2024年3月9日发(作者：左冷)

（2008•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A、4C、2 B、3

D、考点：等边三角形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析：仔细分析题目，可证明△EFB≌△EFC，所以图中阴影部分的面积等于△ABD的面积，再根据等边三角形的性质，△ABD的面积等于△ABC面积的一半，边长为4的等边三角形ABC的面积，S△ABC=42．

，所以图中阴影部分的面积是解答：解：∵等边三角形ABC，AD⊥BC

∴BD=DC，∠CDF=∠BDF=90°

∴△BDF≌△CDF 同理可证：△BDE≌△CDE △ABD≌△ACD

∴△BEF≌△CEF △ABE≌△ACE ∴S阴影=S△ABC=×∵AB=4，AD=故选C．

=2 ∴S阴影==．

点评：本题主要考查等边三角形的面积求法，得出阴影部分的面积等于△ABD的面积是解题的关键．

（2009•三明）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移得到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（ ）

A、AD∥BC B、AC⊥BD

C、四边形ABCD面积为4 D、四边形ABED是等腰梯形

考点：等边三角形的性质；平移的性质；特殊角的三角函数值．

分析：本题考查了平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰梯形的判定、菱形的判定和性质．对选项进行证明，从而得到正确答案．

解答：解：A、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，AD∥BE，故正确；

B、由菱形的性质知，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD，故正确；

C、∵△ABC≌△CED， ∴AB=BC=CE=DE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACD=180°-∠ACB-∠ECD=60°，

∴△ACD也是等边三角形，有AD=AB=BC=CD，

∴四边形ADCB是菱形， ∴SABCD=2S△ABC=2××AB×BC×sin60°=2D、∵AD∥BE，AB=DE， ∴四边形ABED是等腰梯形，故正确．

故选C．

，故错误；

点评：本题是一道涉及平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰梯形的判定和菱形的判定和性质结合求解的综合题．考查了整体的数学思想和正确运算的能力．

（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）

考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．

分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．

解答：解：∵△ABC为等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60° ∴AB=BC=AC

在△ABD和△CAE中

BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC

∴△ABD≌△CAE ∴∠BAD=∠ACE

又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60° ∴∠ACE+∠DAC=60

∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180° ∴∠AFC=120

∵∠AFC+∠DFC=180 ∴∠DFC=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．

（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）

C、2S1=S2

A、3S1=2S2 B、2S1=3S2 D、S1=2S2

考点：等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：本题中很明显△EGH∽△EBC，根据两三角形的高的比可得出GH和BC的比例关系；然后通过证△ABG≌△DCH，可得出AG=DH，那么可设正方形的

边长，即可表示出GH、DH以及△GHE的高，进而可根据三角形的面积公式分别得出△CDH和△EGH的面积表达式，得出两三角形的比例关系．

解答：又∵EF：CD=EF：AD=∴S△EHF：S1=3：4

解：作EF垂直于AD，则△EFH∽△CDH，

：2，

∵△EGH为等腰三角形，S△ABG=S1，S2=2S△EFH，

∴3S1=2S2

故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．

（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）

A、4cm2 B、2cm2 C、3cm2 D、3cm2

考点：等边三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例．

专题：几何图形问题．

分析：由题意知EFGH为等腰梯形，要求它的面积，只要求出EH、FG及高（为等边三角形的高的）即可．

解答：解：∵等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，

∴EH=BC=2cm，FG=BC=4cm，且四边形EHGF是等腰梯形，它的高为等边三角形的高的，

∵等边三角形的高=6×sin60°=3∴等腰梯形高等于∴等腰梯形的面积=故选C．

，

×=3，即阴影部分的面积为3．

，

点评：本题利用了：①等边三角形的性质；②平行线等分线段的性质；③等边三角形高与边长的关系；④梯形的面积公式求解．

（2007•娄底）△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）

A、4cm2 B、2cm2 C、3cm2 D、3cm2

考点：等边三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例．

分析：由题意知EFGH为等腰梯形，要求它的面积，只求出EH、FG及高（为等边三角形的高的）即可．

解答：解：∵等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，

∴EH=BC=2cm，FG=BC=4cm，且四边形EHGF是等腰梯形，它的高为等边三角形的高的，

∵等边三角形的高=6×sin60°=3∴等腰梯形高等于为3．

，

×=3，即阴影部分的面积，∴等腰梯形的面积=故选C．

点评：本题利用了：①等边三角形的性质；②平行线等分线段的性质；③等边三角形高与边长的关系；④梯形的面积公式求解．

（2007•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（ ）

A、2 B、4 C、4 D、8

分析：由角平分线可得角相等，由折叠可得角相等，通过三角和为90°得到∠A=30°，利用直角三角形中30°角的性质得到结果．

解答：解：由题意可得，DE⊥AB，∠A=∠DBA

∴∠DBC=∠A=∠DBA=30° ∴AB=2BC

在Rt△BDC中，∠DBC=30°，CD=2

∴BD=4 ∴BC=2 ∴AB=4

点评：此题考查了角平分线，直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半等知识；得到30°的角是正确解答本题的关键．

（2006•厦门）已知等边△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，则下列结论中不正确的是（ ）

A、BC2=AC2+BC2-AC•BC B、△ABC与△DEF的重心不重合

C、B，D，F三点不共线 D、S△DEF≠S△ABC

分析：根据等边三角形的性质，对四选项逐个进行判断即可求解．

解答：解：A、化简化得AC=BC，正确；

B、DEF是等边三角形，且等边△ABC的各顶点是△DEF各边的中点，等边△ABC可看作是△DEF的内接正三角形，所以△ABC与△DEF的重心重合，错误；

C、根据题意，可得出点D、B、E在同一直线上，点D、A、F在同一直线上，点E、C、F在同一直线上，正确；D、S△DEF=4S△ABC，正确．

（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．

解答：解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠ACE=∠DCB ∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确） ∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠DCE=∠ECB=60°

∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC

∴△EMC≌△BNC（ASA）

∴CM=CN（②正确）

∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．

故选B．

点评：考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用．

（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．

A、30 B、40 C、50 D、60

考点：等边三角形的性质．

专题：规律型．

分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．

解答：解：设AB=x，

∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，

∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，

∵AF=2AB，即x+6=2x，

∴x=6cm， ∴周长为7 x+18=60cm．

点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．

（2005•荆州）如图，△ABC是等边三角形，⊙O与AC相切于A点，与BC交于E点，与AB的延长线交于D点．已知BE=6，CE=4，则BD的长为（ ）

A、10 B、15 C、25 D、35

考点：等边三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：连接AE，延长EB与圆交于点F；可得△AEC∽△FAC，易得CA2=CE•CF；解可得CF=25；故BF=15；再根据相交弦定理可得：AB•BD=BE•BF；解可得：BD=15．

解答：解：连接AE，延长EB与圆交于点F

∵⊙O与AC相切于A点 ∵∠CAE=AFC，∠C=∠C

∴△AEC∽△FAC ∴CA2=CE•CF

∵△ABC是等边三角形

∴CA=AB=BC=CE+BE=10 ∴CF=25 ∴BF=15

∵AB•BD=BE•BF ∴BD=15．

故选B．

点评：本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60°．

（2004•镇江）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ ）

A、10-15 B、10-5 C、5-5 D、20-10

考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：综合题．

分析：根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角求得ED=EC，列出方程EC+ED=（1+）EC=5，解方程即可求解．

解答：解：∵AE=ED

在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC

∴ED=EC

∴CE+ED=（1+∴CE=20-10故选D．

）EC=5

．

点评：本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60度．

（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

考点：等边三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

分析：根据题意：易得△APC≌△BPC．即AP=BP，有AP＜AC+CP，即：①应为PA＜PB+PC；错误．同时可得：②错误，同理易得∴△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正确．

解答：等边三角形，

解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，则△PCD为∵△ABC为正三角形， ∴BC=AC

∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，

∴△APC≌△BDC（AAS）． ∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；

由（1）知△PBE∽△PAC，则∴②错误；

∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA

∴△PBE∽△PAC∴ ∴PA•PE=PB•PC，故③正确；

=，=，+=+≠1，

点评：本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．

如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（ ）

A、50° B、60° C、45° D、∠BCD

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，可证△ACD≌△BCE，所以∠CAD=∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACG和△BFP中，有一对对顶角，所以∠AFB=∠ACB=60°．

解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，

设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°．

故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质，有多种解法，也可看做是把△ADC绕C逆时针旋转60°．A落于B，D落于E，AD落于BE，BE由AD旋转60°而得．

（2004•荆州）如图，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角），且1＜BP3＜，则P1C长的取值范围是（ ）

A、1＜P1C＜ B、＜P1C＜1 C、＜P1C＜ D、＜P1C＜2

考点：等边三角形的性质．

分析：首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜，即可求出P1C长的取值范围．

解答：解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，

又∵∠C=∠A=∠B=60°，

∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，

∴==．

设P1C=x，P2A=y，则P1A=2-x，P2B=2-y．

∴，

∴，

∴x=（2+P3B）．

又∵1＜BP3＜，

∴1＜x＜．

即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜．

故选A．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键．

2024年3月9日发(作者：左冷)

（2008•龙岩）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A、4C、2 B、3

D、考点：等边三角形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析：仔细分析题目，可证明△EFB≌△EFC，所以图中阴影部分的面积等于△ABD的面积，再根据等边三角形的性质，△ABD的面积等于△ABC面积的一半，边长为4的等边三角形ABC的面积，S△ABC=42．

，所以图中阴影部分的面积是解答：解：∵等边三角形ABC，AD⊥BC

∴BD=DC，∠CDF=∠BDF=90°

∴△BDF≌△CDF 同理可证：△BDE≌△CDE △ABD≌△ACD

∴△BEF≌△CEF △ABE≌△ACE ∴S阴影=S△ABC=×∵AB=4，AD=故选C．

=2 ∴S阴影==．

点评：本题主要考查等边三角形的面积求法，得出阴影部分的面积等于△ABD的面积是解题的关键．

（2009•三明）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移得到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（ ）

A、AD∥BC B、AC⊥BD

C、四边形ABCD面积为4 D、四边形ABED是等腰梯形

考点：等边三角形的性质；平移的性质；特殊角的三角函数值．

分析：本题考查了平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰梯形的判定、菱形的判定和性质．对选项进行证明，从而得到正确答案．

解答：解：A、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，AD∥BE，故正确；

B、由菱形的性质知，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD，故正确；

C、∵△ABC≌△CED， ∴AB=BC=CE=DE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACD=180°-∠ACB-∠ECD=60°，

∴△ACD也是等边三角形，有AD=AB=BC=CD，

∴四边形ADCB是菱形， ∴SABCD=2S△ABC=2××AB×BC×sin60°=2D、∵AD∥BE，AB=DE， ∴四边形ABED是等腰梯形，故正确．

故选C．

，故错误；

点评：本题是一道涉及平移的性质、等边三角形的判定和性质、等腰梯形的判定和菱形的判定和性质结合求解的综合题．考查了整体的数学思想和正确运算的能力．

（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（ ）

考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．

分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．

解答：解：∵△ABC为等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60° ∴AB=BC=AC

在△ABD和△CAE中

BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC

∴△ABD≌△CAE ∴∠BAD=∠ACE

又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60° ∴∠ACE+∠DAC=60

∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180° ∴∠AFC=120

∵∠AFC+∠DFC=180 ∴∠DFC=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．

（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（ ）

C、2S1=S2

A、3S1=2S2 B、2S1=3S2 D、S1=2S2

考点：等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：本题中很明显△EGH∽△EBC，根据两三角形的高的比可得出GH和BC的比例关系；然后通过证△ABG≌△DCH，可得出AG=DH，那么可设正方形的

边长，即可表示出GH、DH以及△GHE的高，进而可根据三角形的面积公式分别得出△CDH和△EGH的面积表达式，得出两三角形的比例关系．

解答：又∵EF：CD=EF：AD=∴S△EHF：S1=3：4

解：作EF垂直于AD，则△EFH∽△CDH，

：2，

∵△EGH为等腰三角形，S△ABG=S1，S2=2S△EFH，

∴3S1=2S2

故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．

（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）

A、4cm2 B、2cm2 C、3cm2 D、3cm2

考点：等边三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例．

专题：几何图形问题．

分析：由题意知EFGH为等腰梯形，要求它的面积，只要求出EH、FG及高（为等边三角形的高的）即可．

解答：解：∵等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，

∴EH=BC=2cm，FG=BC=4cm，且四边形EHGF是等腰梯形，它的高为等边三角形的高的，

∵等边三角形的高=6×sin60°=3∴等腰梯形高等于∴等腰梯形的面积=故选C．

，

×=3，即阴影部分的面积为3．

，

点评：本题利用了：①等边三角形的性质；②平行线等分线段的性质；③等边三角形高与边长的关系；④梯形的面积公式求解．

（2007•娄底）△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）

A、4cm2 B、2cm2 C、3cm2 D、3cm2

考点：等边三角形的性质；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例．

分析：由题意知EFGH为等腰梯形，要求它的面积，只求出EH、FG及高（为等边三角形的高的）即可．

解答：解：∵等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，

∴EH=BC=2cm，FG=BC=4cm，且四边形EHGF是等腰梯形，它的高为等边三角形的高的，

∵等边三角形的高=6×sin60°=3∴等腰梯形高等于为3．

，

×=3，即阴影部分的面积，∴等腰梯形的面积=故选C．

点评：本题利用了：①等边三角形的性质；②平行线等分线段的性质；③等边三角形高与边长的关系；④梯形的面积公式求解．

（2007•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（ ）

A、2 B、4 C、4 D、8

分析：由角平分线可得角相等，由折叠可得角相等，通过三角和为90°得到∠A=30°，利用直角三角形中30°角的性质得到结果．

解答：解：由题意可得，DE⊥AB，∠A=∠DBA

∴∠DBC=∠A=∠DBA=30° ∴AB=2BC

在Rt△BDC中，∠DBC=30°，CD=2

∴BD=4 ∴BC=2 ∴AB=4

点评：此题考查了角平分线，直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半等知识；得到30°的角是正确解答本题的关键．

（2006•厦门）已知等边△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，则下列结论中不正确的是（ ）

A、BC2=AC2+BC2-AC•BC B、△ABC与△DEF的重心不重合

C、B，D，F三点不共线 D、S△DEF≠S△ABC

分析：根据等边三角形的性质，对四选项逐个进行判断即可求解．

解答：解：A、化简化得AC=BC，正确；

B、DEF是等边三角形，且等边△ABC的各顶点是△DEF各边的中点，等边△ABC可看作是△DEF的内接正三角形，所以△ABC与△DEF的重心重合，错误；

C、根据题意，可得出点D、B、E在同一直线上，点D、A、F在同一直线上，点E、C、F在同一直线上，正确；D、S△DEF=4S△ABC，正确．

（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．

解答：解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠ACE=∠DCB ∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确） ∴∠AEC=∠DBC

∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠DCE=∠ECB=60°

∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC

∴△EMC≌△BNC（ASA）

∴CM=CN（②正确）

∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．

故选B．

点评：考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用．

（2005•郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（ ）cm．

A、30 B、40 C、50 D、60

考点：等边三角形的性质．

专题：规律型．

分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．

解答：解：设AB=x，

∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，

∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，

∵AF=2AB，即x+6=2x，

∴x=6cm， ∴周长为7 x+18=60cm．

点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．

（2005•荆州）如图，△ABC是等边三角形，⊙O与AC相切于A点，与BC交于E点，与AB的延长线交于D点．已知BE=6，CE=4，则BD的长为（ ）

A、10 B、15 C、25 D、35

考点：等边三角形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析：连接AE，延长EB与圆交于点F；可得△AEC∽△FAC，易得CA2=CE•CF；解可得CF=25；故BF=15；再根据相交弦定理可得：AB•BD=BE•BF；解可得：BD=15．

解答：解：连接AE，延长EB与圆交于点F

∵⊙O与AC相切于A点 ∵∠CAE=AFC，∠C=∠C

∴△AEC∽△FAC ∴CA2=CE•CF

∵△ABC是等边三角形

∴CA=AB=BC=CE+BE=10 ∴CF=25 ∴BF=15

∵AB•BD=BE•BF ∴BD=15．

故选B．

点评：本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60°．

（2004•镇江）如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ ）

A、10-15 B、10-5 C、5-5 D、20-10

考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：综合题．

分析：根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角求得ED=EC，列出方程EC+ED=（1+）EC=5，解方程即可求解．

解答：解：∵AE=ED

在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC

∴ED=EC

∴CE+ED=（1+∴CE=20-10故选D．

）EC=5

．

点评：本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60度．

（2004•天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（ ）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

考点：等边三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

分析：根据题意：易得△APC≌△BPC．即AP=BP，有AP＜AC+CP，即：①应为PA＜PB+PC；错误．同时可得：②错误，同理易得∴△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正确．

解答：等边三角形，

解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，则△PCD为∵△ABC为正三角形， ∴BC=AC

∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，

∴△APC≌△BDC（AAS）． ∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；

由（1）知△PBE∽△PAC，则∴②错误；

∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA

∴△PBE∽△PAC∴ ∴PA•PE=PB•PC，故③正确；

=，=，+=+≠1，

点评：本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．

如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，则∠AFB等于（ ）

A、50° B、60° C、45° D、∠BCD

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，可证△ACD≌△BCE，所以∠CAD=∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACG和△BFP中，有一对对顶角，所以∠AFB=∠ACB=60°．

解答：解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，

设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°．

故选B．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质，有多种解法，也可看做是把△ADC绕C逆时针旋转60°．A落于B，D落于E，AD落于BE，BE由AD旋转60°而得．

（2004•荆州）如图，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角），且1＜BP3＜，则P1C长的取值范围是（ ）

A、1＜P1C＜ B、＜P1C＜1 C、＜P1C＜ D、＜P1C＜2

考点：等边三角形的性质．

分析：首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜，即可求出P1C长的取值范围．

解答：解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，

又∵∠C=∠A=∠B=60°，

∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，

∴==．

设P1C=x，P2A=y，则P1A=2-x，P2B=2-y．

∴，

∴，

∴x=（2+P3B）．

又∵1＜BP3＜，

∴1＜x＜．

即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜．

故选A．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，在解题时要根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键．