2024年3月25日发(作者：庞庸)

习题121

1 试说出下列各微分方程的阶数

(1)x(y)2yyx0 解 一阶 (2)xyxyy0 解 一阶

(3)xy2yxy0 解 三阶 (4)(7x6y)dx(xy)dy0 解 一阶

(5)

L

d

2

Q

dt

2

R

2

22

d



dQQ





sin

2



 解 一阶

0

 解 二阶(6)

dtC

d



2222

2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解

(1)xy2y y5x 解 y10x 因为xy10x2(5x)2y 所以y5x是所给微分方程的解

(2)yy0 y3sin x4cos x 解 y3cos x4sin x

因为yy3cos x4sin x3sin x4cos x7sin xcos x0

所以y3sin x4cos x不是所给微分方程的解

(3)y2yy0 yx

2

e

x

 解 y2xe

x

x

2

e

x

 y2e

x

2xe

x

2xe

x

x

2

e

x

2e

x

4xe

x

x

2

e

x



因为y2yy2e

x

4xe

x

x

2

e

x

2(2xe

x

x

2

e

x

)x

2

e

x

2e

x

0所以yx

2

e

x

不是所给微分方程的解

(4)y(



1





2

)y



1



2

y0

yC

1

e



1

x

C

2

e



2

x



解

y



C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x



y



C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x



因为

y



(



1





2

)y







1



2

y

C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x

(



1





2

)(C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x

)



1



2

(C

1

e



1

x

C

2

e



2

x

)

0

所以

yC

1

e



1

x

C

2

e



2

x

是所给微分方程的解

3 在下列各题中 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解

(1)(x2y)y2xy x

2

xyy

2

C 解 将x

2

xyy

2

C的两边对x求导得2xyxy2y y0

即 (x2y)y2xy 所以由x

2

xyy

2

C所确定的函数是所给微分方程的解

(2)(xyx)yxy

2

yy2y0 yln(xy) 解 将yln(xy)的两边对x求导得

y





y

11

y



 即

y





 再次求导得

xyx

xy

22

22

y





注意到由

y





y



(xyx)y(yxy



1)

(xyx)

2



xy



y

2

y

(xyx)

2



1x

(y



2

yy



y



)



xyxy

11x

y



可得

y



xy



1

 所以

xyy

y





11

[(xy



1)y



yy



y



](xy



2

yy



2y



)



xyxxyx

从而 (xyx)yxy

2

yy2y0

即由yln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解

4 在下列各题中 确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件

(1)xyC y|

x0

5 解 由y|

x0

0得05C C25 故xy25

(2)y(C

1

C

2

x)e

2x

 y|

x0

0 y|

x0

1 解 yC

2

e

2x

2(C

1

C

2

x)e

2x



由y|

x0

0 y|

x0

1得





C

1

0

 解之得C

1

0 C

2

1 故yxe

2x





C

2

C

1

1

222222

(3)yC

1

sin(xC

2

) y|

x



1 y|

x



0 解 yC

1

cos(xC

2

) 由y|

x



1 y|

x



0得



C

1

sin(



C

2

)1



CsinC

2

1



 即



1

 解之得C

1

1

C

2





 故

ysin(x)

 即



22



C

1

cos(



C

2

)0



C

1

cosC

2

0

ycos x 

5 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程

(1)曲线在点(x y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方

解 设曲线为yy(x) 则曲线上点(x y)处的切线斜率为y 由条件yx

2

 这便是所求微

分方程

(2)曲线上点P(x y)处的法线与x轴的交点为Q 且线段PQ被y轴平分

解 设曲线为yy(x) 则曲线上点P(x y)处的法线斜率为



坐标为0 所以Q点的坐标为(x 0) 从而有

1

 由条件第PQ中点的横

y



y0

1



 即yy2x0

xxy



6 用微分方程表示一物理命题 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比

 所温度的平方成反比 解

dPP

k

2

 其中k为比例系数

dT

T

习题122

1 求下列微分方程的通解

(1)xyyln y0 解 分离变量得

两边积分得



11

dydx



ylnyx

11

dy



dx

 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=e

Cx

.

ylnyx

(2)3x

2

5x5y0 解 分离变量得5dy(3x

2

5x)dx 两边积分得



5dy



(3x

2

5x)dx



2024年3月25日发(作者：庞庸)

习题121

1 试说出下列各微分方程的阶数

(1)x(y)2yyx0 解 一阶 (2)xyxyy0 解 一阶

(3)xy2yxy0 解 三阶 (4)(7x6y)dx(xy)dy0 解 一阶

(5)

L

d

2

Q

dt

2

R

2

22

d



dQQ





sin

2



 解 一阶

0

 解 二阶(6)

dtC

d



2222

2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解

(1)xy2y y5x 解 y10x 因为xy10x2(5x)2y 所以y5x是所给微分方程的解

(2)yy0 y3sin x4cos x 解 y3cos x4sin x

因为yy3cos x4sin x3sin x4cos x7sin xcos x0

所以y3sin x4cos x不是所给微分方程的解

(3)y2yy0 yx

2

e

x

 解 y2xe

x

x

2

e

x

 y2e

x

2xe

x

2xe

x

x

2

e

x

2e

x

4xe

x

x

2

e

x



因为y2yy2e

x

4xe

x

x

2

e

x

2(2xe

x

x

2

e

x

)x

2

e

x

2e

x

0所以yx

2

e

x

不是所给微分方程的解

(4)y(



1





2

)y



1



2

y0

yC

1

e



1

x

C

2

e



2

x



解

y



C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x



y



C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x



因为

y



(



1





2

)y







1



2

y

C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x

(



1





2

)(C

1



1

e



1

x

C

2



2

e



2

x

)



1



2

(C

1

e



1

x

C

2

e



2

x

)

0

所以

yC

1

e



1

x

C

2

e



2

x

是所给微分方程的解

3 在下列各题中 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解

(1)(x2y)y2xy x

2

xyy

2

C 解 将x

2

xyy

2

C的两边对x求导得2xyxy2y y0

即 (x2y)y2xy 所以由x

2

xyy

2

C所确定的函数是所给微分方程的解

(2)(xyx)yxy

2

yy2y0 yln(xy) 解 将yln(xy)的两边对x求导得

y





y

11

y



 即

y





 再次求导得

xyx

xy

22

22

y





注意到由

y





y



(xyx)y(yxy



1)

(xyx)

2



xy



y

2

y

(xyx)

2



1x

(y



2

yy



y



)



xyxy

11x

y



可得

y



xy



1

 所以

xyy

y





11

[(xy



1)y



yy



y



](xy



2

yy



2y



)



xyxxyx

从而 (xyx)yxy

2

yy2y0

即由yln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解

4 在下列各题中 确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件

(1)xyC y|

x0

5 解 由y|

x0

0得05C C25 故xy25

(2)y(C

1

C

2

x)e

2x

 y|

x0

0 y|

x0

1 解 yC

2

e

2x

2(C

1

C

2

x)e

2x



由y|

x0

0 y|

x0

1得





C

1

0

 解之得C

1

0 C

2

1 故yxe

2x





C

2

C

1

1

222222

(3)yC

1

sin(xC

2

) y|

x



1 y|

x



0 解 yC

1

cos(xC

2

) 由y|

x



1 y|

x



0得



C

1

sin(



C

2

)1



CsinC

2

1



 即



1

 解之得C

1

1

C

2





 故

ysin(x)

 即



22



C

1

cos(



C

2

)0



C

1

cosC

2

0

ycos x 

5 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程

(1)曲线在点(x y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方

解 设曲线为yy(x) 则曲线上点(x y)处的切线斜率为y 由条件yx

2

 这便是所求微

分方程

(2)曲线上点P(x y)处的法线与x轴的交点为Q 且线段PQ被y轴平分

解 设曲线为yy(x) 则曲线上点P(x y)处的法线斜率为



坐标为0 所以Q点的坐标为(x 0) 从而有

1

 由条件第PQ中点的横

y



y0

1



 即yy2x0

xxy



6 用微分方程表示一物理命题 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比

 所温度的平方成反比 解

dPP

k

2

 其中k为比例系数

dT

T

习题122

1 求下列微分方程的通解

(1)xyyln y0 解 分离变量得

两边积分得



11

dydx



ylnyx

11

dy



dx

 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解为y=e

Cx

.

ylnyx

(2)3x

2

5x5y0 解 分离变量得5dy(3x

2

5x)dx 两边积分得



5dy



(3x

2

5x)dx

