2024年6月2日发(作者：昝哲)
2022年河南省济源市郑州第二外国语学校高二数学文期末试
卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 已知，则 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
D
2. 抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为
( )
A. B. 1 C.
D. 2
参考答案：
A
3. 已知中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF
1
F
2
的内切圆与x轴相切于
点Q（2，0），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出a，c即可得到结论．
【解答】解：中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上的双曲线为﹣=1，
作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，
∵△PF
1
F
2
的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），
∴|F
1
Q|=|F
1
C|=c+2，∴|F
2
Q|=|F
2
B|=c﹣2，
∴由双曲线的定义得||F
1
P|﹣|F
2
P|=|F
1
C|﹣|F
2
B|=c+2﹣（c﹣2）=4=2a，
∴a=2，
∵双曲线经过点P（4，2），
∴﹣=1，
即=1，则b
2
=4，
c===2，
则双曲线的离心率e===，
故选：A
4. 已知函数的导数为 ，且满足关系式，则=（
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 已知函数f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
）
A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】题目中条件：“函数f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个
不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．
【解答】解：由于f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x
2
+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a
2
﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选C．
6. 集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是 （ ）
A．｛0，2，－2，2，－2｝ B．｛0，2｝
C．｛0，2，－2，2｝ D．｛0，2，－2｝
参考答案：
D
略
7. 展开式中不含x
4
项的系数的和为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
参考答案：
C
8. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是( )
A．y
2
=﹣8x B．y
2
=8x C．y
2
=﹣4x D．y
2
=4x
参考答案：
B
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．
【解答】解：∵准线方程为x=﹣2
∴=2
∴p=4
∴抛物线的方程为y
2
=8x
故选B
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．
9. 下列向量中不垂直的一组是
A., B. ,
C. , D. ,
参考答案：
B
10. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x
2
+y
2
=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣
y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系；三角形的面积公式．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，﹣1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算
出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y﹣1=0，进而算出圆心C到l的距离d=，再根据垂径定
理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2．最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三
角形的面积公式即可算出△OAB的面积．
【解答】解：∵圆C的方程为x
2
+y
2
=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x
2
+（y+1）
2
=4，
由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．
∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），
∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．
因此，圆心C到直线l的距离d==．
∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，
又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，
∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．
故选：A
【点评】本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重
考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦
点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数
；若不存在，请说明理由.
参考答案：
(1)设椭圆方程为，当时，，又，
故椭圆方程为 5分
(2) ，由得
，即 7分
，， 10分
若的三条边的边长是连续的自然数，则，即
略
12. 已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___．
参考答案：
（2,3）
【分析】
令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.
【详解】令x-2=0,所以x=2，
把x=2代入函数的解析式得.
所以函数的图像过定点A（2,3）.
故答案为：（2,3）
【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基
础题.
13. 函数的导函数的部分图象如图所示，其中，为图象与轴的交
点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．
（1）若，点的坐标为，则 ；
（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率
为 ．
参考答案：
（1）3；（2）.
14. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确
记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，如图所示，孩子已经出生
_______天．
参考答案：
468
15. 化简： .
参考答案：
-1
16. 在锐角△ABC中，，，AC的取值范围为__________．
参考答案：
解：由题意，得，
解得．
由正弦定理，
得，
∵的取值范围为，
故．
17. 若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即B（1，1），
代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3
故答案为：3．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
2024年6月2日发(作者：昝哲)
2022年河南省济源市郑州第二外国语学校高二数学文期末试
卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 已知，则 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
D
2. 抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足
.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为
( )
A. B. 1 C.
D. 2
参考答案：
A
3. 已知中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上的双曲线经过点P（4，2），△PF
1
F
2
的内切圆与x轴相切于
点Q（2，0），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据三角形内切圆的性质结合双曲线的定义，求出a，c即可得到结论．
【解答】解：中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上的双曲线为﹣=1，
作出对应的图象如图：设三个切点分别为A，B，C，
∵△PF
1
F
2
的内切圆与x轴相切于点Q（2，0），
∴|F
1
Q|=|F
1
C|=c+2，∴|F
2
Q|=|F
2
B|=c﹣2，
∴由双曲线的定义得||F
1
P|﹣|F
2
P|=|F
1
C|﹣|F
2
B|=c+2﹣（c﹣2）=4=2a，
∴a=2，
∵双曲线经过点P（4，2），
∴﹣=1，
即=1，则b
2
=4，
c===2，
则双曲线的离心率e===，
故选：A
4. 已知函数的导数为 ，且满足关系式，则=（
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 已知函数f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
）
A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】题目中条件：“函数f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个
不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决．
【解答】解：由于f（x）=x
3
+ax
2
+（a+6）x+1，
有f′（x）=3x
2
+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a
2
﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选C．
6. 集合｛Z︱Z＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是 （ ）
A．｛0，2，－2，2，－2｝ B．｛0，2｝
C．｛0，2，－2，2｝ D．｛0，2，－2｝
参考答案：
D
略
7. 展开式中不含x
4
项的系数的和为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
参考答案：
C
8. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是( )
A．y
2
=﹣8x B．y
2
=8x C．y
2
=﹣4x D．y
2
=4x
参考答案：
B
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．
【解答】解：∵准线方程为x=﹣2
∴=2
∴p=4
∴抛物线的方程为y
2
=8x
故选B
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．
9. 下列向量中不垂直的一组是
A., B. ,
C. , D. ,
参考答案：
B
10. 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x
2
+y
2
=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣
y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1 B． C．2 D．2
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系；三角形的面积公式．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，﹣1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算
出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y﹣1=0，进而算出圆心C到l的距离d=，再根据垂径定
理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2．最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三
角形的面积公式即可算出△OAB的面积．
【解答】解：∵圆C的方程为x
2
+y
2
=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x
2
+（y+1）
2
=4，
由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．
∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），
∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．
因此，圆心C到直线l的距离d==．
∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，
又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，
∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．
故选：A
【点评】本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重
考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示，设抛物线的焦点为，且其准线与轴交于，以，为焦
点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为P.
（1）当时，求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使得的三条边的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数
；若不存在，请说明理由.
参考答案：
(1)设椭圆方程为，当时，，又，
故椭圆方程为 5分
(2) ，由得
，即 7分
，， 10分
若的三条边的边长是连续的自然数，则，即
略
12. 已知函数的图象恒过定点A，则A的坐标为___．
参考答案：
（2,3）
【分析】
令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.
【详解】令x-2=0,所以x=2，
把x=2代入函数的解析式得.
所以函数的图像过定点A（2,3）.
故答案为：（2,3）
【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基
础题.
13. 函数的导函数的部分图象如图所示，其中，为图象与轴的交
点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点．
（1）若，点的坐标为，则 ；
（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率
为 ．
参考答案：
（1）3；（2）.
14. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确
记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，如图所示，孩子已经出生
_______天．
参考答案：
468
15. 化简： .
参考答案：
-1
16. 在锐角△ABC中，，，AC的取值范围为__________．
参考答案：
解：由题意，得，
解得．
由正弦定理，
得，
∵的取值范围为，
故．
17. 若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 ．
参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即B（1，1），
代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3
故答案为：3．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤