900

-1200

-1500

0246810

freq, GHz

图14(c) ADS仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

0

-500

相

位

(

度

)

-1000

-1500

0123456

频率(GHz)

78910

图14(d) Matlab仿真电感型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

图15 电容型LPF经过Kuroda变换后的电路

0

m1

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.010

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

0

freq, GHz

图16(a) ADS仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-200

-400

-600

幅

值

(

d

B

)

X: 2.5

Y: -3.01

-800

-1000

-1200

-1400

-1600

-1800

X: 5

Y: -1621

0123456

频率(GHz)

78910

图16(b) Matlab仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的幅频特性

0

-300

-600

p

h

-900

-1200

-1500

0246810

freq, GHz

图16(c) ADS仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

0

-500

相

位

(

度

)

-1000

-1500

0246

频率(GHz)

810

图16(d) Matlab仿真电容型LPF经过Kuroda变换后的相频特性

图13和图15分别是电感型LPF和电容型LPF的电路实现，其各元件值如表五、表六所

示。可以看出，经过Kuroda变换后，只有并联的开路传输线和串联单元，不再有串联的短

路传输线。

图14和图16分别是使用ADS和Matlab仿真两种电路的衰减幅频特性和相频特性，可

以看出，Kuroda变换前后，并没有改变衰减的幅频特性，只是由于增加了单位元件，增加

了相位衰减，使得相频特性衰减更大，但这并不会影响滤波器的性能，可见Richards变换和

Kuroda变换能够精确的将集中参数的电容、电感元件转换为响应的分布参数的传输线，而

不影响滤波器的衰减特性。

使用微带线实现低通滤波器

前面讨论的低通滤波器在高达几百MHz的频率上都可以很好的工作。但频率更高时，

元件将显著偏离理想值，寄生开始起支配作用，而且元件值变得没有意义，电容会变成电感，

反之亦然。元件间的距离变得很重要，印制电路板上的走线将引入不希望的电容和电感。本

文使用印制电路板走线来产生传输线，控制它们的特性，然后将这些传输线配置成滤波器结

构。显然这样产生的滤波器是基于分布参数的，而不是基于集总电感器和电容器。图17是

微带线的结构，下面将传输线的特征阻抗转换为微带线的尺寸。

走线

介质基板

接地面

图17 微带线结构

表七、表八为微带线的尺寸，微带线尺寸是在介质基板相对介电常数为4.2，厚度为

1.5mm，微带线铜箔厚度为0.02mm的条件下通过阻抗变换得到的。

表七：电感型LPF微带线尺寸

1 2 3 4 5 6 7 8 9

W(mm) 0.0069 1.9041 2.2382 0.7791 7.1625 0.3542 6.0744 1.1548 0.2763

L(mm) 9.4762 8.5001 8.4423 8.7649 7.9798 8.9271 8.0457 8.6624 8.9714

表八：电容型LPF微带线尺寸

1 2 3 4 5 6 7 8 9

W(mm) 0.0571 1.6267 3.7931 0.4795 8.0662 0.4795 3.7931 1.6267 0.0571

L(mm)

9.2229 8.5554 8.2368 8.8695 7.9331 8.8695 8.2368 8.5554 9.2229

图18 电感型LPF转换为微带线尺寸后电路

m1

0

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.161

-50

-100

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-150

-200

-250

-300

freq, GHz

图19 电感型转换为微带线后仿真衰减幅频曲线

图20电容型LPF转换为微带线尺寸后电路

m1

0

-20

-40

-60

-80

-100

m1

freq=2.500GHz

dB(S(2,1))=-3.148

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-120

-140

-160

-180

-200

-220

-240

-260

freq, GHz

图21电容型转换为微带线后仿真衰减幅频曲线

图19和图21是换算成具体尺寸的微带线后，ADS仿真的结果，可以看出，微带线满足

滤波器设计要求，在2.5GHz处衰减3dB左右，而在5GHz处的衰减达到了250dB，比集总参

数元件组成的滤波器要衰减的严重的多。

图22 电感型微带线版图

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-0.146

0

-10

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

m2

-50

0123456

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-48.178

Min

78910

freq, GHz

图23 ADS版图仿真

图24 电容型微带线版图

m1

freq=2.500GHz

m1

dB(S(2,1))=-0.287

0

-10

d

B

(

S

(

2

,

1

)

)

-20

-30

-40

m2

freq=5.000GHz

dB(S(2,1))=-45.519

m2

Min

-50

0246810

freq, GHz

图25 版图仿真

图22和24是电感型LPF和电容型LPF转换成微带线后的版图。图23和图25是其仿真

结果，可以看出生成的版图在一定频带范围内可以满足低通滤波的要求，滤波器在使用微带

线实现后变成了窄带滤波器。

参考文献

[1]马洪.近代微波技术讲义.

[2]闫润卿，李英惠.微波技术基础(第3版).北京理工大学出版社，2004

[3]Arthur等著，宁彦卿，姚金科译.电子滤波器设计.科学出版社，2008

[4]甘本祓，吴万春.现代微波滤波器的结构与设计.科学出版社，1973

[5]森荣二著，薛培鼎译.LC滤波器设计与制作.科学出版社，2006

[6]梁联倬.微波网络及其应用.电子工业出版社，1985

[7]周学军，董军堂等. 微波低通滤波器的分析与设计. Vol.43,No.03,2010

[8]杨金伟.基于Richards变换与Kuroda规则的射频滤波器设计. Vol.28,No.03,Jun,2010

[9]王汉江，吴姣等. 基于Richards变换与Kuroda规则的微带低通滤波器的设计仿真.

Vol.32 No.04,Dec,2010

附件：

代码1

%巴特沃思低通滤波器集总参数电路实现--电感型

clc;

clear;

%电路参数

c1=2.06013e-12;

c2=2.06013e-12;

L1=1.96723e-9;

L2=6.36618e-9;

L3=1.96723E-9;

z0=50;

%ABCD矩阵

syms w;

a1=[1,0;j*w*c1,1];

a2=[1,0;j*w*c2,1];

b1=[1,j*w*L1;0,1];

b2=[1,j*w*L2;0,1];

b3=[1,j*w*L3;0,1];

%级联矩阵

A=b1*a1*b2*a2*b3;

%S参数

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

f=(0:0.01:10)*1e+9;

S21=subs(S21,w,2*pi*f);

figure(1);

plot(f*1e-9,20*log10(abs(S21)));grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(f*1E-9,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码2

%电感型LPF转换为传输线后衰减特性曲线

clc;

clear;

close all;

%参数

N=5;%阶数

z0=50;%输入输出特性阻抗

z1=230.90223;

zue1=63.81962;

z2=58.5412;

zue2=94.72117;

z3=27.36072;

zue3=122.36071;

z4=30.90178;

zue4=80.9015;

z5=130.90223;

%-----------------------------

syms f;

f0=2.5;%截止频率，单位GHz

theta=pi*f/(4*f0);

TH=tan(theta);

%ABCD矩阵

a1=[1,0;j*TH/(z1),1];

a2=[1,0;j*TH/(z2),1];

a3=[1,0;j*TH/(z3),1];

a4=[1,0;j*TH/(z4),1];

a5=[1,0;j*TH/(z5),1];

b1=[cos(theta),j*zue1*sin(theta);j*sin(theta)/(zue1),cos(theta)];

b2=[cos(theta),j*zue2*sin(theta);j*sin(theta)/(zue2),cos(theta)];

b3=[cos(theta),j*zue3*sin(theta);j*sin(theta)/(zue3),cos(theta)];

b4=[cos(theta),j*zue4*sin(theta);j*sin(theta)/(zue4),cos(theta)];

A=a1*b1*a2*b2*a3*b3*a4*b4*a5;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

% S21=2/(A(1,1)+A(1,2)+A(2,1)+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

w=(0:0.01:10);

S21=subs(S21,f,w);

figure(1);

plot(w,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(w,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码3

%巴特沃思低通滤波器集总参数电路实现--电容型

clc;

clear;

%电路参数--------------------------

c1=0.7869e-12;

c2=2.54648e-12;

c3=0.7869e-12;

L1=5.15035e-9;

L2=5.15035e-9;

z0=50;

%ABCD矩阵

syms w;

a1=[1,0;j*w*c1,1];

a2=[1,0;j*w*c2,1];

a3=[1,0;j*w*c3,1];

b1=[1,j*w*L1;0,1];

b2=[1,j*w*L2;0,1];

A=a1*b1*a2*b2*a3;;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

f=(0:0.01:10)*1e+9;

S21=subs(S21,w,2*pi*f);

figure(1);

plot(f*1e-9,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(f*1E-9,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');

代码4

%电容型LPF转换为传输线后衰减特性曲线

clc;

clear;

close all;

%参数

N=5;%阶数

z0=50;%输入输出特性阻抗

z1=180.90223;

zue1=69.09822;

z2=42.70527;

zue2=111.80328;

z3=25;

zue3=111.80328;

z4=42.70527;

zue4=69.09822;

z5=180.90223;

%-----------------------------

syms f;

f0=2.5;%截止频率，单位GHz

theta=pi*f/(4*f0);

TH=tan(theta);

%ABCD矩阵

a1=[1,0;j*TH/(z1),1];

a2=[1,0;j*TH/(z2),1];

a3=[1,0;j*TH/(z3),1];

a4=[1,0;j*TH/(z4),1];

a5=[1,0;j*TH/(z5),1];

b1=[cos(theta),j*zue1*sin(theta);j*sin(theta)/(zue1),cos(theta)];

b2=[cos(theta),j*zue2*sin(theta);j*sin(theta)/(zue2),cos(theta)];

b3=[cos(theta),j*zue3*sin(theta);j*sin(theta)/(zue3),cos(theta)];

b4=[cos(theta),j*zue4*sin(theta);j*sin(theta)/(zue4),cos(theta)];

A=a1*b1*a2*b2*a3*b3*a4*b4*a5;

S21=2/(A(1,1)+A(1,2)/z0+A(2,1)*z0+A(2,2));

% S21=2/(A(1,1)+A(1,2)+A(2,1)+A(2,2));

simplify(S21);

%画图

w=(0:0.01:10);

S21=subs(S21,f,w);

figure(1);

plot(w,20*log10(abs(S21)));grid on;

%axis([0,5,-200,0]);

ylim([-1800,0])

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('幅值(dB)');

figure(2);

plot(w,unwrap(angle(S21))*180/pi);grid on;

xlabel('频率(GHz)');

ylabel('相位(度)');