2024年3月13日发(作者：夙寄琴)
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f〔x〕-geK1那么函数f
〔x〕在定义域上有下界，K1为下界假如有f〔x〕-leK2，那
么有上界，K2称为上界。函数f〔x〕在定义域内有界的充分
要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理〔极限的性〕数列xn不能同时收敛于
两个不同的极限。
定理〔收敛数列的有界性〕假如数列xn收敛，那么数列
xn一定有界。
假如数列xn无界，那么数列xn一定发散但假如数列xn
有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-
1，〔-1〕n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收
敛的要条件而不是充分条件。
定理〔收敛数列与其子数列的关系〕假如数列xn收敛于
a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列xn有两个子数
列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-
1，1，-1，〔-1〕n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于
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-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是
收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中
定理〔极限的部分保号性〕假如lim〔x-rarrx0〕时f
〔x〕=A，而且A》0〔或A0〔或f〔x〕》0〕，反之也成立。
函数f〔x〕当x-rarrx0时极限存在的充分要条件是左极
限右极限各自存在并且相等，即f〔x0-0〕=f〔x0+0〕，假设
不相等那么limf〔x〕不存在。
一般的说，假如lim〔x-rarr-infin〕f〔x〕=c，那么直
线y=c是函数y=f〔x〕的图形程度渐近线。假如lim〔x-
rarrx0〕f〔x〕=-infin，那么直线x=x0是函数y=f〔x〕图
形的铅直渐近线。
4、极限运算法那么定理：有限个无穷小之和也是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷
小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理假如F1〔x〕-geF2
〔x〕，而limF1〔x〕=a，limF2〔x〕=b，那么a-geb.
5、极限存在准那么：两个重要极限lim〔x-rarr0〕
〔sinx/x〕=1lim〔x-rarr-infin〕〔1+1/x〕x=1.夹逼准那么
假如数列xn、yn、zn满足以下条件：yn-lexn-lezn且
limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成
立。
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单调有界数列有极限。
6、函数的连续性：设函数y=f〔x〕在点x0的某一邻域
内有定义，假如函数f〔x〕当x-rarrx0时的极限存在，且等
于它在点x0处的函数值f〔x0〕，即lim〔x-rarrx0〕f〔x〕
=f〔x0〕，那么就称函数f〔x〕在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定
义但lim〔x-rarrx0〕f〔x〕不存在3、虽在x=x0有定义且
lim〔x-rarrx0〕f〔x〕存在，但lim〔x-rarrx0〕f〔x〕-
nef〔x0〕时那么称函数在x0处不连续或连续。
假如x0是函数f〔x〕的连续点，但左极限及右极限都存
在，那么称x0为函数f〔x〕的第一类连续点〔左右极限相等
者称可去连续点，不相等者称为跳跃连续点〕。非第一类连续
点的任何连续点都称为第二类连续点〔无穷连续点和震荡连续
点〕。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商〔分母不为
0〕是个在该点连续的函数。
定理〔最大值最小值定理〕在闭区间上连续的函数在该区
间上一定有最大值和最小值。假如函数在开区间内连续或函数
在闭区间上有连续点，那么函数在该区间上就不一定有最大值
和最小值。
第 3 页 共 4 页
定理〔有界性定理〕在闭区间上连续的函数一定在该区间
上有界，即m-lef〔x〕-leM.定理〔零点定理〕设函数f〔x〕
在闭区间[a，b]上连续，且f〔a〕与f〔b〕异号〔即f〔a〕
×f〔b〕
推论在闭区间上连续的函数获得介于最大值M与最小值m
之间的任何值。
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2024年3月13日发(作者：夙寄琴)
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f〔x〕-geK1那么函数f
〔x〕在定义域上有下界，K1为下界假如有f〔x〕-leK2，那
么有上界，K2称为上界。函数f〔x〕在定义域内有界的充分
要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理〔极限的性〕数列xn不能同时收敛于
两个不同的极限。
定理〔收敛数列的有界性〕假如数列xn收敛，那么数列
xn一定有界。
假如数列xn无界，那么数列xn一定发散但假如数列xn
有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-
1，〔-1〕n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收
敛的要条件而不是充分条件。
定理〔收敛数列与其子数列的关系〕假如数列xn收敛于
a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列xn有两个子数
列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-
1，1，-1，〔-1〕n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于
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-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是
收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中
定理〔极限的部分保号性〕假如lim〔x-rarrx0〕时f
〔x〕=A，而且A》0〔或A0〔或f〔x〕》0〕，反之也成立。
函数f〔x〕当x-rarrx0时极限存在的充分要条件是左极
限右极限各自存在并且相等，即f〔x0-0〕=f〔x0+0〕，假设
不相等那么limf〔x〕不存在。
一般的说，假如lim〔x-rarr-infin〕f〔x〕=c，那么直
线y=c是函数y=f〔x〕的图形程度渐近线。假如lim〔x-
rarrx0〕f〔x〕=-infin，那么直线x=x0是函数y=f〔x〕图
形的铅直渐近线。
4、极限运算法那么定理：有限个无穷小之和也是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷
小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理假如F1〔x〕-geF2
〔x〕，而limF1〔x〕=a，limF2〔x〕=b，那么a-geb.
5、极限存在准那么：两个重要极限lim〔x-rarr0〕
〔sinx/x〕=1lim〔x-rarr-infin〕〔1+1/x〕x=1.夹逼准那么
假如数列xn、yn、zn满足以下条件：yn-lexn-lezn且
limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成
立。
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单调有界数列有极限。
6、函数的连续性：设函数y=f〔x〕在点x0的某一邻域
内有定义，假如函数f〔x〕当x-rarrx0时的极限存在，且等
于它在点x0处的函数值f〔x0〕，即lim〔x-rarrx0〕f〔x〕
=f〔x0〕，那么就称函数f〔x〕在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定
义但lim〔x-rarrx0〕f〔x〕不存在3、虽在x=x0有定义且
lim〔x-rarrx0〕f〔x〕存在，但lim〔x-rarrx0〕f〔x〕-
nef〔x0〕时那么称函数在x0处不连续或连续。
假如x0是函数f〔x〕的连续点，但左极限及右极限都存
在，那么称x0为函数f〔x〕的第一类连续点〔左右极限相等
者称可去连续点，不相等者称为跳跃连续点〕。非第一类连续
点的任何连续点都称为第二类连续点〔无穷连续点和震荡连续
点〕。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商〔分母不为
0〕是个在该点连续的函数。
定理〔最大值最小值定理〕在闭区间上连续的函数在该区
间上一定有最大值和最小值。假如函数在开区间内连续或函数
在闭区间上有连续点，那么函数在该区间上就不一定有最大值
和最小值。
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定理〔有界性定理〕在闭区间上连续的函数一定在该区间
上有界，即m-lef〔x〕-leM.定理〔零点定理〕设函数f〔x〕
在闭区间[a，b]上连续，且f〔a〕与f〔b〕异号〔即f〔a〕
×f〔b〕
推论在闭区间上连续的函数获得介于最大值M与最小值m
之间的任何值。
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