2024年2月21日发(作者：吉兴发)

习题

1.2

1．

=2xy,

并满足初始条件：

x=0,y=1

的特解。

dydx

解：

dy

=2xdx

y

x2

c

两边积分有：

ln|y|=x

+c

2

2y=e +e =cex

另外

y=0

也是原方程的解，

c=0

时，

y=0

原方程的通解为

y= cex

2

,x=0 y=1

时

c=1

2

特解为

y= e

x

.

2

2. y

2

dx+(x+1)dy=0

并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解。

2

dy 1

解：

y dx=-(x+1)dy

2

dy=- dx

y x 1

1

两边积分 : -

=-ln|x+1|+ln|c|

yy=

ln |c(x 1)|

另外

y=0,x=-1

也是原方程的解

x=0,y=1

时

c=e

特解：

y=

ln |c(x 1)|

2

2

33．

dy

1 y

dx

解原方程xy x y

3

dy

=

1 y2

dx

： 为：

y

1 y2

dy=

1

dy=

dx

x

3两边积分：

x(1+x

2

)(1+y

2

)=

cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为：1 y x 1

yx

dy=- dx

两边积分：

ln|xy|+x-y=c

另外

x=0,y=0

也是原方程的解。5．(

y+x)

dy+(x-y)dx=0

yx

解：原方程为：

dx x y

令y

=u

则

dy

=u+x

du

dx dx

代入有：

u 1 1

-

2

du= dx2

u 1 x

22

ln(u +1)x =c-2arctgu

即

ln(y

2

+x

2

)=c-2arctg

y2

.

x2

6. x

dy

dx

-y+

x2

y2

=0

解：原方程为：

dy=y+|x|

1 (

y)

dx x x

x

则令

y

=u

x

dy du

=u+ xdx dx

1

1du=sgnx dx

1 u2

x

arcsin =sgnx ln|x|+cy

7. tgydx-ctgxdy=0x

ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

解

:

原方程为：

dy dx

tgy ctgx

c

两边积分：

1

siny=

另外

y=0

也是原方程的解，而

c=0

时，ccosx cosx

所以原方程的通解为

sinycosx=c.

y2 3x

dy

e

8 + =0

dx

y

dy3x

e

解：原方程为：

=

dx

ey

y

3x y2

2 e -3e =c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：

dyy=

ln

y

y=0.

dx x x

令

=u ,则

ydy

du

dx

=u+ x

x dx

u+ x =ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx|

du

dx

y

1+ln =cy.

x

10.

=edyx y

dx

dy

x y

=e e

dx

解：原方程为：

e

y

=cex11

dy

2

dydx

=(x+y)

解：令

x+y=u,

则

dy du

dx dx

= -1

du

2

dx

21 u-1=u

1

2

du=dx

arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c

1

12.

2dx

(x y)

==dy解：令

x+y=u,

则

dxdy

=

-1

du

-1=-1=

2

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.

udx dx du 1

13.

dy

2x y 1 dx x 2y 1

=解:

原方程为： (

x-2y+1

)

dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

22

dxy-d(y -y)-dx +x=c

22

xy-y +y-x -x=c

dy x y 5

dx x y 2

解：原方程为： (x-y-2

)

dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=014:

1

2

1

2

dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=0

22

y +4y+x +10x-2xy=c.22

dy

=(x+1)

2

+(4y+1)

2

+8xy

1 dx

解dy

2

：

原方程为：

=(

x+4y

)

+3

dx

令

x+4y=u

则

dy=

1 du-

1

dx 4 dx 4

1 du 1

2

4 dx 4- =u +3

du

2

3

=4 u

2

+13

u=

2

tg(6x+c)-1

2

tg(6x+c)= (x+4y+1).3

16:

证明方程

x dydx

=f(xy),

经变换

xy=u

可化为变量分离方程，并由此求下列方程：22

1)

y(1+x y )dx=xdy

22x dy

2 x

y

2

y dx

2-x y2

dy

du dy1 duu证明： 令 xy=u, 则 x+y=

dx dx

则=-

2，有：

dx x dx x2

x du

=f(u)+1

u dx

11

du= dx

u( f(u) 1) x

所以原方程可化为变量分离方程。

dy 1 du u

1) 令

xy=u

则

= -

2dx x dx x

(1)

2

原方程可化为：

dy

=

y

[1+(

xy

)

2

] (2)

dx x

1 du u u

2

将

1

代入

2

式有：

-

= (1+u

222

)

x dx x x

u=

u2 2

+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设(

x +y

)为所求曲线上任意一点，则切线方程为：

y=y

'

(x- x )+ yy

15:

则与

x

轴，

y

轴交点分别为：

yx= x

0

0

y'

y= y

0

- x

0

y

yx=2 x

0

= x

0

0

y'

所以

xy=c

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为

0

的曲线方程，其中

解：由题意得：

y'

=

y

x

11

dy= dx

yx

ln|y|=ln|xc| y=cx.

=

则

y=tg

x

所以

c=1 y=x.

4

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设

(x,y)

为所求曲线上的任意一点，则

y'=kx

则：

y=kx +c

即为所求。

习题

2.1

1.

dy 2xdx ,

dy

2 xy

,并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解

.

dx

解：对原式进行变量分离得

11两边同时积分得：

y22

2

ln y

x c,

y c

ex

x 0, y 1即把代入得

c 1,

故它的特解为

y

e

。

x2

2.

y dx (x 1)dy 0,

并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解

.

解：对原式进行变量分离得：

当y 0时显然也是原方程的解 。当

x 0,y 1时，代入式子得

c 1,故特解是

1

1

1dx

1

12

dy,当

y

0时，两边同时积分得

ln x 1

y

c,即

y

y

1

c ln x 1

1 ln1 x

3

dy

y3

xy

x y

1dx2

解：原式可化为：

dy y

3

显然

0,

故分离变量得

2

2 dy

3 dx

33dx y x

x

y 1

y

x

x

22221

1

2

2

两边积分得

ln1

y ln x ln1

x

lnc(c 0),即(1

y )(1

x)

21y22

y1故原方程的解为(

1

y

)(1

x ) cx

2 2

2

cx

4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0

解：由

y 0或x 0是方程的解，当

xy 0时，变量分离

dx dy 0 xy

两边积分

ln

x x ln y y c,即

ln xy x y c,

故原方程的解为

ln xy x y c; y 0;x 0.1 x1 y

5:(y x)dy ( y x)dx 0 dy y x

令

y

解：

dx y

则u x

du

dx

两边积分

得：

dy

,令

u, y

ux,

u 1dx

xx ,

变量分du

x

dx

11

du dx

1x

ln x

c。

离，

u1

1

arctgu ln(1

得：

22

u)

2

dy

6：x y

dx

dudy u, y ux,

dx

令y

xdx,则原方程化为：

解：

x

22

11

du

x (1

u )

,分离变量得：

1

u2

du sgnx? dx

1xy

dx

u

x

y

两边积分得：arcsinu

sgnx ? ln x c

arcsin

代回原来变量，x

sgnx ?ln x

得

2

2

x也是方程的解。

另外，

7：tgydx

解：变量分离，得：

ctgxdy 0

ctgydy tgxdx

两边积分得：ln sin y

ln cos x c.

y

y

3 x

8:

ydy

dx y

y1

3 x

2

dy

解：变量分离，1c

ey

3

得

9 : x(ln x ln y)dy

ydx 0

y

解：方程可变ln dy

dx 0

x

x

为：

y1令u ,则有： dx xx

ln u

d ln u

y

1 ln u ln

。

代回原变量得：

cy

2

ee

2

dyx y

10

：

edx

解：变量分离

y

y两边积分

e

e dy

x

ex

x

e dx

c

dy

x y

dx

e

解：变量分离，

e dy

两边积分得：

x

e dx

c

11.

dx

(x y)

解：令

x y t ,则

dy dt 1

dydx dx

原方程可变为：

dt 12

1

2dx

t

1

变量分离得：

21 dt dx,

两边积分

arctgt x c

t1

代回变量得：

arctg ( x y) x c

12．dy1dx (x

y)2

令

x y t

，则

变量分离

2t

解

dy

dx dx

dx两边积分

t

arctgt x

dt

dtdxdt

1，原方程可变为

1t2

1

t1

x

y arctg ( x

13. dy 2x y

dx x 2 y

解

：方程组

2x

1

令

，

c代回变量

，

y)

x

c

1

1

y

1

10, x 2y

,

30;的解为

x

2 X YdY1

,y

3令

x X , y

Y

Y

X

3 ,

U，则方程可化为：

X

dY

dX

则有

'

X 2Y

'dU2 2U2dX12U

U变量分离

14,

dy x y 5

dx x y 2

dydt解：令x y 5 t,则

1

,

dt t1dx dx

原方程化为：1

,变量分离

(t 7)dt 7dx dx t 7

22

两边积分

t 7t 7x c

t

12代回变量

( x y 5)

7(x y 5) 7x c.

dy

21)

(4y (x

dx

15．

12

1)

2

8xy 1

2

dy

解： 方程化为

dx

x2 2x 1 16y

2

8y

dydx

8xy 1 ( x

21) 2

4y

令1

分离变量

1

4u2

x求导得1 4u，则关于

原方程的解。

9

du 1 du

，所以

，

dx

22

4 dx

，

两边积分得

arctg (

x

3y)

du dx，

33

6x

c，

942 28

16．

解：

du

dx

dy

dx

dy

dx

23u62

y 2x

2xyxy522dy3

(y ) 2x

2 3 2

y (2xy x

3 2 2

322dx

3[( y) 2x]2xy x

322，

32

，令

y u，则原方程化为

3

2

266x

x

2

23u，这是 齐次方程，令

2xu

x

2

u

1

x

2

z，则

du

2当z

2当z

z6

0时，变量分

离

37335

即（

y

3x)

(y

2x)

x

c，又因为

dz

z x

dx dx 6 0，得

z 33z

6

或

z

2z

1

z x

，，

x

dx

2是

1)

dz，所以

2dz

dx

2zz 6

(1)

32z 1

方程的解。即

y3

13x或y

2x是方程的解。

7352z 1

dz dx，两边积分的（

z 3）

（z 2）

xc,

x

zd

33y

3x或y

2x包含在通解中当

c 0时。故原方程

的解为

333(y

73x)

(y

2x)

15xc

17.22x33 3xy x

dx 3x y 2y

解：原方程化dy x(2

2x

23y

1) dy2

2

2x222 3y2 1

为

dx

22

y(3x2 2y2 1) dx

2222

3x

2y

令

y2 u,;;;;;x

则

du 2v 3u 1 v;;;;;;;

dv 3v

2u 1

(1)

2v 3u

方程组

0

的解为（1，

3v 2u

1）

；令

Z v

1，Yu

0

，

3y z

y

3 2

z

则有

2z3z

3y

0

2y

，

，，从而方程1化为dydz

0

，

（

）

y，，则有

dy

z

dt

，，所以

t

dt

3t

，，

dt

z

dz

dz

zdz

2t

zdz

22t

01，是方程

（2）的2或

时，，

解。得

y

232t1

2t

0两边积分的

y3 2t 1

分离变量得

2

2t2

dt

zdz

时，，

另外

yx22

2，或y

x2，包含在其通解中，故 原方程的解为

1，

2

2 2t

2

，

(2)

3 2t

x2是原方程的解

(y2

2)5c

2(y

225

x

52)c

18.证明方程

f (xy)经变换

xy u可化为变量分离方程， 并由此求解下列方程

y dx

1).y(1 x y2)dx xdy

x dy 2 xy

(2).22

y dx 2 x

y

(2).222x dy22

22

证明：因 为xy u,关于x求导导得y x

dy

dx 1 du du u

得：

1 f(u), (f(u) y dx dx y(f(u) 1) x

故此方程 为此方程 为变程。dy,所以x

dy du y dx dx dx

1

du

1) (uf(u) u)

1

x

x

19.

已知

f(x)

f(x)dt 1,x 0,

试求函数

f (x)解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当

xy

0s时，方程化 为x dy

22

y dx

y12y'

1xy

1令xy u,则方程化 为

du

1(2u

3

两边求导得ydu

1

dx

dx

x

u3),变量分离得：

3

x

2u

u

2

2

y两边同时积分得：

u2

c,即2

2

2

也包含在此通解中。

u2

x

2

x

y2

,y

02

故原方程的解 为 原

2

y2

x y

22

2

2

cx

,x

0.

则原方程化为

12

解

(2)令

xy

u，

ddxu

x(u 2x2

2

u

u

2

u)

1 4u

x2

2

分离变量得

2 u du

1

yxy

2

2

4u

1 dx，两边积分得

ln

x

4

c这也就是方程的解。

的一般表达式

.

x

，

0

解：设

x

f(x)=y,

则原方程化为

f (x)dt

0y3

dy ;;;;;;;;;;dx dx

1

;;;;;;;;;;;;两边积分得

x c

12 y12;;;;;所以y

y3dy

x

把y

代入

2x c

f (x)dt

0

1

2x c

11 dt 2x c;;;;;;;;;; ( 2x c c) 2x c得c 0,所以y

0

2t c 2x

20.求具有性质

x(t+s)=

x(t) x(s)

的函数

x(t),

已知

x'(0存)

在。

1 x(t)x(s)

解：令

t=s=0 x(0)=

x(0) x(0)

=

2x(0)

1 x(0) 1 x(0)x(0)

若

x(0) 0

得

x=-1

矛盾

22

所以

x(0)=0. x

'(ltim)=

dx(t)

dt

x(t t) x(t) lim x'(0)(1 x(t))

t t[1 x(t)x( t)

x( t)(1 x2(t))2x'(0)(1 x(t))

1 x (t)

22

2

x'(0)dt

两 边 积 分 得

arctg

x(t)=x

'

(0)t+c所 以

x(t)=tg[x

'

(0)t当+c]t =0

时

x(0)=0

故

c=0

所以

x(t)=tg[x

'

(0)t]

习题

2.2

求下列方程的解

1．

=

y sinx

dx

dy

解：

y=e ( sinxe

x

dx dx

dx c)

1

x

2

x1

=e [- e (sinx cos x )+c]

=c e - (sinx cosx )是原方程的解。

dx

2t

x2．

+3x=e

2t

dt

dx解：原方程可化

为：

=-3x+e

dt

2t

3dt 3dt

所以：

x=e

3dt ( e2t e

3dt

dt c)

1( e +c)

5

3t2t

+ e

是原方程的解。

=c e

5

ds 1 =-scost +

3．

dt

sin2t

2

=e

13t

5t

5t

解

：

s=e

=e

costdt

costdt

(

sin 2t e

2

1

3dt

3dt

dtc)

sint

(sint costesin t dt

c)

sint sint

sint

( sinte

=

ce

sint

e

c)

sint

dyxdy x

dx ny

xn

4．

ex

解：原方程可化

为：

dy 1 2x

dy12x5．

dx

+

x2

y

解：原方程可化

为：

43

6．

dy

xx

2

dx

xy

43

dy是原方程的解。

n

为常数

.

dy

dx

x

y

n

n

dx

xex

xn

nex

e (

nx

xn

dx

x dx c)

x (e

c)

是原方程的解

.

1=0

dy

dx

e

e

1 2x

2x12x 1

x2

dx

1x

2

2x

dx

x2

(e

dx c)

1(ln x2

)

)ln x2

x2(

1

dx c)

=

x2

(1

ce)

x是原方程的解

.

解：

dx

xx

2

2xy

3

3xy2y2

+

x

xy

u则

因

x

y ux

此：

du x

ux

dxdu

u2

1

dx

2

u

u2du dx

1

3

3

u

xc

3

u

3x x

将y

x

u

带入 （*）

dy

dx

=u

c

（*

）

中 得：x

du

dx

y3

3x4

cx3

是原方程的解

令y

7.解：dy2ydxx1

3(x 1)3

dx x 1

P(x)

,Q(x) (x 1)3

x1

dy 2y

(x 1)2e

P(x)dxP(x)dx

e

x 1

2dxx1

(x 1)2

P(x)dx P( x)dx

方程的通解为：

( e Q(x)dx c)

=(x+1)(

2

2

*(x+1)d3x+c)

( x11)y=e

=(x+1)(

2 (x+ 1)dx+c)

=(x+1)

22((x 1)2

2

(c)

即：

2y=c(x+1) +(x+1)

4为方程的通解

8.

=

3

dx x y3

3

dx x+y 1

解：

x y2

dy y y

dyy1

2

则P(y)=

,Q(y) y2

1yP(y)dy

1dyy

e e

y y

方程的通解为：

x=e

P(y)dy P(y)dy

=y(

1(

e Q( y)dy c)

2

*

3

y2dy c)

cy

y

y

3

即

x=

+cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

y2

ay x 1 dx

ax,a为常数

x1

解：（P x）

,Q(x)

aP(x)dx

e

ex

dx

方程的通解为：

y=

P(x)dx

P(x)dxe(eQ(x)dx c)

=x

axx

a(

a

dx+c)

1x+1

当

a 0时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c

当

a 1时，方程的通解为

y=cx+xln/x/-1

当

a 0，1时，方程的通解为

ax1 y=cx + - 1-a a

10.x

y x3

dx

dy解：1dy 1

y x3

3

dx x 13

P(x) ,Q(x) xx

P(x)dx

e e1xdx

1

P(x)dx P(x)dx

x

x

方程的通解为：

y= e ( e

( x* xdx c) x

3

xc

3

3Q( x)dx c)

方程的通解为：

x 4

y=3

c

2

ln x 1 12.( yln x 2) ydx xdy x

4 2 4

解：dy ln x

y2

2y dx x x

两边除以

y

ln x

2y

x

ln x

x

1

2dy

ydx

dy21x

2y

1

1

dx

x

z

令y

dz 2 ln x z

dx x x

2P(x) ,Q(x) x

方程的ln x

通解为：

x

P(x)dx P(x)dx

z e ( e Q(x)dx c)

dx

x

ln x

2

1 ln x

xx2z e

( e

( )dx c) x(

2 ( )dx c) x x x

x22

dxc

2

ln x 1

x

4 2 4

方程的通解为

: y(c x2

ln x 1) 1,且y=0也是解。

4 2 4

13

2xydy (2y2

dy

x)dx

2y2 x dx 2xy

y1

x 2y

这是

n=-1

时的伯努利方程。

1

两边同除以

1

，

y

dy

dx

2

dx

11dz dy

令

y2

z

2y dx dx

dz 2y2

2z

x

dye

3x

Q(x)=-1

14

dx

P(x)=

2

x

x

由一阶线性方程的2y求解公式

2

两边同乘以

eydx

令

ey

z

ey

2

dy

dx

dxx

dx

y 2 y

c)

y1 2y

(e)3xe2

x

dz

2

=x

xc

dx

3z

ey

dy

dx

dz z

3xz

2这是

n=2

时的伯努利方z

2

2

dx x

x x

程。

1z2

dz31dx

xz x2

z dx xz x z

33dx

1

dx

T e

x

(

x2e

dx c)

xcx

11z(

x

3cx) 1

2

y

1

1 3

e ( x cx ) 12

1两边同除以

x2

ey

cey

x3z

2

dT 1 dz dT 3T 1

dx z2 dx dx

2

xx

P

(x)

=3

1

xx

Q(x)=

2

由一阶线性方程的求解公式

12

=x

3(

2

x

c)

令

1z

T

15

dy

1

dx

xy x y

33

dx

3 3

dy

yx y x

这是

n=3

时的伯努利方程。

两边同除以

x3

1 dx yx dy x

32

2

dz

3

dx

2

z

dy

2x

3令

dy

x

dz

2y2

2y3 =

2yz 2y3x P(y)=-2ydy x

由一阶线性方程的求解公式

2ydy

3

2ydy

z e ( 2y e dy c)

=e

y ( 2y3ey dy c)

2 y2

= y 1 ce

2 2 y2

x ( y 1 ce ) 1

2 y2 2 y2 y

x e ( y 1 ce ) e

y2 2 2 2 2

e (1 x x y ) cx

16 y=ex+

xx

0 y(t)dt

dydxdx

ex

y(x)

dxdy

x

ye

P(x)=1 Q(x)=

ex

由一阶线性方程的求解公式

3

y

Q(y)=

2y

1dx

x1dx

y e ( e e dx c)

x x x

=

e ( e e dx c)

x=

e(x c)

e (x c)

x

ex(x

0

c)dx

c=1

y=ex(x

c)

17

设函数

x

∞

∞上连续，

' (0)存在且满足关系式

(t+s)=

(t) (s)

试求此函数。

令

t=s=0

2(0)

即

(0)=

(0)

故

(0)

(0)

(0+0)=

0

或

(0)

1)

t(

(0)

0时

(t)

(t 0) (t) (0)

即

(t)

∞)

(0) 1

时

(t)

(t t) (t)

limt 0

t

=(2)

lim(t) ( t) t

t 0

(t)

(t)( ( t) 1) ( t 0)

(0)

t 0

lim

t 0

t

limt

(t)

=

(0)

'(t)

于是

d

dt

(0) (t)

变量分离得

1

，即

t=0

时

1

d

'

(0) dt

积分

ce

(0) t

由于

(0)

1=ce0 c=1

20.试证：

1)

一阶非齐线性方程(

2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(

2.3)

故

(t)

(0)t

之解；

2）若

y y（x）是（2.3）的非零解，而

y y（x）是（2.28）的解，则方程（2.28）

的通解可表为

y cy（x） y（x），其中

c为任意常数

.

解.

证明：

1）

2）

3）方程（

2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（

2.3）的

ddyx

P(x)y Q(x)

2.28)

ddydx

x

P(x)y

2.3)

设

y1，

y2是（

2.28）的任意两个解

dy1

dx

P(x)y1

Q(x)

1）

dy2

dx

P( x) y2

Q(x)

2）

1）-（2）得

d y1

y2

dx

P(x)(y1

y2)

即

y y1

y2

是满足方程（

2.3）

所以，命题成立。

由题意得：

dyd(xx)

P(x)y

3）

d

dy(xx)

P(x):y(x) Q(x) dx

4）

1）先证

y

cy y

是(2.28)

的一个解。

于是cdy

dy

cP( x) y P(x) y

Q(x)

dx

dx

d(cy y)

dx

P(x)(cy y) Q(x)

故

y cy y是(

2.28)的一个解。

2)

现证方程(

4)的任一解都可写成

cy y

的形式

设

y1

是(2.28)的一个解

则

P(x) y1

Q(x)

dx

dy1(4')

于是 (4')

-(4)得

d(y1dx

y)P(x)(y1

y)

dx

::

P( x)dx

从而

y1

y ce cy

即

y1

y cy

所以，命题成立。

3)

设

y3

，

y4

是(

2.3)的任意两个解

则

P(x) y3

dx

4 P(x) y4

dx

dydycdy3(

5)

(6)

3于是(

5)

c得

即

d(cy) cP(x)y3

dx

3

P(x)(cy3)

dx

其中

c为任意常数

也就是

y cy3

满足方程(

2.3)

(

5) (6)得

P( x) y3

P(x) y4

dx dx

即

3

4

P(x)(y3

y4) dx

dydxdxd(yy)dx3

dy4也就是

y y3

y4

满足方程(

2.3)

所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 设

p(x, y)为曲线上的任一点，则过

p点曲线的切线方程为

解：

Y y y'(X x)

6)

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为

(x

y ,0),(0, y xy ') y'

y

即 横截距为

，

y'

纵截距为

xy '

由题意得：

5)

y xy

方程变形为

dy

x

dy 1

dx

y

dx x

x( ( xg1)dx于是

( x)e

x

( 1x)dxc)dx c)

y xy'

x y

所方程的通解为

y2

以，方程变形为

x cx

。x

dy y x dx 2

26)

x ( x c)

x cx

2

2

dy 1

dx 2x

y1

2

dx

1( )dx

11

于是

2

y e

( ( )e

dx c)

2x2 x

1

25ln x

22e

( ( )e

dx c)

2

12ln x

11

1

2

x2( ( ) x dx c)

1211

12

1

21x( ( gx

)dx c) 2

11

x

( x

c)

x cx

1

2221

2

2所以，方程的通解为

y x cx

22．求解下列方程。dx x 1x

x1y e

(

2

x

1

2x

2 dx

c)

= / x2 1/

2[

x2

1/x

21

dx c]

1/

c]

2= / x2 1/

2[

2/xdx

1/2

25

(x

1) y' xy 0

xy1解：

y'

2

y

x1

2

1

P(x)= Q(x)=

sin xcosx

sin x

cosx

由一阶线性方程的求解公式

1

dx

sin2

x

sin xcos x

1

dx

y e ( e dx c) cosx

sin x cosx

sinx

= ( sin xdx c)

cosx

sinx

= ( cosx c)

cosx

=

tgxc sin x

习题

2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.

(x2

y)dx (x 2y)dy 0

解：

M

yMN

1，

yx

=1 .

则

N x

所以此方程是恰当方程。

凑微分，

xdx 2ydy (ydx xdy) 0

21得 ：

x3 xy y2 C

3

2．

(y 3x

)dx (4y x)dy 0

2解：

N则MN 1，

1

.

yx

M

y

.

x

所以此方程为恰当方程。

凑微分，

ydx xdy 3xdx 4ydy 0

2得

x

xy y

C

32222

3．

[ 2

]dx [(xyy)6x1xy (xy) 2]dy

022

解：

22M 2y(x y) 2y(x y)( 1) 2xy

y (x y)4 (x y)3

422N 2x(x y) 2x(x y) 2xy x (x y)

M

x

(x y)

3则因此此方程是恰当方程。

对（1）做

x

的积分，则

u

1）

2

y

dx

(x y)

2

2dx (y)

x

1

2）

u

xy

2

y2

yln x

(y)

（31

x

2

x (x

y)2

u 1

yx

y

(x y)2

1)y2

对（

3）做

的积分，则

对（ ）做

y

的积分，则

u （yy(x y)2y

d (y)

dy

(x

=y)2

d (y)

dy

2xy

2

y2

2=

(x

2xy)

1

则

d (y) 1 x2

dy y (x y)2 (x y)2

y2 2xy

y (x y)21 x2 2xy y2

y (x y)

2

1

(y) ( 1)dy ln y

y

y

22

y

u ln x ln y xy

2

22y ln

y y

xy y

ln

y xy

x x y x x y

xy C

故此方程的通解为

ln

y

xy

x

2

y2

)dy 0

4、

2(3xy2

2x3)dx 3(2x2

y

解：

My 12xy

，

12xy

.

N

x

MN yx

.

则此方程为恰当方程。

凑微分，

6xydx 4xdx

232 2 4 3

2

ydy 3y2dy 0

3d(x2y2) d(x4

) d(x3) 0

3得 ：

422x

3xy

y

C

5.(

1

sin

x

-

y2

cosy

+1)dx+(

1

y y x x x

cos -

2

sin +

2

)dy=0

x y

1

y

y x x 1

y y

x x 1

x yN= cos -

2

sin +

2

x

y y

x

y

M=

--1

2

=

2

y-1

-yy

sin

x

3

y

cos

yx

1

2

x

1

2

cos +

3

sin

3x xx xy y y

x

N

x

x

Mx

3

x

sin -

y

Ny

cos -

y

ycosy

+

y3

sin

3x

x

所以，

=

，故原方程为恰当方程

yx

因为

sin

dx-

cos

dx+dx+

cos

dy-

sin

dy+

dy=0

y y x x x x y y

1xyy2y1yxx212

d(-cos

x

)+d (sin

y

)+dx+d(-

1

)=0

y x y

所以，

d(sin

-cos

+x -

)=0

yx1xyy

故所求的解为

sin

-cos

+x -

=C

yx1xyy

求下列方程的解：

x

2x

26．2x(y

e

-1)dx+

e

dy=0

xx解：

= 2xe

,

Mx2N

=2xex2

yx

所以，

=

，故原方程为恰当方程

yx

MN22

又

2xye

dx-2xdx+

e

dy=0

xx2

所以，

d(y

e

-x )=0

x22

故所求的解为

ye

-x =C

x27. (ex

+3y2

)dx+2xydy=0

解：ex

dx+3y

2

dx+2xydy=0 ex

x

2dx+3x2y2

dx+2x

ydy=0

所以，d e( x

-2x+2)+d( x y)=0

即

d [e( x

-2x+2)+

3x232x2xy]=0

故方程的解为

e( x

-2x+2)+ x y=C

32x2328. 2xydx+( x

+1)dy=0

解：

2xydx+ x

dy+dy=0

22d( x

y)+dy=0

2即

d(x

y+y)=0

2故方程的解为

x

y+y=C

29

ydx xdy x

y

dx

2222

、

解两边同除以

x

y

得

：

ydx

2

xdy2 dx

x

y

x即，

d arctg dx

y

故方程的通解为

argtg

x

xc

y

10、

ydx x y3

dy 0

解：方程可化为：

ydx

xdy2 ydy

y

即，

d

x

ydy

y

故方程的通解为：

x 1 y2

c

即：

2x y y2

c y2

同时，

y=0

也是方程的解。

11、

y 1 xy dx xdy 0

解：方程可化为：

ydx xdy 1 xy dx d xy d xy 1 xy dx

即：dx

1 xy

故方程的通解为：

ln1 xy x c

12、

y x2

dx xdy 0

解：方程可化为：

ydx

2

xdy

dx

x

yd

dx

x

故方程的通解为 ：

y

c x

即：

y x c x

x

13、

x 2 y dx xdy 0

解：这里

M

2y, N x

，

M N yx

MN

yx

N

方程有积分因子

x y dx x

22xe

x

1

dx

两边乘以

得：方程2dy

0是恰当方程

22

故方程的通解为：

x 2xy dx

x

xy

2xy dx dy c

32

3即：

x

23x

y c

dx x cos

sin x y , N

x sin x y

y dy

x cos xy

14、

x cos x y sin

解：这里

M x cos x

因为

M N cos x

yx

故方程的通解为：

yx

1

方程有积分因子：

ye

x cos x

sin x y dx x cos x y

e

y

两边乘以 得：

x cos x y sin x y dx dy c

y即：

x sin x y c

y sin x x cos x dy o

y sin x

x cos x

15、

y cos x

x sin x dx

解：这M

里

y cos x x sin x, N

MN

yx

MN

方程

e

ycosx xsin x dx e

ysin x xcosx dy 0为恰当方程yy

y故通解为 ：

e ycosx xsinx dx

即：

esinx y 1 e

cosx c

yyN

y

ey ycosx xsinx dx dy c

16、

x 4ydx 2xdy

y

3ydx

5xdy

30

解：两边同乘以

3 2 4

xy得：

225

4x y dx 2x ydy

4d x3x y dx

0

5x ydy

30

y2

d x3

y5

5

故方程的通解

4 2 3

x y x

为：

17、试导出方程

M (X,Y)dx N(X,Y)dy 0

具有形为

(xy)和

(x y)的

5yc积分因子的充要条件

解：若方程具有

(x y)

为积分因子，

NM d x y

MN

( M)

dz (x y)dz

( N)

x

M

N

(

(x y)

是连续可导)

N

y

M

y

y

x

M

x

N

)yM

yN(

x

x

(1)

令

z x

dz

dz x

d

N

dz dz

d

N)

y

d，

y dz

N

(

x

N

d

.

x

dz

d

M

yM

)，

M

y

(M

(dz

x

)，

NM

方程有积分因子

(x y)

的充要条件是：

此时，积分因子为

(x

xyM

N

是

x y的函数，

y) e

(z)dz

(2)

令

z x

dz x dz x d

y dz

M(dz

dz y

y)

d

x

dz

dd

Mx

Nydz dz

x

d

(Mx Ny)

dz

NM d x y Mx Ny

x y

dz Mx Ny

e

NM

此时的积分因子为

(xy)

18.

设

f (x, y)

及

f

连续,

试证方程

dy f (x,y)dx

y

0为线性方程的充要

条件是它有仅依赖于

x

的积分因子

.

证:

必要性 若该方程为线性方程

,

则有

P(x)y Q(x)

,

dx

此方程有积分因子

(x) e

,

(x)

只与

x

有关

.

dy充分性 若该方程有只与

x

有关的积分因子

(x)

.

则

(x)dy (x) f (x,y)dx 0为恰当方程

,

( (x)f (x, y)) d (x)

, f y dx y

(x)

(x)

(x)其中

P(x)

.

于是方程可化为

dy (P(x)y

Q(x))dx 0 (x)

从而

即方程为一阶线性方程

.

20.

设 函 数

f(u)

，

g(u)

连 续 、 可 微 且

f(u)

， 试 证 方 程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

有积分因子

u=(xy[f(xy)-g(xy)])

1

证：在方程

yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

两边同乘以

u

得：

uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0

y

f

x(f g) xy

f

xy

g

则

uyf

y

=uf+uy

f

+yf

u

=

y

yf xy(f

+

y

-yf

g) xy(f g)

yf

gy

f gy

f g xy f xy

g

y

=y

=

xy y xy y

= xy(f

=g)2

x(f

g)2

g f

xyf

g

= xy

(f

g)2

xg

而uxg

=ug+ux

g+xg

u

=g

+

x

- xg

x

x

x

xy(f g) xy( f g)

xf

xy

g

xg

f xy f

gxy

g f

xy( f g)xy x2

xy x

(f g)xy2

xy

故

uyf

=

uxg

，所以

u

是方程得一个积分因子

yx

21．假设方程(

2.43)中得函数

M(x,y)N(x,y)

满足关系

Nf(x)-Mg(y),

其中

f(x),g(y)分别为

x

和

y

得连续函数，试证方程积分因子

u=exp(

f (x)dx+

g(y)dy)

yy

2 2 2

x y (f g)

y( f g) xy

f xy

g

xx

2 2 2x2

y2( f g)2

(

2.43) 有

证明：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

即证

MN(uM) (uN)

u

M

+M u=u N

+N

u

y x y y x

u(

-

)=Ne

MNx

f(x)dx g(y)dyu(

-

)=N

- M

y x

uu

f(x)

x y y x

f(x)dx g(y)dy

M Nf (x)dx g(y)dy

-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y))

yx

由已知条件上式恒成立，故原命题得证

22、求出伯努利方程的积分因子

.

解：已知伯努利方程为：

ndydx

P xy Qxyn,y o;

两边同乘以

y

，令

z y

，

ndz

1 nP x z 1 dx

1 n P x dx

n Q x ,

线性方程有积分因子：

n1

ee

1 n P x dx

P x dx

，故原方程的积分因子为：

n1 P x dx

ee

，证毕！

N x,y dy 0

的积分因子，从而求得可微

23、设

x, y

是方程

x,y dx

函数

U x,y

，

使得

dU Mdx Ndy .试证

x,y

也是方程

M x,ydx N x,y dy 0的 积分因子的充要条~件是

x,y

~~U ,其中

t

是

t的可微函数。

M

y

uM

M

yM

y

u

Mu

yy证明：若

~

u

，则

uM uN

~

N

M

y

uN

x

N

x

又x

uN

~

uM

即 为~

M x,y dx N x,y dy 0的一个积分因子。uN uM

M

y

24、设

1

x, y ,

2

x,y

是方程

M x,y dx N x,y dy 0的两个积分因子， 且

1 2

常数，求证

1 2

c（任意常数） 是方程

M x,y dx N x,y dy 0

的通解。

证明：因为

1,

2是方程

M x,y dx N x,y dy 0的积分因子

所以

Mdx Ndy o i 1,2

为恰当方程

ii即

N M

iii

M N

，

i 1,2

x x y y

1下面只需证

的全微分沿方程恒为零

2

事实上：

即当

1

c

时，

2

1

1

c

是方程的解。证毕！

1

y2

1d

dx

x

dy

2

1

dx

y

2x

2

2

dy

2

1

2

x

dx

M2

Ny

dx

1

2 dx

x

M

N

2

ydx

2

2

dx

N

2

dx

N

2

22

N

M

x

M

y11

yN2

2

x

M

2

yM

2

y

1

N

x

1

N

x

12

0

习题

2.4

求解下列方程

1、

xy

3

1 y

解：令

dy y p

1，则x 1

1 t

t

t，

dx t t332

1

32从而

2t

，

t

2t c

3t 2 dt c

2

2t c

3，y pdx c d t t c

t

x

于是求得方程参数形式得通解y

为

2、

y

3

x3

1

解：令

dydx

p tx

则

tx

3

x3

tx

从而

y

pdx

t t2

1d

t2

t

3t

1

2t

t2

dt

1

2t4

2 dt c

t2

215

t5

2t2

c

，

于是求得方程参数形式得通解

为

3

2y

、

y y e解：令

dy

dx

y p，则

y

2p

2ppe，

12p从而

x

d pe

p

1 2pep

p2e

p

dp c

p2e

ppe

dp

1 p ep

c

，

t3

t 2

3t2 2t c

2

，即

t3

x

t2

2t

1t

5

2

t2

1，t，

于是求得方程参数形式的通解为

1

1

1

ep

22

ye

2

另y=0

也是方程的

4、

外，

2解

.

y1 y

2

2a,

a

为常数

解令

dy

，则

y

2a

2a

2

：

dx

tg

1 tg

2

2 2acos

，

sec

12

从而

x

pdy

2

d 2acostg

4a

cos

2

d c 4a

1 cos2

c

a2

sin 2 c

，

于是求得方程参数形式的通a 2 sin2

2

解为

2a cos

5、

22

xy

解：令

dydx

p cost

，

则x

1 cos2

sint

，

从而

y

costd sint

cos2 tdt c

1 cos2t

dt

2

1t

1

sin 2t

c

24

，

sint

于是求得方程参数形式的通1t

1sin 2t

解为

2

4

6、

y2

y

解：令

2 yt， 则1

yt

11，

，

t，

所以

dx

dy dy

dt

t dt

t

2

1

y

2 yt

2tt

1t

t

21 t从而

12 dt c

t2

c，

dt

12 dt

，t2

于是求得方程参数形式的通解c

1，

为

因此方程的通解为

y

1

.

x

cxc

习题

2.5

2．

ydx xdy x

2ydy

解：两边同除以

x2

，得：

ydx xdy

2 ydy

x

y 1

2

d y cx2

即

y 1 y

2

c

x2

4．

dy y

dx x xy

解：两边同除以

x

，得

dy

dx

令

y u

x

则

dy

u

x

du

dx

dx

即

ddyx

u

x

du

u

dx

1u

得到

1

1c

2

ln y

u2

2

即x

yc

12ln y

另外

y 0

也是方程的解。1

6．

xy 1 ydx xdy 0

t

2

1

解：

ydx xdy xydx 0

ydx

xdy2 xdx

y2

得到 d

x 1

x

2

cy2

即

y

2

x

c

另外

y 0

也是方程的解。

x12dy

8.

y

x

2

y

x

dx

令3

解：

y

u

x

则：

dy u

du xu

dx dx

du 1

2

即

x u

dx x

du dx

1x

2

u

得到

2 2

故

1

u

即

u

1

x

x

c

1c

1

2

yx

另外

y

x

0也是方程的解。

2

10．

xdy

dx

dy1

dy

dx

p解：令

即

x

dydx

1

p

2

p

而

p

故两边积分得到

dx

12

y p ln p c

2

12.e

因此原方程的解为

x

12

2p

2ln p

c。

dy

dx

dyxe

x yx

1 xe

解：

dx

令

则1

xy u

dy du

dx dx

u

dy du

1 xe 1

dx dx

du

即

u xdx

eu

1

2

e x c

u

2

故方程的解为

1

2

e x c

x y

2

14．

x y 1

dx

dy解： 令

x y 1 u

则1

dy du dx dx

那么

dy

du

1u

dx dx

du

dx

u1

求得：

ln u 1 x c

故方程的解为

ln x y 1 x c

或可写

为x y1

x

ce

dy

16．

x 1

1

2e

ydx

y解：令

e

u

则

y ln u

1 du

x 1 2u 1

u

dx

1

du 2u 1

u

1 dx

x1

2u 1

u x 1`

即方程的解为

e

x y

2 2 3

y18．

4 x y dx 2 x y

1 dy 0

解： 将方程变形后得

dy

dx

2x3 y 1

4xy22dx 2x3 y 1

dy

同除以

22

x

2y

22

1

4x

22

y22

4x y

22

x

得： x

dy

dz3z

x3

则dy

令z

2y

23

32

z

2

y

2cy

3

x

即原方程的解

为

dy2dy

19.X(

)

dx

2y(dx) 4x 0

解：方程可化为

2y(

dx

x

2y

3

1

24y

3

24y

x()2

dx

dydx

ddyx

p)dx (

p

2x

p) (2

222 x

3

,(2

x(p

dx2

2

p( p

0 p

3

4)dx

2

2)dp 0,( pp2

x22 2

4 x

c2

2x

4或

pdx xdp 0,当p

4)dp

2xdpp

),(pp,则y

xp

2 4x

2 p 2

x

p

,)2x两边对 求导得

xp2xp p

2

x dp

2 dx

4 p)dx

4时2x dp

2

dx

pxp

2 4 x) dp

2x,当pdx

xdp

0时,

2

y

x

4

c2

22

4.

2

,2yc

cx

c (dydx)2

dx

dy x解：令

dx d

2

cos

x

21.(1 ey )dx

20.y

2 1

ysin

,则y21

1,dx

cos

(sin

)2 1，

cos

1 sin

dy dy

2

sin cos

p

sin

sec d2

c tg c

所以方程的解为

y

x c)

2

1,另外由

p

x

(1 )dy

y

解：令

x

z则

x

y

dz

方程为

(1

dx

y

dy

)dx ( z

1)ezdy,

zyz,

z

dx

( z 1)e

zz

ze z z edy

z e

dz 1

y,z

dy

z

z1 e

z

dy

1 ex

ey)

e z

e

dz

dy

y

x

c, y(

xyy

ln z

ln y , y(z e

c所以方程的解为

x ye

y

2x

22

22

y

3 x

22.

3

dx

4

dy

y

y

23x

2)dy

解：2xydx

(y

M

4

Myy4

2x,

6x,

x

8x

4

所以方程有积分因子

e

y

y

dy

y4

2xy

2xy

2

3x2

2xy

3 dx

2

)dy

0,d

xy3

y3

d1

0所以方程的解x

4

)dy

y4

3

y3

0

(1 x

y2 )dy

为

y

)dy,两边同除以

y

得

22

解：

ydx

xdy

(1

2

2

1 y x

dy , d yy

ydx xdy2

y2

2y2

dy

y

所以方程的解y c

即(

x 1) y( y c),

另外

y 0也是解。

y

为

24. y x( x y

22

xdy

2

ydx xdyxy2

xdx,darctg

y

解：方程可化xdx所以方程的解arctg

x y

x

为 为

2

c.

dydx

dx

e

t解：令

dy

t,x

t et由

dy pdx得

y

t

t

2

t (1 e )dt c

te

tt e

dcos2

0得

y 1也

cy3

25.

dy

dydx

edx

x 0

dy

解：令

dx

p t则x

所以方程的解为：

x

3

32

y

23)dx

26(. 2xy

xy

2

x2

解：M

22x

y

y,

x2xd3exye由dy pdx得y

t

tt(1 e )dt

c t2 ett

2

tc

2

tet e c

tte(x

2y t(1 e )dt

y)dy

2tec

t

，

2x,

2

yx

x

2

y

1所以方程有积分因子

ex方程两边同乘

ex

de

0所以方程的解为：3ex x2y ex y3 c

x

得

2x 3y 4

27.

dy dx

4x 6y

5

，dy2 32 3解：

令u

2x 3y

du

u 4

，

，

dx

dx

du 7u 22

dx 2u 5

2u 5

du dx，

7u 22

91 7

1 = dx

，

2u 5

两边积分得

9ln

2x 3y

3

22

314(3y

2

x) c

7

即为方程的通解。

另

7u 22

0

，即

2x 3y

2xy(y x)

x

，方程可化222外，

dy

xy

dx

解：

28.

22

0

也是方程的7

解。

则

两边同除以

为：

dy dx

2xy(y2 x2)

令y

u

，则

x

du

xu

dx

14u

22 2

2

22272ux(ux x)

2024年2月21日发(作者：吉兴发)

习题

1.2

1．

=2xy,

并满足初始条件：

x=0,y=1

的特解。

dydx

解：

dy

=2xdx

y

x2

c

两边积分有：

ln|y|=x

+c

2

2y=e +e =cex

另外

y=0

也是原方程的解，

c=0

时，

y=0

原方程的通解为

y= cex

2

,x=0 y=1

时

c=1

2

特解为

y= e

x

.

2

2. y

2

dx+(x+1)dy=0

并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解。

2

dy 1

解：

y dx=-(x+1)dy

2

dy=- dx

y x 1

1

两边积分 : -

=-ln|x+1|+ln|c|

yy=

ln |c(x 1)|

另外

y=0,x=-1

也是原方程的解

x=0,y=1

时

c=e

特解：

y=

ln |c(x 1)|

2

2

33．

dy

1 y

dx

解原方程xy x y

3

dy

=

1 y2

dx

： 为：

y

1 y2

dy=

1

dy=

dx

x

3两边积分：

x(1+x

2

)(1+y

2

)=

cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为：1 y x 1

yx

dy=- dx

两边积分：

ln|xy|+x-y=c

另外

x=0,y=0

也是原方程的解。5．(

y+x)

dy+(x-y)dx=0

yx

解：原方程为：

dx x y

令y

=u

则

dy

=u+x

du

dx dx

代入有：

u 1 1

-

2

du= dx2

u 1 x

22

ln(u +1)x =c-2arctgu

即

ln(y

2

+x

2

)=c-2arctg

y2

.

x2

6. x

dy

dx

-y+

x2

y2

=0

解：原方程为：

dy=y+|x|

1 (

y)

dx x x

x

则令

y

=u

x

dy du

=u+ xdx dx

1

1du=sgnx dx

1 u2

x

arcsin =sgnx ln|x|+cy

7. tgydx-ctgxdy=0x

ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

解

:

原方程为：

dy dx

tgy ctgx

c

两边积分：

1

siny=

另外

y=0

也是原方程的解，而

c=0

时，ccosx cosx

所以原方程的通解为

sinycosx=c.

y2 3x

dy

e

8 + =0

dx

y

dy3x

e

解：原方程为：

=

dx

ey

y

3x y2

2 e -3e =c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：

dyy=

ln

y

y=0.

dx x x

令

=u ,则

ydy

du

dx

=u+ x

x dx

u+ x =ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx|

du

dx

y

1+ln =cy.

x

10.

=edyx y

dx

dy

x y

=e e

dx

解：原方程为：

e

y

=cex11

dy

2

dydx

=(x+y)

解：令

x+y=u,

则

dy du

dx dx

= -1

du

2

dx

21 u-1=u

1

2

du=dx

arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c

1

12.

2dx

(x y)

==dy解：令

x+y=u,

则

dxdy

=

-1

du

-1=-1=

2

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.

udx dx du 1

13.

dy

2x y 1 dx x 2y 1

=解:

原方程为： (

x-2y+1

)

dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

22

dxy-d(y -y)-dx +x=c

22

xy-y +y-x -x=c

dy x y 5

dx x y 2

解：原方程为： (x-y-2

)

dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=014:

1

2

1

2

dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=0

22

y +4y+x +10x-2xy=c.22

dy

=(x+1)

2

+(4y+1)

2

+8xy

1 dx

解dy

2

：

原方程为：

=(

x+4y

)

+3

dx

令

x+4y=u

则

dy=

1 du-

1

dx 4 dx 4

1 du 1

2

4 dx 4- =u +3

du

2

3

=4 u

2

+13

u=

2

tg(6x+c)-1

2

tg(6x+c)= (x+4y+1).3

16:

证明方程

x dydx

=f(xy),

经变换

xy=u

可化为变量分离方程，并由此求下列方程：22

1)

y(1+x y )dx=xdy

22x dy

2 x

y

2

y dx

2-x y2

dy

du dy1 duu证明： 令 xy=u, 则 x+y=

dx dx

则=-

2，有：

dx x dx x2

x du

=f(u)+1

u dx

11

du= dx

u( f(u) 1) x

所以原方程可化为变量分离方程。

dy 1 du u

1) 令

xy=u

则

= -

2dx x dx x

(1)

2

原方程可化为：

dy

=

y

[1+(

xy

)

2

] (2)

dx x

1 du u u

2

将

1

代入

2

式有：

-

= (1+u

222

)

x dx x x

u=

u2 2

+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设(

x +y

)为所求曲线上任意一点，则切线方程为：

y=y

'

(x- x )+ yy

15:

则与

x

轴，

y

轴交点分别为：

yx= x

0

0

y'

y= y

0

- x

0

y

yx=2 x

0

= x

0

0

y'

所以

xy=c

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为

0

的曲线方程，其中

解：由题意得：

y'

=

y

x

11

dy= dx

yx

ln|y|=ln|xc| y=cx.

=

则

y=tg

x

所以

c=1 y=x.

4

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设

(x,y)

为所求曲线上的任意一点，则

y'=kx

则：

y=kx +c

即为所求。

习题

2.1

1.

dy 2xdx ,

dy

2 xy

,并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解

.

dx

解：对原式进行变量分离得

11两边同时积分得：

y22

2

ln y

x c,

y c

ex

x 0, y 1即把代入得

c 1,

故它的特解为

y

e

。

x2

2.

y dx (x 1)dy 0,

并求满足初始条件：

x=0,y=1

的特解

.

解：对原式进行变量分离得：

当y 0时显然也是原方程的解 。当

x 0,y 1时，代入式子得

c 1,故特解是

1

1

1dx

1

12

dy,当

y

0时，两边同时积分得

ln x 1

y

c,即

y

y

1

c ln x 1

1 ln1 x

3

dy

y3

xy

x y

1dx2

解：原式可化为：

dy y

3

显然

0,

故分离变量得

2

2 dy

3 dx

33dx y x

x

y 1

y

x

x

22221

1

2

2

两边积分得

ln1

y ln x ln1

x

lnc(c 0),即(1

y )(1

x)

21y22

y1故原方程的解为(

1

y

)(1

x ) cx

2 2

2

cx

4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0

解：由

y 0或x 0是方程的解，当

xy 0时，变量分离

dx dy 0 xy

两边积分

ln

x x ln y y c,即

ln xy x y c,

故原方程的解为

ln xy x y c; y 0;x 0.1 x1 y

5:(y x)dy ( y x)dx 0 dy y x

令

y

解：

dx y

则u x

du

dx

两边积分

得：

dy

,令

u, y

ux,

u 1dx

xx ,

变量分du

x

dx

11

du dx

1x

ln x

c。

离，

u1

1

arctgu ln(1

得：

22

u)

2

dy

6：x y

dx

dudy u, y ux,

dx

令y

xdx,则原方程化为：

解：

x

22

11

du

x (1

u )

,分离变量得：

1

u2

du sgnx? dx

1xy

dx

u

x

y

两边积分得：arcsinu

sgnx ? ln x c

arcsin

代回原来变量，x

sgnx ?ln x

得

2

2

x也是方程的解。

另外，

7：tgydx

解：变量分离，得：

ctgxdy 0

ctgydy tgxdx

两边积分得：ln sin y

ln cos x c.

y

y

3 x

8:

ydy

dx y

y1

3 x

2

dy

解：变量分离，1c

ey

3

得

9 : x(ln x ln y)dy

ydx 0

y

解：方程可变ln dy

dx 0

x

x

为：

y1令u ,则有： dx xx

ln u

d ln u

y

1 ln u ln

。

代回原变量得：

cy

2

ee

2

dyx y

10

：

edx

解：变量分离

y

y两边积分

e

e dy

x

ex

x

e dx

c

dy

x y

dx

e

解：变量分离，

e dy

两边积分得：

x

e dx

c

11.

dx

(x y)

解：令

x y t ,则

dy dt 1

dydx dx

原方程可变为：

dt 12

1

2dx

t

1

变量分离得：

21 dt dx,

两边积分

arctgt x c

t1

代回变量得：

arctg ( x y) x c

12．dy1dx (x

y)2

令

x y t

，则

变量分离

2t

解

dy

dx dx

dx两边积分

t

arctgt x

dt

dtdxdt

1，原方程可变为

1t2

1

t1

x

y arctg ( x

13. dy 2x y

dx x 2 y

解

：方程组

2x

1

令

，

c代回变量

，

y)

x

c

1

1

y

1

10, x 2y

,

30;的解为

x

2 X YdY1

,y

3令

x X , y

Y

Y

X

3 ,

U，则方程可化为：

X

dY

dX

则有

'

X 2Y

'dU2 2U2dX12U

U变量分离

14,

dy x y 5

dx x y 2

dydt解：令x y 5 t,则

1

,

dt t1dx dx

原方程化为：1

,变量分离

(t 7)dt 7dx dx t 7

22

两边积分

t 7t 7x c

t

12代回变量

( x y 5)

7(x y 5) 7x c.

dy

21)

(4y (x

dx

15．

12

1)

2

8xy 1

2

dy

解： 方程化为

dx

x2 2x 1 16y

2

8y

dydx

8xy 1 ( x

21) 2

4y

令1

分离变量

1

4u2

x求导得1 4u，则关于

原方程的解。

9

du 1 du

，所以

，

dx

22

4 dx

，

两边积分得

arctg (

x

3y)

du dx，

33

6x

c，

942 28

16．

解：

du

dx

dy

dx

dy

dx

23u62

y 2x

2xyxy522dy3

(y ) 2x

2 3 2

y (2xy x

3 2 2

322dx

3[( y) 2x]2xy x

322，

32

，令

y u，则原方程化为

3

2

266x

x

2

23u，这是 齐次方程，令

2xu

x

2

u

1

x

2

z，则

du

2当z

2当z

z6

0时，变量分

离

37335

即（

y

3x)

(y

2x)

x

c，又因为

dz

z x

dx dx 6 0，得

z 33z

6

或

z

2z

1

z x

，，

x

dx

2是

1)

dz，所以

2dz

dx

2zz 6

(1)

32z 1

方程的解。即

y3

13x或y

2x是方程的解。

7352z 1

dz dx，两边积分的（

z 3）

（z 2）

xc,

x

zd

33y

3x或y

2x包含在通解中当

c 0时。故原方程

的解为

333(y

73x)

(y

2x)

15xc

17.22x33 3xy x

dx 3x y 2y

解：原方程化dy x(2

2x

23y

1) dy2

2

2x222 3y2 1

为

dx

22

y(3x2 2y2 1) dx

2222

3x

2y

令

y2 u,;;;;;x

则

du 2v 3u 1 v;;;;;;;

dv 3v

2u 1

(1)

2v 3u

方程组

0

的解为（1，

3v 2u

1）

；令

Z v

1，Yu

0

，

3y z

y

3 2

z

则有

2z3z

3y

0

2y

，

，，从而方程1化为dydz

0

，

（

）

y，，则有

dy

z

dt

，，所以

t

dt

3t

，，

dt

z

dz

dz

zdz

2t

zdz

22t

01，是方程

（2）的2或

时，，

解。得

y

232t1

2t

0两边积分的

y3 2t 1

分离变量得

2

2t2

dt

zdz

时，，

另外

yx22

2，或y

x2，包含在其通解中，故 原方程的解为

1，

2

2 2t

2

，

(2)

3 2t

x2是原方程的解

(y2

2)5c

2(y

225

x

52)c

18.证明方程

f (xy)经变换

xy u可化为变量分离方程， 并由此求解下列方程

y dx

1).y(1 x y2)dx xdy

x dy 2 xy

(2).22

y dx 2 x

y

(2).222x dy22

22

证明：因 为xy u,关于x求导导得y x

dy

dx 1 du du u

得：

1 f(u), (f(u) y dx dx y(f(u) 1) x

故此方程 为此方程 为变程。dy,所以x

dy du y dx dx dx

1

du

1) (uf(u) u)

1

x

x

19.

已知

f(x)

f(x)dt 1,x 0,

试求函数

f (x)解(1):当x 0或y 0是原方程的解，当

xy

0s时，方程化 为x dy

22

y dx

y12y'

1xy

1令xy u,则方程化 为

du

1(2u

3

两边求导得ydu

1

dx

dx

x

u3),变量分离得：

3

x

2u

u

2

2

y两边同时积分得：

u2

c,即2

2

2

也包含在此通解中。

u2

x

2

x

y2

,y

02

故原方程的解 为 原

2

y2

x y

22

2

2

cx

,x

0.

则原方程化为

12

解

(2)令

xy

u，

ddxu

x(u 2x2

2

u

u

2

u)

1 4u

x2

2

分离变量得

2 u du

1

yxy

2

2

4u

1 dx，两边积分得

ln

x

4

c这也就是方程的解。

的一般表达式

.

x

，

0

解：设

x

f(x)=y,

则原方程化为

f (x)dt

0y3

dy ;;;;;;;;;;dx dx

1

;;;;;;;;;;;;两边积分得

x c

12 y12;;;;;所以y

y3dy

x

把y

代入

2x c

f (x)dt

0

1

2x c

11 dt 2x c;;;;;;;;;; ( 2x c c) 2x c得c 0,所以y

0

2t c 2x

20.求具有性质

x(t+s)=

x(t) x(s)

的函数

x(t),

已知

x'(0存)

在。

1 x(t)x(s)

解：令

t=s=0 x(0)=

x(0) x(0)

=

2x(0)

1 x(0) 1 x(0)x(0)

若

x(0) 0

得

x=-1

矛盾

22

所以

x(0)=0. x

'(ltim)=

dx(t)

dt

x(t t) x(t) lim x'(0)(1 x(t))

t t[1 x(t)x( t)

x( t)(1 x2(t))2x'(0)(1 x(t))

1 x (t)

22

2

x'(0)dt

两 边 积 分 得

arctg

x(t)=x

'

(0)t+c所 以

x(t)=tg[x

'

(0)t当+c]t =0

时

x(0)=0

故

c=0

所以

x(t)=tg[x

'

(0)t]

习题

2.2

求下列方程的解

1．

=

y sinx

dx

dy

解：

y=e ( sinxe

x

dx dx

dx c)

1

x

2

x1

=e [- e (sinx cos x )+c]

=c e - (sinx cosx )是原方程的解。

dx

2t

x2．

+3x=e

2t

dt

dx解：原方程可化

为：

=-3x+e

dt

2t

3dt 3dt

所以：

x=e

3dt ( e2t e

3dt

dt c)

1( e +c)

5

3t2t

+ e

是原方程的解。

=c e

5

ds 1 =-scost +

3．

dt

sin2t

2

=e

13t

5t

5t

解

：

s=e

=e

costdt

costdt

(

sin 2t e

2

1

3dt

3dt

dtc)

sint

(sint costesin t dt

c)

sint sint

sint

( sinte

=

ce

sint

e

c)

sint

dyxdy x

dx ny

xn

4．

ex

解：原方程可化

为：

dy 1 2x

dy12x5．

dx

+

x2

y

解：原方程可化

为：

43

6．

dy

xx

2

dx

xy

43

dy是原方程的解。

n

为常数

.

dy

dx

x

y

n

n

dx

xex

xn

nex

e (

nx

xn

dx

x dx c)

x (e

c)

是原方程的解

.

1=0

dy

dx

e

e

1 2x

2x12x 1

x2

dx

1x

2

2x

dx

x2

(e

dx c)

1(ln x2

)

)ln x2

x2(

1

dx c)

=

x2

(1

ce)

x是原方程的解

.

解：

dx

xx

2

2xy

3

3xy2y2

+

x

xy

u则

因

x

y ux

此：

du x

ux

dxdu

u2

1

dx

2

u

u2du dx

1

3

3

u

xc

3

u

3x x

将y

x

u

带入 （*）

dy

dx

=u

c

（*

）

中 得：x

du

dx

y3

3x4

cx3

是原方程的解

令y

7.解：dy2ydxx1

3(x 1)3

dx x 1

P(x)

,Q(x) (x 1)3

x1

dy 2y

(x 1)2e

P(x)dxP(x)dx

e

x 1

2dxx1

(x 1)2

P(x)dx P( x)dx

方程的通解为：

( e Q(x)dx c)

=(x+1)(

2

2

*(x+1)d3x+c)

( x11)y=e

=(x+1)(

2 (x+ 1)dx+c)

=(x+1)

22((x 1)2

2

(c)

即：

2y=c(x+1) +(x+1)

4为方程的通解

8.

=

3

dx x y3

3

dx x+y 1

解：

x y2

dy y y

dyy1

2

则P(y)=

,Q(y) y2

1yP(y)dy

1dyy

e e

y y

方程的通解为：

x=e

P(y)dy P(y)dy

=y(

1(

e Q( y)dy c)

2

*

3

y2dy c)

cy

y

y

3

即

x=

+cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

y2

ay x 1 dx

ax,a为常数

x1

解：（P x）

,Q(x)

aP(x)dx

e

ex

dx

方程的通解为：

y=

P(x)dx

P(x)dxe(eQ(x)dx c)

=x

axx

a(

a

dx+c)

1x+1

当

a 0时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c

当

a 1时，方程的通解为

y=cx+xln/x/-1

当

a 0，1时，方程的通解为

ax1 y=cx + - 1-a a

10.x

y x3

dx

dy解：1dy 1

y x3

3

dx x 13

P(x) ,Q(x) xx

P(x)dx

e e1xdx

1

P(x)dx P(x)dx

x

x

方程的通解为：

y= e ( e

( x* xdx c) x

3

xc

3

3Q( x)dx c)

方程的通解为：

x 4

y=3

c

2

ln x 1 12.( yln x 2) ydx xdy x

4 2 4

解：dy ln x

y2

2y dx x x

两边除以

y

ln x

2y

x

ln x

x

1

2dy

ydx

dy21x

2y

1

1

dx

x

z

令y

dz 2 ln x z

dx x x

2P(x) ,Q(x) x

方程的ln x

通解为：

x

P(x)dx P(x)dx

z e ( e Q(x)dx c)

dx

x

ln x

2

1 ln x

xx2z e

( e

( )dx c) x(

2 ( )dx c) x x x

x22

dxc

2

ln x 1

x

4 2 4

方程的通解为

: y(c x2

ln x 1) 1,且y=0也是解。

4 2 4

13

2xydy (2y2

dy

x)dx

2y2 x dx 2xy

y1

x 2y

这是

n=-1

时的伯努利方程。

1

两边同除以

1

，

y

dy

dx

2

dx

11dz dy

令

y2

z

2y dx dx

dz 2y2

2z

x

dye

3x

Q(x)=-1

14

dx

P(x)=

2

x

x

由一阶线性方程的2y求解公式

2

两边同乘以

eydx

令

ey

z

ey

2

dy

dx

dxx

dx

y 2 y

c)

y1 2y

(e)3xe2

x

dz

2

=x

xc

dx

3z

ey

dy

dx

dz z

3xz

2这是

n=2

时的伯努利方z

2

2

dx x

x x

程。

1z2

dz31dx

xz x2

z dx xz x z

33dx

1

dx

T e

x

(

x2e

dx c)

xcx

11z(

x

3cx) 1

2

y

1

1 3

e ( x cx ) 12

1两边同除以

x2

ey

cey

x3z

2

dT 1 dz dT 3T 1

dx z2 dx dx

2

xx

P

(x)

=3

1

xx

Q(x)=

2

由一阶线性方程的求解公式

12

=x

3(

2

x

c)

令

1z

T

15

dy

1

dx

xy x y

33

dx

3 3

dy

yx y x

这是

n=3

时的伯努利方程。

两边同除以

x3

1 dx yx dy x

32

2

dz

3

dx

2

z

dy

2x

3令

dy

x

dz

2y2

2y3 =

2yz 2y3x P(y)=-2ydy x

由一阶线性方程的求解公式

2ydy

3

2ydy

z e ( 2y e dy c)

=e

y ( 2y3ey dy c)

2 y2

= y 1 ce

2 2 y2

x ( y 1 ce ) 1

2 y2 2 y2 y

x e ( y 1 ce ) e

y2 2 2 2 2

e (1 x x y ) cx

16 y=ex+

xx

0 y(t)dt

dydxdx

ex

y(x)

dxdy

x

ye

P(x)=1 Q(x)=

ex

由一阶线性方程的求解公式

3

y

Q(y)=

2y

1dx

x1dx

y e ( e e dx c)

x x x

=

e ( e e dx c)

x=

e(x c)

e (x c)

x

ex(x

0

c)dx

c=1

y=ex(x

c)

17

设函数

x

∞

∞上连续，

' (0)存在且满足关系式

(t+s)=

(t) (s)

试求此函数。

令

t=s=0

2(0)

即

(0)=

(0)

故

(0)

(0)

(0+0)=

0

或

(0)

1)

t(

(0)

0时

(t)

(t 0) (t) (0)

即

(t)

∞)

(0) 1

时

(t)

(t t) (t)

limt 0

t

=(2)

lim(t) ( t) t

t 0

(t)

(t)( ( t) 1) ( t 0)

(0)

t 0

lim

t 0

t

limt

(t)

=

(0)

'(t)

于是

d

dt

(0) (t)

变量分离得

1

，即

t=0

时

1

d

'

(0) dt

积分

ce

(0) t

由于

(0)

1=ce0 c=1

20.试证：

1)

一阶非齐线性方程(

2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(

2.3)

故

(t)

(0)t

之解；

2）若

y y（x）是（2.3）的非零解，而

y y（x）是（2.28）的解，则方程（2.28）

的通解可表为

y cy（x） y（x），其中

c为任意常数

.

解.

证明：

1）

2）

3）方程（

2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（

2.3）的

ddyx

P(x)y Q(x)

2.28)

ddydx

x

P(x)y

2.3)

设

y1，

y2是（

2.28）的任意两个解

dy1

dx

P(x)y1

Q(x)

1）

dy2

dx

P( x) y2

Q(x)

2）

1）-（2）得

d y1

y2

dx

P(x)(y1

y2)

即

y y1

y2

是满足方程（

2.3）

所以，命题成立。

由题意得：

dyd(xx)

P(x)y

3）

d

dy(xx)

P(x):y(x) Q(x) dx

4）

1）先证

y

cy y

是(2.28)

的一个解。

于是cdy

dy

cP( x) y P(x) y

Q(x)

dx

dx

d(cy y)

dx

P(x)(cy y) Q(x)

故

y cy y是(

2.28)的一个解。

2)

现证方程(

4)的任一解都可写成

cy y

的形式

设

y1

是(2.28)的一个解

则

P(x) y1

Q(x)

dx

dy1(4')

于是 (4')

-(4)得

d(y1dx

y)P(x)(y1

y)

dx

::

P( x)dx

从而

y1

y ce cy

即

y1

y cy

所以，命题成立。

3)

设

y3

，

y4

是(

2.3)的任意两个解

则

P(x) y3

dx

4 P(x) y4

dx

dydycdy3(

5)

(6)

3于是(

5)

c得

即

d(cy) cP(x)y3

dx

3

P(x)(cy3)

dx

其中

c为任意常数

也就是

y cy3

满足方程(

2.3)

(

5) (6)得

P( x) y3

P(x) y4

dx dx

即

3

4

P(x)(y3

y4) dx

dydxdxd(yy)dx3

dy4也就是

y y3

y4

满足方程(

2.3)

所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

5) 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 设

p(x, y)为曲线上的任一点，则过

p点曲线的切线方程为

解：

Y y y'(X x)

6)

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为

(x

y ,0),(0, y xy ') y'

y

即 横截距为

，

y'

纵截距为

xy '

由题意得：

5)

y xy

方程变形为

dy

x

dy 1

dx

y

dx x

x( ( xg1)dx于是

( x)e

x

( 1x)dxc)dx c)

y xy'

x y

所方程的通解为

y2

以，方程变形为

x cx

。x

dy y x dx 2

26)

x ( x c)

x cx

2

2

dy 1

dx 2x

y1

2

dx

1( )dx

11

于是

2

y e

( ( )e

dx c)

2x2 x

1

25ln x

22e

( ( )e

dx c)

2

12ln x

11

1

2

x2( ( ) x dx c)

1211

12

1

21x( ( gx

)dx c) 2

11

x

( x

c)

x cx

1

2221

2

2所以，方程的通解为

y x cx

22．求解下列方程。dx x 1x

x1y e

(

2

x

1

2x

2 dx

c)

= / x2 1/

2[

x2

1/x

21

dx c]

1/

c]

2= / x2 1/

2[

2/xdx

1/2

25

(x

1) y' xy 0

xy1解：

y'

2

y

x1

2

1

P(x)= Q(x)=

sin xcosx

sin x

cosx

由一阶线性方程的求解公式

1

dx

sin2

x

sin xcos x

1

dx

y e ( e dx c) cosx

sin x cosx

sinx

= ( sin xdx c)

cosx

sinx

= ( cosx c)

cosx

=

tgxc sin x

习题

2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.

(x2

y)dx (x 2y)dy 0

解：

M

yMN

1，

yx

=1 .

则

N x

所以此方程是恰当方程。

凑微分，

xdx 2ydy (ydx xdy) 0

21得 ：

x3 xy y2 C

3

2．

(y 3x

)dx (4y x)dy 0

2解：

N则MN 1，

1

.

yx

M

y

.

x

所以此方程为恰当方程。

凑微分，

ydx xdy 3xdx 4ydy 0

2得

x

xy y

C

32222

3．

[ 2

]dx [(xyy)6x1xy (xy) 2]dy

022

解：

22M 2y(x y) 2y(x y)( 1) 2xy

y (x y)4 (x y)3

422N 2x(x y) 2x(x y) 2xy x (x y)

M

x

(x y)

3则因此此方程是恰当方程。

对（1）做

x

的积分，则

u

1）

2

y

dx

(x y)

2

2dx (y)

x

1

2）

u

xy

2

y2

yln x

(y)

（31

x

2

x (x

y)2

u 1

yx

y

(x y)2

1)y2

对（

3）做

的积分，则

对（ ）做

y

的积分，则

u （yy(x y)2y

d (y)

dy

(x

=y)2

d (y)

dy

2xy

2

y2

2=

(x

2xy)

1

则

d (y) 1 x2

dy y (x y)2 (x y)2

y2 2xy

y (x y)21 x2 2xy y2

y (x y)

2

1

(y) ( 1)dy ln y

y

y

22

y

u ln x ln y xy

2

22y ln

y y

xy y

ln

y xy

x x y x x y

xy C

故此方程的通解为

ln

y

xy

x

2

y2

)dy 0

4、

2(3xy2

2x3)dx 3(2x2

y

解：

My 12xy

，

12xy

.

N

x

MN yx

.

则此方程为恰当方程。

凑微分，

6xydx 4xdx

232 2 4 3

2

ydy 3y2dy 0

3d(x2y2) d(x4

) d(x3) 0

3得 ：

422x

3xy

y

C

5.(

1

sin

x

-

y2

cosy

+1)dx+(

1

y y x x x

cos -

2

sin +

2

)dy=0

x y

1

y

y x x 1

y y

x x 1

x yN= cos -

2

sin +

2

x

y y

x

y

M=

--1

2

=

2

y-1

-yy

sin

x

3

y

cos

yx

1

2

x

1

2

cos +

3

sin

3x xx xy y y

x

N

x

x

Mx

3

x

sin -

y

Ny

cos -

y

ycosy

+

y3

sin

3x

x

所以，

=

，故原方程为恰当方程

yx

因为

sin

dx-

cos

dx+dx+

cos

dy-

sin

dy+

dy=0

y y x x x x y y

1xyy2y1yxx212

d(-cos

x

)+d (sin

y

)+dx+d(-

1

)=0

y x y

所以，

d(sin

-cos

+x -

)=0

yx1xyy

故所求的解为

sin

-cos

+x -

=C

yx1xyy

求下列方程的解：

x

2x

26．2x(y

e

-1)dx+

e

dy=0

xx解：

= 2xe

,

Mx2N

=2xex2