2024年5月17日发(作者：黎雅容)
微积分公式与运算法则
Jenny was compiled in January 2021
微积分公式与运算法则
1.基本公式
（1）导数公式(2)微分公式
(x
μ
)ˊ=μx
μ-1
d(x
μ
)=μx
μ-1
dx
(a)ˊ=alnad(a)=alnadx
(loga)ˊ=1/(xlna)d(loga)=1/(xlna)dx
(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx
(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx
(tanx)ˊ=sec
2
xd(tanx)=sec
2
xdx
(cotx)ˊ=-csc
2
xd(cotx)=-csc
2
xdx
(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx
(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx
(arcsinx)ˊ=1/(1-x
2
)
1/2
d(arcsinx)=1/(1-x
2
)
1/2
dx
(arccosx)ˊ=-1/(1-x
2
)
1/2
d(arccosx)=-1/(1-x
2
)
1/2
dx
(arctanx)ˊ=1/(1+x
2
)d(arctanx)=1/(1+x
2
)dx
(arccotx)ˊ=-1/(1+x
2
)d(arccotx)=-1/(1+x
2
)dx
(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx
(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx
2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）
（1）
函数的线性组合积、商的求导法则
xx
xxxx
（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ
（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ
2
（2）
函数和差积商的微分法则
d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ
d（μυ）=υdμ+μdυ
d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ
3.复合函数的微分法则
设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为
dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)
所以复合函数的微分为
dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx
由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成
dy=fˊ(μ)dμ
由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式
dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
2
2024年5月17日发(作者：黎雅容)
微积分公式与运算法则
Jenny was compiled in January 2021
微积分公式与运算法则
1.基本公式
（1）导数公式(2)微分公式
(x
μ
)ˊ=μx
μ-1
d(x
μ
)=μx
μ-1
dx
(a)ˊ=alnad(a)=alnadx
(loga)ˊ=1/(xlna)d(loga)=1/(xlna)dx
(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx
(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx
(tanx)ˊ=sec
2
xd(tanx)=sec
2
xdx
(cotx)ˊ=-csc
2
xd(cotx)=-csc
2
xdx
(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx
(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx
(arcsinx)ˊ=1/(1-x
2
)
1/2
d(arcsinx)=1/(1-x
2
)
1/2
dx
(arccosx)ˊ=-1/(1-x
2
)
1/2
d(arccosx)=-1/(1-x
2
)
1/2
dx
(arctanx)ˊ=1/(1+x
2
)d(arctanx)=1/(1+x
2
)dx
(arccotx)ˊ=-1/(1+x
2
)d(arccotx)=-1/(1+x
2
)dx
(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx
(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx
2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）
（1）
函数的线性组合积、商的求导法则
xx
xxxx
（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ
（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ
2
（2）
函数和差积商的微分法则
d（αμ+βυ）=αdμ+βdυ
d（μυ）=υdμ+μdυ
d（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ
3.复合函数的微分法则
设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为
dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)
所以复合函数的微分为
dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx
由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成
dy=fˊ(μ)dμ
由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式
dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
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