2024年3月15日发(作者：昌承德)
第3章作业参考解答
3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：
（1）
(
x,y,z
)
=Ax
2
+Bx+C
； （3）
(
,
,z
)
=A
2
sin
+B
z
；
Sol.
已知空间的电位分布，由
E=−
和
2
=−
/
0
可分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1)
E=−
=−e
x
(
2Ax+B
)
，
=−
0
2
=−2A
0
(3)
E=−
=−
e
(2A
sin
+Bz)+e
A
cos
+e
z
B
=−
0
2
=−
0
4Asin
+
3.6 有
Bz
Bz
−Asin
=−
0
3Asin
+
=2
0
和
=5
0
的两种介质分别分布在
z0
和
z0
的半无限大空间。已知
z0
时，
E=e
x
20−e
y
10+e
z
50
V/m
。试求
z0
时的
D
。
E
1
,D
1
(z0)
Sol.
设
，则由题意可知
E
2
,D
2
(z0)
e
t
E
1t
=e
x
20−e
y
10
E
1
=e
t
E
1t
+e
n
E
1n
=e
x
20−e
y
10+e
z
50
e
n
E
1n
=e
z
50 e
n
D
1n
=2
0
e
n
E
1n
=e
z
100
0
两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为
E
1t
=E
2t
e
t
E
1t
=e
t
E
2t
或
，则
D=DeD=eD
2nn2n
1n
n1n
e
t
E
2t
=e
t
E
1t
=e
x
20−e
y
10
e
n
D
2n
e
n
D
2n
=e
z
100
0
e
n
E
2n
=
5
=e
z
20
0
E
2
=e
t
E
2t
+e
n
E
2n
=e
x
20−e
y
10+e
z
20 (V/m)
所以，z < 0 时：
2
D
2
=5
0
E
2
=e
x
100
0
−e
y
50
0
+e
z
100
0
(C/m)
3.8 一块厚度为
d
、相对介电常数为
r
的无限大介质平板放置在均匀电场
E
0
中。为使介质中电场与板的
夹角为
45
，试求板的法向与
E
0
的夹角以及介质中的电场。
Sol.
如图所示，在边界上利用
E
1t
=E
2t
，
D
1n
−D
2n
=0
及
D
n
=
E
n
得
E
0
sin
=Esin45
0
E
0
cos
=
r
0
Ecos45
或直接应用电介质交界面上的“折射定律”：
0
tan
=
tan45
r
0
d
E
0
0
r
0
45
1
=arctan
r
解得：
2
E=2Esin
=E
00
2
+1
r
1/5
E
2
题3.8 图
第3章作业参考解答
3.9 如题3.9图所示，有一厚度为
2d
的无限大平面层，其中充满了密度为
(
x
)
=
0
cos
π
x
的体电荷。
d
若选择坐标原点为零电位参考点，试利用直接积分法求出平面层之内以及平面层以外各区域的电位和电场
强度。
Sol.
(1) 平层内：由对称性分析可知电位
1
=
1
(x)
，并满足：
0
d
2
1
x
=−cos
1
=−
或
0
d
0
dx
2
2
0
d
2
x
积分得：
1
=cos+C
1
x+C
2
d
0
2
d
1
x
d
则电场强度
E
1
(x)=−
1
=−e
x
=e
x
0
sin−C
1
dxd
0
题 3.9图
0
d
2
由
1
(0)=0
→ C
2
=−
2
0
由对称性可知
1
(0)=0→ C
1
=0
（或由电位的对称性
1
(d)=
1
(−d)→ C
1
=0
）
0
d
x
0
d
2
x
∴ 平层内：
1
(x)=
，
E(x)=esin (xd)
cos−1
1x
d
d
0
2
0
(2) 平层外：电位
2
=
2
(x)
满足Laplace方程：
d
2
2
=0 (|x|d)
2
=0
或
2
dx
2
直接积分得：
2
=D
1
x+D
2
(|x|d)
1
(x=d
−
)=
2
(x=d
+
)
应用边界条件：
1
2
1
=
或
00
0
nnx
−+
x=dx=d
=
0
x=d
−
2
x
x=d
+
0
d
2
d
cos−1
=D
1
d+D
2
D
1
=0
2
d
得：
0
→
2
0
d
2
0
d
−sin
d
=
D
D
2
=−
2
0
001
d
0
2
0
d
2
2
=−
2
( xd )
0
代入后得：
E=0
2
3.15在介电常数为
的无限大介质中均匀分布体密度为
0
的电荷。若在该介质中挖了一个半径为
R
0
的球
形空腔（腔中的介电常数可视为
0
）。试利用直接积分法求出各处的电位分布
和电场强度
E
。（以球面
为零电位参考点）
2/5
2024年3月15日发(作者：昌承德)
第3章作业参考解答
3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：
（1）
(
x,y,z
)
=Ax
2
+Bx+C
； （3）
(
,
,z
)
=A
2
sin
+B
z
；
Sol.
已知空间的电位分布，由
E=−
和
2
=−
/
0
可分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1)
E=−
=−e
x
(
2Ax+B
)
，
=−
0
2
=−2A
0
(3)
E=−
=−
e
(2A
sin
+Bz)+e
A
cos
+e
z
B
=−
0
2
=−
0
4Asin
+
3.6 有
Bz
Bz
−Asin
=−
0
3Asin
+
=2
0
和
=5
0
的两种介质分别分布在
z0
和
z0
的半无限大空间。已知
z0
时，
E=e
x
20−e
y
10+e
z
50
V/m
。试求
z0
时的
D
。
E
1
,D
1
(z0)
Sol.
设
，则由题意可知
E
2
,D
2
(z0)
e
t
E
1t
=e
x
20−e
y
10
E
1
=e
t
E
1t
+e
n
E
1n
=e
x
20−e
y
10+e
z
50
e
n
E
1n
=e
z
50 e
n
D
1n
=2
0
e
n
E
1n
=e
z
100
0
两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为
E
1t
=E
2t
e
t
E
1t
=e
t
E
2t
或
，则
D=DeD=eD
2nn2n
1n
n1n
e
t
E
2t
=e
t
E
1t
=e
x
20−e
y
10
e
n
D
2n
e
n
D
2n
=e
z
100
0
e
n
E
2n
=
5
=e
z
20
0
E
2
=e
t
E
2t
+e
n
E
2n
=e
x
20−e
y
10+e
z
20 (V/m)
所以，z < 0 时：
2
D
2
=5
0
E
2
=e
x
100
0
−e
y
50
0
+e
z
100
0
(C/m)
3.8 一块厚度为
d
、相对介电常数为
r
的无限大介质平板放置在均匀电场
E
0
中。为使介质中电场与板的
夹角为
45
，试求板的法向与
E
0
的夹角以及介质中的电场。
Sol.
如图所示，在边界上利用
E
1t
=E
2t
，
D
1n
−D
2n
=0
及
D
n
=
E
n
得
E
0
sin
=Esin45
0
E
0
cos
=
r
0
Ecos45
或直接应用电介质交界面上的“折射定律”：
0
tan
=
tan45
r
0
d
E
0
0
r
0
45
1
=arctan
r
解得：
2
E=2Esin
=E
00
2
+1
r
1/5
E
2
题3.8 图
第3章作业参考解答
3.9 如题3.9图所示，有一厚度为
2d
的无限大平面层，其中充满了密度为
(
x
)
=
0
cos
π
x
的体电荷。
d
若选择坐标原点为零电位参考点，试利用直接积分法求出平面层之内以及平面层以外各区域的电位和电场
强度。
Sol.
(1) 平层内：由对称性分析可知电位
1
=
1
(x)
，并满足：
0
d
2
1
x
=−cos
1
=−
或
0
d
0
dx
2
2
0
d
2
x
积分得：
1
=cos+C
1
x+C
2
d
0
2
d
1
x
d
则电场强度
E
1
(x)=−
1
=−e
x
=e
x
0
sin−C
1
dxd
0
题 3.9图
0
d
2
由
1
(0)=0
→ C
2
=−
2
0
由对称性可知
1
(0)=0→ C
1
=0
（或由电位的对称性
1
(d)=
1
(−d)→ C
1
=0
）
0
d
x
0
d
2
x
∴ 平层内：
1
(x)=
，
E(x)=esin (xd)
cos−1
1x
d
d
0
2
0
(2) 平层外：电位
2
=
2
(x)
满足Laplace方程：
d
2
2
=0 (|x|d)
2
=0
或
2
dx
2
直接积分得：
2
=D
1
x+D
2
(|x|d)
1
(x=d
−
)=
2
(x=d
+
)
应用边界条件：
1
2
1
=
或
00
0
nnx
−+
x=dx=d
=
0
x=d
−
2
x
x=d
+
0
d
2
d
cos−1
=D
1
d+D
2
D
1
=0
2
d
得：
0
→
2
0
d
2
0
d
−sin
d
=
D
D
2
=−
2
0
001
d
0
2
0
d
2
2
=−
2
( xd )
0
代入后得：
E=0
2
3.15在介电常数为
的无限大介质中均匀分布体密度为
0
的电荷。若在该介质中挖了一个半径为
R
0
的球
形空腔（腔中的介电常数可视为
0
）。试利用直接积分法求出各处的电位分布
和电场强度
E
。（以球面
为零电位参考点）
2/5