2024年2月19日发(作者：卯和韵)

3.1.2 复数的几何意义

[学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.

知识点一 复平面的概念和复数的几何意义

1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.

3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

→如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；→反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi这是复数的另一种几何意义.

→平面向量OZ，

1

思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？

(2)象限内的点与复数有何对应关系？

答案 (1)不是.

(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；

第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；

第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；

第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.

知识点二 复数的模

→1.如图所示，向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，

那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R).

2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则

z1|z1|(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z2＝|z2|(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).

n*(2)|zn1|＝|z1|(n∈N).

(3)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.

(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.

思考 复数的模的几何意义是什么？

答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；

②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部.

2

题型一 复数与复平面内的点

例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.

解得m＝－2或m＝4.

2m－2m－8＜0，(2)由题意，2∴2

m＋3m－10＞0，

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2

2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

5反思与感悟 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.

跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，

55得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

22复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

题型二 复数的模的几何意义

例2 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.

(1)|z|＝2；

(2)1≤|z|≤2.

解 (1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

|z|≤2， (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

|z|≥1.

3

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

反思与感悟 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.

跟踪训练2 若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .

答案 2π

解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋y－12，由|z－i|≤2知x2＋y－12≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，

∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.

题型三 复数的模及其应用

例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.

解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－7，7).

方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知：－7

反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题

4

实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.

跟踪训练3 已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.

解 令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).

∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，

∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.

复数与函数的综合应用

对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来.

例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.

分析 题目中出现了f(z)与f(－z)的关系式，可由f(z)得到f(－z)的另一种关系式.要求复数z，只需设z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解.

解 设复数z＝a＋bi(a，b∈R).

∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z.

又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，

∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.

即2－a2＋－b2＋a＋bi＝3＋5i.

根据复数相等的充要条件，

2－a2＋－b2＋a＝3，得

b＝5，a＝－10，解得

b＝5.

∴复数z＝－10＋5i.

5

1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.

2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A.4＋8i

C.2＋4i

答案 C

解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.

3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是 .

答案 (－1,1)

解析 因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝－22＋12＝5.

又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.

4.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为 .

答案 9

解析 ∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2m，解得m＝9.

5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

解 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.

B.8＋2i

D.4＋i

B.第二象限

D.第四象限

1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.

6

2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.

一、选择题

1.设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

解析 ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5，

∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i

＝－3＋5i.

∴复数z在复平面上的对应点在第二象限.

22.当

3A.第一象限

C.第三象限

答案 D

解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1).

2由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.

3→3.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点→为B，则向量OB对应的复数为( )

A.－2－i

C.1＋2i

答案 B

→解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB对应的复数为－2＋i.

4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )

A.1个圆

C.2个点

答案 A

解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1.

∵|z|≥0，∴|z|＝3.

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B.第二象限

D.第四象限

B.第二象限

D.第四象限

B.－2＋i

D.－1＋2i

B.线段

D.2个圆

∴复数z对应的轨迹是1个圆.

3π5π5.若θ∈4，4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

3π5π解析 ∵θ∈4，4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.

6.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案 B

ππ解析 因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B22sin A－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象cos A限，故选B.

二、填空题

7.设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是 .

答案 15

B.第二象限

D.第四象限

解析 由题意知，复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0，

故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，

m2－3m－3则log2＝－1，

m－32m2－3m－31∴＝，∴m＝±15.

2m－322m－3m－3＞0，∵

m－3＞0，

3＋21∴m＞，

2∴m＝15.

8.若复数z＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝ .

4答案 －

5解析 ∵复数z＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即

8

3cos α＝－.

5又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－1－cos2α＝－34－2＝－.

1－559.已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .

答案 (1，5)

解析 由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝a2＋1，而0＜a＜2，故1＜|z|＜5.

1110.复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.

22答案 三

11解析 log3<0，log3 <0，

2211∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.

22三、解答题

11.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：

(1)z为实数；

(2)z对应的点位于复平面的第二象限.

2m－m－6＝0，解 (1)由题意得2

m＋2m－14＞0，

解得m＝3(m＝－2舍去).

故当m＝3时，z是实数.

2lgm＋2m－14＜0，(2)由题意得2

m－m－6＞0，20＜m＋2m－14＜1，即2

m－m－6＞0.

m＋2m－14＞0，2即m＋2m－15＜0，m2－m－6＞0，2

m＜－1－15或m＞－1＋15，得－5＜m＜3，m＜－2或m＞3.解得－5＜m＜－1－15.

故当－5＜m＜－1－15时，z对应的点位于复平面内的第二象限.

12.已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值和最小值.

解 如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中

9

的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离.

由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为－32＋42＝5，故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4.

13.设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|＜1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.

解 ∵z∈C，|z|∈R，∴1－|z|∈R.

∵||z|－1|＝1－|z|，∴1－|z|≥0，即|z|≤1，

∴A＝{z||z|≤1，z∈C}.

又∵B＝{z||z|＜1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}.

∵z∈A∩(∁UB)，∴z∈A且z∈∁UB，

|z|≤1，∴∴|z|＝1.

|z|≥1，

由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.

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2024年2月19日发(作者：卯和韵)

3.1.2 复数的几何意义

[学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.

知识点一 复平面的概念和复数的几何意义

1.复平面的概念

根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.

如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.

3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.

→如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；→反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi这是复数的另一种几何意义.

→平面向量OZ，

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思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？

(2)象限内的点与复数有何对应关系？

答案 (1)不是.

(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；

第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；

第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；

第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.

知识点二 复数的模

→1.如图所示，向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.如果b＝0，

那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R).

2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则

z1|z1|(1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z2＝|z2|(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).

n*(2)|zn1|＝|z1|(n∈N).

(3)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线.

(4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是：①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线.

思考 复数的模的几何意义是什么？

答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：

①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；

②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部.

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题型一 复数与复平面内的点

例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.

(1)由题意得m2－2m－8＝0.

解得m＝－2或m＝4.

2m－2m－8＜0，(2)由题意，2∴2

m＋3m－10＞0，

(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，

∴2

2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.

5反思与感悟 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.

跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方.

(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，

55得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，

22复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.

题型二 复数的模的几何意义

例2 设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.

(1)|z|＝2；

(2)1≤|z|≤2.

解 (1)方法一 |z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

方法二 设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

|z|≤2， (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

|z|≥1.

3

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.

反思与感悟 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.

跟踪训练2 若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .

答案 2π

解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋y－12，由|z－i|≤2知x2＋y－12≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，

∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.

题型三 复数的模及其应用

例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.

解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，

∴|z|＝32＋a2，

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－7，7).

方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知：－7

反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题

4

实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.

跟踪训练3 已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.

解 令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).

∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，

∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为32＋42－1＝4，

∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.

复数与函数的综合应用

对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来.

例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.

分析 题目中出现了f(z)与f(－z)的关系式，可由f(z)得到f(－z)的另一种关系式.要求复数z，只需设z＝a＋bi(a，b∈R)，求出a，b即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解.

解 设复数z＝a＋bi(a，b∈R).

∵f(z)＝|2＋z|－z，∴f(－z)＝|2－z|＋z.

又∵f(－z)＝3＋5i，∴|2－z|＋z＝3＋5i，

∴|2－(a＋bi)|＋a＋bi＝3＋5i.

即2－a2＋－b2＋a＋bi＝3＋5i.

根据复数相等的充要条件，

2－a2＋－b2＋a＝3，得

b＝5，a＝－10，解得

b＝5.

∴复数z＝－10＋5i.

5

1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

解析 ∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.

2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A.4＋8i

C.2＋4i

答案 C

解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.

3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是 .

答案 (－1,1)

解析 因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝－22＋12＝5.

又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.

4.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为 .

答案 9

解析 ∵z＝(m－3)＋2mi表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2m，解得m＝9.

5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

解 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.

B.8＋2i

D.4＋i

B.第二象限

D.第四象限

1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.

6

2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.

一、选择题

1.设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

解析 ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5，

∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i

＝－3＋5i.

∴复数z在复平面上的对应点在第二象限.

22.当

3A.第一象限

C.第三象限

答案 D

解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m－2，m－1).

2由0，m－1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.

3→3.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点→为B，则向量OB对应的复数为( )

A.－2－i

C.1＋2i

答案 B

→解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量OB对应的复数为－2＋i.

4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )

A.1个圆

C.2个点

答案 A

解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，

即|z|＝3或|z|＝－1.

∵|z|≥0，∴|z|＝3.

7

B.第二象限

D.第四象限

B.第二象限

D.第四象限

B.－2＋i

D.－1＋2i

B.线段

D.2个圆

∴复数z对应的轨迹是1个圆.

3π5π5.若θ∈4，4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )

A.第一象限

C.第三象限

答案 B

3π5π解析 ∵θ∈4，4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.

6.设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

答案 B

ππ解析 因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B22sin A－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象cos A限，故选B.

二、填空题

7.设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是 .

答案 15

B.第二象限

D.第四象限

解析 由题意知，复数z＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0，

故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，

m2－3m－3则log2＝－1，

m－32m2－3m－31∴＝，∴m＝±15.

2m－322m－3m－3＞0，∵

m－3＞0，

3＋21∴m＞，

2∴m＝15.

8.若复数z＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝ .

4答案 －

5解析 ∵复数z＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即

8

3cos α＝－.

5又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－1－cos2α＝－34－2＝－.

1－559.已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是 .

答案 (1，5)

解析 由题意可知z＝a＋i.根据复数的模的定义，得|z|＝a2＋1，而0＜a＜2，故1＜|z|＜5.

1110.复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第 象限.

22答案 三

11解析 log3<0，log3 <0，

2211∴z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限.

22三、解答题

11.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：

(1)z为实数；

(2)z对应的点位于复平面的第二象限.

2m－m－6＝0，解 (1)由题意得2

m＋2m－14＞0，

解得m＝3(m＝－2舍去).

故当m＝3时，z是实数.

2lgm＋2m－14＜0，(2)由题意得2

m－m－6＞0，20＜m＋2m－14＜1，即2

m－m－6＞0.

m＋2m－14＞0，2即m＋2m－15＜0，m2－m－6＞0，2

m＜－1－15或m＞－1＋15，得－5＜m＜3，m＜－2或m＞3.解得－5＜m＜－1－15.

故当－5＜m＜－1－15时，z对应的点位于复平面内的第二象限.

12.已知z1＝－3＋4i，|z|＝1，求|z－z1|的最大值和最小值.

解 如图，|z|＝1表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z1在坐标系中

9

的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z－z1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离.

由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为－32＋42＝5，故|z－z1|max＝5＋1＝6，|z－z1|min＝5－1＝4.

13.设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|＜1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.

解 ∵z∈C，|z|∈R，∴1－|z|∈R.

∵||z|－1|＝1－|z|，∴1－|z|≥0，即|z|≤1，

∴A＝{z||z|≤1，z∈C}.

又∵B＝{z||z|＜1，z∈C}，∴∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}.

∵z∈A∩(∁UB)，∴z∈A且z∈∁UB，

|z|≤1，∴∴|z|＝1.

|z|≥1，

由复数的模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.

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