微积分
定义一个函数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52
它的图像是一个圆
如果我们要求圆上任意一点的斜率，不如（3,4）这一点的斜率
以点（3,4）为起点，运动一小段距离，它的切线的斜率斜率就是图中 d y d x \frac{dy}{dx} \quad dxdy，但是函
数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52不是我们之前学习的 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的函数，不存在输入一个x得到一个y的函数，x和y是同时由一个等式定义，这样的函数我们称它未隐函数，它是一个满足某种关于x，y的所有点（x，y）的集合
、
、
对函数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52的两边同时求导：
得到 2 x d x + 2 y d y = 0 2xdx+2ydy=0 2xdx+2ydy=0 (常数的导数等于0)
变换等式
得到 d y d x = − x y \frac{dy}{dx} \quad=\frac{-x}{y} \quad dxdy=y−x也就是 − 3 4 \frac{-3}{4} \quad 4−3
这个推导的过程就是隐函数求导
上面的变化率的问题，我们换一种解题的思路，将其转化为距离，速度，和时间的关系函数
梯子从顶端以1米/秒的速度下滑
求在开始的时间，梯子底端离开墙角的速度v是多少
由图可知d1和d2正相关
定义两个变量 y ( t ) y(t) y(t)和 x ( t ) x(t) x(t)，因为x和y的变化有时间t决定，两个函数的关系为
x ( t ) 2 + y ( t ) 2 = 5 2 x(t)^2+y(t)^2=5^2 x(t)2+y(t)2=52
运动的时间t决定了x，y的长度的值，由勾股定理可知他们的平方的和等于斜边的平方 5 2 5^2 52
此时对等式左边求导，即在求经过一小段时间dt，y和x的变化率
即求dx，dy
等式右边因为是常数，常数的导数为0（常数不随时间变化，没有导数），所以等式为：
t=0时x，y都是原值，三条边为3,4,5
当梯子开始以1米/秒的速度滑落的时候， d y d t \frac{dy}{dt} \quad dtdy为-1，带入等式，
最后结果
d x d t \frac{dx}{dt} \quad dtdx= 4 3 \frac{4}{3} \quad 34m/s
对比两种算法
区别在于圆的切线中，dx和dy是性对独立的两个变量，并不靠一个共同的变量产生联系，在梯子的下滑中有一个变量时间使dx，dy产生了联系
再次的，我们把 ( x 2 , y 2 ) (x^2,y^2) (x2,y2)看成S，s是一个关于x，y的函数，表示输入x，y两个值，返回平面内的一点（x，y）
当限定这一点等于25时，说明所有这些点的几何是圆的圆周
当它的值大于25，点在圆的外面，值小于25，点在圆内
对S求导，表示当x，y发生微小变化时，导致s的变化，记为ds
表示从（x,y）走到（dx，dy）后， x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2变化了多少
当要求移动的dx，dy都落在圆上是，ds必须是0
s是25，s保持不变，就是说s的变化量ds必须是0
所以严格来说，s的导数是过圆的切线，而不是圆本身，当dx，dy无限趋近与0，也就近似圆
再来看另外一个函数 s i n ( x ) y 2 = x sin(x)y^2=x sin(x)y2=x
代表的是一些点的集合
对等式左边求导，就表示微小变化dx。dy对等式左边的值变化了多少
求导方法：
左乘右导，右乘左导
右边x的导数即为即为dx
等式中间的等号表示当左边的变化量等于右边的变化量时，移动的点才落在曲线上
只有这样 s i n ( x ) y 2 = x sin(x)y^2=x sin(x)y2=x才成立
微积分
定义一个函数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52
它的图像是一个圆
如果我们要求圆上任意一点的斜率，不如（3,4）这一点的斜率
以点（3,4）为起点，运动一小段距离，它的切线的斜率斜率就是图中 d y d x \frac{dy}{dx} \quad dxdy，但是函
数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52不是我们之前学习的 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的函数，不存在输入一个x得到一个y的函数，x和y是同时由一个等式定义，这样的函数我们称它未隐函数，它是一个满足某种关于x，y的所有点（x，y）的集合
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对函数 x 2 + y 2 = 5 2 x^2+y^2=5^2 x2+y2=52的两边同时求导：
得到 2 x d x + 2 y d y = 0 2xdx+2ydy=0 2xdx+2ydy=0 (常数的导数等于0)
变换等式
得到 d y d x = − x y \frac{dy}{dx} \quad=\frac{-x}{y} \quad dxdy=y−x也就是 − 3 4 \frac{-3}{4} \quad 4−3
这个推导的过程就是隐函数求导
上面的变化率的问题，我们换一种解题的思路，将其转化为距离，速度，和时间的关系函数
梯子从顶端以1米/秒的速度下滑
求在开始的时间，梯子底端离开墙角的速度v是多少
由图可知d1和d2正相关
定义两个变量 y ( t ) y(t) y(t)和 x ( t ) x(t) x(t)，因为x和y的变化有时间t决定，两个函数的关系为
x ( t ) 2 + y ( t ) 2 = 5 2 x(t)^2+y(t)^2=5^2 x(t)2+y(t)2=52
运动的时间t决定了x，y的长度的值，由勾股定理可知他们的平方的和等于斜边的平方 5 2 5^2 52
此时对等式左边求导，即在求经过一小段时间dt，y和x的变化率
即求dx，dy
等式右边因为是常数，常数的导数为0（常数不随时间变化，没有导数），所以等式为：
t=0时x，y都是原值，三条边为3,4,5
当梯子开始以1米/秒的速度滑落的时候， d y d t \frac{dy}{dt} \quad dtdy为-1，带入等式，
最后结果
d x d t \frac{dx}{dt} \quad dtdx= 4 3 \frac{4}{3} \quad 34m/s
对比两种算法
区别在于圆的切线中，dx和dy是性对独立的两个变量，并不靠一个共同的变量产生联系，在梯子的下滑中有一个变量时间使dx，dy产生了联系
再次的，我们把 ( x 2 , y 2 ) (x^2,y^2) (x2,y2)看成S，s是一个关于x，y的函数，表示输入x，y两个值，返回平面内的一点（x，y）
当限定这一点等于25时，说明所有这些点的几何是圆的圆周
当它的值大于25，点在圆的外面，值小于25，点在圆内
对S求导，表示当x，y发生微小变化时，导致s的变化，记为ds
表示从（x,y）走到（dx，dy）后， x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2变化了多少
当要求移动的dx，dy都落在圆上是，ds必须是0
s是25，s保持不变，就是说s的变化量ds必须是0
所以严格来说，s的导数是过圆的切线，而不是圆本身，当dx，dy无限趋近与0，也就近似圆
再来看另外一个函数 s i n ( x ) y 2 = x sin(x)y^2=x sin(x)y2=x
代表的是一些点的集合
对等式左边求导，就表示微小变化dx。dy对等式左边的值变化了多少
求导方法：
左乘右导，右乘左导
右边x的导数即为即为dx
等式中间的等号表示当左边的变化量等于右边的变化量时，移动的点才落在曲线上
只有这样 s i n ( x ) y 2 = x sin(x)y^2=x sin(x)y2=x才成立