双星三星四星问题-USB迷|专注于互联网分享

2023年12月7日发(作者：微生燕岚)

双星模型、三星模型、四星模型

一、双星问题

1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2

22推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ωr1＝m2ωr2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

Gm1m2Gm1m2Gm1＋m2ω2L3222(4)巧妙求质量和：2＝m1ωr1①

2＝m2ωr2② 由①＋②得：＝ωL

∴m1＋m2＝

2LLLG

4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”

(1)“两等”: ①它们的角速度相等。②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

22②由m1ωr1＝m2ωr2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．

②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

三、卫星的追及相遇问题

1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：

内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路： (1)根据GMm22＝mrω，可判断出谁的角速度大；

r(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。

在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：FF，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，12。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2。根据题意有

12

①

②

r1r2r

根据万有引力定律和牛顿定律，有

Gm1m22mwr1

112r

③

Gm1m22m1w2r1

2rm2r

m1m2 ④

联立以上各式解得

r1 ⑤

根据解速度与周期的关系知

122

T ⑥

联立③⑤⑥式解得

423m1m22r

TG【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力Fa可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示).

(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； (3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=×10 m/s，4运行周期T=π×10 s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗

-112230（G=×10 N·m/kg，ms=×10 kg）

解析：设A、B的圆轨道半径分别为225，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有FAm1r1，FBm2r2，FAFB

设A、B间距离为，则rr1r2

由以上各式解得rm1m2r1

m23m1m2mm 由万有引力定律，有FAG122，代入得FAG

22r(m1m2)r1 令FAGm1mr12m2，通过比较得m

(m1m2)23m1m2v2 （2）由牛顿第二定律，有Gm1

2r1r 而可见星A的轨道半径r1 将vT

23m2v3T代入上式解得

22G(m1m2)3m2v3T （3）将m16ms代入上式得

22G(6msm2)m2 代入数据得3.5ms

(6msm2)2设m2nms(n0)，将其代入上式得3m23nms3.5ms

6(6msm2}(1)2n

m23nms3.5ms

6(6msm2}(1)2nm2 可见，的值随的增大而增大，试令n2，得

(6msm2)23

n6(1)2nms0.125ms3.4ms

可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B的质量ms必大于2ms，由此可得出结论：暗星B有可能是黑洞。

【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。

15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：

GM1M222MLML2---------

1122L..L1L2L------- 由以上两式可得：L1M2M2L，L2L

M1M2M1M2M1M242LMLT2L又由G.---------- 得：

11G(M1M2)L2T2

【例题4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为（ D ）

4π2r2(rr1)A.

GT2答案：D

4π2r13B.

GT2

4π2r3C.

GT2

4π2r2r1D.

GT2解析双星的运动周期是一样的,选S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得

Gm1m24π2r2r14π2m1r12,则m2=.故正确选项D正确.

22GTrT【例题5】如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的为G。

⑴ 求两星球做圆周运动的周期。

⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常上述星球A和认为月球是绕两侧。引力常数地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为×10kg 和 ×10kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

2422L3【答案】⑴T2 ⑵

G(Mm)【解析】 ⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有

mML

L，rmMmMGMm22M对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得m()L

2TMmLm2rM2R，rRL，连立解得RL3化简得

T2

G(Mm)L3⑵将地月看成双星，由⑴得T12

G(Mm)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm22m()L

2TLL3化简得

T22

GMT22mM5.9810247.351022所以两种周期的平方比值为()1.01

24T1M5.9810

【例题6】【2012•江西联考】如右图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M>> m1，M>> m2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的k；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则（）

A．a、b距离最近的次数为k次

B．a、b距离最近的次数为k+1次

C．a、b、c共线的次数为2k

D．a、b、c共线的次数为2k-2

【答案】D

【解析】在b转动一周过程中，a、b距离最远的次数为k-1次，a、b距离最近的次数为k-1次，故a、b、c共线的次数为2k-2，选项D正确。

【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中周期之比Ta∶Tb=1∶央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.

(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少

5GmRR3答案 (1)

4π

2R5Gm12(2)()3R

51解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:

Gm2F1=2RF1+F2=mv/R

2Gm2

F2(2R)2运动星体的线速度:v =5GmR

2R周期为T,则有T=2πR

vR3T=4π

5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为

R′=r/2

cos30由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：

Gm2F合=22cos30°

r4π2F合=m2R′

T12所以r=()3R

【例题8】（2012•湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一1种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T1，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比.

T2T1(4-2)(3-3)=

T24a

【答案】【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有

2Gm2(3a)2cos30+Gm242a2=mT2a ①

1 解得T22(3-3)1=a3Gm ②

对正方形模式，四星的轨道半径均为22a，同理有

2Gm2m2422a2cos45+G(2a)2=mT2a ③

224(4-2)2 解得T2a32=7Gm ④

故T1(4-T=2)(3-3)

4 图