2024年3月17日发(作者：塔梦易)

19章专题：一次函数与几何综合题（三）

1.

如图，把长方形纸片

OABC

放入平面直角坐标系中，使

OA

，

OC

分别落在

x

，

y

轴的的正半轴上，连

接

AC

，且

AC=4

5

，

AO=2CO

．

（

1

）求点

A

，

C

的坐标；

（

2

）将纸片

OABC

折叠，使点

A

与点

C

重合（折痕为

EF

），求折叠后纸片重叠部分

△CEF

的面积；

（

3

）求

EF

所在直线的函数表达式，并求出对角线

AC

与折痕

EF

交点

D

的坐标．

【解答】

（

1

）

∵AC=4

5

，

AO=2CO

，

∵AC

2

=OC

2

+OA

2

，

∴80=OC

2

+4OC

2

，

∴OC=4

，

OA=8

，

∴A

（

8

，

0

），

C

（

0

，

4

）；

（

2

）设

AC

的解析式为

y=kx+b

，

1





b4



k

2

，

则



，解得：



8kb0







b4

1

x+4

；

2

设

AC

与

EF

交于点

D

，由折叠知

EF

垂直平分

AC

，所以

D

是矩形

ABOC

的中心，

∴FD=DE

，

∴EF

、

AC

互相垂直平分，

∴

重合部分

AECF

是菱形，

设

CF=x

，则

AF=x

，

BF=8-x

，

∵AB=4

，

∠B=90°

，

∴x

2

=4

2

+

（

8-x

）

2

，

∴x=5

，即

CF=5

，

∴

重合部分的面积

=5×4=20

；

1

（

3

）

∵AC⊥EF

，直线

AC

表达式中的

k

值为：

-

，

2

∴

直线

EF

表达式中的

k

值为

2

，

∵A

（

8

，

0

），

C

（

0

，

4

），且

D

为

AC

中点，

∴D

（

4

，

2

），

设直线

EF

的表达式为：

y=2x+b

，将点

D

的坐标代入上式并解得：

则直线

EF

解析式为：

y=2x-6

．

∴AC

的解析式为

y=-

2.

如图

1

，在平面直角坐标系中，直线

AB

分别交

x

轴、

y

轴于点

A

（

-2

，

0

）点

B

（

0

，

4

）；点

P

在直线

AB

的右侧，且

∠APB=45°

．

（

1

）若

△ABP

为直角三角形，求点

P

的坐标；

（

2

）如图

2

，若点

P

在第四象限，且

∠BAP=90°

，

AP

与

y

轴交于点

M

，

BP

与

x

轴交于点

N

，连接

MN

，求证：

P

是

△OMN

的一个外角平分线交点．

【解答】

（

1

）

∵△ABP

是直角三角形，且

∠APB=45°

，

∴

只有

∠ABP=90°

或

∠BAP=90°

，如图

3

，

Ⅰ

、

∵∠APB=∠BAP=45°∴AB=PB

，

∴∠BPC+∠CBP=90°

当

∠ABP=90°

时，，过点

P

作

PC⊥OB

于

C

，，

∵∠CBP+∠ABO=90°

，

∴∠ABO=∠BPC

，

在

△AOB

和

△BCP

中，

∠AOB=∠BCP=90°

，

∠ABO=∠BPC

，

AB=BP

，

∴△AOB≌△BCP

（

AAS

），

∴PC=OB=4

，

BC=OA=2

，

∴OC=OB-BC=2

，

∴P

（

4

，

2

）；

Ⅱ

、当

∠BAP=90°

时，过点

P'

作

P'D⊥OA

于

D

，

同

Ⅰ

的方法得，

△ADP'≌△BOA

，

∴DP'=OA=2

，

AD=OB=4

，

∴OD=AD-OA=2

，

∴P'

（

2

，

-2

）；

即：满足条件的点

P

（

4

，

2

）或（

2

，

-2

）；

（

2

）如图

2

，由（

2

）知点

P

（

2

，

-2

），

1

∵A

（

-2

，

0

），

∴

直线

AP

的解析式为

y=-x-1

，

∴M

（

0

，

-1

），

∴BM=5

，

2

45

同理：直线

BP

的解析式为

y=-3x+4

，

∴N

（，

0

），

∴MN=

，

33

过点

P

作

PH∥AB

交

x

轴于

H

，

∵∠BAP=90°

，

∴∠BAO+∠PAH=90°

，

∴∠BAO+∠ABM=90°

，

∴∠ABM=∠PAH

，

在

△ABM

和

△PAH

中，

∠ABM=∠PAH

，

AB=AP

，

∠BAM=∠APH=90°

，

∴△ABM≌△PAH

（

ASA

），

∴∠AMB=∠PHA

，

AH=BM=5

，

45

∴∠PMG=∠PHA

，

OH=AH-OA=3

，

∴H

（

3

，

0

），

∴NH=3-==MN

，

33

∵P

（

2

，

-2

），

M

（

0

，

-1

），

H

（

3

，

0

），

∴PM=

5

，

PH=

5

，

∴PM=PH

，

∴△PNM≌△PNH

（

SSS

），

∴∠AHP=∠PMN

，

∴∠PMG=∠PMN

，即：

MP

是

△BMN

的一个外角的平分线．

3.

如图

1

，在平面直角坐标系中，直线

y=

110

x+4

经过点

A

（，

m

），与

x

轴，

y

轴分别交于

B

，

C

两点，

23

点

D

（

0

，

-1

），

P

（

t

，

0

）（

t

＞

-8

）

（

1

）求

m

的值和直线

AD

的函数表达式；

（

2

）连结

CP

，当

△BPC

是等腰三角形时，求

t

的值；

（

3

）若

t=-4

，点

M

，

N

分别在线段

AB

，线段

AD

上，当

△PMN

是等腰直角三角形且

∠MPN=45°

时，

求

△PMN

的面积

【解答】

（

1

）直线

y=

y=

11011017

x+4

经过点

A

（，

m

），则

m=×+4=

，

23233

1

x+4

，令

y=0

，则

x=-8

，令

x=0

，则

y=4

，故点

B

、

C

的坐标分别为：（

-8

，

0

）、（

0

，

4

）；

2

设直线

AD

的表达式为：

y=kx-1

，将点

A

的坐标代入上式并解得：

k=2

，

故直线

AD

的表达式为：

y=2x-1

；

（

2

）点

P

（

t

，

0

），点

B

、

C

的坐标分别为：（

-8

，

0

）、（

0

，

4

），

PB

2

=

（

t+8

）

2

，

PC

2

=t

2

+16

，

BC

2

=80

；

当

PB=PC

时，（

t+8

）

2

=t

2

+16

，解得：

t=-3

，

当

PB=BC

时，同理可得：

t=-8+4

5

（不合题意的值已舍去）；

8

（舍去

-8

）当

PC=BC

时，同理可得：

t=±

；故

t=-3

或

-8+4

5

或

8

；

1

（

3

）点

P

（

-4

，

0

），设点

M

（

m

，

m+4

），点

N

（

n

，

2n-1

），

2

①

当

∠PMN=90°

时，如图

1

，

PM=MN

，过点

M

作

MH⊥x

轴于点

H

，作

GN⊥MH

于点

G

，

∵∠PMH+∠NMH=90°

，

∠NMH+∠MNG=90°

，

∴∠PMH=∠MNG

，

∠NGM=∠MHP=90°

，

∴△NGM≌△MHP

（

AAS

），

∴GN=MH

，

MG=PH

，

11

即

n-m=m+4

，

m+4-2n+1=m+4

，解得：

m=-2

，故点

M

（

-2

，

3

）；

22

1113

△PMN

的面积

=

PM

2

=

（

4+9

）

=

；

222

②

当

∠MNP=90°

时，

MN=PN

，

过点

N

作

x

轴的平行线交过点

P

与

y

轴的平行线于点

H

，交过点

M

与

y

轴的平行线于点

G

，

1

同理可得：

△MGN≌△NHP

（

AAS

），则

PH=GN

，

HM=MG

，即

1-2n=m-n

，

n+4=m+4-2n+1

，

2

4430

解得：

m=

，故点

M

（，），

777

1481

2

△PMN

的面积

=

×PM

）

2

=

（；

249

2

13481

故答案为：或．

249

4.

直线

y=-

3

x+6

与

x

轴相交于点

B

，与

y

轴相交于点

A

．

4

（

1

）求直线

AB

与坐标轴围成的面积；

（

2

）在

x

轴上一动点

P

，使

△ABP

是等腰三角形；请直接写出所有

P

点的坐标，并求出如图所示

AP=PB

时点

P

的坐标；

（

3

）直线

y=x+3

与直线

AB

相交于点

C

，与

x

轴相交于点

D

；点

Q

是直线

CD

上一点，若

△BQD

的

面积是

△BCD

的面积的两倍，求点

Q

的坐标．

【解答】

31

x+6

中，令

y=0

时，

x=8

；当

x=0

时，

y=6

；

∴△AOB

的面积

=6×6×=24

；

42

（

2

）如图，由（

1

）知

A

（

0

，

6

），

B

（

8

，

0

），

∴OA=6

，

OB=8

，

∴AB=10

，

∵△ABP

是等腰三角形；

∴

当

AB=PB=10

时，

OP=18

或

2

，

∴P

（

18

，

0

）或（

-2

，

0

），

当

AB=AP

时，

OP=OB=8

，

∴P

（

-8

，

0

），

当

AP=PB

时，

如图所示：设

OP=x

，则

AP=BP=8-x

，

由

AO

2

+OP

2

=AP

2

，得：

6

2

+x

2

=

（

8-x

）

2

，

77

∴x=

此时

P

（，

0

）；

44

7

综上所述，点

P

的坐标为（

18

，

0

）或（

-2

，

0

）或（

-8

，

0

）或

P

（，

0

）；

4

31233

（

3

）由

y=-x+6

以及

y=x+3

联立方程组求得

x=

，

y=

，

477

1233

∴C

（，），

77

∵△BQD

的面积是

△BCD

的面积的两倍，

6666

∴Q

点的纵坐标为或

-

，

77

6645

把

y=

代入

y=x+3

得

x=

，

77

6687

把

y=-

代入

y=x+3

得

x=-

，

77

45668766

因此

Q

（，）或（

-

，

-

）．

7777

（

1

）在当

y=-

5.

如图，在平面直角坐标系中，直线

l

1

：

y

1

=kx+b

经过

A

（

a

，

0

），

B

（

0

，

b

）两点，且

a

、

b

满足（

a-4

）

2

+

b2

=0

，过点

B

作

BP∥x

轴，交直线

l

2

：

y

2

=x

于点

P

，连接

PA

．

（

1

）求直线

AB

的函数表达式；

（

2

）在直线

l

2

上是否存在一点

Q

，使得

S

△BPQ

=S

△BPA

？若存在，求出点

Q

的坐标；若不存在，请说

明理由．

（

3

）点

C

（

n

，

0

）是

x

轴上的一个动点，点

D

是

y

轴上的一个动点，过点

C

作

x

轴的垂线交直线

l

1

、

l

2

于点

M

、

N

，若

△MND

是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的

n

的值．

【解答】

（

1

）（

a-4

）

2

+

b2

=0

，则

a=4

，

b=2

，

点

A

、

B

的坐标分别为：（

4

，

0

）、（

0

，

2

），

把点

A

、

B

的坐标代入一次函数表达式：

y=kx+b

并解得：

y=-

（

2

）存在，理由：

点

B

（

0

，

2

），点

P

（

2

，

2

），则

BP=2

，

S

△APM

=2

，

S

△BPQ

=S

△BPA

，

则点

Q

的纵坐标为：

0

或

4

，

故点

Q

（

0

，

0

）或（

4

，

4

）；

0

，

0

）或（

4

，

4

）；

13

（

3

）

MN=|-n+2-n|=|-n+2|

，

x

M

=x

N

=n

，

22

①

当

∠MDN=90°

时，

113

则

x

M

=MN

，即：

|-n+2|=n

，

222

4

解得：

n=

或

-4

；

7

②

当

∠DNM=90°

（或

∠DMN=90°

）时，

3

则

x

M

=MN

，即

|-n+2|=n

，

2

4

解得：

n=

或

4

；

5

44

符合条件的

n

的值为：

4

或或或

-4

．

57

1

x+2

；

2

2024年3月17日发(作者：塔梦易)

19章专题：一次函数与几何综合题（三）

1.

如图，把长方形纸片

OABC

放入平面直角坐标系中，使

OA

，

OC

分别落在

x

，

y

轴的的正半轴上，连

接

AC

，且

AC=4

5

，

AO=2CO

．

（

1

）求点

A

，

C

的坐标；

（

2

）将纸片

OABC

折叠，使点

A

与点

C

重合（折痕为

EF

），求折叠后纸片重叠部分

△CEF

的面积；

（

3

）求

EF

所在直线的函数表达式，并求出对角线

AC

与折痕

EF

交点

D

的坐标．

【解答】

（

1

）

∵AC=4

5

，

AO=2CO

，

∵AC

2

=OC

2

+OA

2

，

∴80=OC

2

+4OC

2

，

∴OC=4

，

OA=8

，

∴A

（

8

，

0

），

C

（

0

，

4

）；

（

2

）设

AC

的解析式为

y=kx+b

，

1





b4



k

2

，

则



，解得：



8kb0







b4

1

x+4

；

2

设

AC

与

EF

交于点

D

，由折叠知

EF

垂直平分

AC

，所以

D

是矩形

ABOC

的中心，

∴FD=DE

，

∴EF

、

AC

互相垂直平分，

∴

重合部分

AECF

是菱形，

设

CF=x

，则

AF=x

，

BF=8-x

，

∵AB=4

，

∠B=90°

，

∴x

2

=4

2

+

（

8-x

）

2

，

∴x=5

，即

CF=5

，

∴

重合部分的面积

=5×4=20

；

1

（

3

）

∵AC⊥EF

，直线

AC

表达式中的

k

值为：

-

，

2

∴

直线

EF

表达式中的

k

值为

2

，

∵A

（

8

，

0

），

C

（

0

，

4

），且

D

为

AC

中点，

∴D

（

4

，

2

），

设直线

EF

的表达式为：

y=2x+b

，将点

D

的坐标代入上式并解得：

则直线

EF

解析式为：

y=2x-6

．

∴AC

的解析式为

y=-

2.

如图

1

，在平面直角坐标系中，直线

AB

分别交

x

轴、

y

轴于点

A

（

-2

，

0

）点

B

（

0

，

4

）；点

P

在直线

AB

的右侧，且

∠APB=45°

．

（

1

）若

△ABP

为直角三角形，求点

P

的坐标；

（

2

）如图

2

，若点

P

在第四象限，且

∠BAP=90°

，

AP

与

y

轴交于点

M

，

BP

与

x

轴交于点

N

，连接

MN

，求证：

P

是

△OMN

的一个外角平分线交点．

【解答】

（

1

）

∵△ABP

是直角三角形，且

∠APB=45°

，

∴

只有

∠ABP=90°

或

∠BAP=90°

，如图

3

，

Ⅰ

、

∵∠APB=∠BAP=45°∴AB=PB

，

∴∠BPC+∠CBP=90°

当

∠ABP=90°

时，，过点

P

作

PC⊥OB

于

C

，，

∵∠CBP+∠ABO=90°

，

∴∠ABO=∠BPC

，

在

△AOB

和

△BCP

中，

∠AOB=∠BCP=90°

，

∠ABO=∠BPC

，

AB=BP

，

∴△AOB≌△BCP

（

AAS

），

∴PC=OB=4

，

BC=OA=2

，

∴OC=OB-BC=2

，

∴P

（

4

，

2

）；

Ⅱ

、当

∠BAP=90°

时，过点

P'

作

P'D⊥OA

于

D

，

同

Ⅰ

的方法得，

△ADP'≌△BOA

，

∴DP'=OA=2

，

AD=OB=4

，

∴OD=AD-OA=2

，

∴P'

（

2

，

-2

）；

即：满足条件的点

P

（

4

，

2

）或（

2

，

-2

）；

（

2

）如图

2

，由（

2

）知点

P

（

2

，

-2

），

1

∵A

（

-2

，

0

），

∴

直线

AP

的解析式为

y=-x-1

，

∴M

（

0

，

-1

），

∴BM=5

，

2

45

同理：直线

BP

的解析式为

y=-3x+4

，

∴N

（，

0

），

∴MN=

，

33

过点

P

作

PH∥AB

交

x

轴于

H

，

∵∠BAP=90°

，

∴∠BAO+∠PAH=90°

，

∴∠BAO+∠ABM=90°

，

∴∠ABM=∠PAH

，

在

△ABM

和

△PAH

中，

∠ABM=∠PAH

，

AB=AP

，

∠BAM=∠APH=90°

，

∴△ABM≌△PAH

（

ASA

），

∴∠AMB=∠PHA

，

AH=BM=5

，

45

∴∠PMG=∠PHA

，

OH=AH-OA=3

，

∴H

（

3

，

0

），

∴NH=3-==MN

，

33

∵P

（

2

，

-2

），

M

（

0

，

-1

），

H

（

3

，

0

），

∴PM=

5

，

PH=

5

，

∴PM=PH

，

∴△PNM≌△PNH

（

SSS

），

∴∠AHP=∠PMN

，

∴∠PMG=∠PMN

，即：

MP

是

△BMN

的一个外角的平分线．

3.

如图

1

，在平面直角坐标系中，直线

y=

110

x+4

经过点

A

（，

m

），与

x

轴，

y

轴分别交于

B

，

C

两点，

23

点

D

（

0

，

-1

），

P

（

t

，

0

）（

t

＞

-8

）

（

1

）求

m

的值和直线

AD

的函数表达式；

（

2

）连结

CP

，当

△BPC

是等腰三角形时，求

t

的值；

（

3

）若

t=-4

，点

M

，

N

分别在线段

AB

，线段

AD

上，当

△PMN

是等腰直角三角形且

∠MPN=45°

时，

求

△PMN

的面积

【解答】

（

1

）直线

y=

y=

11011017

x+4

经过点

A

（，

m

），则

m=×+4=

，

23233

1

x+4

，令

y=0

，则

x=-8

，令

x=0

，则

y=4

，故点

B

、

C

的坐标分别为：（

-8

，

0

）、（

0

，

4

）；

2

设直线

AD

的表达式为：

y=kx-1

，将点

A

的坐标代入上式并解得：

k=2

，

故直线

AD

的表达式为：

y=2x-1

；

（

2

）点

P

（

t

，

0

），点

B

、

C

的坐标分别为：（

-8

，

0

）、（

0

，

4

），

PB

2

=

（

t+8

）

2

，

PC

2

=t

2

+16

，

BC

2

=80

；

当

PB=PC

时，（

t+8

）

2

=t

2

+16

，解得：

t=-3

，

当

PB=BC

时，同理可得：

t=-8+4

5

（不合题意的值已舍去）；

8

（舍去

-8

）当

PC=BC

时，同理可得：

t=±

；故

t=-3

或

-8+4

5

或

8

；

1

（

3

）点

P

（

-4

，

0

），设点

M

（

m

，

m+4

），点

N

（

n

，

2n-1

），

2

①

当

∠PMN=90°

时，如图

1

，

PM=MN

，过点

M

作

MH⊥x

轴于点

H

，作

GN⊥MH

于点

G

，

∵∠PMH+∠NMH=90°

，

∠NMH+∠MNG=90°

，

∴∠PMH=∠MNG

，

∠NGM=∠MHP=90°

，

∴△NGM≌△MHP

（

AAS

），

∴GN=MH

，

MG=PH

，

11

即

n-m=m+4

，

m+4-2n+1=m+4

，解得：

m=-2

，故点

M

（

-2

，

3

）；

22

1113

△PMN

的面积

=

PM

2

=

（

4+9

）

=

；

222

②

当

∠MNP=90°

时，

MN=PN

，

过点

N

作

x

轴的平行线交过点

P

与

y

轴的平行线于点

H

，交过点

M

与

y

轴的平行线于点

G

，

1

同理可得：

△MGN≌△NHP

（

AAS

），则

PH=GN

，

HM=MG

，即

1-2n=m-n

，

n+4=m+4-2n+1

，

2

4430

解得：

m=

，故点

M

（，），

777

1481

2

△PMN

的面积

=

×PM

）

2

=

（；

249

2

13481

故答案为：或．

249

4.

直线

y=-

3

x+6

与

x

轴相交于点

B

，与

y

轴相交于点

A

．

4

（

1

）求直线

AB

与坐标轴围成的面积；

（

2

）在

x

轴上一动点

P

，使

△ABP

是等腰三角形；请直接写出所有

P

点的坐标，并求出如图所示

AP=PB

时点

P

的坐标；

（

3

）直线

y=x+3

与直线

AB

相交于点

C

，与

x

轴相交于点

D

；点

Q

是直线

CD

上一点，若

△BQD

的

面积是

△BCD

的面积的两倍，求点

Q

的坐标．

【解答】

31

x+6

中，令

y=0

时，

x=8

；当

x=0

时，

y=6

；

∴△AOB

的面积

=6×6×=24

；

42

（

2

）如图，由（

1

）知

A

（

0

，

6

），

B

（

8

，

0

），

∴OA=6

，

OB=8

，

∴AB=10

，

∵△ABP

是等腰三角形；

∴

当

AB=PB=10

时，

OP=18

或

2

，

∴P

（

18

，

0

）或（

-2

，

0

），

当

AB=AP

时，

OP=OB=8

，

∴P

（

-8

，

0

），

当

AP=PB

时，

如图所示：设

OP=x

，则

AP=BP=8-x

，

由

AO

2

+OP

2

=AP

2

，得：

6

2

+x

2

=

（

8-x

）

2

，

77

∴x=

此时

P

（，

0

）；

44

7

综上所述，点

P

的坐标为（

18

，

0

）或（

-2

，

0

）或（

-8

，

0

）或

P

（，

0

）；

4

31233

（

3

）由

y=-x+6

以及

y=x+3

联立方程组求得

x=

，

y=

，

477

1233

∴C

（，），

77

∵△BQD

的面积是

△BCD

的面积的两倍，

6666

∴Q

点的纵坐标为或

-

，

77

6645

把

y=

代入

y=x+3

得

x=

，

77

6687

把

y=-

代入

y=x+3

得

x=-

，

77

45668766

因此

Q

（，）或（

-

，

-

）．

7777

（

1

）在当

y=-

5.

如图，在平面直角坐标系中，直线

l

1

：

y

1

=kx+b

经过

A

（

a

，

0

），

B

（

0

，

b

）两点，且

a

、

b

满足（

a-4

）

2

+

b2

=0

，过点

B

作

BP∥x

轴，交直线

l

2

：

y

2

=x

于点

P

，连接

PA

．

（

1

）求直线

AB

的函数表达式；

（

2

）在直线

l

2

上是否存在一点

Q

，使得

S

△BPQ

=S

△BPA

？若存在，求出点

Q

的坐标；若不存在，请说

明理由．

（

3

）点

C

（

n

，

0

）是

x

轴上的一个动点，点

D

是

y

轴上的一个动点，过点

C

作

x

轴的垂线交直线

l

1

、

l

2

于点

M

、

N

，若

△MND

是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的

n

的值．

【解答】

（

1

）（

a-4

）

2

+

b2

=0

，则

a=4

，

b=2

，

点

A

、

B

的坐标分别为：（

4

，

0

）、（

0

，

2

），

把点

A

、

B

的坐标代入一次函数表达式：

y=kx+b

并解得：

y=-

（

2

）存在，理由：

点

B

（

0

，

2

），点

P

（

2

，

2

），则

BP=2

，

S

△APM

=2

，

S

△BPQ

=S

△BPA

，

则点

Q

的纵坐标为：

0

或

4

，

故点

Q

（

0

，

0

）或（

4

，

4

）；

0

，

0

）或（

4

，

4

）；

13

（

3

）

MN=|-n+2-n|=|-n+2|

，

x

M

=x

N

=n

，

22

①

当

∠MDN=90°

时，

113

则

x

M

=MN

，即：

|-n+2|=n

，

222

4

解得：

n=

或

-4

；

7

②

当

∠DNM=90°

（或

∠DMN=90°

）时，

3

则

x

M

=MN

，即

|-n+2|=n

，

2

4

解得：

n=

或

4

；

5

44

符合条件的

n

的值为：

4

或或或

-4

．

57

1

x+2

；

2