2024年6月13日发(作者：承紫南)
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座11）—空间中的垂直关系
一．课标要求：
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论
证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥
和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂
直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立
体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示
知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：
（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；
（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系
的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。
三．要点精讲
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必
垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平
P
面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂
O
A
直。
a
PO
,O
推理模式：
PA
A
aAO
。
a
,aAP
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条
直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直
其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与
平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平
行。
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直
面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直
线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
四．典例解析
题型1：线线垂直问题
例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H、L、M、N分
别为A
1
D
1
，A
1
B
1
，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
证明：如图2，作GQ⊥B
1
C
1
于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，且Q为B
1
C
1
的中点。
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，由E、F、Q分别为A
1
D
1
、A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点可证明EF⊥FQ，
由三垂线定理得EF⊥GF。
C
1
B
1
点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了
A
1
立体几何从考查、论证思想。
D
例2．（2006全国Ⅱ，19）如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
E
F
中，AB＝BC，D、E分别为BB
1
、AC
1
的中点，证明：ED为异
面直线BB
1
与AC
1
的公垂线。
C B
O
1
∥
A
证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO
＝
C
1
C，
2
2024年6月13日发(作者：承紫南)
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座11）—空间中的垂直关系
一．课标要求：
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论
证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥
和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂
直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立
体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示
知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：
（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；
（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系
的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。
三．要点精讲
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必
垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平
P
面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂
O
A
直。
a
PO
,O
推理模式：
PA
A
aAO
。
a
,aAP
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条
直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直
其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与
平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平
行。
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直
面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直
线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
四．典例解析
题型1：线线垂直问题
例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H、L、M、N分
别为A
1
D
1
，A
1
B
1
，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
证明：如图2，作GQ⊥B
1
C
1
于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1
，且Q为B
1
C
1
的中点。
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1
中，由E、F、Q分别为A
1
D
1
、A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点可证明EF⊥FQ，
由三垂线定理得EF⊥GF。
C
1
B
1
点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了
A
1
立体几何从考查、论证思想。
D
例2．（2006全国Ⅱ，19）如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
E
F
中，AB＝BC，D、E分别为BB
1
、AC
1
的中点，证明：ED为异
面直线BB
1
与AC
1
的公垂线。
C B
O
1
∥
A
证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO
＝
C
1
C，
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