2024年2月23日发(作者：汉从雪)

上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y=1-x2的定义域是 .2．已知a>0，将aa化为分数指数幂ak形式，则k= .3．已知复数z=1+ai(aÎR)，其中i是虚数单位，Re(zi)=2，则a= .4．某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 .5．A=x∣5+4x-x2>0,B={y∣y=5-x,xÎA}，则AÈB= .{}6．log62=a，则log32=

（用a表示）.7．已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a

线AM与直线AN的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=

．12．设函数f(x)在R上存在导数f¢(x)，对任意实数x有f(x)-f(-x)=2x，且当xÎ(0,+¥)时f¢(x)<1，若m¹-4,f(4+m)£f(4)+m，则实数m的取值范围是 .二、单选题13．“lnx=1”是“lnx2=2”的（

）()A．充分非必要条件C．充要条件B．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件14．小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（

）A．0.45B．0.5C．0.55D．0.622PPFOax8y15．为椭圆+上一点，到左焦点的距离为，则到原点的=1a>0()2a23a2P距离为（

）3A．a4B．10a4C．7a4D．a2216．已知aÎR,x-x+a()5=a0+a1x+a2x2+¼+a9x9+a10x10，则下列三个代数式①9a10②③，其值与无关的个数为（

）åaiåaiåai8i=1i=1i=1A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题17．数列{a}中，a1=-1,an+1=lan+3,n是正整数，数列{a}的前n项和试卷第21页，共33页

(1)若l=1，且Sn-14<0，求n的值；(2)若l=3an3ü，求证ìían+ý是等比数列，并求.2þî18．如图，已知四棱锥4.P-ABCD中，四边形ABCD是边长为的菱形，PA=3(1)若四棱锥P-ABCD是正四棱锥，求四棱锥P-ABCD的体积V；ruuur(2)若AP^平面PCD,uuuBP×AD=17，求PC的长.19．电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位111参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为2、、，记该参加34者闯三关所得总分为ξ.(1)求该参加者有资格闯第三关的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．20．如图1，已知抛物线t的方程为x2=y，直线l的方程为y=kx+1，直线l交抛物线t于A(x,y)､B(x,y)两点(x

(1)若k=0，求VAOB的面积的大小；(2)ÐAOB的大小是否是定值？证明你的结论；(3)如图2，过点A､B分别作抛物线的切线AP和BP（两切线交点为P），AP,BP分别与x轴交于M,N，求△MNP面积的最小值.21．定义：设y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为对任意实数x恒成立，则称f¢(x)和g¢(x)，若不等式颢ùéùfx-gxfx-gx£0()()()()ëûëûy=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”.xxfx=eg2(x)=x，分别判断这两gx=0()()12æö1(1)给出两组函数，①fx=和②和1()ç÷èeø组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；(2)若y=f(x)､y=g(x)是定义在R上的可导函数，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=lne-x+1+x，证明：y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”；(3)f(x)=sin(x+q),g(x)=cos(x-q)，写出“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.()试卷第41页，共33页

参考答案：1．[-1,1]【解析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【详解】解：Qy=1-x2要使函数有意义，需满足1-x2…0解得-1„x„1函数的定义域是：[-1,1]y=1-x2故答案为：[-1,1]【点睛】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1等方面限制，属于基础题．2．34【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.123æö4【详解】aa=a×a=a=ça÷=a.èø123232故答案为：3.43．-2【分析】先求得zi，然后根据zi的实部求得a.【详解】依题意，zi=(1+ai)i=-a+i，而Re(zi)=2，所以-a=2,a=-2.答案第11页，共22页

故答案为：-24．14【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】高一高二有1000-300=700人，700=14人.1000所以高一高二的参加活动的总人数20´故答案为：145．(-1,6)【分析】解二次不等式化简集合A，进而化简集合B，从而利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为A={x∣5+4x-x2>0}={x-1

7．2【分析】根据f(x)的奇偶性和零点求得b以及c=-a，由此求得g(x)与x轴交点的横坐标，进而求得AB.【详解】由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=-abc=0,abc=0，令f(x)=0，解得x=a或x=b或x=c，由于a0，且c=-a.所以g(x)=ax2+bx+c=ax2-a=a(x+1)(x-1)，令g(x)=0，解得x=±1，所以AB=2.故答案为：28．3EFGH3,2【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形为矩形，且EF=HG=HG=GF=2，即可计算得出答案.【详解】答案第31页，共22页

Q三棱锥P-ABC为正三棱锥，PA=4,AB=3,PB^AC，PB=4,AC=3，QE,F,G,H分别是AB,BC,PC,PA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，HEPPB，GFPPB，且EF=HG=13AC=,22HG=GF=1PB=22EF^HE，四边形EFGH为矩形，四边形EFGH的面积为2´3=3，2故答案为：3.9．1【分析】根据正弦定理和余弦定理求得正确答案.sinAsinA=，sinBcosC+sin2BsinBcosC+2sinBcosB【详解】依题意由正弦定理、余弦定理得:sinAsinBcosC+2sinBcosB

=aa2+b2-c2a2+c2-b2b×+2b×2ab2acaa2+b2-4b2a2+4b2-b2b×+2b×2ab2a×2b=答案第41页，共22页

=aa2-3b2a2+3b2+2a2a=a=1a.故答案为：110．-4【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.1ab【详解】依题意c=6,ab=6,ab=12,=2.2cuuuruuurrCA×ABr×依题意，a=uuuABuuuruuuruuurrABCA×ABuuuuuur=uuur2×AB,ABABuuuruuurrCA×ABuuuruuurruuur2×AB×CB所以a×CB=uuuAB=bc×cosπ(-A)×c×acosB=-abcosAcosBc22baæabö=-ab××=-ç÷=-ècø故答案为：-411．-1答案第51页，共22页

【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆C的方程，由韦达定理得到x1+x2，x1x2，从而利用斜率公式直接运算即可得解.2a=2,b=1x【详解】因为椭圆C:+y2=1，所以，其右顶点为(2,0)，下顶点为(0,-1)，4所以过点(2,-1)的直线l的斜率存在且不为0和-1，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即y=kx-2k-1，设M(x,y)，N(x,y)，点M，N的坐标均不为(0,±1)，2211ìy=kx-2k-1,1+4k2x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0联立ï整理得，íx22ï+y=1,î4则Δ64=(2k2k1)+()24-1(4+k216+)(k216k)=64-k0>，解得k<0,因为Δ0>时，x1+x2=8k(2k+1)16k2+16k，，x1x2=1+4k21+4k2y-1x+y-1x所以k1+k2=y1-1+y2-1=(1)2(2)1x1x2x1x2=(kx1-2k-2)x2+(kx2-2k-2)x1x1x2=2kx1x2-2(k+1)(x1+x2)x1x216k2+16k8k(2k+1)2k×-2(k+1)×1+4k21+4k2=-1=.16k2+16k1+4k2故答案为：-1．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x,y),(x,y)；1122答案第61页，共22页

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算D；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；（5）代入韦达定理求解.12．-¥,-8U0,+¥][()【分析】构造函数g(x)=f(x)-x，结合已知得出g(x)-g(-x)=0，即g(x)为偶函数，利用导数得出函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，所求不等式变形等价于f(4+m)-(4+m)£f(4)-4，即g(4+m)£g(4)，再结合单调性解不等式得出答案.【详解】Q当xÎ(0,+¥)时f¢(x)<1，当xÎ(0,+¥)时f¢(x)-1<0，令g(x)=f(x)-x，Qf(x)-f(-x)=2x，，g(x)-g(-x)=f(x)-x-éëf(-x)+xùû=f(x)-f(-x)-2x=0g(x)为偶函数，Q当xÎ(0,+¥)时g¢(x)=f¢(x)-1<0，函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，Qm¹-4,f(4+m)£f(4)+m，等价于，f(4+m)-(4+m)£f(4)-4，即g(4+m)£g(4)，答案第71页，共22页

则当4+m>0时，即m>-4时，由函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，得4+m³4，解得m³0，当4+m<0时，即m<-4时，-4-m>0由g(x)为偶函数，得g(4+m)=g(-4-m)£g(4)，由函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，得-4-m³4，解得m£-8，综上，m的取值范围为(-¥,-8]U[0,+¥)，故答案为：(-¥,-8]U[0,+¥).【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.13．A【分析】根据lnx=1与lnx2=2的推出关系判断充分性与必要性是否成立.()【详解】当lnx=1时，x=e，则lnx2=lne2=2，故充分性成立；()()当lnx2=2时，x2=e2，则x=±e，故必要性不成立，所以“lnx=1”是“lnx2=2”的充分非必要条件.()()故选：A14．A【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案.【详解】设小明遇到的三人分别为A，B，C，1则小明遇到三人的概率都为，3若小明与A比赛获胜的概率为0.3，与B比赛获胜的概率为0.4，与C比赛获胜的概率为答案第81页，共22页

0.65，111则小明进入决赛的概率为0.3´+0.4´+0.65´=0.45，333故选：A.15．B【分析】先用a表示c，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF¢是直角三角形，从而求得OP.x28y2x2y2+=1+=1【详解】椭圆a23a2即a23a2，825aö.所以c=a2-3a=5a，所以左焦点为æ-çç22,0÷÷822èøP到左焦点F的距离为Paa3F¢，则到右焦点的距离为2a-=a，222PFF¢æaöæ3ö522，所以三角形是直角三角形，ç÷+ça÷=a=4c2è2øè2ø22且ÐFPF¢=故选：BPπO，所以到原点的距离OP=1FF¢=c=5a=10a.22422答案第91页，共22页

16．D【分析】利用赋值法，结合二项式展开式等知识求得正确答案.22910【详解】依题意，aÎR,(x-x+a)=a0+a1x+a2x+¼+a9x+a10x，5令x=0，得a5=a；令x=1，得a5=a+a+L+a，00110所以a1+L+a10=0，，所以a1+a2+L+a9=-1，a10=C55=14a9=C5×(-1)=-5，所以a1+a2+L+a8=4，所以三个代数式①åai②åai③åai的值都与无关.i=1i=18910ai=1故选：D17．(1)n=1或n=2或n=3n-1(2)证明见解析，an=3-32【分析】（1）根据an+1-an=3得{an}是公差为3的等差数列，求出Sn3n2-5n，再解=2Sn-14<0即可.an3ü.（2）根据等比数列的定义可证ì是等比数列从而得到a+íný2þî【详解】（1）当l=1时，an+1-an=3，(n³1,nÎN*),所以{a}是公差为3的等差数列，nn(n-1)223n-5n，´3，所以Sn=2所以Sn=n(-1)+答案第101页，共22页

273n-5n因为-14<0，所以-

则PO^平面ABCD，且ACÌ平面ABCD，可得PO^AC，221AC=22，PO=AP-AO=1，2则AO=所以四棱锥P-ABCD1116的体积V=SABCD´PO=´42´1=.333（2）因为AP^平面PCD,CDÌ平面PCD，所以AP^CD，而AB∥CD，所以AB^AP，由，可得PB=5，PB2=PA2+AB2uuuruuuruuuruuuruuruuur又因为BP×AD=17,BC=AD，则BP×BC=BP×BC×cosÐPBC=17，在VPBC中，由余弦定理可得：PC2=BP2+BC2-2´BP´BC´cosÐPBC=52+42-2´17=7，所以PC=7.2319．(1)(2)ξ的分布列见解析，E(x)=196【分析】（1）利用事件的独立性即可求解；（2）根据分布列的计算步骤即可求解分布列，利用数学期望的计算公式即可求解期望.1，2【详解】（1）设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p1=答案第121页，共22页

A11p2=，p3=，该参加者有资格闯第三关为事件．341211112则P(A)=p1(1-p2)+(1-p1)p2+p1p2=´+´+´=．2323233（2）由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，121P(x=0)=(1-p1)(1-p2)=´=，233P(x=3)=p1(1-p2)(1-p3)+(1-p1)p2(1-p3)=113+=，4881P(x=6)=p1p2(1-p3)=，8P(x=7)=p1(1-p2)p3+(1-p1)p2p3=111+=，12248P(x=10)=p1p2p3=所以ξ的分布列为ξp0367101，241311119所以ξ的数学期望E(x)=0´+3´+6´+7´+10´=.388824620．(1)1(2)是定值，证明见解析(3)1【分析】（1）求得A,B的坐标，进而求得VAOB的面积.答案第131页，共22页

uuuruuur（2）通过证明OA×OB=0来得到ÐAOB的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得M,N,P的坐标，进而求得△MNP面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【详解】（1）当k=0时，直线l的方程为y=1，x2=y解得y=1,x1=-1,x2=1，由ìíîy=1所以VAOB1的面积为´2´1=1.2（2）由（1）中发现VAOB为等腰直角三角形，猜测ÐAOB=ur证明：OA×OB=xx+yy=xx+x2x2，12121212ìy=kx+1得x2-kx-1=0，即x1x2=-1，D=k2+4>0，í2îy=xuuuruuur所以OA×OB=-1+1=0，所以ÐAOB=90o为定值.（3）A(x,x2),B(x,x2)，对函数y=x2求导得到y¢=2x，1122所以AP方程为y-x2=2x(x-x)，整理得y=2xx-x2，11111同理BP方程为y=2xx-x2，22y=0分别令x1öæx2ö得到Mæç,0÷,Nç,0÷，è2øè2øìy=2x1x-x12，解得æx1+x2öPç,x1x2÷，í2è2øîy=2x2x-x2x2-kx-1=0x1+x2=k，2由第（）小题，，得到ìíîx1x2=-1答案第141页，共22页

2所以S=x1-x2xx=x1-x2=k+4³1，12444所以△MNP面积的最小值为1.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.21．(1)第（1）组是，第（2）组不是(2)证明见解析(3)q=kπZ+π(kÎ4)，证明见解析【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】（1）第（1）组是，第（2）组不是.x-x1æö①f(x)=和g1(x)=0，f1¢(x)=-e,g1¢(x)=0，1çe÷èø-2x，éëf(x)-g(x)ùûéëf¢(x)-g¢(x)ùû=-e£0所以这两组函数是 “相伴函数”.xxfx=e()2②和g2(x)=x，f2¢(x)=e,g2¢(x)=1，xx¢¢éùéùfx-gxfx-gx=e-xe-1)不一定为非正数，()()()()()(ëûëû所以这两组函数不是 “相伴函数”.（2）f(-x)+g(-x)=ln(ex+1)-x,f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)，所以f(x)-g(x)=ln(ex+1)-x答案第151页，共22页

ln(ex+1)>ln(ex)=x，所以f(x)-g(x)>0xe1ù=xf¢(x)-g¢(x)=[f(x)-g(x)]=élne+1-x-1=-<0()ëûe+1ex+1'x'因此éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù£0成立，ëûëû即y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”.π（3）“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件是q=kπZ+(kÎ4)充分性：已知q=kπZ+π(kÎ4)πöæ则f(x)=sin(x+q)=sinπçx+k+÷，4øèππππæög(x)=cos(x-q)=cosπcosπ2πsinπçx-k-÷=4øèæöçx+k+-k-÷=42øèæöçx+k+÷，4øè此时f(x)=g(x)，所以éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù=0，ëûëû即éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù£0成立，y=f(x)和y=g(x)为相伴函数ëûëû必要性：已知y=f(x)和y=g(x)为相伴函数f¢(x)=cos(x+q),g¢(x)=-sin(x-q)所以ésin(x+q)-cos(x-q)ùécos(x+q)+sin(x-q)ù£0，ëûëû，sin(x+q)cos(x+q)-sin(x-q)cos(x-q)-éëcos(x+q)cos(x-q)-sin(x+q)sin(x-q)ùû£0sin(2x+2q)-sin(2x-2q)-cos2x£0，2cos2xsin2q-cos2x£0，即cos2x(sin2q-1)£0，答案第161页，共22页

由于cos2x取遍[-1,1]内的所有实数，因此当且仅当sin2q-1=0时成立，所以q=kπZ+π(kÎ4)，π所以“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件是q=kπZ+(kÎ4).【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.答案第171页，共22页

2024年2月23日发(作者：汉从雪)

上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y=1-x2的定义域是 .2．已知a>0，将aa化为分数指数幂ak形式，则k= .3．已知复数z=1+ai(aÎR)，其中i是虚数单位，Re(zi)=2，则a= .4．某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 .5．A=x∣5+4x-x2>0,B={y∣y=5-x,xÎA}，则AÈB= .{}6．log62=a，则log32=

（用a表示）.7．已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a

线AM与直线AN的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=

．12．设函数f(x)在R上存在导数f¢(x)，对任意实数x有f(x)-f(-x)=2x，且当xÎ(0,+¥)时f¢(x)<1，若m¹-4,f(4+m)£f(4)+m，则实数m的取值范围是 .二、单选题13．“lnx=1”是“lnx2=2”的（

）()A．充分非必要条件C．充要条件B．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件14．小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（

）A．0.45B．0.5C．0.55D．0.622PPFOax8y15．为椭圆+上一点，到左焦点的距离为，则到原点的=1a>0()2a23a2P距离为（

）3A．a4B．10a4C．7a4D．a2216．已知aÎR,x-x+a()5=a0+a1x+a2x2+¼+a9x9+a10x10，则下列三个代数式①9a10②③，其值与无关的个数为（

）åaiåaiåai8i=1i=1i=1A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题17．数列{a}中，a1=-1,an+1=lan+3,n是正整数，数列{a}的前n项和试卷第21页，共33页

(1)若l=1，且Sn-14<0，求n的值；(2)若l=3an3ü，求证ìían+ý是等比数列，并求.2þî18．如图，已知四棱锥4.P-ABCD中，四边形ABCD是边长为的菱形，PA=3(1)若四棱锥P-ABCD是正四棱锥，求四棱锥P-ABCD的体积V；ruuur(2)若AP^平面PCD,uuuBP×AD=17，求PC的长.19．电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位111参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为2、、，记该参加34者闯三关所得总分为ξ.(1)求该参加者有资格闯第三关的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．20．如图1，已知抛物线t的方程为x2=y，直线l的方程为y=kx+1，直线l交抛物线t于A(x,y)､B(x,y)两点(x

(1)若k=0，求VAOB的面积的大小；(2)ÐAOB的大小是否是定值？证明你的结论；(3)如图2，过点A､B分别作抛物线的切线AP和BP（两切线交点为P），AP,BP分别与x轴交于M,N，求△MNP面积的最小值.21．定义：设y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为对任意实数x恒成立，则称f¢(x)和g¢(x)，若不等式颢ùéùfx-gxfx-gx£0()()()()ëûëûy=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”.xxfx=eg2(x)=x，分别判断这两gx=0()()12æö1(1)给出两组函数，①fx=和②和1()ç÷èeø组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；(2)若y=f(x)､y=g(x)是定义在R上的可导函数，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=lne-x+1+x，证明：y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”；(3)f(x)=sin(x+q),g(x)=cos(x-q)，写出“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.()试卷第41页，共33页

参考答案：1．[-1,1]【解析】令被开方数大于等于0，解不等式求出定义域．【详解】解：Qy=1-x2要使函数有意义，需满足1-x2…0解得-1„x„1函数的定义域是：[-1,1]y=1-x2故答案为：[-1,1]【点睛】求函数的定义域，也不从开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数函数的真数大于0底数大于0且不等于1等方面限制，属于基础题．2．34【分析】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可.123æö4【详解】aa=a×a=a=ça÷=a.èø123232故答案为：3.43．-2【分析】先求得zi，然后根据zi的实部求得a.【详解】依题意，zi=(1+ai)i=-a+i，而Re(zi)=2，所以-a=2,a=-2.答案第11页，共22页

故答案为：-24．14【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.【详解】高一高二有1000-300=700人，700=14人.1000所以高一高二的参加活动的总人数20´故答案为：145．(-1,6)【分析】解二次不等式化简集合A，进而化简集合B，从而利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为A={x∣5+4x-x2>0}={x-1

7．2【分析】根据f(x)的奇偶性和零点求得b以及c=-a，由此求得g(x)与x轴交点的横坐标，进而求得AB.【详解】由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=-abc=0,abc=0，令f(x)=0，解得x=a或x=b或x=c，由于a0，且c=-a.所以g(x)=ax2+bx+c=ax2-a=a(x+1)(x-1)，令g(x)=0，解得x=±1，所以AB=2.故答案为：28．3EFGH3,2【分析】根据正三棱锥的性质与中位线得出四边形为矩形，且EF=HG=HG=GF=2，即可计算得出答案.【详解】答案第31页，共22页

Q三棱锥P-ABC为正三棱锥，PA=4,AB=3,PB^AC，PB=4,AC=3，QE,F,G,H分别是AB,BC,PC,PA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，HEPPB，GFPPB，且EF=HG=13AC=,22HG=GF=1PB=22EF^HE，四边形EFGH为矩形，四边形EFGH的面积为2´3=3，2故答案为：3.9．1【分析】根据正弦定理和余弦定理求得正确答案.sinAsinA=，sinBcosC+sin2BsinBcosC+2sinBcosB【详解】依题意由正弦定理、余弦定理得:sinAsinBcosC+2sinBcosB

=aa2+b2-c2a2+c2-b2b×+2b×2ab2acaa2+b2-4b2a2+4b2-b2b×+2b×2ab2a×2b=答案第41页，共22页

=aa2-3b2a2+3b2+2a2a=a=1a.故答案为：110．-4【分析】根据向量的投影、向量数量积等知识求得正确答案.1ab【详解】依题意c=6,ab=6,ab=12,=2.2cuuuruuurrCA×ABr×依题意，a=uuuABuuuruuuruuurrABCA×ABuuuuuur=uuur2×AB,ABABuuuruuurrCA×ABuuuruuurruuur2×AB×CB所以a×CB=uuuAB=bc×cosπ(-A)×c×acosB=-abcosAcosBc22baæabö=-ab××=-ç÷=-ècø故答案为：-411．-1答案第51页，共22页

【分析】先根据题意假设直线l的方程，联立椭圆C的方程，由韦达定理得到x1+x2，x1x2，从而利用斜率公式直接运算即可得解.2a=2,b=1x【详解】因为椭圆C:+y2=1，所以，其右顶点为(2,0)，下顶点为(0,-1)，4所以过点(2,-1)的直线l的斜率存在且不为0和-1，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即y=kx-2k-1，设M(x,y)，N(x,y)，点M，N的坐标均不为(0,±1)，2211ìy=kx-2k-1,1+4k2x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0联立ï整理得，íx22ï+y=1,î4则Δ64=(2k2k1)+()24-1(4+k216+)(k216k)=64-k0>，解得k<0,因为Δ0>时，x1+x2=8k(2k+1)16k2+16k，，x1x2=1+4k21+4k2y-1x+y-1x所以k1+k2=y1-1+y2-1=(1)2(2)1x1x2x1x2=(kx1-2k-2)x2+(kx2-2k-2)x1x1x2=2kx1x2-2(k+1)(x1+x2)x1x216k2+16k8k(2k+1)2k×-2(k+1)×1+4k21+4k2=-1=.16k2+16k1+4k2故答案为：-1．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x,y),(x,y)；1122答案第61页，共22页

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算D；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2（或y1+y2、y1y2）的形式；（5）代入韦达定理求解.12．-¥,-8U0,+¥][()【分析】构造函数g(x)=f(x)-x，结合已知得出g(x)-g(-x)=0，即g(x)为偶函数，利用导数得出函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，所求不等式变形等价于f(4+m)-(4+m)£f(4)-4，即g(4+m)£g(4)，再结合单调性解不等式得出答案.【详解】Q当xÎ(0,+¥)时f¢(x)<1，当xÎ(0,+¥)时f¢(x)-1<0，令g(x)=f(x)-x，Qf(x)-f(-x)=2x，，g(x)-g(-x)=f(x)-x-éëf(-x)+xùû=f(x)-f(-x)-2x=0g(x)为偶函数，Q当xÎ(0,+¥)时g¢(x)=f¢(x)-1<0，函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，Qm¹-4,f(4+m)£f(4)+m，等价于，f(4+m)-(4+m)£f(4)-4，即g(4+m)£g(4)，答案第71页，共22页

则当4+m>0时，即m>-4时，由函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，得4+m³4，解得m³0，当4+m<0时，即m<-4时，-4-m>0由g(x)为偶函数，得g(4+m)=g(-4-m)£g(4)，由函数g(x)在(0,+¥)上单调递减，得-4-m³4，解得m£-8，综上，m的取值范围为(-¥,-8]U[0,+¥)，故答案为：(-¥,-8]U[0,+¥).【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.13．A【分析】根据lnx=1与lnx2=2的推出关系判断充分性与必要性是否成立.()【详解】当lnx=1时，x=e，则lnx2=lne2=2，故充分性成立；()()当lnx2=2时，x2=e2，则x=±e，故必要性不成立，所以“lnx=1”是“lnx2=2”的充分非必要条件.()()故选：A14．A【分析】根据独立事件与互斥事件的概率计算公式得出答案.【详解】设小明遇到的三人分别为A，B，C，1则小明遇到三人的概率都为，3若小明与A比赛获胜的概率为0.3，与B比赛获胜的概率为0.4，与C比赛获胜的概率为答案第81页，共22页

0.65，111则小明进入决赛的概率为0.3´+0.4´+0.65´=0.45，333故选：A.15．B【分析】先用a表示c，然后根据椭圆的定义判断出三角形PFF¢是直角三角形，从而求得OP.x28y2x2y2+=1+=1【详解】椭圆a23a2即a23a2，825aö.所以c=a2-3a=5a，所以左焦点为æ-çç22,0÷÷822èøP到左焦点F的距离为Paa3F¢，则到右焦点的距离为2a-=a，222PFF¢æaöæ3ö522，所以三角形是直角三角形，ç÷+ça÷=a=4c2è2øè2ø22且ÐFPF¢=故选：BPπO，所以到原点的距离OP=1FF¢=c=5a=10a.22422答案第91页，共22页

16．D【分析】利用赋值法，结合二项式展开式等知识求得正确答案.22910【详解】依题意，aÎR,(x-x+a)=a0+a1x+a2x+¼+a9x+a10x，5令x=0，得a5=a；令x=1，得a5=a+a+L+a，00110所以a1+L+a10=0，，所以a1+a2+L+a9=-1，a10=C55=14a9=C5×(-1)=-5，所以a1+a2+L+a8=4，所以三个代数式①åai②åai③åai的值都与无关.i=1i=18910ai=1故选：D17．(1)n=1或n=2或n=3n-1(2)证明见解析，an=3-32【分析】（1）根据an+1-an=3得{an}是公差为3的等差数列，求出Sn3n2-5n，再解=2Sn-14<0即可.an3ü.（2）根据等比数列的定义可证ì是等比数列从而得到a+íný2þî【详解】（1）当l=1时，an+1-an=3，(n³1,nÎN*),所以{a}是公差为3的等差数列，nn(n-1)223n-5n，´3，所以Sn=2所以Sn=n(-1)+答案第101页，共22页

273n-5n因为-14<0，所以-

则PO^平面ABCD，且ACÌ平面ABCD，可得PO^AC，221AC=22，PO=AP-AO=1，2则AO=所以四棱锥P-ABCD1116的体积V=SABCD´PO=´42´1=.333（2）因为AP^平面PCD,CDÌ平面PCD，所以AP^CD，而AB∥CD，所以AB^AP，由，可得PB=5，PB2=PA2+AB2uuuruuuruuuruuuruuruuur又因为BP×AD=17,BC=AD，则BP×BC=BP×BC×cosÐPBC=17，在VPBC中，由余弦定理可得：PC2=BP2+BC2-2´BP´BC´cosÐPBC=52+42-2´17=7，所以PC=7.2319．(1)(2)ξ的分布列见解析，E(x)=196【分析】（1）利用事件的独立性即可求解；（2）根据分布列的计算步骤即可求解分布列，利用数学期望的计算公式即可求解期望.1，2【详解】（1）设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为p1=答案第121页，共22页

A11p2=，p3=，该参加者有资格闯第三关为事件．341211112则P(A)=p1(1-p2)+(1-p1)p2+p1p2=´+´+´=．2323233（2）由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，121P(x=0)=(1-p1)(1-p2)=´=，233P(x=3)=p1(1-p2)(1-p3)+(1-p1)p2(1-p3)=113+=，4881P(x=6)=p1p2(1-p3)=，8P(x=7)=p1(1-p2)p3+(1-p1)p2p3=111+=，12248P(x=10)=p1p2p3=所以ξ的分布列为ξp0367101，241311119所以ξ的数学期望E(x)=0´+3´+6´+7´+10´=.388824620．(1)1(2)是定值，证明见解析(3)1【分析】（1）求得A,B的坐标，进而求得VAOB的面积.答案第131页，共22页

uuuruuur（2）通过证明OA×OB=0来得到ÐAOB的大小是定值.（3）利用导数求得切线方程，求得M,N,P的坐标，进而求得△MNP面积的表达式，并根据二次函数的性质求得其最小值.【详解】（1）当k=0时，直线l的方程为y=1，x2=y解得y=1,x1=-1,x2=1，由ìíîy=1所以VAOB1的面积为´2´1=1.2（2）由（1）中发现VAOB为等腰直角三角形，猜测ÐAOB=ur证明：OA×OB=xx+yy=xx+x2x2，12121212ìy=kx+1得x2-kx-1=0，即x1x2=-1，D=k2+4>0，í2îy=xuuuruuur所以OA×OB=-1+1=0，所以ÐAOB=90o为定值.（3）A(x,x2),B(x,x2)，对函数y=x2求导得到y¢=2x，1122所以AP方程为y-x2=2x(x-x)，整理得y=2xx-x2，11111同理BP方程为y=2xx-x2，22y=0分别令x1öæx2ö得到Mæç,0÷,Nç,0÷，è2øè2øìy=2x1x-x12，解得æx1+x2öPç,x1x2÷，í2è2øîy=2x2x-x2x2-kx-1=0x1+x2=k，2由第（）小题，，得到ìíîx1x2=-1答案第141页，共22页

2所以S=x1-x2xx=x1-x2=k+4³1，12444所以△MNP面积的最小值为1.【点睛】求直线和圆锥曲线交点的坐标，可以通过联立方程组来进行求解，如果含有参数，则可以考虑利用根与系数关系来对问题进行求解，此时如果直线和圆锥曲线有两个不同的公共点，则需要利用判别式来进行确认.21．(1)第（1）组是，第（2）组不是(2)证明见解析(3)q=kπZ+π(kÎ4)，证明见解析【分析】（1）根据“相伴函数”的定义进行分析，从而作出判断.（2）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合函数的奇偶性证得结论成立.（3）根据“相伴函数”的定义进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】（1）第（1）组是，第（2）组不是.x-x1æö①f(x)=和g1(x)=0，f1¢(x)=-e,g1¢(x)=0，1çe÷èø-2x，éëf(x)-g(x)ùûéëf¢(x)-g¢(x)ùû=-e£0所以这两组函数是 “相伴函数”.xxfx=e()2②和g2(x)=x，f2¢(x)=e,g2¢(x)=1，xx¢¢éùéùfx-gxfx-gx=e-xe-1)不一定为非正数，()()()()()(ëûëû所以这两组函数不是 “相伴函数”.（2）f(-x)+g(-x)=ln(ex+1)-x,f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)，所以f(x)-g(x)=ln(ex+1)-x答案第151页，共22页

ln(ex+1)>ln(ex)=x，所以f(x)-g(x)>0xe1ù=xf¢(x)-g¢(x)=[f(x)-g(x)]=élne+1-x-1=-<0()ëûe+1ex+1'x'因此éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù£0成立，ëûëû即y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”.π（3）“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件是q=kπZ+(kÎ4)充分性：已知q=kπZ+π(kÎ4)πöæ则f(x)=sin(x+q)=sinπçx+k+÷，4øèππππæög(x)=cos(x-q)=cosπcosπ2πsinπçx-k-÷=4øèæöçx+k+-k-÷=42øèæöçx+k+÷，4øè此时f(x)=g(x)，所以éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù=0，ëûëû即éf(x)-g(x)ùéf¢(x)-g¢(x)ù£0成立，y=f(x)和y=g(x)为相伴函数ëûëû必要性：已知y=f(x)和y=g(x)为相伴函数f¢(x)=cos(x+q),g¢(x)=-sin(x-q)所以ésin(x+q)-cos(x-q)ùécos(x+q)+sin(x-q)ù£0，ëûëû，sin(x+q)cos(x+q)-sin(x-q)cos(x-q)-éëcos(x+q)cos(x-q)-sin(x+q)sin(x-q)ùû£0sin(2x+2q)-sin(2x-2q)-cos2x£0，2cos2xsin2q-cos2x£0，即cos2x(sin2q-1)£0，答案第161页，共22页

由于cos2x取遍[-1,1]内的所有实数，因此当且仅当sin2q-1=0时成立，所以q=kπZ+π(kÎ4)，π所以“y=f(x)和y=g(x)为相伴函数”的充要条件是q=kπZ+(kÎ4).【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.答案第171页，共22页