2024年3月19日发(作者：茹青)
2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
2．二次函数y＝ax
2
+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
3．对于各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
k
．若1≤m＜n≤k，a
n
＜a
m
，则（a
n
，a
m
）称为一个逆序．数
列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，
1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
，逆序数为k，则该
数列颠倒后得到的a
100
，a
99
，…，a
1
，逆序数为多少？
4．已知实数t，使得[t]＝1，[t
2
]＝2，[t
3
]＝3，…，[t
n
]＝n都成立，求正整数n的最大值．
2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
【解答】解：∵菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），
∴直线的OM斜率为，由菱形对角线互相垂直可得：AC的斜率为﹣，
∴AC：y＝﹣（x﹣x
0
）+y
0
，
令y＝0，则x＝+x
0
＝，
∴A（，0），
∴C（，2y
0
），
∵M、C在同一反比例函数上
∴•2y
0
＝x
0
•y
0
，
∴x
0
2
＝2y
0
2
，
∴y
0
＝x
0
，
∴S＝•2y
0
＝•x
0
＝x
0
2
，
2024年3月19日发(作者：茹青)
2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
2．二次函数y＝ax
2
+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
3．对于各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
k
．若1≤m＜n≤k，a
n
＜a
m
，则（a
n
，a
m
）称为一个逆序．数
列中逆序的总数称为该数列的逆序数，如3，2，1中2＜3，则称（3，2）为一个逆序，同理（3，1），（2，
1）也为逆序，逆序数为2+1＝3，现有一各数互不相同的数列a
1
，a
2
，a
3
，…，a
100
，逆序数为k，则该
数列颠倒后得到的a
100
，a
99
，…，a
1
，逆序数为多少？
4．已知实数t，使得[t]＝1，[t
2
]＝2，[t
3
]＝3，…，[t
n
]＝n都成立，求正整数n的最大值．
2020年上海市七宝中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共4小题，满分0分）
1．菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），y＝过点M、C，2≤x
0
≤4，求菱形OABC的面积最大值．
【解答】解：∵菱形OABC中，OB、AC相交于M（x
0
，y
0
），
∴直线的OM斜率为，由菱形对角线互相垂直可得：AC的斜率为﹣，
∴AC：y＝﹣（x﹣x
0
）+y
0
，
令y＝0，则x＝+x
0
＝，
∴A（，0），
∴C（，2y
0
），
∵M、C在同一反比例函数上
∴•2y
0
＝x
0
•y
0
，
∴x
0
2
＝2y
0
2
，
∴y
0
＝x
0
，
∴S＝•2y
0
＝•x
0
＝x
0
2
，