最新消息: USBMI致力于为网友们分享Windows、安卓、IOS等主流手机系统相关的资讯以及评测、同时提供相关教程、应用、软件下载等服务。

九年级数学 暑假同步讲义 第17讲 二次函数y=ax^2+bx+c的图像培优

IT圈 admin 21浏览 0评论

2024年2月25日发(作者:抗绮玉)

二次函数y = ax

2+ bx + c的图像

内容分析

二次函数yax2bxc的图像的研究,需要利用配方法的方式对ax2bxc进行变形,从而利用yaxmk的图像特征研究yax2bxc的图像特征,继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系.

2知识结构

1、 二次函数yaxmk的图像

二次函数yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的图像即抛物线yaxmk,可以通过将抛物线yax2进行两次平移得到.

222模块一:二次函数y = a(x + m)2

+ k的图像

知识精讲

这两次平移可以是:先向左(m0时)或向右(m0时)平移m个单位,再向上(k0时)或向下(k0时)平移k个单位.

利用图形平移的性质,可知:抛物线yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的对称轴是经过点(m,0)且平行于y轴的直线,即直线x =m;抛物线的顶点坐标是(m,k).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点.

2

步同级年九

【例1】 在平面直角坐标系中,如果抛物线y2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位,那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________.

2例题解析

【答案】y2x22.

【解析】把x轴向上平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为0,2,

∴解析式为y2x22;把y轴向右平移2个单位,抛物线形状不变,

2,∴解析式为y2x22. 顶点为2,2【总结】本题考查抛物线的平移,坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移.

【例2】 已知二次函数y3(x1)2k的图像上有A(2,y1)、B(2,y2)、C(5,

y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )

A.y1y2y3

C.y3y1y2

B.y2y1y3

D.y3y2y1

【答案】D.

【解析】二次函数y3(x1)2k的对称轴为直线x1,∵a30,

∴到直线x1的距离越小的点y就越小,∴y3y2y1.

【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解,做题的关键是掌握抛物线的对称性.

【例3】 与抛物线y3x2形状相同,顶点为(3,2)的抛物线解析式为_____________.

【答案】y3x32、y3x32.

【解析】设解析式为yaxmk,∵抛物线形状、开口方向与y3x2相同,

2 / 23

222∴a3,∵顶点为(3,2),∴m3,k2,

∴解析式为y3x32、y3x32.

22【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法,抛物线形状相同,则说明a相等或互为相反数.

【例4】 如图,抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:

(1)抛物线y2的顶点坐标为____________;

(2)阴影部分的面积S = ____________;

(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向______,顶点坐标为____________.

y

2

1

y1 y2

O

1

1

2

x

2;(2)2;(3)上,1,2. 【答案】(1)1,【解析】(1)抛物线y2的解析式为y2x12,

2. ∴顶点坐标为1,22

1

(2)通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形,∴阴影部分的面积为2.

y

2

2

1

y1 y2

1

2

2

1

O

x

1

(3)将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,

2. ∴抛物线y3开口向上,顶点为1,2

步同级年九

【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转,求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求.

【例5】 已知二次函数yax1c的图像如图所示,则一次函数yaxc的大致图像

【答案】A.

【解析】由二次函数的图像可知a0,c0,∴一次函数yaxc过第一、二、三

象限,选A.

【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像.

【例6】 抛物线y2x26的顶点为C,已知ykx3的图像经过点C,求这个 一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积.

【答案】1.

22可能是( )

y

O

x

y

O

A.

x

y

O

B.

x

y

O

C.

x

y

O

D.

x

996,把C2,6代入ykx3得k,∴yx3, 【解析】由题意知,C2,221223、, 与坐标轴交于0,0,∴围成的三角形面积S31.

233【总结】本题考查了一次函数的图像与性质.

4 / 23

【例7】 如图,已知二次函数yxmk的图像经过x轴上的点A(1,0)和点B(3,0),且与y轴相交于点C.

(1)求此二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)求CPB的正弦值.

22y

C

【答案】(1)yx21,P2,1;

(2)310.

10【解析】(1)把A(1,0)和点B(3,0),

代入yxmk得:

2m21mk0,解得,

2k13mk02O

A

B

P

x

1. ∴yx21,顶点P2,22(2)由yx21得C0,3,∴PB22,BC218,PC220,

∵PB2BC2PC2,∴CBP90,∴sinCPBBC32310.

PC2510【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合,发现PBC是直角三角形是做题的关

键.

步同级年九

【例8】 有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,

以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系,如图所示.

(1)请直接写出O、A、M三点的坐标;

(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过

此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?

y

M

【答案】(1)O0,0,A6,0,M3,3;

8(2)米.

3A

x

0,A6,0,M3,3; 【解析】(1)由题意知O0,O

B

21

0代入,得: (2)设解析式为yax33,把O0,a,

312x33,∵3x1,∴x2,

3182 当x2时,y233.

338 ∴这些木板最高可堆放米

3 ∴解析式为y【总结】本题考查了二次函数的实际应用.

6 / 23

1、 二次函数yax2bxc的图像

二次函数yax2bxc的图像称为抛物线yax2bxc,这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式.

任意一个二次函数yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)都可以运用配方法,把它的解析式化为yaxmk的形式.

b4acb2对yaxbxc配方得:yax.

2a4a2模块二:二次函数y = ax

2+ bx + c的图像

知识精讲

22由此可知:

抛物线yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)的对称轴是直线xb,顶2a4acb2b点坐标是(,).

4a2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;

2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x

b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的.

2a

步同级年九

【例9】

y2x1x21化成yaxmk的形式为( )

325A.y2x

416317C.y2x

48222例题解析

317B.y2x

48317D.y2x

4822

【答案】C.

399317【解析】y2x1x212x23x12x2x12x.

21616482【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式.

【例10】

下列关于二次函数说法错误的是( )

3A.抛物线y2x23x1的对称轴是直线x

4B.抛物线yx22x3,点A(3,0)不在它的图像上

C.二次函数yx22的顶点坐标是(2,2)

D.函数y2x24x3的图像的最低点在(1,5)

2【答案】B.

0在抛物线上. 【解析】把x3代入yx22x3得y0,∴点A3,【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.

8 / 23

【例11】

【答案】A.

【解析】∵a0,∴图像开口向下,又∵b0,∴对称轴为直线x 在y轴左侧,∵c0,∴抛物线与y轴交于正半轴.

A.

x

B.

x

C.

x

D.

x

已知二次函数yax2bxc,若a0,b0,c0,那么它的图像大致是( )

y

y

y

y

b0,

2a【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,当a、b同号时,对称轴在y轴左侧,

【例12】

象限.

二次函数yax2bxc中,a0,b0,c0,则其图像的顶点在第____当a、b异号时,对称轴在y轴右侧,即“左同右异”,熟记系数与图像之间 的关系是做题的关键.

【答案】四.

【解析】∵a0,b0,∴图像开口向上,对称轴在y轴右侧,又∵c0,

∴顶点在第四象限.

【总结】本题考查了二次函数的图像.

【例13】 在同一直角坐标系中,函数ymxm和ymx22x2(m是常数,且m0)

步同级年九

【答案】D.

【解析】当m0时,抛物线开口向下,一次函数经过第一、二、三象限;

当m0时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,一次函数经过第二、三、四象限.

A.

x

B.

x

C.

x

D.

x

的图像可能是( )

y y

y

y

【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质,用假设法来解决这种数形结合

【例14】

二次函数ym1xm

2是一种很好的方法.

14x5m的图像的对称轴为直线( )

A.x = 1 B.x =1 C.x = 2 D.x =2

【答案】A.

m211【解析】由题意得,解得m1,

m10 ∴解析式为y2x24x5,对称轴为直线xb1.

2a【总结】本题考查了二次函数的概念和性质.

【例15】

请选择一组a、b、c的值,使二次函数yax2bxc(a0)的图像同时满足下列条件:当x2时,y随x的增大而增大;当x2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是___________________.

【答案】yx24x,答案不唯一,符合题意即可.

【解析】由题意得抛物线开口向下,对称轴为直线x2.

【总结】本题考查了二次函数的性质.

【例16】 若抛物线yx2mx1的顶点在y轴上,则m = ________.

【答案】0.

m4m2【解析】抛物线yxmx1的顶点坐标为,,∵顶点在y轴上,

242

10 / 23

∴m0,即m0.

2【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式.

【例17】

将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线y2x24x5,则原抛物线的顶点坐标是____________.

10. 【答案】3,【解析】将抛物线y2x24x52x17向上平移3个单位,再向右平移4个

10. 单位得到原抛物线y2x310,所以原抛物线顶点坐标为3,22【总结】本题考查了抛物线的平移,对于一般式我们一般先化为顶点式,然后再写平移

【例18】

对于二次函数y2x28x8:

之后的解析式.

(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个

值是多少?

(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标;

(3)当x取何值时,y随着x的增大而减小.

0,函数有最大值, 【答案】(1)开口向下、对称轴为直线x2、顶点坐标为2,

步同级年九

最大值为0;

0、0,8; (2)2,(3)x2.

2【解析】(1)y2x28x82x2,∴函数图像开口向下、对称轴为直线x2、

0,函数有最大值,最大值为0; 顶点坐标为2,0; (2)把y0代入解析式得x2,∴与x轴交于2,

8; 把x0代入解析式得y8,∴与y轴交于0,(3)∵图像开口向下,∴在对称轴的右侧y随着x的增大而减小,即x2时,

y随着x的增大而减小.

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.

【例19】

值.

已知抛物线yx2mxn的对称轴为x3,且过点(0,4),求m、n的【答案】m6,n4.

m【解析】由题意得3,解得m6,把(0,4)代入得n4.

2【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征.

【例20】

已知一次函数y2xc与二次函数yax2bx4的图像都过点A(1,,1)二次函数的对称轴是直线x =1,请求出一次函数和二次函数的解析式.

【答案】一次函数解析式为y2x1,二次函数的解析式为yx22x4.

1代入y2xc得c1,∴一次函数解析式为y2x1; 【解析】把A1,

b1a1由题意得,解得,

2ab2ab41∴二次函数的解析式为yx22x4.

12 / 23

【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式.

【例21】

将抛物线yx24x4沿y轴向下平移后,所得抛物线与x轴交于点A、B,顶点为C.如果ABC是等腰直角三角形,求顶点C的坐标.

1. 【答案】2,【解析】设抛物线向下平移m个单位,平移后的抛物线为yx2mm0,

则A2m,B2m,0,C2,m,

设对称轴与x轴交于点H,可得AB2m,CHm,

∵抛物线顶点为C,由抛物线对称性可知CACB,∴ACB90,

∴AB2CH,即2mm,解得m11,m20(舍),

∴顶点C的坐标为2,1.

2【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐

【例22】

已知抛物线yx2b1xc经过点P(1,2b).

标轴的交点问题,根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键.

(1)求b + c的值;

(2)若b = 3,求这条抛物线的顶点坐标;

(3)若b3,过点P作直线PAy轴,交y轴与点A,交抛物线于另一点B,

且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的解析式.

6;(3)yx24x7. 【答案】(1)2;(2)1,【解析】(1)把P1,2b代入yx2b1xc得1b1c2b,

整理得bc2;

(2)若b3,由(1)可知c5,

∴抛物线解析式为yx22x5x16,顶点坐标为1,6.

2

步同级年九

(3)∵b3,∴抛物线对称轴直线x

b11,∴对称轴在P点左侧,

22b, ∴PA1,∵BP2PA,∴BP2,可得B3,由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线x2,

b1∴2,解得b5,由(1)可知c7,

2∴抛物线的解析式为yx24x7.

【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线的对称轴及对称性,解决

此类问题的关键是先根据题意画出草图,找出其中各个量之间的关系.

14 / 23

【习题1】 用配方法把下列函数解析式化为yaxmk的形式,并指出每个函数图 像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

22随堂检测

(1)y2x24x5; (2)y13x2x2.

3; 【答案】(1)y2x13,开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,

3173317(2)y2x,开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.

484482【解析】(1)y2x24x52x22x132x13,

3; ∴抛物线开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,22

399317(2)y13x2x2x2x12x,

21616482

3317∴抛物线开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.

448【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质,对yax2bxc配方得:

b4acb22yaxmka0的对称轴是直线

xm;yax,抛物线2a4a2

抛物线的顶点坐标是m,k.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.

【习题2】 已知二次函数yax2bxc的图像如下图所示,下列结论中正确的个数是 ( )

abc0;

②b = 2a;

④abc0.

B.3个

D.1个

1

x

y

③abc0;

A.4个

C.2个

1

O

【答案】A.

b【解析】由图得a0,c0,∵抛物线对称轴为直线x1,∴1,

2a 可得b2a,∴b0,可得①、②正确,当x1时,yabc0,

步同级年九

∴③正确,当x1时,yabc0,∴④正确.

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,根据图像的开口方向、对称轴、零点以及

【习题3】 已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x = 2,且经过点(3,0),

则a + b + c = ________.

特殊点来判断.

【答案】0.

0,代入解析式得abc0; 【解析】方法一:由抛物线的对称性可知,图像过1,

b2b4a方法二:由题意得,解得,∴abc0.

2ac3a9a3bc0【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式.

【习题4】 当m = _______时,抛物线ymx22m2xm3的对称轴是y轴.

【答案】2.

【解析】∵抛物线对称轴是y轴,∴2m22m0,解得m2.

【总结】本题考查了二次函数的对称轴.

【习题5】 抛物线y3x2bxc是由抛物线y3x26x1向上平移3个单位,再向 左平移2个单位得到的,则b =________,c = ________.

【答案】b18,c20.

【解析】y3x26x13x14向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到

的抛物线为y3x373x218x20,∴b18,c20.

22【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法.

【习题6】 已知抛物线yx2m1xm与y轴交于点(0,3).

y

(1)求出m的值并画出这条抛物线;

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;

16 / 23

O

x

(3)根据图像判断当x取什么值是,抛物线在x轴上方?

【答案】(1)m3,图像如图所示;

0、3,0,1,4; (2)1,(3)1x3.

y

【解析】(1)把(0,3)代入解析式得m3,

所以解析式为yx22x3x14;

2(2)当y0时,即x22x30,

解得:x11,x23,

0、3,0, 所以与x轴的交点为1,4; 顶点坐标为1,O

x

(3)由图像可知,当1x3时,

抛物线在x轴上方.

【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标.

【习题7】 如图,抛物线yax14与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C

作CD // x轴交抛物线的对称轴与点D,联结BD,且点A的坐标为(1,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求梯形COBD的面积.

22y

【答案】(1)yx14;

C

(2)6.

0代入得4a40,解得a1, 【解析】(1)把A1,D

∴抛物线解析式为yx14.

2A

O

B

x

(2)由抛物线的解析式可得对称轴为直线x1,当x0时,y3,

3,点D的坐标为1,3, ∴点的坐标为C0,0, 当y0时,x140,x11,x23,∴点B坐标为B3,2

步同级年九

11∴S梯形COBDCDOBOC1336,

22故梯形COBD的面积为6.

【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积.

18 / 23

【作业1】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)yx2x;

(2)y2x26x4;

(4)y3x22x.

课后作业

(3)yx26x3;

111【答案】(1)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,;

4223317 (2)开口向下,对称轴为直线x,顶点坐标为,;

222

12; (3)开口向上,对称轴为直线x3,顶点坐标为3,111(4)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,.

333b,

2a【解析】抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x

4acb2b顶点坐标是(,),把a、b、c分别代入可得对称轴和顶点坐

4a2a标,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.

【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是

【作业2】 抛物线y2x1x5的对称轴是_________,与x轴的交点坐标是 _________,顶点坐标为_________.

4acb2bb直线x,顶点坐标是(,)做题的关键.

4a2a2a0、5,0,2,【答案】直线x2,1,92.

【解析】当y0时,2x1x50,解得x11,x25,

0、5,0, ∴与x轴的交点为1,由抛物线的对称性可知对称轴为直线x2,

步同级年九

把x2代入解析式得y92,∴顶点坐标为2,92.

【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性.

【作业3】 设二次函数yx212kx12,当x1时,y随着x的增大而增大,当x1

时,y随着x的增大而减小,则k的值应取( )

A.12 B.11 C.10 D.9

【答案】C.

【解析】由题意可知,抛物线对称轴为直线x1,∴12k1,解得k10.

2【总结】本题考查了抛物线的性质,当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点

【作业4】 二次函数yax2bxc的部分对应值如下表:

x

y

是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称2a轴右侧的部分是上升的;当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x部分是下降的.

b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的2a2

16

21

4

0 1 2 3

12

22

12

24

根据表格上的信息回答问题:该二次函数的图像的开口方向________;顶点坐标为_________;对称轴为直线x = _________;当x = 4对应的函数值y = ________.

12,1,6. 【答案】向下,1,21【解析】观察表格可知,当x0或2时,y2,根据二次函数的对称性可知对称

2

20 / 23

轴为直线x021,所以顶点为1,2,

21由对称性可知x2或4时,函数值一样,所以x4时,y6,

2∵在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,

∴抛物线开口向下.

【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性.

【作业5】 如果抛物线yx2axa2的顶点在直线y【答案】a2.

a4a2a【解析】抛物线yxaxa的顶点坐标为2,4,

227上,求a的值.

2

4a2a777∵顶点在直线y上,∴,解得a12,a2,

4242∵a0,∴a2.

【总结】本题考查了二次函数的性质,本题要注意a的取值范围.

【作业6】 已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y

1上,点N在直线

2xy = x + 3上,设点M的坐标为(a,b),求抛物线yabx2abx的对称轴和顶点坐标.

9【答案】对称轴为直线x3,顶点坐标为3,.

2【解析】∵M、N两点关于y轴对称,∴Na,b,

11bab 由题意得2a,解得2,

ab3ba3 ∴抛物线yabx2abx对称轴为直线xab33,

2ab212

步同级年九

19 把x3代入解析式得y9ab3ab933,

229 ∴顶点坐标为3,.

2【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标,注意运用整体代入的思想.

【作业7】 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线1

yx2x2的一部分,根据关系是回答:

12

(1)该同学出手时铅球的高度是多少?

(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?

(3)该同学的成绩是多少?

y

【答案】(1)2;(2)5;(3)6215.

【解析】(1)把x0代入解析式得y2,

∴该同学出手时铅球的高度是2;

O

1212(2)抛物线yxx2x65,

1212∴当x6时,铅球在运行过程中离地面的最大高度是5;

1(3)x2x20,解得x16215,x26215(舍),

12

x

22 / 23

∴该同学的成绩是6215.

【总结】本题考查了二次函数的实际应用.

2024年2月25日发(作者:抗绮玉)

二次函数y = ax

2+ bx + c的图像

内容分析

二次函数yax2bxc的图像的研究,需要利用配方法的方式对ax2bxc进行变形,从而利用yaxmk的图像特征研究yax2bxc的图像特征,继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系.

2知识结构

1、 二次函数yaxmk的图像

二次函数yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的图像即抛物线yaxmk,可以通过将抛物线yax2进行两次平移得到.

222模块一:二次函数y = a(x + m)2

+ k的图像

知识精讲

这两次平移可以是:先向左(m0时)或向右(m0时)平移m个单位,再向上(k0时)或向下(k0时)平移k个单位.

利用图形平移的性质,可知:抛物线yaxmk(其中a、m、k是常数,且a0)的对称轴是经过点(m,0)且平行于y轴的直线,即直线x =m;抛物线的顶点坐标是(m,k).抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a0时,开口向下,顶点是抛物线的最高点.

2

步同级年九

【例1】 在平面直角坐标系中,如果抛物线y2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平 移2个单位,那么在新平面直角坐标系下抛物线的解析式是_____________.

2例题解析

【答案】y2x22.

【解析】把x轴向上平移2个单位,抛物线形状不变,顶点为0,2,

∴解析式为y2x22;把y轴向右平移2个单位,抛物线形状不变,

2,∴解析式为y2x22. 顶点为2,2【总结】本题考查抛物线的平移,坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移.

【例2】 已知二次函数y3(x1)2k的图像上有A(2,y1)、B(2,y2)、C(5,

y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )

A.y1y2y3

C.y3y1y2

B.y2y1y3

D.y3y2y1

【答案】D.

【解析】二次函数y3(x1)2k的对称轴为直线x1,∵a30,

∴到直线x1的距离越小的点y就越小,∴y3y2y1.

【总结】本题主要考查学生对二次函数图像的理解,做题的关键是掌握抛物线的对称性.

【例3】 与抛物线y3x2形状相同,顶点为(3,2)的抛物线解析式为_____________.

【答案】y3x32、y3x32.

【解析】设解析式为yaxmk,∵抛物线形状、开口方向与y3x2相同,

2 / 23

222∴a3,∵顶点为(3,2),∴m3,k2,

∴解析式为y3x32、y3x32.

22【总结】本题考查二次函数的顶点式的求法,抛物线形状相同,则说明a相等或互为相反数.

【例4】 如图,抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:

(1)抛物线y2的顶点坐标为____________;

(2)阴影部分的面积S = ____________;

(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,则抛物线y3的开口方向______,顶点坐标为____________.

y

2

1

y1 y2

O

1

1

2

x

2;(2)2;(3)上,1,2. 【答案】(1)1,【解析】(1)抛物线y2的解析式为y2x12,

2. ∴顶点坐标为1,22

1

(2)通过图形的平移可以把阴影部分转化为长方形,∴阴影部分的面积为2.

y

2

2

1

y1 y2

1

2

2

1

O

x

1

(3)将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,

2. ∴抛物线y3开口向上,顶点为1,2

步同级年九

【总结】本题考查了二次函数的平移与旋转,求不规则图形的面积可以通过平移、割补等方法转化为规则图形来求.

【例5】 已知二次函数yax1c的图像如图所示,则一次函数yaxc的大致图像

【答案】A.

【解析】由二次函数的图像可知a0,c0,∴一次函数yaxc过第一、二、三

象限,选A.

【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像.

【例6】 抛物线y2x26的顶点为C,已知ykx3的图像经过点C,求这个 一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积.

【答案】1.

22可能是( )

y

O

x

y

O

A.

x

y

O

B.

x

y

O

C.

x

y

O

D.

x

996,把C2,6代入ykx3得k,∴yx3, 【解析】由题意知,C2,221223、, 与坐标轴交于0,0,∴围成的三角形面积S31.

233【总结】本题考查了一次函数的图像与性质.

4 / 23

【例7】 如图,已知二次函数yxmk的图像经过x轴上的点A(1,0)和点B(3,0),且与y轴相交于点C.

(1)求此二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)求CPB的正弦值.

22y

C

【答案】(1)yx21,P2,1;

(2)310.

10【解析】(1)把A(1,0)和点B(3,0),

代入yxmk得:

2m21mk0,解得,

2k13mk02O

A

B

P

x

1. ∴yx21,顶点P2,22(2)由yx21得C0,3,∴PB22,BC218,PC220,

∵PB2BC2PC2,∴CBP90,∴sinCPBBC32310.

PC2510【总结】本题考查了二次函数与锐角三角比综合,发现PBC是直角三角形是做题的关

键.

步同级年九

【例8】 有一个抛物线形的桥洞,桥洞离水面的最大高度BM为3米,跨度OA为6米,

以OA所在直线为x轴,O为原点建立直角坐标系,如图所示.

(1)请直接写出O、A、M三点的坐标;

(2)一艘小船平放着一些长3米,宽2米且厚度均匀的矩形木板,要使该小船能通过

此桥洞,问这些木板最高可堆放多少米(设船身底板与水面同一平面)?

y

M

【答案】(1)O0,0,A6,0,M3,3;

8(2)米.

3A

x

0,A6,0,M3,3; 【解析】(1)由题意知O0,O

B

21

0代入,得: (2)设解析式为yax33,把O0,a,

312x33,∵3x1,∴x2,

3182 当x2时,y233.

338 ∴这些木板最高可堆放米

3 ∴解析式为y【总结】本题考查了二次函数的实际应用.

6 / 23

1、 二次函数yax2bxc的图像

二次函数yax2bxc的图像称为抛物线yax2bxc,这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式.

任意一个二次函数yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)都可以运用配方法,把它的解析式化为yaxmk的形式.

b4acb2对yaxbxc配方得:yax.

2a4a2模块二:二次函数y = ax

2+ bx + c的图像

知识精讲

22由此可知:

抛物线yax2bxc(其中a、b、c是常数,且a0)的对称轴是直线xb,顶2a4acb2b点坐标是(,).

4a2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称轴右侧的部分是上升的;

2a当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x

b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的部分是下降的.

2a

步同级年九

【例9】

y2x1x21化成yaxmk的形式为( )

325A.y2x

416317C.y2x

48222例题解析

317B.y2x

48317D.y2x

4822

【答案】C.

399317【解析】y2x1x212x23x12x2x12x.

21616482【总结】本题考查了如何通过配方将二次函数的解析式化成顶点式.

【例10】

下列关于二次函数说法错误的是( )

3A.抛物线y2x23x1的对称轴是直线x

4B.抛物线yx22x3,点A(3,0)不在它的图像上

C.二次函数yx22的顶点坐标是(2,2)

D.函数y2x24x3的图像的最低点在(1,5)

2【答案】B.

0在抛物线上. 【解析】把x3代入yx22x3得y0,∴点A3,【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.

8 / 23

【例11】

【答案】A.

【解析】∵a0,∴图像开口向下,又∵b0,∴对称轴为直线x 在y轴左侧,∵c0,∴抛物线与y轴交于正半轴.

A.

x

B.

x

C.

x

D.

x

已知二次函数yax2bxc,若a0,b0,c0,那么它的图像大致是( )

y

y

y

y

b0,

2a【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,当a、b同号时,对称轴在y轴左侧,

【例12】

象限.

二次函数yax2bxc中,a0,b0,c0,则其图像的顶点在第____当a、b异号时,对称轴在y轴右侧,即“左同右异”,熟记系数与图像之间 的关系是做题的关键.

【答案】四.

【解析】∵a0,b0,∴图像开口向上,对称轴在y轴右侧,又∵c0,

∴顶点在第四象限.

【总结】本题考查了二次函数的图像.

【例13】 在同一直角坐标系中,函数ymxm和ymx22x2(m是常数,且m0)

步同级年九

【答案】D.

【解析】当m0时,抛物线开口向下,一次函数经过第一、二、三象限;

当m0时,抛物线开口向上,对称轴在y轴左侧,一次函数经过第二、三、四象限.

A.

x

B.

x

C.

x

D.

x

的图像可能是( )

y y

y

y

【总结】本题考查了二次函数与一次函数的图像及性质,用假设法来解决这种数形结合

【例14】

二次函数ym1xm

2是一种很好的方法.

14x5m的图像的对称轴为直线( )

A.x = 1 B.x =1 C.x = 2 D.x =2

【答案】A.

m211【解析】由题意得,解得m1,

m10 ∴解析式为y2x24x5,对称轴为直线xb1.

2a【总结】本题考查了二次函数的概念和性质.

【例15】

请选择一组a、b、c的值,使二次函数yax2bxc(a0)的图像同时满足下列条件:当x2时,y随x的增大而增大;当x2时,y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是___________________.

【答案】yx24x,答案不唯一,符合题意即可.

【解析】由题意得抛物线开口向下,对称轴为直线x2.

【总结】本题考查了二次函数的性质.

【例16】 若抛物线yx2mx1的顶点在y轴上,则m = ________.

【答案】0.

m4m2【解析】抛物线yxmx1的顶点坐标为,,∵顶点在y轴上,

242

10 / 23

∴m0,即m0.

2【总结】本题考查了抛物线的顶点坐标公式.

【例17】

将抛物线yax2bxc(a0)向下平移3个单位,再向左平移4个单位得到抛物线y2x24x5,则原抛物线的顶点坐标是____________.

10. 【答案】3,【解析】将抛物线y2x24x52x17向上平移3个单位,再向右平移4个

10. 单位得到原抛物线y2x310,所以原抛物线顶点坐标为3,22【总结】本题考查了抛物线的平移,对于一般式我们一般先化为顶点式,然后再写平移

【例18】

对于二次函数y2x28x8:

之后的解析式.

(1)求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个

值是多少?

(2)求出此抛物线与x、y轴的交点坐标;

(3)当x取何值时,y随着x的增大而减小.

0,函数有最大值, 【答案】(1)开口向下、对称轴为直线x2、顶点坐标为2,

步同级年九

最大值为0;

0、0,8; (2)2,(3)x2.

2【解析】(1)y2x28x82x2,∴函数图像开口向下、对称轴为直线x2、

0,函数有最大值,最大值为0; 顶点坐标为2,0; (2)把y0代入解析式得x2,∴与x轴交于2,

8; 把x0代入解析式得y8,∴与y轴交于0,(3)∵图像开口向下,∴在对称轴的右侧y随着x的增大而减小,即x2时,

y随着x的增大而减小.

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质.

【例19】

值.

已知抛物线yx2mxn的对称轴为x3,且过点(0,4),求m、n的【答案】m6,n4.

m【解析】由题意得3,解得m6,把(0,4)代入得n4.

2【总结】本题考查了二次函数的对称轴公式及抛物线上点的坐标特征.

【例20】

已知一次函数y2xc与二次函数yax2bx4的图像都过点A(1,,1)二次函数的对称轴是直线x =1,请求出一次函数和二次函数的解析式.

【答案】一次函数解析式为y2x1,二次函数的解析式为yx22x4.

1代入y2xc得c1,∴一次函数解析式为y2x1; 【解析】把A1,

b1a1由题意得,解得,

2ab2ab41∴二次函数的解析式为yx22x4.

12 / 23

【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式.

【例21】

将抛物线yx24x4沿y轴向下平移后,所得抛物线与x轴交于点A、B,顶点为C.如果ABC是等腰直角三角形,求顶点C的坐标.

1. 【答案】2,【解析】设抛物线向下平移m个单位,平移后的抛物线为yx2mm0,

则A2m,B2m,0,C2,m,

设对称轴与x轴交于点H,可得AB2m,CHm,

∵抛物线顶点为C,由抛物线对称性可知CACB,∴ACB90,

∴AB2CH,即2mm,解得m11,m20(舍),

∴顶点C的坐标为2,1.

2【总结】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐

【例22】

已知抛物线yx2b1xc经过点P(1,2b).

标轴的交点问题,根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键.

(1)求b + c的值;

(2)若b = 3,求这条抛物线的顶点坐标;

(3)若b3,过点P作直线PAy轴,交y轴与点A,交抛物线于另一点B,

且BP = 2PA,求这条抛物线所对应的解析式.

6;(3)yx24x7. 【答案】(1)2;(2)1,【解析】(1)把P1,2b代入yx2b1xc得1b1c2b,

整理得bc2;

(2)若b3,由(1)可知c5,

∴抛物线解析式为yx22x5x16,顶点坐标为1,6.

2

步同级年九

(3)∵b3,∴抛物线对称轴直线x

b11,∴对称轴在P点左侧,

22b, ∴PA1,∵BP2PA,∴BP2,可得B3,由抛物线的对称性可知抛物线对称轴为直线x2,

b1∴2,解得b5,由(1)可知c7,

2∴抛物线的解析式为yx24x7.

【总结】本题考查了抛物线上点的坐标特征、也考查了抛物线的对称轴及对称性,解决

此类问题的关键是先根据题意画出草图,找出其中各个量之间的关系.

14 / 23

【习题1】 用配方法把下列函数解析式化为yaxmk的形式,并指出每个函数图 像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

22随堂检测

(1)y2x24x5; (2)y13x2x2.

3; 【答案】(1)y2x13,开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,

3173317(2)y2x,开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.

484482【解析】(1)y2x24x52x22x132x13,

3; ∴抛物线开口向上,对称轴直线x1,顶点坐标1,22

399317(2)y13x2x2x2x12x,

21616482

3317∴抛物线开口向下,对称轴直线x,顶点坐标,.

448【总结】本题考查了配方法及抛物线的性质,对yax2bxc配方得:

b4acb22yaxmka0的对称轴是直线

xm;yax,抛物线2a4a2

抛物线的顶点坐标是m,k.抛物线的开口方向由a所取值的符号决定,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.

【习题2】 已知二次函数yax2bxc的图像如下图所示,下列结论中正确的个数是 ( )

abc0;

②b = 2a;

④abc0.

B.3个

D.1个

1

x

y

③abc0;

A.4个

C.2个

1

O

【答案】A.

b【解析】由图得a0,c0,∵抛物线对称轴为直线x1,∴1,

2a 可得b2a,∴b0,可得①、②正确,当x1时,yabc0,

步同级年九

∴③正确,当x1时,yabc0,∴④正确.

【总结】本题考查了二次函数的图像与性质,根据图像的开口方向、对称轴、零点以及

【习题3】 已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x = 2,且经过点(3,0),

则a + b + c = ________.

特殊点来判断.

【答案】0.

0,代入解析式得abc0; 【解析】方法一:由抛物线的对称性可知,图像过1,

b2b4a方法二:由题意得,解得,∴abc0.

2ac3a9a3bc0【总结】本题考查了二次函数的对称性及待定系数法确定函数关系式.

【习题4】 当m = _______时,抛物线ymx22m2xm3的对称轴是y轴.

【答案】2.

【解析】∵抛物线对称轴是y轴,∴2m22m0,解得m2.

【总结】本题考查了二次函数的对称轴.

【习题5】 抛物线y3x2bxc是由抛物线y3x26x1向上平移3个单位,再向 左平移2个单位得到的,则b =________,c = ________.

【答案】b18,c20.

【解析】y3x26x13x14向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到

的抛物线为y3x373x218x20,∴b18,c20.

22【总结】本题考查了抛物线的平移及配方法.

【习题6】 已知抛物线yx2m1xm与y轴交于点(0,3).

y

(1)求出m的值并画出这条抛物线;

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;

16 / 23

O

x

(3)根据图像判断当x取什么值是,抛物线在x轴上方?

【答案】(1)m3,图像如图所示;

0、3,0,1,4; (2)1,(3)1x3.

y

【解析】(1)把(0,3)代入解析式得m3,

所以解析式为yx22x3x14;

2(2)当y0时,即x22x30,

解得:x11,x23,

0、3,0, 所以与x轴的交点为1,4; 顶点坐标为1,O

x

(3)由图像可知,当1x3时,

抛物线在x轴上方.

【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及求交点坐标.

【习题7】 如图,抛物线yax14与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,过点C

作CD // x轴交抛物线的对称轴与点D,联结BD,且点A的坐标为(1,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求梯形COBD的面积.

22y

【答案】(1)yx14;

C

(2)6.

0代入得4a40,解得a1, 【解析】(1)把A1,D

∴抛物线解析式为yx14.

2A

O

B

x

(2)由抛物线的解析式可得对称轴为直线x1,当x0时,y3,

3,点D的坐标为1,3, ∴点的坐标为C0,0, 当y0时,x140,x11,x23,∴点B坐标为B3,2

步同级年九

11∴S梯形COBDCDOBOC1336,

22故梯形COBD的面积为6.

【总结】本题主要考查了二次函数的应用和梯形的面积.

18 / 23

【作业1】 指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)yx2x;

(2)y2x26x4;

(4)y3x22x.

课后作业

(3)yx26x3;

111【答案】(1)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,;

4223317 (2)开口向下,对称轴为直线x,顶点坐标为,;

222

12; (3)开口向上,对称轴为直线x3,顶点坐标为3,111(4)开口向上,对称轴为直线x,顶点坐标为,.

333b,

2a【解析】抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x

4acb2b顶点坐标是(,),把a、b、c分别代入可得对称轴和顶点坐

4a2a标,当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.

【总结】本题考查了二次函数的性质,熟记抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是

【作业2】 抛物线y2x1x5的对称轴是_________,与x轴的交点坐标是 _________,顶点坐标为_________.

4acb2bb直线x,顶点坐标是(,)做题的关键.

4a2a2a0、5,0,2,【答案】直线x2,1,92.

【解析】当y0时,2x1x50,解得x11,x25,

0、5,0, ∴与x轴的交点为1,由抛物线的对称性可知对称轴为直线x2,

步同级年九

把x2代入解析式得y92,∴顶点坐标为2,92.

【总结】本题考查了二次函数的交点式及抛物线的对称性.

【作业3】 设二次函数yx212kx12,当x1时,y随着x的增大而增大,当x1

时,y随着x的增大而减小,则k的值应取( )

A.12 B.11 C.10 D.9

【答案】C.

【解析】由题意可知,抛物线对称轴为直线x1,∴12k1,解得k10.

2【总结】本题考查了抛物线的性质,当a0时,抛物线yax2bxc开口向上,顶点

【作业4】 二次函数yax2bxc的部分对应值如下表:

x

y

是抛物线的最低点,抛物线在对称轴(即直线xb)左侧的部分是下降的,在对称2a轴右侧的部分是上升的;当a0时,抛物线yax2bxc开口向下,顶点是抛物线的最高点,抛物线在对称轴(即直线x部分是下降的.

b)左侧的部分是上升的,在对称轴右侧的2a2

16

21

4

0 1 2 3

12

22

12

24

根据表格上的信息回答问题:该二次函数的图像的开口方向________;顶点坐标为_________;对称轴为直线x = _________;当x = 4对应的函数值y = ________.

12,1,6. 【答案】向下,1,21【解析】观察表格可知,当x0或2时,y2,根据二次函数的对称性可知对称

2

20 / 23

轴为直线x021,所以顶点为1,2,

21由对称性可知x2或4时,函数值一样,所以x4时,y6,

2∵在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,

∴抛物线开口向下.

【总结】本题考查了二次函数的图表表示及抛物线的对称性.

【作业5】 如果抛物线yx2axa2的顶点在直线y【答案】a2.

a4a2a【解析】抛物线yxaxa的顶点坐标为2,4,

227上,求a的值.

2

4a2a777∵顶点在直线y上,∴,解得a12,a2,

4242∵a0,∴a2.

【总结】本题考查了二次函数的性质,本题要注意a的取值范围.

【作业6】 已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y

1上,点N在直线

2xy = x + 3上,设点M的坐标为(a,b),求抛物线yabx2abx的对称轴和顶点坐标.

9【答案】对称轴为直线x3,顶点坐标为3,.

2【解析】∵M、N两点关于y轴对称,∴Na,b,

11bab 由题意得2a,解得2,

ab3ba3 ∴抛物线yabx2abx对称轴为直线xab33,

2ab212

步同级年九

19 把x3代入解析式得y9ab3ab933,

229 ∴顶点坐标为3,.

2【总结】本题考查了二次函数的对称轴及顶点坐标,注意运用整体代入的思想.

【作业7】 体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线1

yx2x2的一部分,根据关系是回答:

12

(1)该同学出手时铅球的高度是多少?

(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?

(3)该同学的成绩是多少?

y

【答案】(1)2;(2)5;(3)6215.

【解析】(1)把x0代入解析式得y2,

∴该同学出手时铅球的高度是2;

O

1212(2)抛物线yxx2x65,

1212∴当x6时,铅球在运行过程中离地面的最大高度是5;

1(3)x2x20,解得x16215,x26215(舍),

12

x

22 / 23

∴该同学的成绩是6215.

【总结】本题考查了二次函数的实际应用.

发布评论

评论列表 (0)

  1. 暂无评论