2024年3月17日发(作者：令又琴)
1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答
1988年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题
1．下面四个数中最大的是（ ）
A．tan48 cot48 C．tan48 cos48
B．sin48 cos48 D．cot48 sin48
1988
5a 1
2
．在实数范围内，设x
1 a 1 1 a
，那么x的个位数字是
（ ）
A．1
B．2
C．4
学海无涯，书山有路
D．6
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB 7，AD 2，BC 3，假如这AB上的
点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，
那么这样的点P有（ ）
A．1个 C．3个
4．下面有四个命题：
⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四
边形；
B．2个
D．4个
P
⑶一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对
角线的四边形是平行四边形；
⑷一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角
线平分的四边形是平行四边形．
1
其中，正确的命题的个数是（ ）
A．1
二、填空题
1．假如质数p，q满足关系式3p 5q 31，那么log2
二、假如p，q，
2p 12q 1
，都是整数，并且p 1，q 1，试求p q的值． qp
三、如图，△PQR和△P Q R 是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF
p
的值是________． 3q 1
B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC的边AB 2，AC 3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA
为边的正方形，那么图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________．
3．假如自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5，
那么x5的最大值是_______．
4．如图，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC CD 4，AE 6，线段
BE和DE的长都是正整数，那么BD的长等于_________．
第二试
一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，
以后的每一个数等于它
前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数
的尾部零的个数（例如12022000尾部零的个数是3）．
学海无涯，书山有路
2
，BC b1，CD a2，DE b2，EF a3，FA b3．
求证：a222221 a2 a3 b1 b2 b23．
年全国初中数学联合竞赛试题
答案
第一试
一、选择题 1．A
【解析】 ∵0 cos48 1，0 sin48 1，
的边长分别记为：
AB a1
Ab1
P'
bC1a2Q
ba2
R
1988
sin48 cos48
sin48 cos48 cos48
sin48
tan48 cot48 ，
tan48 cos48 tan48 cos48
sin48
tan48 cot48 ，
1988
( 2)1988 24 497 16497．
所以x的个位数字是6．应选D．
3．C
cot48 sin48 cot48
sin48
cos48
cot48 tan48 ，
所以最大的是tan48 cot48 ． 应选A
2．D
【解析】 要使两个根式都有意义，必须(a 2)(|a| 1)≥0，且(a 2)(1
|a|)≥0，
但(a 2)(1 |a|) (a 2)(|a| 1)， 所以只能是(a 2)(|a| 1) 0，
解得a1 2，a2 1，a3 1． 假设a1 2，那么1
1
0， 1 a
假设a2 1，那么1 a 0，均使分母为零． 因此仅有a3 1适用． 5
( 1) 1
此时x
1 ( 1)
学海无涯，书山有路
3
【解析】 如图，设AP x，那么PB 7 x，
⑴ 假如△PAD∽△PBC，那么∴x
，符合条件． 5
，
， 7 x3
⑵假如△PAD∽△CBP，那么
∴x1 1，x2 6也都符合条件． 所以满足条件的点p有3个．应选C．
．A
【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例，例如：
⑴如下左图中四边形ABCD，其中△ABC是等腰三角形，△ADC与△CEA
AC的中垂线对称．
14
7
x2
37 x
x2
P
4
关于
A
⑵如上右图，作等腰△ADE，延长底边ED至任意点O，以O为对角线
的交点可作出平行四边形ABCE，而此时的四边形ABCD满足条件AD AE BC，
且AO CO，但不是平行四边形．
⑷如下左图中的四边形ABCD，其中B，D是AC的垂直平分线上的任
意两点．
A
A
以下证明命题⑶是正确的．
如上右图，已知 BAD DCB，且OB OD．
以O为中心，将△ABD逆时针旋转180度，由于OB OD，所以D与B
重合，B与D重合，点A与射线OC上的某点A 重合．
假如A 不是C，那么 BA D BCD（A 在线段OC内部）或 BA D BCD
学海无涯，书山有路
4
（A 在OC的延长线上），都与 BA D BAD BCD矛盾！
从而A 即是C．即OA OA OC，所以四边形ABCD是平行四边形． 综
上，仅有命题⑶正确． 应选A．
二、填空题 1． 3或0
【解析】 由条件知，3p和5q中必有一个是偶数，而另一个是奇数，
假设3p是偶数，那么只有
p 2，从而q 5，这时 log2
p21
log2 log2 3 3q 13 5 18
假设5q是偶数，那么只有q 2，从而p 7，这时 log2
p7
log2 log21 0． 3q 13 2 1
所以log2
2．9
p
的值是 3或0． 3q 1
1
【解析】 利用公式S absinC和sin(180 ) sin ，
2
易知，三个阴影三角形的面积都分别等于△ABC的面积，
1
因此三个阴影部分与面积的和 3 3 sin BAC 9sin BAC≤9．
2
当 BAC 90 时，等号成立．
所以三个阴影部分面积的和的最大值是9．
那么x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5≤5x5，即x1x2x3x4≤5，
7
从而易枚举得所有的解为：（1，1，1，2，5），（1，1，1，3，3），（1，
1，1，4，），
3．5
【解析】 方法一：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4
≤x5，
由1
11111
x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4
≤
111113 x4 x5
，
x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5
得x4x5≤3 x4 x5． ∴(x4 1)(x5 1)≤4．
假设x4 1，那么x1 x2 x3 x4 1这时，题设等式成为4 x5 x5，矛
盾！ 假设x4 1，那么x5 1≤4，即x5≤5．
假设x5 5时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5）， 所以，
最大值是5．
方法二（LTX）：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，
学海无涯，书山有路
5
（1，1，2，2，2），其中符合题意并且x5取到最大值的解为：（1，
，1，2，5）. 所以，最大值是5．
【点评】 给出一个一般的结论，满足等式x1 x2
，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．
个
的自然数
利用它我们不难解答下面的问题： 试写出方程x1 x2 答案x1 x2
．7
【解析】 如图，设EC x，BE y，ED z．
由△DCE∽△ACD，得
，即 ，
的在自然数集中的一组解．
，x1986 2，x1987 1987．
解得x 2（x 8不合题意），
3
1
xi(i 1
(n 2)
xn x1x2xn
4
CDEC4x
CADC6 x4 x1987 x1x2
x1987
x1985 1
2024年3月17日发(作者：令又琴)
1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答
1988年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题
1．下面四个数中最大的是（ ）
A．tan48 cot48 C．tan48 cos48
B．sin48 cos48 D．cot48 sin48
1988
5a 1
2
．在实数范围内，设x
1 a 1 1 a
，那么x的个位数字是
（ ）
A．1
B．2
C．4
学海无涯，书山有路
D．6
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB 7，AD 2，BC 3，假如这AB上的
点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，
那么这样的点P有（ ）
A．1个 C．3个
4．下面有四个命题：
⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四
边形；
B．2个
D．4个
P
⑶一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对
角线的四边形是平行四边形；
⑷一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角
线平分的四边形是平行四边形．
1
其中，正确的命题的个数是（ ）
A．1
二、填空题
1．假如质数p，q满足关系式3p 5q 31，那么log2
二、假如p，q，
2p 12q 1
，都是整数，并且p 1，q 1，试求p q的值． qp
三、如图，△PQR和△P Q R 是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF
p
的值是________． 3q 1
B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC的边AB 2，AC 3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA
为边的正方形，那么图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________．
3．假如自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5，
那么x5的最大值是_______．
4．如图，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC CD 4，AE 6，线段
BE和DE的长都是正整数，那么BD的长等于_________．
第二试
一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，
以后的每一个数等于它
前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数
的尾部零的个数（例如12022000尾部零的个数是3）．
学海无涯，书山有路
2
，BC b1，CD a2，DE b2，EF a3，FA b3．
求证：a222221 a2 a3 b1 b2 b23．
年全国初中数学联合竞赛试题
答案
第一试
一、选择题 1．A
【解析】 ∵0 cos48 1，0 sin48 1，
的边长分别记为：
AB a1
Ab1
P'
bC1a2Q
ba2
R
1988
sin48 cos48
sin48 cos48 cos48
sin48
tan48 cot48 ，
tan48 cos48 tan48 cos48
sin48
tan48 cot48 ，
1988
( 2)1988 24 497 16497．
所以x的个位数字是6．应选D．
3．C
cot48 sin48 cot48
sin48
cos48
cot48 tan48 ，
所以最大的是tan48 cot48 ． 应选A
2．D
【解析】 要使两个根式都有意义，必须(a 2)(|a| 1)≥0，且(a 2)(1
|a|)≥0，
但(a 2)(1 |a|) (a 2)(|a| 1)， 所以只能是(a 2)(|a| 1) 0，
解得a1 2，a2 1，a3 1． 假设a1 2，那么1
1
0， 1 a
假设a2 1，那么1 a 0，均使分母为零． 因此仅有a3 1适用． 5
( 1) 1
此时x
1 ( 1)
学海无涯，书山有路
3
【解析】 如图，设AP x，那么PB 7 x，
⑴ 假如△PAD∽△PBC，那么∴x
，符合条件． 5
，
， 7 x3
⑵假如△PAD∽△CBP，那么
∴x1 1，x2 6也都符合条件． 所以满足条件的点p有3个．应选C．
．A
【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例，例如：
⑴如下左图中四边形ABCD，其中△ABC是等腰三角形，△ADC与△CEA
AC的中垂线对称．
14
7
x2
37 x
x2
P
4
关于
A
⑵如上右图，作等腰△ADE，延长底边ED至任意点O，以O为对角线
的交点可作出平行四边形ABCE，而此时的四边形ABCD满足条件AD AE BC，
且AO CO，但不是平行四边形．
⑷如下左图中的四边形ABCD，其中B，D是AC的垂直平分线上的任
意两点．
A
A
以下证明命题⑶是正确的．
如上右图，已知 BAD DCB，且OB OD．
以O为中心，将△ABD逆时针旋转180度，由于OB OD，所以D与B
重合，B与D重合，点A与射线OC上的某点A 重合．
假如A 不是C，那么 BA D BCD（A 在线段OC内部）或 BA D BCD
学海无涯，书山有路
4
（A 在OC的延长线上），都与 BA D BAD BCD矛盾！
从而A 即是C．即OA OA OC，所以四边形ABCD是平行四边形． 综
上，仅有命题⑶正确． 应选A．
二、填空题 1． 3或0
【解析】 由条件知，3p和5q中必有一个是偶数，而另一个是奇数，
假设3p是偶数，那么只有
p 2，从而q 5，这时 log2
p21
log2 log2 3 3q 13 5 18
假设5q是偶数，那么只有q 2，从而p 7，这时 log2
p7
log2 log21 0． 3q 13 2 1
所以log2
2．9
p
的值是 3或0． 3q 1
1
【解析】 利用公式S absinC和sin(180 ) sin ，
2
易知，三个阴影三角形的面积都分别等于△ABC的面积，
1
因此三个阴影部分与面积的和 3 3 sin BAC 9sin BAC≤9．
2
当 BAC 90 时，等号成立．
所以三个阴影部分面积的和的最大值是9．
那么x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5≤5x5，即x1x2x3x4≤5，
7
从而易枚举得所有的解为：（1，1，1，2，5），（1，1，1，3，3），（1，
1，1，4，），
3．5
【解析】 方法一：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4
≤x5，
由1
11111
x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4
≤
111113 x4 x5
，
x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5
得x4x5≤3 x4 x5． ∴(x4 1)(x5 1)≤4．
假设x4 1，那么x1 x2 x3 x4 1这时，题设等式成为4 x5 x5，矛
盾！ 假设x4 1，那么x5 1≤4，即x5≤5．
假设x5 5时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5）， 所以，
最大值是5．
方法二（LTX）：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，
学海无涯，书山有路
5
（1，1，2，2，2），其中符合题意并且x5取到最大值的解为：（1，
，1，2，5）. 所以，最大值是5．
【点评】 给出一个一般的结论，满足等式x1 x2
，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．
个
的自然数
利用它我们不难解答下面的问题： 试写出方程x1 x2 答案x1 x2
．7
【解析】 如图，设EC x，BE y，ED z．
由△DCE∽△ACD，得
，即 ，
的在自然数集中的一组解．
，x1986 2，x1987 1987．
解得x 2（x 8不合题意），
3
1
xi(i 1
(n 2)
xn x1x2xn
4
CDEC4x
CADC6 x4 x1987 x1x2
x1987
x1985 1