2024年2月25日发(作者:抗绮玉)
二次函数y = ax
2+ bx + c的图像
内容分析
二次函数yax2bxc的图像的研究,需要利用配方法的方式对ax2bxc进行变形,从而利用yaxmk的图像特征研究yax2bxc的图像特征,继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系.
2知识结构
1、 二次函数yaxmk的图像
二次函数yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的图像即抛物线yaxmk,可以通过将抛物线yax2进行两次平移得到.
222模块一:二次函数y = a(x + m)2
+ k的图像
知识精讲
这两次平移可以是:先向左(m0时)或向右(m0时)平移m个单位,再向上(k0时)或向下(k0时)平移k个单位.
利用图形平移的性质,可知:抛物线yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的对称轴是经过点(m,0)且平行于y轴的直线,即直线x =m;抛物线的顶点坐标是(m,k).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点.
2
步同级年九
【例1】 在平面直角坐标系中,如果抛物线y2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位,那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________.
2例题解析
【答案】y2x22.
【解析】把x轴向上平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为0,2,
∴解析式为y2x22;把y轴向右平移2个单位,抛物线形状不变,
2,∴解析式为y2x22. 顶点为2,2【总结】本题考查抛物线的平移,坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移.
【例2】 已知二次函数y3(x1)2k的图像上有A(2,y1)、B(2,y2)、C(5,
y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )
A.y1y2y3
C.y3y1y2
B.y2y1y3
D.y3y2y1
【答案】D.
【解析】二次函数y3(x1)2k的对称轴为直线x1,∵a30,
∴到直线x1的距离越小的点y就越小,∴y3y2y1.
【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解,做题的关键是掌握抛物线的对称性.
【例3】 与抛物线y3x2形状相同,顶点为(3,2)的抛物线解析式为_____________.
【答案】y3x32、y3x32.
【解析】设解析式为yaxmk,∵抛物线形状、开口方向与y3x2相同,
2 / 23
222∴a3,∵顶点为(3,2),∴m3,k2,
∴解析式为y3x32、y3x32.
22【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法,抛物线形状相同,则说明a相等或互为相反数.
【例4】 如图,抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:
(1)抛物线y2的顶点坐标为____________;
(2)阴影部分的面积S = ____________;
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向______,顶点坐标为____________.
y
2
1
y1 y2
O
1
1
2
x
2;(2)2;(3)上,1,2. 【答案】(1)1,【解析】(1)抛物线y2的解析式为y2x12,
2. ∴顶点坐标为1,22
1
(2)通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形,∴阴影部分的面积为2.
y
2
2
1
y1 y2
1
2
2
1
O
x
1
(3)将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,
2. ∴抛物线y3开口向上,顶点为1,2
步同级年九
【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转,求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求.
【例5】 已知二次函数yax1c的图像如图所示,则一次函数yaxc的大致图像
【答案】A.
【解析】由二次函数的图像可知a0,c0,∴一次函数yaxc过第一、二、三
象限,选A.
【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像.
【例6】 抛物线y2x26的顶点为C,已知ykx3的图像经过点C,求这个 一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积.
【答案】1.
22可能是( )
y
O
x
y
O
A.
x
y
O
B.
x
y
O
C.
x
y
O
D.
x
996,把C2,6代入ykx3得k,∴yx3, 【解析】由题意知,C2,221223、, 与坐标轴交于0,0,∴围成的三角形面积S31.
233【总结】本题考查了一次函数的图像与性质.
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【例7】 如图,已知二次函数yxmk的图像经过x轴上的点A(1,0)和点B(3,0),且与y轴相交于点C.
(1)求此二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)求CPB的正弦值.
22y
C
【答案】(1)yx21,P2,1;
(2)310.
10【解析】(1)把A(1,0)和点B(3,0),
代入yxmk得:
2m21mk0,解得,
2k13mk02O
A
B
P
x
1. ∴yx21,顶点P2,22(2)由yx21得C0,3,∴PB22,BC218,PC220,
∵PB2BC2PC2,∴CBP90,∴sinCPBBC32310.
PC2510【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合,发现PBC是直角三角形是做题的关
键.
步同级年九
【例8】 有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,
以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系,如图所示.
(1)请直接写出O、A、M三点的坐标;
(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过
此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?
y
M
【答案】(1)O0,0,A6,0,M3,3;
8(2)米.
3A
x
0,A6,0,M3,3; 【解析】(1)由题意知O0,O
B
21
0代入,得: (2)设解析式为yax33,把O0,a,
312x33,∵3x1,∴x2,
3182 当x2时,y233.
338 ∴这些木板最高可堆放米
3 ∴解析式为y【总结】本题考查了二次函数的实际应用.
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1、 二次函数yax2bxc的图像
二次函数yax2bxc的图像称为抛物线yax2bxc,这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式.
任意一个二次函数yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)都可以运用配方法,把它的解析式化为yaxmk的形式.
b4acb2对yaxbxc配方得:yax.
2a4a2模块二:二次函数y = ax
2+ bx + c的图像
知识精讲
22由此可知:
抛物线yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)的对称轴是直线xb,顶2a4acb2b点坐标是(,).
4a2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;
2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x
b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的.
2a
步同级年九
【例9】
y2x1x21化成yaxmk的形式为( )
325A.y2x
416317C.y2x
48222例题解析
317B.y2x
48317D.y2x
4822
【答案】C.
399317【解析】y2x1x212x23x12x2x12x.
21616482【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式.
【例10】
下列关于二次函数说法错误的是( )
3A.抛物线y2x23x1的对称轴是直线x
4B.抛物线yx22x3,点A(3,0)不在它的图像上
C.二次函数yx22的顶点坐标是(2,2)
D.函数y2x24x3的图像的最低点在(1,5)
2【答案】B.
0在抛物线上. 【解析】把x3代入yx22x3得y0,∴点A3,【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.
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【例11】
【答案】A.
【解析】∵a0,∴图像开口向下,又∵b0,∴对称轴为直线x 在y轴左侧,∵c0,∴抛物线与y轴交于正半轴.
A.
x
B.
x
C.
x
D.
x
已知二次函数yax2bxc,若a0,b0,c0,那么它的图像大致是( )
y
y
y
y
b0,
2a【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,当a、b同号时,对称轴在y轴左侧,
【例12】
象限.
二次函数yax2bxc中,a0,b0,c0,则其图像的顶点在第____当a、b异号时,对称轴在y轴右侧,即“左同右异”,熟记系数与图像之间 的关系是做题的关键.
【答案】四.
【解析】∵a0,b0,∴图像开口向上,对称轴在y轴右侧,又∵c0,
∴顶点在第四象限.
【总结】本题考查了二次函数的图像.
【例13】 在同一直角坐标系中,函数ymxm和ymx22x2(m是常数,且m0)
步同级年九
【答案】D.
【解析】当m0时,抛物线开口向下,一次函数经过第一、二、三象限;
当m0时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,一次函数经过第二、三、四象限.
A.
x
B.
x
C.
x
D.
x
的图像可能是( )
y y
y
y
【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质,用假设法来解决这种数形结合
【例14】
二次函数ym1xm
2是一种很好的方法.
14x5m的图像的对称轴为直线( )
A.x = 1 B.x =1 C.x = 2 D.x =2
【答案】A.
m211【解析】由题意得,解得m1,
m10 ∴解析式为y2x24x5,对称轴为直线xb1.
2a【总结】本题考查了二次函数的概念和性质.
【例15】
请选择一组a、b、c的值,使二次函数yax2bxc(a0)的图像同时满足下列条件:当x2时,y随x的增大而增大;当x2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是___________________.
【答案】yx24x,答案不唯一,符合题意即可.
【解析】由题意得抛物线开口向下,对称轴为直线x2.
【总结】本题考查了二次函数的性质.
【例16】 若抛物线yx2mx1的顶点在y轴上,则m = ________.
【答案】0.
m4m2【解析】抛物线yxmx1的顶点坐标为,,∵顶点在y轴上,
242
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∴m0,即m0.
2【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式.
【例17】
将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线y2x24x5,则原抛物线的顶点坐标是____________.
10. 【答案】3,【解析】将抛物线y2x24x52x17向上平移3个单位,再向右平移4个
10. 单位得到原抛物线y2x310,所以原抛物线顶点坐标为3,22【总结】本题考查了抛物线的平移,对于一般式我们一般先化为顶点式,然后再写平移
【例18】
对于二次函数y2x28x8:
之后的解析式.
(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个
值是多少?
(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标;
(3)当x取何值时,y随着x的增大而减小.
0,函数有最大值, 【答案】(1)开口向下、对称轴为直线x2、顶点坐标为2,
步同级年九
最大值为0;
0、0,8; (2)2,(3)x2.
2【解析】(1)y2x28x82x2,∴函数图像开口向下、对称轴为直线x2、
0,函数有最大值,最大值为0; 顶点坐标为2,0; (2)把y0代入解析式得x2,∴与x轴交于2,
8; 把x0代入解析式得y8,∴与y轴交于0,(3)∵图像开口向下,∴在对称轴的右侧y随着x的增大而减小,即x2时,
y随着x的增大而减小.
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.
【例19】
值.
已知抛物线yx2mxn的对称轴为x3,且过点(0,4),求m、n的【答案】m6,n4.
m【解析】由题意得3,解得m6,把(0,4)代入得n4.
2【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征.
【例20】
已知一次函数y2xc与二次函数yax2bx4的图像都过点A(1,,1)二次函数的对称轴是直线x =1,请求出一次函数和二次函数的解析式.
【答案】一次函数解析式为y2x1,二次函数的解析式为yx22x4.
1代入y2xc得c1,∴一次函数解析式为y2x1; 【解析】把A1,
b1a1由题意得,解得,
2ab2ab41∴二次函数的解析式为yx22x4.
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【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式.
【例21】
将抛物线yx24x4沿y轴向下平移后,所得抛物线与x轴交于点A、B,顶点为C.如果ABC是等腰直角三角形,求顶点C的坐标.
1. 【答案】2,【解析】设抛物线向下平移m个单位,平移后的抛物线为yx2mm0,
则A2m,B2m,0,C2,m,
设对称轴与x轴交于点H,可得AB2m,CHm,
∵抛物线顶点为C,由抛物线对称性可知CACB,∴ACB90,
∴AB2CH,即2mm,解得m11,m20(舍),
∴顶点C的坐标为2,1.
2【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐
【例22】
已知抛物线yx2b1xc经过点P(1,2b).
标轴的交点问题,根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键.
(1)求b + c的值;
(2)若b = 3,求这条抛物线的顶点坐标;
(3)若b3,过点P作直线PAy轴,交y轴与点A,交抛物线于另一点B,
且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的解析式.
6;(3)yx24x7. 【答案】(1)2;(2)1,【解析】(1)把P1,2b代入yx2b1xc得1b1c2b,
整理得bc2;
(2)若b3,由(1)可知c5,
∴抛物线解析式为yx22x5x16,顶点坐标为1,6.
2
步同级年九
(3)∵b3,∴抛物线对称轴直线x
b11,∴对称轴在P点左侧,
22b, ∴PA1,∵BP2PA,∴BP2,可得B3,由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线x2,
b1∴2,解得b5,由(1)可知c7,
2∴抛物线的解析式为yx24x7.
【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线的对称轴及对称性,解决
此类问题的关键是先根据题意画出草图,找出其中各个量之间的关系.
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【习题1】 用配方法把下列函数解析式化为yaxmk的形式,并指出每个函数图 像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
22随堂检测
(1)y2x24x5; (2)y13x2x2.
3; 【答案】(1)y2x13,开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,
3173317(2)y2x,开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.
484482【解析】(1)y2x24x52x22x132x13,
3; ∴抛物线开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,22
399317(2)y13x2x2x2x12x,
21616482
3317∴抛物线开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.
448【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质,对yax2bxc配方得:
b4acb22yaxmka0的对称轴是直线
xm;yax,抛物线2a4a2
抛物线的顶点坐标是m,k.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.
【习题2】 已知二次函数yax2bxc的图像如下图所示,下列结论中正确的个数是 ( )
①
abc0;
②b = 2a;
④abc0.
B.3个
D.1个
1
x
y
③abc0;
A.4个
C.2个
1
O
【答案】A.
b【解析】由图得a0,c0,∵抛物线对称轴为直线x1,∴1,
2a 可得b2a,∴b0,可得①、②正确,当x1时,yabc0,
步同级年九
∴③正确,当x1时,yabc0,∴④正确.
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,根据图像的开口方向、对称轴、零点以及
【习题3】 已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x = 2,且经过点(3,0),
则a + b + c = ________.
特殊点来判断.
【答案】0.
0,代入解析式得abc0; 【解析】方法一:由抛物线的对称性可知,图像过1,
b2b4a方法二:由题意得,解得,∴abc0.
2ac3a9a3bc0【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式.
【习题4】 当m = _______时,抛物线ymx22m2xm3的对称轴是y轴.
【答案】2.
【解析】∵抛物线对称轴是y轴,∴2m22m0,解得m2.
【总结】本题考查了二次函数的对称轴.
【习题5】 抛物线y3x2bxc是由抛物线y3x26x1向上平移3个单位,再向 左平移2个单位得到的,则b =________,c = ________.
【答案】b18,c20.
【解析】y3x26x13x14向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到
的抛物线为y3x373x218x20,∴b18,c20.
22【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法.
【习题6】 已知抛物线yx2m1xm与y轴交于点(0,3).
y
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
16 / 23
O
x
(3)根据图像判断当x取什么值是,抛物线在x轴上方?
【答案】(1)m3,图像如图所示;
0、3,0,1,4; (2)1,(3)1x3.
y
【解析】(1)把(0,3)代入解析式得m3,
所以解析式为yx22x3x14;
2(2)当y0时,即x22x30,
解得:x11,x23,
0、3,0, 所以与x轴的交点为1,4; 顶点坐标为1,O
x
(3)由图像可知,当1x3时,
抛物线在x轴上方.
【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标.
【习题7】 如图,抛物线yax14与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C
作CD // x轴交抛物线的对称轴与点D,联结BD,且点A的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
22y
【答案】(1)yx14;
C
(2)6.
0代入得4a40,解得a1, 【解析】(1)把A1,D
∴抛物线解析式为yx14.
2A
O
B
x
(2)由抛物线的解析式可得对称轴为直线x1,当x0时,y3,
3,点D的坐标为1,3, ∴点的坐标为C0,0, 当y0时,x140,x11,x23,∴点B坐标为B3,2
步同级年九
11∴S梯形COBDCDOBOC1336,
22故梯形COBD的面积为6.
【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积.
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【作业1】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)yx2x;
(2)y2x26x4;
(4)y3x22x.
课后作业
(3)yx26x3;
111【答案】(1)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,;
4223317 (2)开口向下,对称轴为直线x,顶点坐标为,;
222
12; (3)开口向上,对称轴为直线x3,顶点坐标为3,111(4)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,.
333b,
2a【解析】抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x
4acb2b顶点坐标是(,),把a、b、c分别代入可得对称轴和顶点坐
4a2a标,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.
【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是
【作业2】 抛物线y2x1x5的对称轴是_________,与x轴的交点坐标是 _________,顶点坐标为_________.
4acb2bb直线x,顶点坐标是(,)做题的关键.
4a2a2a0、5,0,2,【答案】直线x2,1,92.
【解析】当y0时,2x1x50,解得x11,x25,
0、5,0, ∴与x轴的交点为1,由抛物线的对称性可知对称轴为直线x2,
步同级年九
把x2代入解析式得y92,∴顶点坐标为2,92.
【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性.
【作业3】 设二次函数yx212kx12,当x1时,y随着x的增大而增大,当x1
时,y随着x的增大而减小,则k的值应取( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】C.
【解析】由题意可知,抛物线对称轴为直线x1,∴12k1,解得k10.
2【总结】本题考查了抛物线的性质,当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点
【作业4】 二次函数yax2bxc的部分对应值如下表:
x
y
…
…
是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称2a轴右侧的部分是上升的;当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x部分是下降的.
b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的2a2
16
21
4
0 1 2 3
…
…
12
22
12
24
根据表格上的信息回答问题:该二次函数的图像的开口方向________;顶点坐标为_________;对称轴为直线x = _________;当x = 4对应的函数值y = ________.
12,1,6. 【答案】向下,1,21【解析】观察表格可知,当x0或2时,y2,根据二次函数的对称性可知对称
2
20 / 23
轴为直线x021,所以顶点为1,2,
21由对称性可知x2或4时,函数值一样,所以x4时,y6,
2∵在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴抛物线开口向下.
【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性.
【作业5】 如果抛物线yx2axa2的顶点在直线y【答案】a2.
a4a2a【解析】抛物线yxaxa的顶点坐标为2,4,
227上,求a的值.
2
4a2a777∵顶点在直线y上,∴,解得a12,a2,
4242∵a0,∴a2.
【总结】本题考查了二次函数的性质,本题要注意a的取值范围.
【作业6】 已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y
1上,点N在直线
2xy = x + 3上,设点M的坐标为(a,b),求抛物线yabx2abx的对称轴和顶点坐标.
9【答案】对称轴为直线x3,顶点坐标为3,.
2【解析】∵M、N两点关于y轴对称,∴Na,b,
11bab 由题意得2a,解得2,
ab3ba3 ∴抛物线yabx2abx对称轴为直线xab33,
2ab212
步同级年九
19 把x3代入解析式得y9ab3ab933,
229 ∴顶点坐标为3,.
2【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标,注意运用整体代入的思想.
【作业7】 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线1
yx2x2的一部分,根据关系是回答:
12
(1)该同学出手时铅球的高度是多少?
(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?
(3)该同学的成绩是多少?
y
【答案】(1)2;(2)5;(3)6215.
【解析】(1)把x0代入解析式得y2,
∴该同学出手时铅球的高度是2;
O
1212(2)抛物线yxx2x65,
1212∴当x6时,铅球在运行过程中离地面的最大高度是5;
1(3)x2x20,解得x16215,x26215(舍),
12
x
22 / 23
∴该同学的成绩是6215.
【总结】本题考查了二次函数的实际应用.
2024年2月25日发(作者:抗绮玉)
二次函数y = ax
2+ bx + c的图像
内容分析
二次函数yax2bxc的图像的研究,需要利用配方法的方式对ax2bxc进行变形,从而利用yaxmk的图像特征研究yax2bxc的图像特征,继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系.
2知识结构
1、 二次函数yaxmk的图像
二次函数yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的图像即抛物线yaxmk,可以通过将抛物线yax2进行两次平移得到.
222模块一:二次函数y = a(x + m)2
+ k的图像
知识精讲
这两次平移可以是:先向左(m0时)或向右(m0时)平移m个单位,再向上(k0时)或向下(k0时)平移k个单位.
利用图形平移的性质,可知:抛物线yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的对称轴是经过点(m,0)且平行于y轴的直线,即直线x =m;抛物线的顶点坐标是(m,k).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点.
2
步同级年九
【例1】 在平面直角坐标系中,如果抛物线y2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位,那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________.
2例题解析
【答案】y2x22.
【解析】把x轴向上平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为0,2,
∴解析式为y2x22;把y轴向右平移2个单位,抛物线形状不变,
2,∴解析式为y2x22. 顶点为2,2【总结】本题考查抛物线的平移,坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移.
【例2】 已知二次函数y3(x1)2k的图像上有A(2,y1)、B(2,y2)、C(5,
y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )
A.y1y2y3
C.y3y1y2
B.y2y1y3
D.y3y2y1
【答案】D.
【解析】二次函数y3(x1)2k的对称轴为直线x1,∵a30,
∴到直线x1的距离越小的点y就越小,∴y3y2y1.
【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解,做题的关键是掌握抛物线的对称性.
【例3】 与抛物线y3x2形状相同,顶点为(3,2)的抛物线解析式为_____________.
【答案】y3x32、y3x32.
【解析】设解析式为yaxmk,∵抛物线形状、开口方向与y3x2相同,
2 / 23
222∴a3,∵顶点为(3,2),∴m3,k2,
∴解析式为y3x32、y3x32.
22【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法,抛物线形状相同,则说明a相等或互为相反数.
【例4】 如图,抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:
(1)抛物线y2的顶点坐标为____________;
(2)阴影部分的面积S = ____________;
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向______,顶点坐标为____________.
y
2
1
y1 y2
O
1
1
2
x
2;(2)2;(3)上,1,2. 【答案】(1)1,【解析】(1)抛物线y2的解析式为y2x12,
2. ∴顶点坐标为1,22
1
(2)通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形,∴阴影部分的面积为2.
y
2
2
1
y1 y2
1
2
2
1
O
x
1
(3)将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,
2. ∴抛物线y3开口向上,顶点为1,2
步同级年九
【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转,求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求.
【例5】 已知二次函数yax1c的图像如图所示,则一次函数yaxc的大致图像
【答案】A.
【解析】由二次函数的图像可知a0,c0,∴一次函数yaxc过第一、二、三
象限,选A.
【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像.
【例6】 抛物线y2x26的顶点为C,已知ykx3的图像经过点C,求这个 一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积.
【答案】1.
22可能是( )
y
O
x
y
O
A.
x
y
O
B.
x
y
O
C.
x
y
O
D.
x
996,把C2,6代入ykx3得k,∴yx3, 【解析】由题意知,C2,221223、, 与坐标轴交于0,0,∴围成的三角形面积S31.
233【总结】本题考查了一次函数的图像与性质.
4 / 23
【例7】 如图,已知二次函数yxmk的图像经过x轴上的点A(1,0)和点B(3,0),且与y轴相交于点C.
(1)求此二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)求CPB的正弦值.
22y
C
【答案】(1)yx21,P2,1;
(2)310.
10【解析】(1)把A(1,0)和点B(3,0),
代入yxmk得:
2m21mk0,解得,
2k13mk02O
A
B
P
x
1. ∴yx21,顶点P2,22(2)由yx21得C0,3,∴PB22,BC218,PC220,
∵PB2BC2PC2,∴CBP90,∴sinCPBBC32310.
PC2510【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合,发现PBC是直角三角形是做题的关
键.
步同级年九
【例8】 有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,
以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系,如图所示.
(1)请直接写出O、A、M三点的坐标;
(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过
此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?
y
M
【答案】(1)O0,0,A6,0,M3,3;
8(2)米.
3A
x
0,A6,0,M3,3; 【解析】(1)由题意知O0,O
B
21
0代入,得: (2)设解析式为yax33,把O0,a,
312x33,∵3x1,∴x2,
3182 当x2时,y233.
338 ∴这些木板最高可堆放米
3 ∴解析式为y【总结】本题考查了二次函数的实际应用.
6 / 23
1、 二次函数yax2bxc的图像
二次函数yax2bxc的图像称为抛物线yax2bxc,这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式.
任意一个二次函数yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)都可以运用配方法,把它的解析式化为yaxmk的形式.
b4acb2对yaxbxc配方得:yax.
2a4a2模块二:二次函数y = ax
2+ bx + c的图像
知识精讲
22由此可知:
抛物线yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)的对称轴是直线xb,顶2a4acb2b点坐标是(,).
4a2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;
2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x
b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的.
2a
步同级年九
【例9】
y2x1x21化成yaxmk的形式为( )
325A.y2x
416317C.y2x
48222例题解析
317B.y2x
48317D.y2x
4822
【答案】C.
399317【解析】y2x1x212x23x12x2x12x.
21616482【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式.
【例10】
下列关于二次函数说法错误的是( )
3A.抛物线y2x23x1的对称轴是直线x
4B.抛物线yx22x3,点A(3,0)不在它的图像上
C.二次函数yx22的顶点坐标是(2,2)
D.函数y2x24x3的图像的最低点在(1,5)
2【答案】B.
0在抛物线上. 【解析】把x3代入yx22x3得y0,∴点A3,【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.
8 / 23
【例11】
【答案】A.
【解析】∵a0,∴图像开口向下,又∵b0,∴对称轴为直线x 在y轴左侧,∵c0,∴抛物线与y轴交于正半轴.
A.
x
B.
x
C.
x
D.
x
已知二次函数yax2bxc,若a0,b0,c0,那么它的图像大致是( )
y
y
y
y
b0,
2a【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,当a、b同号时,对称轴在y轴左侧,
【例12】
象限.
二次函数yax2bxc中,a0,b0,c0,则其图像的顶点在第____当a、b异号时,对称轴在y轴右侧,即“左同右异”,熟记系数与图像之间 的关系是做题的关键.
【答案】四.
【解析】∵a0,b0,∴图像开口向上,对称轴在y轴右侧,又∵c0,
∴顶点在第四象限.
【总结】本题考查了二次函数的图像.
【例13】 在同一直角坐标系中,函数ymxm和ymx22x2(m是常数,且m0)
步同级年九
【答案】D.
【解析】当m0时,抛物线开口向下,一次函数经过第一、二、三象限;
当m0时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,一次函数经过第二、三、四象限.
A.
x
B.
x
C.
x
D.
x
的图像可能是( )
y y
y
y
【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质,用假设法来解决这种数形结合
【例14】
二次函数ym1xm
2是一种很好的方法.
14x5m的图像的对称轴为直线( )
A.x = 1 B.x =1 C.x = 2 D.x =2
【答案】A.
m211【解析】由题意得,解得m1,
m10 ∴解析式为y2x24x5,对称轴为直线xb1.
2a【总结】本题考查了二次函数的概念和性质.
【例15】
请选择一组a、b、c的值,使二次函数yax2bxc(a0)的图像同时满足下列条件:当x2时,y随x的增大而增大;当x2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是___________________.
【答案】yx24x,答案不唯一,符合题意即可.
【解析】由题意得抛物线开口向下,对称轴为直线x2.
【总结】本题考查了二次函数的性质.
【例16】 若抛物线yx2mx1的顶点在y轴上,则m = ________.
【答案】0.
m4m2【解析】抛物线yxmx1的顶点坐标为,,∵顶点在y轴上,
242
10 / 23
∴m0,即m0.
2【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式.
【例17】
将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线y2x24x5,则原抛物线的顶点坐标是____________.
10. 【答案】3,【解析】将抛物线y2x24x52x17向上平移3个单位,再向右平移4个
10. 单位得到原抛物线y2x310,所以原抛物线顶点坐标为3,22【总结】本题考查了抛物线的平移,对于一般式我们一般先化为顶点式,然后再写平移
【例18】
对于二次函数y2x28x8:
之后的解析式.
(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个
值是多少?
(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标;
(3)当x取何值时,y随着x的增大而减小.
0,函数有最大值, 【答案】(1)开口向下、对称轴为直线x2、顶点坐标为2,
步同级年九
最大值为0;
0、0,8; (2)2,(3)x2.
2【解析】(1)y2x28x82x2,∴函数图像开口向下、对称轴为直线x2、
0,函数有最大值,最大值为0; 顶点坐标为2,0; (2)把y0代入解析式得x2,∴与x轴交于2,
8; 把x0代入解析式得y8,∴与y轴交于0,(3)∵图像开口向下,∴在对称轴的右侧y随着x的增大而减小,即x2时,
y随着x的增大而减小.
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.
【例19】
值.
已知抛物线yx2mxn的对称轴为x3,且过点(0,4),求m、n的【答案】m6,n4.
m【解析】由题意得3,解得m6,把(0,4)代入得n4.
2【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征.
【例20】
已知一次函数y2xc与二次函数yax2bx4的图像都过点A(1,,1)二次函数的对称轴是直线x =1,请求出一次函数和二次函数的解析式.
【答案】一次函数解析式为y2x1,二次函数的解析式为yx22x4.
1代入y2xc得c1,∴一次函数解析式为y2x1; 【解析】把A1,
b1a1由题意得,解得,
2ab2ab41∴二次函数的解析式为yx22x4.
12 / 23
【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式.
【例21】
将抛物线yx24x4沿y轴向下平移后,所得抛物线与x轴交于点A、B,顶点为C.如果ABC是等腰直角三角形,求顶点C的坐标.
1. 【答案】2,【解析】设抛物线向下平移m个单位,平移后的抛物线为yx2mm0,
则A2m,B2m,0,C2,m,
设对称轴与x轴交于点H,可得AB2m,CHm,
∵抛物线顶点为C,由抛物线对称性可知CACB,∴ACB90,
∴AB2CH,即2mm,解得m11,m20(舍),
∴顶点C的坐标为2,1.
2【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐
【例22】
已知抛物线yx2b1xc经过点P(1,2b).
标轴的交点问题,根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键.
(1)求b + c的值;
(2)若b = 3,求这条抛物线的顶点坐标;
(3)若b3,过点P作直线PAy轴,交y轴与点A,交抛物线于另一点B,
且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的解析式.
6;(3)yx24x7. 【答案】(1)2;(2)1,【解析】(1)把P1,2b代入yx2b1xc得1b1c2b,
整理得bc2;
(2)若b3,由(1)可知c5,
∴抛物线解析式为yx22x5x16,顶点坐标为1,6.
2
步同级年九
(3)∵b3,∴抛物线对称轴直线x
b11,∴对称轴在P点左侧,
22b, ∴PA1,∵BP2PA,∴BP2,可得B3,由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线x2,
b1∴2,解得b5,由(1)可知c7,
2∴抛物线的解析式为yx24x7.
【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线的对称轴及对称性,解决
此类问题的关键是先根据题意画出草图,找出其中各个量之间的关系.
14 / 23
【习题1】 用配方法把下列函数解析式化为yaxmk的形式,并指出每个函数图 像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
22随堂检测
(1)y2x24x5; (2)y13x2x2.
3; 【答案】(1)y2x13,开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,
3173317(2)y2x,开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.
484482【解析】(1)y2x24x52x22x132x13,
3; ∴抛物线开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,22
399317(2)y13x2x2x2x12x,
21616482
3317∴抛物线开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.
448【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质,对yax2bxc配方得:
b4acb22yaxmka0的对称轴是直线
xm;yax,抛物线2a4a2
抛物线的顶点坐标是m,k.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.
【习题2】 已知二次函数yax2bxc的图像如下图所示,下列结论中正确的个数是 ( )
①
abc0;
②b = 2a;
④abc0.
B.3个
D.1个
1
x
y
③abc0;
A.4个
C.2个
1
O
【答案】A.
b【解析】由图得a0,c0,∵抛物线对称轴为直线x1,∴1,
2a 可得b2a,∴b0,可得①、②正确,当x1时,yabc0,
步同级年九
∴③正确,当x1时,yabc0,∴④正确.
【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,根据图像的开口方向、对称轴、零点以及
【习题3】 已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x = 2,且经过点(3,0),
则a + b + c = ________.
特殊点来判断.
【答案】0.
0,代入解析式得abc0; 【解析】方法一:由抛物线的对称性可知,图像过1,
b2b4a方法二:由题意得,解得,∴abc0.
2ac3a9a3bc0【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式.
【习题4】 当m = _______时,抛物线ymx22m2xm3的对称轴是y轴.
【答案】2.
【解析】∵抛物线对称轴是y轴,∴2m22m0,解得m2.
【总结】本题考查了二次函数的对称轴.
【习题5】 抛物线y3x2bxc是由抛物线y3x26x1向上平移3个单位,再向 左平移2个单位得到的,则b =________,c = ________.
【答案】b18,c20.
【解析】y3x26x13x14向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到
的抛物线为y3x373x218x20,∴b18,c20.
22【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法.
【习题6】 已知抛物线yx2m1xm与y轴交于点(0,3).
y
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
16 / 23
O
x
(3)根据图像判断当x取什么值是,抛物线在x轴上方?
【答案】(1)m3,图像如图所示;
0、3,0,1,4; (2)1,(3)1x3.
y
【解析】(1)把(0,3)代入解析式得m3,
所以解析式为yx22x3x14;
2(2)当y0时,即x22x30,
解得:x11,x23,
0、3,0, 所以与x轴的交点为1,4; 顶点坐标为1,O
x
(3)由图像可知,当1x3时,
抛物线在x轴上方.
【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标.
【习题7】 如图,抛物线yax14与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C
作CD // x轴交抛物线的对称轴与点D,联结BD,且点A的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.
22y
【答案】(1)yx14;
C
(2)6.
0代入得4a40,解得a1, 【解析】(1)把A1,D
∴抛物线解析式为yx14.
2A
O
B
x
(2)由抛物线的解析式可得对称轴为直线x1,当x0时,y3,
3,点D的坐标为1,3, ∴点的坐标为C0,0, 当y0时,x140,x11,x23,∴点B坐标为B3,2
步同级年九
11∴S梯形COBDCDOBOC1336,
22故梯形COBD的面积为6.
【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积.
18 / 23
【作业1】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)yx2x;
(2)y2x26x4;
(4)y3x22x.
课后作业
(3)yx26x3;
111【答案】(1)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,;
4223317 (2)开口向下,对称轴为直线x,顶点坐标为,;
222
12; (3)开口向上,对称轴为直线x3,顶点坐标为3,111(4)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,.
333b,
2a【解析】抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x
4acb2b顶点坐标是(,),把a、b、c分别代入可得对称轴和顶点坐
4a2a标,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.
【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是
【作业2】 抛物线y2x1x5的对称轴是_________,与x轴的交点坐标是 _________,顶点坐标为_________.
4acb2bb直线x,顶点坐标是(,)做题的关键.
4a2a2a0、5,0,2,【答案】直线x2,1,92.
【解析】当y0时,2x1x50,解得x11,x25,
0、5,0, ∴与x轴的交点为1,由抛物线的对称性可知对称轴为直线x2,
步同级年九
把x2代入解析式得y92,∴顶点坐标为2,92.
【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性.
【作业3】 设二次函数yx212kx12,当x1时,y随着x的增大而增大,当x1
时,y随着x的增大而减小,则k的值应取( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】C.
【解析】由题意可知,抛物线对称轴为直线x1,∴12k1,解得k10.
2【总结】本题考查了抛物线的性质,当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点
【作业4】 二次函数yax2bxc的部分对应值如下表:
x
y
…
…
是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称2a轴右侧的部分是上升的;当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x部分是下降的.
b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的2a2
16
21
4
0 1 2 3
…
…
12
22
12
24
根据表格上的信息回答问题:该二次函数的图像的开口方向________;顶点坐标为_________;对称轴为直线x = _________;当x = 4对应的函数值y = ________.
12,1,6. 【答案】向下,1,21【解析】观察表格可知,当x0或2时,y2,根据二次函数的对称性可知对称
2
20 / 23
轴为直线x021,所以顶点为1,2,
21由对称性可知x2或4时,函数值一样,所以x4时,y6,
2∵在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴抛物线开口向下.
【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性.
【作业5】 如果抛物线yx2axa2的顶点在直线y【答案】a2.
a4a2a【解析】抛物线yxaxa的顶点坐标为2,4,
227上,求a的值.
2
4a2a777∵顶点在直线y上,∴,解得a12,a2,
4242∵a0,∴a2.
【总结】本题考查了二次函数的性质,本题要注意a的取值范围.
【作业6】 已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y
1上,点N在直线
2xy = x + 3上,设点M的坐标为(a,b),求抛物线yabx2abx的对称轴和顶点坐标.
9【答案】对称轴为直线x3,顶点坐标为3,.
2【解析】∵M、N两点关于y轴对称,∴Na,b,
11bab 由题意得2a,解得2,
ab3ba3 ∴抛物线yabx2abx对称轴为直线xab33,
2ab212
步同级年九
19 把x3代入解析式得y9ab3ab933,
229 ∴顶点坐标为3,.
2【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标,注意运用整体代入的思想.
【作业7】 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线1
yx2x2的一部分,根据关系是回答:
12
(1)该同学出手时铅球的高度是多少?
(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?
(3)该同学的成绩是多少?
y
【答案】(1)2;(2)5;(3)6215.
【解析】(1)把x0代入解析式得y2,
∴该同学出手时铅球的高度是2;
O
1212(2)抛物线yxx2x65,
1212∴当x6时,铅球在运行过程中离地面的最大高度是5;
1(3)x2x20,解得x16215,x26215(舍),
12
x
22 / 23
∴该同学的成绩是6215.
【总结】本题考查了二次函数的实际应用.