2024年2月25日发(作者：廖依云)
中山大学《基础物理实验（III）》课程实验数据记录纸
实验2.7 波尔振动实验（一）
实验人姓名： 合作人：
学院：物理工程与科学技术学院 专业：光信息科学与技术 年级： 级 学号：
日期： 年 月 日 室温： ℃ 相对湿度： %
【实验目的】
1.观察和研究自由振动、阻尼振动、受迫振动的特性
2.观察和研究振动过程的拍频、相图、机械能转换和守恒现象
【仪器用具】
仪器名称
扭摆（波尔摆）
数量
1
型号
ZKY-BG
技术指标
固有振动频率约0.5Hz
秒表 1 DM3-008 石英秒表，精度0.01s
三路直流稳压稳流电源
台式数字万用表 1 DM3051
1 IT6322 三路隔离，0-30V/1mV,0.3A/1mA
5-3/4位，1μV-1000V，10nA-10A，准确度为读数的0.025％
数据采集器及转动传感器
1 SW850及CI6531 最高采样率1000Hz，分辨率0.25°，准确度±0.009°
实验测控用计算机
【原理概述】
1.扭摆的阻尼振动和自由振动
在有有阻尼的情况下，将扭摆在某一摆角位置释放，使其开始摆动。此时扭摆受到两个力矩的Page
1
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1 IdeaCenterB320i 一体台式计算机
中山大学理工学院基础物理实验室编制
中山大学《基础物理实验（III）》课程实验数据记录纸
作用：一是扭摆的弹性恢复力矩ME(ME=-cθ c为扭转恢复力系数)；二是阻力矩MR（MR=-r（dθ/dt）
r为阻力矩系数）。若扭摆转动惯量为I，可列出扭摆的运动学方程：
（1）
令r/I=2β,c/I=ω02 (ω0为固有圆频率)，则式（1）化为
（2）
其解为
（3）
其中A0为扭摆的初始振幅，T为扭摆做阻尼振动的周期，且。
由式（3）可知，扭摆振幅随时间按指数规律衰减。若测得初始振幅A0、第n个周期时的振幅An，及摆动n个周期所用时间t=nT，则有
（4）
故有
（5）
若扭摆在摆动在摆动过程中MR=0，则β=0。由式（5）知，不论摆动多少次，振幅均不变，扭摆处于自由振动状态。
2.扭摆的受迫振动
当扭摆在有阻尼的情况下还受到简谐外力的作用，就会作受迫振动。设外加简谐力矩的频率是ω，外力矩角幅度为θ0，M0=cθ0为外力矩幅度，因此外力矩可表示为动力学方程变为
。扭摆的 （6）
其中h=M0/I。在稳定情况下，式（6）的解为
A为角振幅，
（7）
（8）
而角位移和简谐外力矩间的相位差则可表示为
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（9）
式（7）说明，不论扭摆一开始的振动状态如何，在简谐外力矩作用下，扭摆都会逐渐趋于简谐振动，振幅为A，频率与外力矩的频率相同，但两者之间存在相位差。
【实验内容】
1.测量扭摆在自由状态下的固有振动频率，并自由测量自由状态下的阻尼系数β。
1）阻尼线圈不加电流也无驱动力矩作用于扭摆。将摆轮转动到某一不太大的初始角度使其偏离平衡位置，并记录初始偏转角度。
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2）释放摆轮让其自由摆动，用秒表记录摆轮来回摆动若干次后的时间和振幅。计算阻尼系数β和初始释放角度之间的关系。
3）分别选取大于50°和小于50°的初始角度释放摆轮，重复2)步骤，并讨论阻尼系数和初始释放角度间关系。重复测量以避免误差。
2.观察阻尼振动现象，测量阻尼系数β与阻尼电压间关系
1）用直流稳压电源给扭摆阻尼线圈加上7v电压，电流限制在0.5A以内。观察摆轮摆动现象，并测量阻尼系数β。
2）在0-10v间每隔1v以相同初始角度测量不同电压吓得阻尼系数β，并记录阻尼电流。描绘阻尼系数随阻尼电压变化的关系曲线。
3.测量调速旋钮位置与简谐驱动力矩频率间变化关系
1）先将旋钮逆时针调到底，用秒表记录驱动电机转动若干周期的时间，计算驱动力矩的频率。
2）在1）的基础上，顺时针转动驱动力矩调速旋钮，重复1）步骤，每隔半圈测量一次驱动力矩的频率。作驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线。
4.观测共振现象
1）阻尼线圈驱动电压取7v，调速旋钮逆时针调到底，使电机开始转动，带动摆轮作受迫振动。至振幅不再变化时记录振幅。
2）顺时针转动调速旋钮，每隔半圈观察并记录摆轮受迫振动振幅，振幅最大值对应频率即为7v阻尼下的共振频率。
3）作受迫振动幅频特性曲线和相频特性曲线。由此找出共振频率，并与实验1测得固有频率对比。
【测量数据和数据处理】
1.测量扭摆在自由状态下的固有振动频率，并自由测量自由状态下的阻尼系数β。
当初始偏转角度为10°时
*:Tt/n.
得1.43s
6__1T(TT)20.01(s)
i6(61)i1Page
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固有周期由 得T0=1.43±0.01 s
而共振摆固有圆频率的平均值 得=4.403 rad/s
由误差传递公式,可求固有圆频率的算术平均误差:
得所以，扭摆的固有圆频率为
表1 不同初始角度释放时摆轮的固有频率和阻尼系数
初始偏转角度A0
摆动次数
时间t/s
振幅A
=0.031 rad/s
=4.403±0.031 rad/s
10°
7
9.99
5°
20°
5
7.91
15°
0.0364
3.9716
30°
12
18.62
17°
0.0305
4.0495
60°
16
24.98
39°
0.0172
4.024
70°
10
15.69
54°
0.0165
4.0043
80°
12
18.77
61°
0.0144
4.0168
90°
12
18.84
69°
0.0141
4.0018
阻尼系数β
0.0694
固有振动频率ω0
rad/s
4.4026
图1 阻尼系数随初始释放角度的变化曲线
由图1经分析可知：阻尼系数随初始释放角度的增大而减小，但不呈线性关系。
2.观察阻尼振动现象，测量阻尼系数β与阻尼电压间关系
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A由公式*:1ln0，7v阻尼电压下的阻尼系数为0.1309
nTAn
表2 阻尼系数与阻尼电压的变化关系
初始释放角度为50°
电压/V
阻尼电流/A
阻尼系数β
0
0
1
0.042
2
0.087
0.0438
3
0.132
0.0504
4
0.176
0.0658
5
0.221
0.0929
6
0.265
0.1213
7
0.310
0.1309
8
0.353
0.1691
9
0.396
0.1956
10
0.439
0.3210
0.0285
0.0404
图2 阻尼系数随阻尼电压的变化曲线
3.测量调速旋钮位置与简谐驱动力矩频率间变化关系
调速旋钮逆时针调到底时 由ω=2π/T可计算出驱动力矩的频率 ω1=2π/T=2π/1.65=3.808 rad/s
表3 驱动力频率与调速旋钮位置的关系
旋钮位置
转动频率rad/s
旋钮位置
转动频率rad/s
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ω
ω
1/2
4.065
1
3.757
3/2
4.009
2
3.971
5/2
3.963
3
3.943
7/2
3.921
4
3.908
9/2
3.840
5
3.339
11/2
3.801
6
3.776
13/2
3.751
7
3.707
15/2
3.668
8
3.657
17/2
3.638
9
3.619
19/2
3.581
10
3.544
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由表3可作出图3:
图3 驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线
由图3可看出扭摆的固有振动频率被涵盖在驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线中。
4.观测共振现象
U=7v时，共振频率ω0=4.065 rad/s
表4 调速旋钮位置与相位差、频率的关系
旋转位置
频率ω
4.065
rad/s
1/2 1
4.040
0.9938
84
-79.15
3/2
4.009
0.9862
105
-66.69
2
3.963
0.9769
110
-53.99
5/2
3.963
0.9749
115
-51.72
3
3.943
7/2
3.921
4
3.908
0.9614
55
-39.26
9/2
3.840
5
3.839
ω/ω0
振幅A
相位差
1
70
-90
0.9699 0.9646
93
-46.58
67
-41.75
0.9446 0.9444
45
-29.48
40
-29.36
旋转位置
频率ω
3.801
rad/s
11/2 6
3.776
13/2
3.751
0.9228
28
-21.81
7
3.707
0.9119
25
-19.23
15/2
3.668
0.9023
23
-17.37
8
3.657
17/2
36.38
9
3.619
0.8903
20
-15.45
19/2
3.581
10
3.544
ω/ω0
振幅A
相位差
0.9350 0.9289
35
-25.60
30
-23.57
0.8996 0.8949
22
-16.90
20
-16.15
0.8809 0.8718
18
-14.22
17
-13.17
由表4可作出图4、5
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图4 受迫振动的幅频特性曲线
由图4可看出，当ω/ω0趋近1时，振幅达到最大，此时为共振。ω0约为4.065 rad/s。与1所测固有振动频率相差不大，稍大于1所测固有振动频率。
图5 受迫振动的相频特性曲线
由图5可看出，当ω/ω0=1时，接近于，当ω》ω0时，接近于-π。
2【讨论分析】
1.手动计时带来的误差
1）计时起点的选择：当计时参考位置选定后, 按秒表时, 计时位置越接近参考位置, 误差则越小.
理论表明: 当在其它因素一定的条件下, 计时误差与计时位置与参考位置之差△S 及计时位置通过参考位置时的速度V 有下列关系: △t=△S/V。显然, 速度越大, 计时误差就越小, 同时考虑到振动速度有限, 不影响眼睛判断的准确性,所以应该把计时参考位置选在平衡位置上。
2）反应时间以及读数时带来的误差：使用秒表进行计时时，由于实验者反应需要一定的时间，会出Page
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现误差。为了使反应时间对各组数据的影响相同，本实验始终由同一实验者进行计数。读取振幅时则由于指针停留的时间比较，也会造成误差。本实验的振幅数据由两个实验者同时读取，若两人读数不同则考虑重新读数。
因此，应重复测量以减少误差。
2.空气等阻力带来的误差
与空气以及传动装置的摩擦会对扭摆造成一定的阻力，影响测量结果。
3.其它振动对实验的影响
实验桌的振动以及释放扭摆时扭摆的扰动，会使扭摆有复加的其它方向的振动。
因此，实验者在摆轮摆动时尽量避免触碰桌面以防造成不必要的误差出现。
【参考文献】
[1] 朱鹤年. 波耳共振仪受迫振动的运动方程[J]. 大学物理, 2006, 25(11): 47-48.
[2] 单晓峰. 关于受迫振动、共振的实验研究[J].物理实验,2006,26(8):24.26.
[3] 赵凯华,罗蔚茵. 新概念物理教程 力学（第二版）[M]. 高等教育出版社, 2004.
[4] 沈韩,黄钢明,崔新图,赵艳娥等编. 物理学实验教程-基础物理实验分册.中山大学出版社,2006.
[5] 黄镜荣,崔新图,李达亮等.波尔摆振动观测及其相图分析.中山大学学报(自然科学版), 2004,
43(增刊):39-41.
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实验人姓名： 合作人：
学院：物理工程与科学技术学院 专业：光信息科学与技术 年级： 级 学号：
日期： 年 月 日 室温： ℃ 相对湿度： %
【实验目的】
1.观察和研究自由振动、阻尼振动、受迫振动的特性
2.观察和研究振动过程的拍频、相图、机械能转换和守恒现象
【仪器用具】
仪器名称
扭摆（波尔摆）
数量
1
型号
ZKY-BG
技术指标
固有振动频率约0.5Hz
秒表 1 DM3-008 石英秒表，精度0.01s
三路直流稳压稳流电源
台式数字万用表 1 DM3051
1 IT6322 三路隔离，0-30V/1mV,0.3A/1mA
5-3/4位，1μV-1000V，10nA-10A，准确度为读数的0.025％
数据采集器及转动传感器
1 SW850及CI6531 最高采样率1000Hz，分辨率0.25°，准确度±0.009°
实验测控用计算机
【原理概述】
1.扭摆的阻尼振动和自由振动
在有有阻尼的情况下，将扭摆在某一摆角位置释放，使其开始摆动。此时扭摆受到两个力矩的Page
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作用：一是扭摆的弹性恢复力矩ME(ME=-cθ c为扭转恢复力系数)；二是阻力矩MR（MR=-r（dθ/dt）
r为阻力矩系数）。若扭摆转动惯量为I，可列出扭摆的运动学方程：
（1）
令r/I=2β,c/I=ω02 (ω0为固有圆频率)，则式（1）化为
（2）
其解为
（3）
其中A0为扭摆的初始振幅，T为扭摆做阻尼振动的周期，且。
由式（3）可知，扭摆振幅随时间按指数规律衰减。若测得初始振幅A0、第n个周期时的振幅An，及摆动n个周期所用时间t=nT，则有
（4）
故有
（5）
若扭摆在摆动在摆动过程中MR=0，则β=0。由式（5）知，不论摆动多少次，振幅均不变，扭摆处于自由振动状态。
2.扭摆的受迫振动
当扭摆在有阻尼的情况下还受到简谐外力的作用，就会作受迫振动。设外加简谐力矩的频率是ω，外力矩角幅度为θ0，M0=cθ0为外力矩幅度，因此外力矩可表示为动力学方程变为
。扭摆的 （6）
其中h=M0/I。在稳定情况下，式（6）的解为
A为角振幅，
（7）
（8）
而角位移和简谐外力矩间的相位差则可表示为
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（9）
式（7）说明，不论扭摆一开始的振动状态如何，在简谐外力矩作用下，扭摆都会逐渐趋于简谐振动，振幅为A，频率与外力矩的频率相同，但两者之间存在相位差。
【实验内容】
1.测量扭摆在自由状态下的固有振动频率，并自由测量自由状态下的阻尼系数β。
1）阻尼线圈不加电流也无驱动力矩作用于扭摆。将摆轮转动到某一不太大的初始角度使其偏离平衡位置，并记录初始偏转角度。
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2）释放摆轮让其自由摆动，用秒表记录摆轮来回摆动若干次后的时间和振幅。计算阻尼系数β和初始释放角度之间的关系。
3）分别选取大于50°和小于50°的初始角度释放摆轮，重复2)步骤，并讨论阻尼系数和初始释放角度间关系。重复测量以避免误差。
2.观察阻尼振动现象，测量阻尼系数β与阻尼电压间关系
1）用直流稳压电源给扭摆阻尼线圈加上7v电压，电流限制在0.5A以内。观察摆轮摆动现象，并测量阻尼系数β。
2）在0-10v间每隔1v以相同初始角度测量不同电压吓得阻尼系数β，并记录阻尼电流。描绘阻尼系数随阻尼电压变化的关系曲线。
3.测量调速旋钮位置与简谐驱动力矩频率间变化关系
1）先将旋钮逆时针调到底，用秒表记录驱动电机转动若干周期的时间，计算驱动力矩的频率。
2）在1）的基础上，顺时针转动驱动力矩调速旋钮，重复1）步骤，每隔半圈测量一次驱动力矩的频率。作驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线。
4.观测共振现象
1）阻尼线圈驱动电压取7v，调速旋钮逆时针调到底，使电机开始转动，带动摆轮作受迫振动。至振幅不再变化时记录振幅。
2）顺时针转动调速旋钮，每隔半圈观察并记录摆轮受迫振动振幅，振幅最大值对应频率即为7v阻尼下的共振频率。
3）作受迫振动幅频特性曲线和相频特性曲线。由此找出共振频率，并与实验1测得固有频率对比。
【测量数据和数据处理】
1.测量扭摆在自由状态下的固有振动频率，并自由测量自由状态下的阻尼系数β。
当初始偏转角度为10°时
*:Tt/n.
得1.43s
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固有周期由 得T0=1.43±0.01 s
而共振摆固有圆频率的平均值 得=4.403 rad/s
由误差传递公式,可求固有圆频率的算术平均误差:
得所以，扭摆的固有圆频率为
表1 不同初始角度释放时摆轮的固有频率和阻尼系数
初始偏转角度A0
摆动次数
时间t/s
振幅A
=0.031 rad/s
=4.403±0.031 rad/s
10°
7
9.99
5°
20°
5
7.91
15°
0.0364
3.9716
30°
12
18.62
17°
0.0305
4.0495
60°
16
24.98
39°
0.0172
4.024
70°
10
15.69
54°
0.0165
4.0043
80°
12
18.77
61°
0.0144
4.0168
90°
12
18.84
69°
0.0141
4.0018
阻尼系数β
0.0694
固有振动频率ω0
rad/s
4.4026
图1 阻尼系数随初始释放角度的变化曲线
由图1经分析可知：阻尼系数随初始释放角度的增大而减小，但不呈线性关系。
2.观察阻尼振动现象，测量阻尼系数β与阻尼电压间关系
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A由公式*:1ln0，7v阻尼电压下的阻尼系数为0.1309
nTAn
表2 阻尼系数与阻尼电压的变化关系
初始释放角度为50°
电压/V
阻尼电流/A
阻尼系数β
0
0
1
0.042
2
0.087
0.0438
3
0.132
0.0504
4
0.176
0.0658
5
0.221
0.0929
6
0.265
0.1213
7
0.310
0.1309
8
0.353
0.1691
9
0.396
0.1956
10
0.439
0.3210
0.0285
0.0404
图2 阻尼系数随阻尼电压的变化曲线
3.测量调速旋钮位置与简谐驱动力矩频率间变化关系
调速旋钮逆时针调到底时 由ω=2π/T可计算出驱动力矩的频率 ω1=2π/T=2π/1.65=3.808 rad/s
表3 驱动力频率与调速旋钮位置的关系
旋钮位置
转动频率rad/s
旋钮位置
转动频率rad/s
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ω
ω
1/2
4.065
1
3.757
3/2
4.009
2
3.971
5/2
3.963
3
3.943
7/2
3.921
4
3.908
9/2
3.840
5
3.339
11/2
3.801
6
3.776
13/2
3.751
7
3.707
15/2
3.668
8
3.657
17/2
3.638
9
3.619
19/2
3.581
10
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由表3可作出图3:
图3 驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线
由图3可看出扭摆的固有振动频率被涵盖在驱动力频率与调速旋钮位置的关系曲线中。
4.观测共振现象
U=7v时，共振频率ω0=4.065 rad/s
表4 调速旋钮位置与相位差、频率的关系
旋转位置
频率ω
4.065
rad/s
1/2 1
4.040
0.9938
84
-79.15
3/2
4.009
0.9862
105
-66.69
2
3.963
0.9769
110
-53.99
5/2
3.963
0.9749
115
-51.72
3
3.943
7/2
3.921
4
3.908
0.9614
55
-39.26
9/2
3.840
5
3.839
ω/ω0
振幅A
相位差
1
70
-90
0.9699 0.9646
93
-46.58
67
-41.75
0.9446 0.9444
45
-29.48
40
-29.36
旋转位置
频率ω
3.801
rad/s
11/2 6
3.776
13/2
3.751
0.9228
28
-21.81
7
3.707
0.9119
25
-19.23
15/2
3.668
0.9023
23
-17.37
8
3.657
17/2
36.38
9
3.619
0.8903
20
-15.45
19/2
3.581
10
3.544
ω/ω0
振幅A
相位差
0.9350 0.9289
35
-25.60
30
-23.57
0.8996 0.8949
22
-16.90
20
-16.15
0.8809 0.8718
18
-14.22
17
-13.17
由表4可作出图4、5
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图4 受迫振动的幅频特性曲线
由图4可看出，当ω/ω0趋近1时，振幅达到最大，此时为共振。ω0约为4.065 rad/s。与1所测固有振动频率相差不大，稍大于1所测固有振动频率。
图5 受迫振动的相频特性曲线
由图5可看出，当ω/ω0=1时，接近于，当ω》ω0时，接近于-π。
2【讨论分析】
1.手动计时带来的误差
1）计时起点的选择：当计时参考位置选定后, 按秒表时, 计时位置越接近参考位置, 误差则越小.
理论表明: 当在其它因素一定的条件下, 计时误差与计时位置与参考位置之差△S 及计时位置通过参考位置时的速度V 有下列关系: △t=△S/V。显然, 速度越大, 计时误差就越小, 同时考虑到振动速度有限, 不影响眼睛判断的准确性,所以应该把计时参考位置选在平衡位置上。
2）反应时间以及读数时带来的误差：使用秒表进行计时时，由于实验者反应需要一定的时间，会出Page
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现误差。为了使反应时间对各组数据的影响相同，本实验始终由同一实验者进行计数。读取振幅时则由于指针停留的时间比较，也会造成误差。本实验的振幅数据由两个实验者同时读取，若两人读数不同则考虑重新读数。
因此，应重复测量以减少误差。
2.空气等阻力带来的误差
与空气以及传动装置的摩擦会对扭摆造成一定的阻力，影响测量结果。
3.其它振动对实验的影响
实验桌的振动以及释放扭摆时扭摆的扰动，会使扭摆有复加的其它方向的振动。
因此，实验者在摆轮摆动时尽量避免触碰桌面以防造成不必要的误差出现。
【参考文献】
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