2024年2月19日发(作者：龚小凝)

§1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一 二项式定理

n1n1b＋C2an2b2＋…＋Ckankbk＋…＋Cnbn(n∈N*)． (a＋b)n＝C0na＋Cnannn－－－(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

思考 二项式定理中项的系数与二项式系数有什么区别？

n1答案 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数指C0n，Cn，…，Cn，与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的序号有关，还与a，b的值有关．

知识点二 二项展开式的通项

nkk(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ckb.

na－

1．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( × )

nkk2．Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．( × )

na－3．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )

4．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项相同．( × )

一、二项式定理的正用、逆用

例1 (1)写出3x＋14的展开式．

x112113＋C414 41322解 方法一

3x＋4＝C0＋C34(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)4(3x)4xxxxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2.

xx

143x＋1411123443x＋方法二 ＝＝2(1＋3x)4＝2·[1＋C13x＋C4(3x)2＋C34·4(3x)＋C4(3x)]＝2(1xxxxx112＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝2＋＋54＋108x＋81x2.

xxnn2(2)化简：1＋2C1n＋4Cn＋…＋2Cn.

nn22解 原式＝20＋21C1n＋2Cn＋…＋2Cn

nn0121＋C2·2＝C02

n2＋Cn·n2＋…＋Cn·＝C01n·20＋C11n1·21＋C21n2·22＋…＋Cn10·2n

n·n·n·n·＝(1＋2)n

＝3n.

反思感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1 (1)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝________.

答案 44

1223344解析 ∵(1＋3)4＝1＋C14×(3)＋C4×(3)＋C4×(3)＋C4×(3)＝1＋43＋18＋123－－＋9＝28＋163，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

5142332455解 原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5－1＝[(x－1)＋1]－1＝x5－1.

二、二项展开式通项的应用

x＋1n例2 若4展开式中前三项系数成等差数列，求：

2x(1)展开式中含x的一次项；

(2)展开式中所有的有理项．

1121解 (1)由已知可得C0n＋Cn·2＝2Cn·，

22即n2－9n＋8＝0，

解得n＝8或n＝1(舍去)．

Tk＋1＝Ck8(x)8－k1kk－k4-4kx, ·2·4＝C8·2x33令4－k＝1，得k＝4.

4

35－4所以含x的一次项为T5＝C4x.

82x＝83351(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.

48256x2反思感悟 (1)利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型

1n①求第k项，Tk＝Ckna－－k＋1bk1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

－(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

2x－n的展开式中第5项是常数项，跟踪训练2 (1)若二项式则自然数n的值可能为( )

xA．6 B．10 C．12 D．15

答案 C

22n－k－kkkx－n的展开式的通项为Tk＋1＝Ck解析

(x)＝(－2)Cnxn·xxn3k2，

xT5＝(－2)4·C4n·∴n122，

n－12＝0，∴n＝12.

212x－5的展开式中第三项的二项式系数为________，展开式中x3项的系数为________．(2)

x答案 10 －80

1－1k＝(－1)k·5－k·5－kCkx5－2k，

2x－5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck解析

(2x)25·5xx第三项的二项式系数为C25＝10，

令5－2k＝3得k＝1，

1x3＝－80x3，其系数为－80. 所以含x3项为T2＝(－1)1·24·C5三、求两个多项式积的特定项

例3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．

答案 －20

解析 (x＋y)8的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ckx8k·yk，

8·177含xy7的项为T8＝C78xy＝8xy，

2626含x2y6的项为T7＝C68xy＝28xy，

－

所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，

其系数为－20.

反思感悟 求解两个或两个以上二项式相乘的特定项问题，一般的方法是用好多项式的乘法规则，利用二项式展开式的原理，把满足条件的各项相加即可解决问题．

跟踪训练3 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

答案 D

k解析 (1＋x)5的展开式通项为Tk＋1＝Ck5x，

21∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项为1·C2C15x＋ax·5x

＝10x2＋5ax2

＝(10＋5a)x2.

∴10＋5a＝5，∴a＝－1.

利用二项式定理求余数及证明整除问题

典例 (1)试求2 01910除以8的余数；

(2)求证：32n2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.

∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，

∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．

又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，

∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.

(2)证明 32n2－8n－9

＝(8＋1)n1－8n－9

n1nn1＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋1－8n－9

n1nn12＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋18＋(n＋1)×8＋1－8n－9

n1nn12＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋18.①

＋－＋－＋＋＋＋＋①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．

[素养提升] (1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

(2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题，体现了数学建模的核心素养．

1．(2a＋b)5的展开式的第3项是( )

A．23C25

C．23C35

答案 B

32解析 T3＝C2b＝23C2a3b2.

5(2a)·5·32B．23C25ab

323D．23C5ab

1x－5的展开式中含x3项的二项式系数为( ) 2.xA．－10 B．10 C．－5 D．5

答案 D

2x2－46展开式中的常数项为( ) 3.xA．80 B．－80 C．60 D．－60

答案 C

4．(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝________.

答案 11

1x－6展开式中含x2项的系数为________． 5．(x2＋2)x答案 10

11kkk6－2k6－k·x－6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck－解析

x＝(－1)C6x，

6xx13x02222x－6展开式中含x2项为x2·(－C6)＋2·∴(x2＋2)C26x＝－20x＋30x＝10x.其系数为10.

x

1．知识清单：

(1)二项式定理．

(2)求二项展开式的特定项．

(3)二项式定理的应用．

2．方法归纳：公式法、类比法．

3．常见误区：二项式展开式通项Tk＋1中第几项与k的关系易错．

2024年2月19日发(作者：龚小凝)

§1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识点一 二项式定理

n1n1b＋C2an2b2＋…＋Ckankbk＋…＋Cnbn(n∈N*)． (a＋b)n＝C0na＋Cnannn－－－(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数Ckn(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

思考 二项式定理中项的系数与二项式系数有什么区别？

n1答案 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数指C0n，Cn，…，Cn，与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的序号有关，还与a，b的值有关．

知识点二 二项展开式的通项

nkk(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ckb.

na－

1．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( × )

nkk2．Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．( × )

na－3．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )

4．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项相同．( × )

一、二项式定理的正用、逆用

例1 (1)写出3x＋14的展开式．

x112113＋C414 41322解 方法一

3x＋4＝C0＋C34(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)4(3x)4xxxxx121＝81x2＋108x＋54＋＋2.

xx

143x＋1411123443x＋方法二 ＝＝2(1＋3x)4＝2·[1＋C13x＋C4(3x)2＋C34·4(3x)＋C4(3x)]＝2(1xxxxx112＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝2＋＋54＋108x＋81x2.

xxnn2(2)化简：1＋2C1n＋4Cn＋…＋2Cn.

nn22解 原式＝20＋21C1n＋2Cn＋…＋2Cn

nn0121＋C2·2＝C02

n2＋Cn·n2＋…＋Cn·＝C01n·20＋C11n1·21＋C21n2·22＋…＋Cn10·2n

n·n·n·n·＝(1＋2)n

＝3n.

反思感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

跟踪训练1 (1)若(1＋3)4＝a＋b3(a，b为有理数)，则a＋b＝________.

答案 44

1223344解析 ∵(1＋3)4＝1＋C14×(3)＋C4×(3)＋C4×(3)＋C4×(3)＝1＋43＋18＋123－－＋9＝28＋163，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

5142332455解 原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5－1＝[(x－1)＋1]－1＝x5－1.

二、二项展开式通项的应用

x＋1n例2 若4展开式中前三项系数成等差数列，求：

2x(1)展开式中含x的一次项；

(2)展开式中所有的有理项．

1121解 (1)由已知可得C0n＋Cn·2＝2Cn·，

22即n2－9n＋8＝0，

解得n＝8或n＝1(舍去)．

Tk＋1＝Ck8(x)8－k1kk－k4-4kx, ·2·4＝C8·2x33令4－k＝1，得k＝4.

4

35－4所以含x的一次项为T5＝C4x.

82x＝83351(2)令4－k∈Z，且0≤k≤8，则k＝0,4,8，所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝x，T9＝.

48256x2反思感悟 (1)利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型

1n①求第k项，Tk＝Ckna－－k＋1bk1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．

－(2)求二项展开式的特定项的常用方法

①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解；

③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

2x－n的展开式中第5项是常数项，跟踪训练2 (1)若二项式则自然数n的值可能为( )

xA．6 B．10 C．12 D．15

答案 C

22n－k－kkkx－n的展开式的通项为Tk＋1＝Ck解析

(x)＝(－2)Cnxn·xxn3k2，

xT5＝(－2)4·C4n·∴n122，

n－12＝0，∴n＝12.

212x－5的展开式中第三项的二项式系数为________，展开式中x3项的系数为________．(2)

x答案 10 －80

1－1k＝(－1)k·5－k·5－kCkx5－2k，

2x－5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck解析

(2x)25·5xx第三项的二项式系数为C25＝10，

令5－2k＝3得k＝1，

1x3＝－80x3，其系数为－80. 所以含x3项为T2＝(－1)1·24·C5三、求两个多项式积的特定项

例3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．

答案 －20

解析 (x＋y)8的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ckx8k·yk，

8·177含xy7的项为T8＝C78xy＝8xy，

2626含x2y6的项为T7＝C68xy＝28xy，

－

所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，

其系数为－20.

反思感悟 求解两个或两个以上二项式相乘的特定项问题，一般的方法是用好多项式的乘法规则，利用二项式展开式的原理，把满足条件的各项相加即可解决问题．

跟踪训练3 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

答案 D

k解析 (1＋x)5的展开式通项为Tk＋1＝Ck5x，

21∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项为1·C2C15x＋ax·5x

＝10x2＋5ax2

＝(10＋5a)x2.

∴10＋5a＝5，∴a＝－1.

利用二项式定理求余数及证明整除问题

典例 (1)试求2 01910除以8的余数；

(2)求证：32n2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.

∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，

∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．

又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，

∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.

(2)证明 32n2－8n－9

＝(8＋1)n1－8n－9

n1nn1＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋1－8n－9

n1nn12＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋18＋(n＋1)×8＋1－8n－9

n1nn12＝C0＋C1n＋18n＋18＋…＋Cn＋18.①

＋－＋－＋＋＋＋＋①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．

[素养提升] (1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．

(2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题，体现了数学建模的核心素养．

1．(2a＋b)5的展开式的第3项是( )

A．23C25

C．23C35

答案 B

32解析 T3＝C2b＝23C2a3b2.

5(2a)·5·32B．23C25ab

323D．23C5ab

1x－5的展开式中含x3项的二项式系数为( ) 2.xA．－10 B．10 C．－5 D．5

答案 D

2x2－46展开式中的常数项为( ) 3.xA．80 B．－80 C．60 D．－60

答案 C

4．(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝________.

答案 11

1x－6展开式中含x2项的系数为________． 5．(x2＋2)x答案 10

11kkk6－2k6－k·x－6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck－解析

x＝(－1)C6x，

6xx13x02222x－6展开式中含x2项为x2·(－C6)＋2·∴(x2＋2)C26x＝－20x＋30x＝10x.其系数为10.

x

1．知识清单：

(1)二项式定理．

(2)求二项展开式的特定项．

(3)二项式定理的应用．

2．方法归纳：公式法、类比法．

3．常见误区：二项式展开式通项Tk＋1中第几项与k的关系易错．