2024年2月27日发(作者：綦恨真)

2020-2021学年四川省眉山市仁寿县八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑。

1．的相反数是（ ）

B．

C．

D．3

A．﹣2．下列运算正确的是（ ）

A．x6•x2＝x12

B．x6÷x2＝x3

C．（x2）3＝x5

D．x2+x2＝2x2

3．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）

A．9

B．81

C．9或81

D．2

+|c﹣5|＝0，则三角形的形4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

5．下列命题是真命题的是（ ）

A．全等三角形的角相等

B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C．全等三角形的边相等

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是

6．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）

A．4+2

B．4

C．2

D．4

7．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：

②2a+b

③m+n①（2a+b）（m+n）；（m+n）（m+n）；（2a+b）（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（ ）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．下列结论①AD平分∠CAB，②DA＝DB，③S△ACD＝S△ADB，④点D到直线AB的距离等于CD的长度．正确的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

9．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）

A．2

B．

C．2或

D．10

10．新型冠状病毒肺炎（CoronaVriusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，英文单词CoronaVriusDisease中字母r出现的频数是（ ）

A．2

B．11.1%

C．18

D．

11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）

A．20

B．27

C．25

D．49

12．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。

13．分解因式：3x2﹣12y2＝

．

14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：

．

15．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设

．

16．已知2m＝3，2n＝5，则23m﹣2n的值是

．

17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是

cm．

18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，以AB为边做等腰直角三角形ABD，点

D、C在直线AB两旁，则线段CD长是

．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分。

19．计算：．

20．如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．

21．先化简，再求值：

[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝1．

22．中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，眉山市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题．

（1）本次模拟考试该班学生有

人；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为

；

（4）该校共有800名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．

23．已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．

（1）求x﹣y的值．

（2）求x2+y2的值．

24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

25．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？

（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．

26．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．

（1）当PD＝PC时，求AP的长；

（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑。

1．的相反数是（ ）

B．

C．

D．3

A．﹣【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

解：的相反数是﹣，

故选：A．

2．下列运算正确的是（ ）

A．x6•x2＝x12

B．x6÷x2＝x3

C．（x2）3＝x5

D．x2+x2＝2x2

【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据合并同类项，可判断D．

解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；

B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；

C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；

D、合并同类项系数相加字母部分不变，故D正确；

故选：D．

3．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）

A．9

B．81

C．9或81

D．2

【分析】根据平方根的定义即可求出a的值．

解：若2m﹣1与5﹣m互为相反数，

则2m﹣1+5﹣m＝0，

∴m＝﹣4，

∴5﹣m＝5﹣（﹣4）＝9，

∴a＝92＝81，

若2m﹣1＝5﹣m，

∴m＝2，

∴5﹣m＝5﹣2＝3，

∴a＝32＝9，

故选：C．

4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

+|c﹣5|＝0，则三角形的形【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．

解：∵（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，|c﹣5|≥0，

∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，

解得：a＝3，b＝4，c＝5，

∵32+42＝9+16＝25＝52，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

故选：B．

5．下列命题是真命题的是（ ）

A．全等三角形的角相等

B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C．全等三角形的边相等

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是

【分析】根据全等三角形的性质对A、C进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据勾股定理和面积法对D进行判断．

解：A．全等三角形的对应角相等，所以A选项不符合题意；

B．等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线重合，所以B选项不符合题意；

C．全等三角形的对应边相等，所以C选项不符合题意；

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边为5，则斜边上的高为故选：D．

6．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）

，所以D选项符合题意．

A．4+2

B．4

C．2

D．4

【分析】将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．

解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

∵AN＝MN，CN∥BM

∴CN＝BM＝2，

在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝故选：C．

＝＝2，

7．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：

②2a+b

③m+n①（2a+b）（m+n）；（m+n）（m+n）；（2a+b）（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（ ）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．

解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．

故其中正确的有①②③④．

故选：D．

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．下列结论①AD平分∠CAB，②DA＝DB，③S△ACD＝S△ADB，④点D到直线AB的距离等于CD的长度．正确的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠ADC＝60°，证出DA＝DB则可对②进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．由角平分线的性质可对④进行判断．

解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确；

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAD＝×60°＝30°，

∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，

∵∠B＝∠BAD，

∴DA＝DB，

所以②正确；

如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝AD，

∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．

∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，

∴S△DAC：S△ABD＝1：2．

故③错误．

∵AD平分∠CAB，

∴点D到直线AB的距离等于CD的长度．

故④正确．

故选：B．

9．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）

A．2

B．

C．2或

D．10

【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高．

解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，

①当三边是6、6、8时，底边上的高AD＝②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD是故选：C．

＝＝＝2．

；

10．新型冠状病毒肺炎（CoronaVriusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，英文单词CoronaVriusDisease中字母r出现的频数是（ ）

A．2

B．11.1%

C．18

D．

【分析】根据CoronaVriusDisease中共有18个字母，其中r出现2次可得答案．

解：CoronaVriusDisease中共有18个字母，其中r出现2次，

∴频数是2，

故选：A．

11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，

如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）

A．20

B．27

C．25

D．49

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．

解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，

∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，

∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，

∴S1＝（CG+DG）2

＝CG2+DG2+2CG•DG

＝CG2+CF2+2CG•DG

＝GF2+2CG•DG，

S2＝GF2，

S3＝（KF﹣NF）2，

＝KF2+NF2﹣2KF•NF

＝KF2+KG2﹣2DG•CG

＝FG2﹣2CG•DG，

∵正方形EFGH的边长为3，

∴GF2＝9，

∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝27，

故选：B．

12．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确．

解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB，故③正确；

∵Rt△ABE≌Rt△BCF，

∴S△ABE＝S△BCF，

∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG，

即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确．

故选：D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。

13．分解因式：3x2﹣12y2＝

3（x﹣2y）（x+2y） ．

【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解：3x2﹣12y2，

＝3（x2﹣4y2），

＝3（x+2y）（x﹣2y）．

14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．

【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．

解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

15．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设

a与c不平行（或a与c相交） ．

【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．

解：原命题“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与c不平行（或a与c相交）．

故答案为：a与c不平行（或a与c相交）．

16．已知2m＝3，2n＝5，则23m﹣2n的值是

．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方将23m﹣2n转化为＝（2m）3÷（2n）2，再代入计算即可．解：∵2m＝3，2n＝5，

∴23m﹣2n＝23m÷22n

＝（2m）3÷（2n）2

＝33÷52

＝27÷25

＝，

．

故答案为：17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是

8

cm．

【分析】根据角平分线的性质求出CD＝DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠CAB＝45°，求出∠EDB＝∠B＝45°，根据等腰三角形的判定得出DE＝BE＝CD，根据

勾股定理求出AC＝AE＝BC，再求出△DEB的周长＝AB的长，最后代入求出答案即可．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°，

由勾股定理得：AC2＝AD2﹣CD2，AE2＝AD2﹣DE2，

∴AC＝AE，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴∠EDB＝∠B＝45°，

∴DE＝BE＝CD，

∵AB＝8cm，AC＝BC，

∴△DEB的周长是DE+BE+BD

＝CD+BE+BD

＝BE+BC

＝BE+AC

＝BE+AE

＝AB

＝8cm，

故答案为：8．

18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，以AB为边做等腰直角三角形ABD，点D、C在直线AB两旁，则线段CD长是

5或或2 ．

【分析】分情况讨论：当∠DAB＝90°时，当∠DBA＝90°时，当∠ADB＝90°时，分别画出图形再利用三角形全等和勾股定理可得答案．

解：①如图，当∠DAB＝90°时，过点D作DE⊥AC，交CA的延长线与点E，

∵∠ACB＝∠DAB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAE＝90°，

∴∠ABC＝∠DAE，

在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（AAS），

∴AE＝BC＝1，DE＝AC＝3，

∴CE＝3+1＝4，

∴DC＝＝＝5；

②如图，当∠DBA＝90°时，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线与点F，

∵∠ACB＝∠DBA＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠DBF＝90°，

∴∠BAC＝∠DBF，

在△DBF和△ABC中，

，

∴△DBF≌△ABC（AAS），

∴DF＝BC＝1，BF＝AC＝3，

∴CF＝3+1＝4，

∴DC＝＝＝；

③如图，当∠ADB＝90°时，过点D作MN∥AC，分别过C、A作CM⊥MN于M，作AN⊥MN于N，

∵∠M＝∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴四边形ACMN是矩形，

∴∠BDM+∠NDA＝∠BDM+∠MBD＝90°，

∴∠NDA＝∠MBD，

在△BDM和△DAN中，

，

∴△BDM≌△DAN（AAS），

∴MD＝NA，DN＝BM，

设DN＝BM＝x，

∴MD＝3﹣x，AN＝MC＝x+1，

∴3﹣x＝x+1，解得x＝1，

∴MB＝1，MD＝2，

∴CD＝综上，CD＝5或＝或2＝2．

．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分。

19．计算：【分析】先化简各式，然后再进行计算．

解：＝3﹣（π﹣＝3﹣π+＝2﹣π．

20．如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．

）+（﹣1）﹣﹣1﹣

．

【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】证明：∵BC∥EF，

∴∠CBA＝∠FED，

∵AE＝DB，

∴AE+BE＝BD+BE，

即AB＝DE，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF．

21．先化简，再求值：

[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝1．

【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，再根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求出答案即可．

解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣y2﹣2x2+4xy）÷（﹣2y）

＝（﹣2xy+8y2）÷（﹣2y）

＝x﹣4y，

当x＝2，y＝1时，原式＝2﹣4×1

＝2﹣4

＝﹣2．

22．中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，眉山市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题．

（1）本次模拟考试该班学生有

40 人；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为

117° ；

（4）该校共有800名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．

【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比即可得出答案；

（2）先求出C等级的人数，再补全统计图即可；

（3）用360°乘以D等级所占的百分比即可；

（4）用该校的总人数乘以A等级的学生所占的百分比即可．

解：（1）本次模拟考试该班学生有：5÷12.5%＝40（人）；

（2）C等级的人数有：40﹣2﹣5﹣13﹣8＝12（人），

补全统计图如下：

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×

（4）估计该校A等级的学生人数有：800×23．已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．

（1）求x﹣y的值．

（2）求x2+y2的值．

【分析】（1）利用提取公因式法对（x2y﹣xy2﹣x+y）进行因式分解，代入求值即可．

（2）利用完全平方公式进行变形处理得到：x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，代入求值即可．

解：∵xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40，

∴x2y﹣xy2﹣x+y

＝xy（x﹣y）﹣（x﹣y）

＝（xy﹣1）（x﹣y）

（1）由题意知：（5﹣1）（x﹣y）＝40．

则x﹣y＝10．

（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝102﹣2×5＝90．

24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

＝40（人）．

＝117°；

【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE＝CF．

（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC＝∠EBG+∠BEF求得结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC，

∵BE⊥BF，

∴∠FBE＝90°，

∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

，

∴△AEB≌△CFB（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∵BE⊥BF，

∴∠FBE＝90°，

又∵BE＝BF，

∴∠BEF＝∠EFB＝45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABE＝55°，

∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，

∴∠EGC＝∠GFC+∠BCF＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．

∴∠GFC+∠BCF的值为80°．

25．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？

（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．

【分析】（1）根据勾股定理解得即可；

（2）根据等腰三角形的性质得出方程解答即可；

（3）根据三角形的面积公式解答即可．

解：（1）由题意得，AP＝t，PC＝5﹣t，CQ＝2t，

∵∠C＝90°，

∴PQ＝∵t＝2，

∴PQ＝（cm），

，

（2）∵∠C＝90°，

∴当CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形，

∴5﹣t＝2t，

解得：t＝，

∴t＝秒时，△PCQ是等腰三角形；四边形

（3）S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ

＝＝

＝30﹣5t+t2．

26．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．

（1）当PD＝PC时，求AP的长；

（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理分别表示出PD、PC，根据题意列出方程，解方程得到答案；（2）延长DA至D′，是AD′＝DA，连接CD′，过点D′作D′⊥CB交CB的延长线于E，根据勾股定理计算距离；

（3）分△AMN≌△BMC、△AMN≌△BCM两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．

解：（1）∵AB＝25，

∴PB＝25﹣AP，

在Rt△DAP中，PD2＝AD2+AP2＝225+AP2，

在Rt△CBP中，PC2＝CB2+BP2＝100+（25﹣AP）2，

∵PD＝PC，

∴225+AP2＝100+（25﹣AP）2，

解得：AP＝10，

∴当PD＝PC时，AP＝10；

（2）如图3，延长DA至D′，是AD′＝DA，连接CD′，交AB于点P，此时PD+PC

的值最小，

过点D′作D′⊥CB交CB的延长线于E，

则BE＝AD′＝AD＝15，D′E＝AB＝25，

∴CE＝BC+BE＝25，

∴CD′＝∴PD+PC的最小值为25＝25；

，

（3）当△AMN≌△BMC时，AM＝MB＝AB＝12.5，AN＝BC＝10，

∴t＝12.5÷2＝6.25，

∴x＝10÷6.25＝1.6，

当△AMN≌△BCM时，AM＝BC＝10，AN＝BM，

∴BM＝AB﹣AM＝15，

∴t＝15÷2＝7.5，

∴x＝15÷7.5＝2，

综上所述：△AMN与△BMC全等时，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．

2024年2月27日发(作者：綦恨真)

2020-2021学年四川省眉山市仁寿县八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑。

1．的相反数是（ ）

B．

C．

D．3

A．﹣2．下列运算正确的是（ ）

A．x6•x2＝x12

B．x6÷x2＝x3

C．（x2）3＝x5

D．x2+x2＝2x2

3．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）

A．9

B．81

C．9或81

D．2

+|c﹣5|＝0，则三角形的形4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

5．下列命题是真命题的是（ ）

A．全等三角形的角相等

B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C．全等三角形的边相等

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是

6．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）

A．4+2

B．4

C．2

D．4

7．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：

②2a+b

③m+n①（2a+b）（m+n）；（m+n）（m+n）；（2a+b）（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（ ）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．下列结论①AD平分∠CAB，②DA＝DB，③S△ACD＝S△ADB，④点D到直线AB的距离等于CD的长度．正确的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

9．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）

A．2

B．

C．2或

D．10

10．新型冠状病毒肺炎（CoronaVriusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，英文单词CoronaVriusDisease中字母r出现的频数是（ ）

A．2

B．11.1%

C．18

D．

11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）

A．20

B．27

C．25

D．49

12．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。

13．分解因式：3x2﹣12y2＝

．

14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：

．

15．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设

．

16．已知2m＝3，2n＝5，则23m﹣2n的值是

．

17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是

cm．

18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，以AB为边做等腰直角三角形ABD，点

D、C在直线AB两旁，则线段CD长是

．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分。

19．计算：．

20．如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．

21．先化简，再求值：

[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝1．

22．中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，眉山市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题．

（1）本次模拟考试该班学生有

人；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为

；

（4）该校共有800名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．

23．已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．

（1）求x﹣y的值．

（2）求x2+y2的值．

24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

25．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？

（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．

26．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．

（1）当PD＝PC时，求AP的长；

（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑。

1．的相反数是（ ）

B．

C．

D．3

A．﹣【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

解：的相反数是﹣，

故选：A．

2．下列运算正确的是（ ）

A．x6•x2＝x12

B．x6÷x2＝x3

C．（x2）3＝x5

D．x2+x2＝2x2

【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据合并同类项，可判断D．

解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；

B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；

C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；

D、合并同类项系数相加字母部分不变，故D正确；

故选：D．

3．已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）

A．9

B．81

C．9或81

D．2

【分析】根据平方根的定义即可求出a的值．

解：若2m﹣1与5﹣m互为相反数，

则2m﹣1+5﹣m＝0，

∴m＝﹣4，

∴5﹣m＝5﹣（﹣4）＝9，

∴a＝92＝81，

若2m﹣1＝5﹣m，

∴m＝2，

∴5﹣m＝5﹣2＝3，

∴a＝32＝9，

故选：C．

4．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形

+|c﹣5|＝0，则三角形的形【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．

解：∵（a﹣3）2++|c﹣5|＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，|c﹣5|≥0，

∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，

解得：a＝3，b＝4，c＝5，

∵32+42＝9+16＝25＝52，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

故选：B．

5．下列命题是真命题的是（ ）

A．全等三角形的角相等

B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合

C．全等三角形的边相等

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是

【分析】根据全等三角形的性质对A、C进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据勾股定理和面积法对D进行判断．

解：A．全等三角形的对应角相等，所以A选项不符合题意；

B．等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线重合，所以B选项不符合题意；

C．全等三角形的对应边相等，所以C选项不符合题意；

D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边为5，则斜边上的高为故选：D．

6．如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点A出发，爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为（ ）

，所以D选项符合题意．

A．4+2

B．4

C．2

D．4

【分析】将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可．

解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，

∵AN＝MN，CN∥BM

∴CN＝BM＝2，

在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC＝故选：C．

＝＝2，

7．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：

②2a+b

③m+n①（2a+b）（m+n）；（m+n）（m+n）；（2a+b）（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（ ）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②③④

【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．

解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．

故其中正确的有①②③④．

故选：D．

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D．下列结论①AD平分∠CAB，②DA＝DB，③S△ACD＝S△ADB，④点D到直线AB的距离等于CD的长度．正确的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

【分析】利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠ADC＝60°，证出DA＝DB则可对②进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．由角平分线的性质可对④进行判断．

解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确；

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAD＝×60°＝30°，

∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，

∵∠B＝∠BAD，

∴DA＝DB，

所以②正确；

如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，

∴CD＝AD，

∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．

∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，

∴S△DAC：S△ABD＝1：2．

故③错误．

∵AD平分∠CAB，

∴点D到直线AB的距离等于CD的长度．

故④正确．

故选：B．

9．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）

A．2

B．

C．2或

D．10

【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高．

解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，

①当三边是6、6、8时，底边上的高AD＝②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD是故选：C．

＝＝＝2．

；

10．新型冠状病毒肺炎（CoronaVriusDisease2019，COVID﹣19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，英文单词CoronaVriusDisease中字母r出现的频数是（ ）

A．2

B．11.1%

C．18

D．

【分析】根据CoronaVriusDisease中共有18个字母，其中r出现2次可得答案．

解：CoronaVriusDisease中共有18个字母，其中r出现2次，

∴频数是2，

故选：A．

11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，

如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）

A．20

B．27

C．25

D．49

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．

解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，

∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，

∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，

∴S1＝（CG+DG）2

＝CG2+DG2+2CG•DG

＝CG2+CF2+2CG•DG

＝GF2+2CG•DG，

S2＝GF2，

S3＝（KF﹣NF）2，

＝KF2+NF2﹣2KF•NF

＝KF2+KG2﹣2DG•CG

＝FG2﹣2CG•DG，

∵正方形EFGH的边长为3，

∴GF2＝9，

∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝27，

故选：B．

12．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确．

解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QF＝QB，故③正确；

∵Rt△ABE≌Rt△BCF，

∴S△ABE＝S△BCF，

∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG，

即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确．

故选：D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上。

13．分解因式：3x2﹣12y2＝

3（x﹣2y）（x+2y） ．

【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解：3x2﹣12y2，

＝3（x2﹣4y2），

＝3（x+2y）（x﹣2y）．

14．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．

【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．

解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

15．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设

a与c不平行（或a与c相交） ．

【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．

解：原命题“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，

用反证法时应假设结论不成立，

即假设a与c不平行（或a与c相交）．

故答案为：a与c不平行（或a与c相交）．

16．已知2m＝3，2n＝5，则23m﹣2n的值是

．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方将23m﹣2n转化为＝（2m）3÷（2n）2，再代入计算即可．解：∵2m＝3，2n＝5，

∴23m﹣2n＝23m÷22n

＝（2m）3÷（2n）2

＝33÷52

＝27÷25

＝，

．

故答案为：17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是

8

cm．

【分析】根据角平分线的性质求出CD＝DE，根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠CAB＝45°，求出∠EDB＝∠B＝45°，根据等腰三角形的判定得出DE＝BE＝CD，根据

勾股定理求出AC＝AE＝BC，再求出△DEB的周长＝AB的长，最后代入求出答案即可．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE，∠C＝∠AED＝90°，

由勾股定理得：AC2＝AD2﹣CD2，AE2＝AD2﹣DE2，

∴AC＝AE，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴∠EDB＝∠B＝45°，

∴DE＝BE＝CD，

∵AB＝8cm，AC＝BC，

∴△DEB的周长是DE+BE+BD

＝CD+BE+BD

＝BE+BC

＝BE+AC

＝BE+AE

＝AB

＝8cm，

故答案为：8．

18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，以AB为边做等腰直角三角形ABD，点D、C在直线AB两旁，则线段CD长是

5或或2 ．

【分析】分情况讨论：当∠DAB＝90°时，当∠DBA＝90°时，当∠ADB＝90°时，分别画出图形再利用三角形全等和勾股定理可得答案．

解：①如图，当∠DAB＝90°时，过点D作DE⊥AC，交CA的延长线与点E，

∵∠ACB＝∠DAB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAE＝90°，

∴∠ABC＝∠DAE，

在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（AAS），

∴AE＝BC＝1，DE＝AC＝3，

∴CE＝3+1＝4，

∴DC＝＝＝5；

②如图，当∠DBA＝90°时，过点D作DF⊥BC，交CB的延长线与点F，

∵∠ACB＝∠DBA＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠DBF＝90°，

∴∠BAC＝∠DBF，

在△DBF和△ABC中，

，

∴△DBF≌△ABC（AAS），

∴DF＝BC＝1，BF＝AC＝3，

∴CF＝3+1＝4，

∴DC＝＝＝；

③如图，当∠ADB＝90°时，过点D作MN∥AC，分别过C、A作CM⊥MN于M，作AN⊥MN于N，

∵∠M＝∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴四边形ACMN是矩形，

∴∠BDM+∠NDA＝∠BDM+∠MBD＝90°，

∴∠NDA＝∠MBD，

在△BDM和△DAN中，

，

∴△BDM≌△DAN（AAS），

∴MD＝NA，DN＝BM，

设DN＝BM＝x，

∴MD＝3﹣x，AN＝MC＝x+1，

∴3﹣x＝x+1，解得x＝1，

∴MB＝1，MD＝2，

∴CD＝综上，CD＝5或＝或2＝2．

．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分。

19．计算：【分析】先化简各式，然后再进行计算．

解：＝3﹣（π﹣＝3﹣π+＝2﹣π．

20．如图，点E、B在线段AB上，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，求证：AC＝DF．

）+（﹣1）﹣﹣1﹣

．

【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】证明：∵BC∥EF，

∴∠CBA＝∠FED，

∵AE＝DB，

∴AE+BE＝BD+BE，

即AB＝DE，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF．

21．先化简，再求值：

[（x﹣3y）2+（x+y）（x﹣y）﹣x（2x﹣4y）]÷（﹣2y），其中x＝2，y＝1．

【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，再根据多项式除以单项式进行计算，最后代入求出答案即可．

解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣y2﹣2x2+4xy）÷（﹣2y）

＝（﹣2xy+8y2）÷（﹣2y）

＝x﹣4y，

当x＝2，y＝1时，原式＝2﹣4×1

＝2﹣4

＝﹣2．

22．中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，眉山市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题．

（1）本次模拟考试该班学生有

40 人；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为

117° ；

（4）该校共有800名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．

【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比即可得出答案；

（2）先求出C等级的人数，再补全统计图即可；

（3）用360°乘以D等级所占的百分比即可；

（4）用该校的总人数乘以A等级的学生所占的百分比即可．

解：（1）本次模拟考试该班学生有：5÷12.5%＝40（人）；

（2）C等级的人数有：40﹣2﹣5﹣13﹣8＝12（人），

补全统计图如下：

（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×

（4）估计该校A等级的学生人数有：800×23．已知xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40．

（1）求x﹣y的值．

（2）求x2+y2的值．

【分析】（1）利用提取公因式法对（x2y﹣xy2﹣x+y）进行因式分解，代入求值即可．

（2）利用完全平方公式进行变形处理得到：x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，代入求值即可．

解：∵xy＝5，x2y﹣xy2﹣x+y＝40，

∴x2y﹣xy2﹣x+y

＝xy（x﹣y）﹣（x﹣y）

＝（xy﹣1）（x﹣y）

（1）由题意知：（5﹣1）（x﹣y）＝40．

则x﹣y＝10．

（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝102﹣2×5＝90．

24．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

＝40（人）．

＝117°；

【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE＝CF．

（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC＝∠EBG+∠BEF求得结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，AB＝BC，

∵BE⊥BF，

∴∠FBE＝90°，

∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△AEB和△CFB中，

，

∴△AEB≌△CFB（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∵BE⊥BF，

∴∠FBE＝90°，

又∵BE＝BF，

∴∠BEF＝∠EFB＝45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABE＝55°，

∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，

∴∠EGC＝∠GFC+∠BCF＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．

∴∠GFC+∠BCF的值为80°．

25．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．

（1）当t＝2秒时，求PQ的长；

（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？

（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．

【分析】（1）根据勾股定理解得即可；

（2）根据等腰三角形的性质得出方程解答即可；

（3）根据三角形的面积公式解答即可．

解：（1）由题意得，AP＝t，PC＝5﹣t，CQ＝2t，

∵∠C＝90°，

∴PQ＝∵t＝2，

∴PQ＝（cm），

，

（2）∵∠C＝90°，

∴当CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形，

∴5﹣t＝2t，

解得：t＝，

∴t＝秒时，△PCQ是等腰三角形；四边形

（3）S四边形APQB＝S△ACB﹣S△PCQ

＝＝

＝30﹣5t+t2．

26．已知：DA⊥AB，CB⊥AB，AB＝25，AD＝15，BC＝10，如图1，点P是线段AB上的一个动点，连接PD、PC．

（1）当PD＝PC时，求AP的长；

（2）线段AB上是否存在点P，使PD+PC的值最小，若存在，在线段AB上标出点P，并求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点N在线段AD上从点A以x个单位每秒的速度向点D运动（当一个点运动结束时另一个点也停止运动），点M、N运动的时间为t秒，是否存在实数x，使△AMN与△BMC全等？若存在，求出x、t的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理分别表示出PD、PC，根据题意列出方程，解方程得到答案；（2）延长DA至D′，是AD′＝DA，连接CD′，过点D′作D′⊥CB交CB的延长线于E，根据勾股定理计算距离；

（3）分△AMN≌△BMC、△AMN≌△BCM两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．

解：（1）∵AB＝25，

∴PB＝25﹣AP，

在Rt△DAP中，PD2＝AD2+AP2＝225+AP2，

在Rt△CBP中，PC2＝CB2+BP2＝100+（25﹣AP）2，

∵PD＝PC，

∴225+AP2＝100+（25﹣AP）2，

解得：AP＝10，

∴当PD＝PC时，AP＝10；

（2）如图3，延长DA至D′，是AD′＝DA，连接CD′，交AB于点P，此时PD+PC

的值最小，

过点D′作D′⊥CB交CB的延长线于E，

则BE＝AD′＝AD＝15，D′E＝AB＝25，

∴CE＝BC+BE＝25，

∴CD′＝∴PD+PC的最小值为25＝25；

，

（3）当△AMN≌△BMC时，AM＝MB＝AB＝12.5，AN＝BC＝10，

∴t＝12.5÷2＝6.25，

∴x＝10÷6.25＝1.6，

当△AMN≌△BCM时，AM＝BC＝10，AN＝BM，

∴BM＝AB﹣AM＝15，

∴t＝15÷2＝7.5，

∴x＝15÷7.5＝2，

综上所述：△AMN与△BMC全等时，x＝1.6，t＝6.25或x＝2，t＝7.5．