2024年3月16日发(作者：叔惜香)
N体问题的三百年
作者: dsds 发布日期: 2004-12-07 查看数: 4647 出自: /portal
天体运行的数学原理------N体问题的三百年
1。N体问题的起源和早期发展
(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)
在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)
在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起
了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：
问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思
想方法才能够实现。为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马
(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程 xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是
我们这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。(参看[4]) 值得一提的是，尽管这
两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百
年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的
23个问题中任何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994
年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二
十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过
程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母
鸡被杀死了。
正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天
体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。N体问题可以用一句
话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给
定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中
太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它
们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生
的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周
期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题
的一种解。然而对N体问题的全面认识就不是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明
各种千奇百怪的运动都有可能在N体问题中出现。等到看完这篇短文，也许你就会庆幸这
些奇怪的运动轨道都没有出现在我们的星球身上，否则你就不能在这里舒舒服服地看杂志
啦。
初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，根据牛顿(Issac
Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到:
m1(d2 q1i/dt2)= k m1 m2 /(q2i - q1i)(r312) + km1 m3 /(q3i - q1i)(r313)
m2(d2 q2i/dt2)= k m2 m1 /(q1i - q2i)(r321) + km2 m3 /(q3i - q2i)(r323)
m3(d2 q3i/dt2)= k m3 m1 /(q1i - q3i)(r331) + km3 m2 /(q2i - q3i)(r332)
( i =1,2,3 )
其中m i 是质点的质量，k 是万有引力常数，r ij 是 两个质点 m i 和 m j 之间的距离，而
q i1 , q i2 , q i3 则是质点 m i 的空间坐标。所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶
常微分方程组再加上相应的初始条件。(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，
方程可被简化以减少变量个数)。而N体问题的方程也是类似的一个 N2 个方程的二阶常微
分方程组。
当 N=1 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。当 N=2
的时候 (二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方
程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在
一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的
轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)
问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的
提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的
微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia
Mathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的
天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关
的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九
世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中
微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数
学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九世纪
末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了......
2。 三体问题和瑞典国王的奖金
(奥斯卡国王-----米塔格莱夫勒-----庞加莱)
1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意
的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica
将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一块金牌。而比赛的题目有四个，其中第一个
就是找到N体问题的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前把他们的
参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数学家米塔格莱夫勒(GostaMittag-Leffler)。
所有论文将被匿名地被一个国际委员会评判以决出优胜者，然后优胜者的论文将发表在Acta
Mathematica上。这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组成：德国的维尔斯特拉斯(Karl
Weierstrass)，法国的赫密特(Charles Hermite)和米塔格莱夫勒本人组成。
从现代的观点来看，这样的比赛也许有“抄作”和给新杂志做广告的嫌疑。(事实上当时就
2024年3月16日发(作者：叔惜香)
N体问题的三百年
作者: dsds 发布日期: 2004-12-07 查看数: 4647 出自: /portal
天体运行的数学原理------N体问题的三百年
1。N体问题的起源和早期发展
(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)
在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)
在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起
了非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：
问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思
想方法才能够实现。为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马
(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程 xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是
我们这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。(参看[4]) 值得一提的是，尽管这
两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。但是在整整一百
年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的
23个问题中任何一个都大。费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994
年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二
十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过
程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母
鸡被杀死了。
正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天
体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。N体问题可以用一句
话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给
定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中
太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它
们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生
的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和月球都在进行一种周
期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题
的一种解。然而对N体问题的全面认识就不是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明
各种千奇百怪的运动都有可能在N体问题中出现。等到看完这篇短文，也许你就会庆幸这
些奇怪的运动轨道都没有出现在我们的星球身上，否则你就不能在这里舒舒服服地看杂志
啦。
初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，根据牛顿(Issac
Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到:
m1(d2 q1i/dt2)= k m1 m2 /(q2i - q1i)(r312) + km1 m3 /(q3i - q1i)(r313)
m2(d2 q2i/dt2)= k m2 m1 /(q1i - q2i)(r321) + km2 m3 /(q3i - q2i)(r323)
m3(d2 q3i/dt2)= k m3 m1 /(q1i - q3i)(r331) + km3 m2 /(q2i - q3i)(r332)
( i =1,2,3 )
其中m i 是质点的质量，k 是万有引力常数，r ij 是 两个质点 m i 和 m j 之间的距离，而
q i1 , q i2 , q i3 则是质点 m i 的空间坐标。所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶
常微分方程组再加上相应的初始条件。(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，
方程可被简化以减少变量个数)。而N体问题的方程也是类似的一个 N2 个方程的二阶常微
分方程组。
当 N=1 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。当 N=2
的时候 (二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方
程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在
一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的
轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)
问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的
提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的
微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia
Mathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的
天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关
的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九
世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中
微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数
学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。终于在十九世纪
末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了......
2。 三体问题和瑞典国王的奖金
(奥斯卡国王-----米塔格莱夫勒-----庞加莱)
1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意
的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica
将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一块金牌。而比赛的题目有四个，其中第一个
就是找到N体问题的所有解。参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前把他们的
参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数学家米塔格莱夫勒(GostaMittag-Leffler)。
所有论文将被匿名地被一个国际委员会评判以决出优胜者，然后优胜者的论文将发表在Acta
Mathematica上。这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组成：德国的维尔斯特拉斯(Karl
Weierstrass)，法国的赫密特(Charles Hermite)和米塔格莱夫勒本人组成。
从现代的观点来看，这样的比赛也许有“抄作”和给新杂志做广告的嫌疑。(事实上当时就