2024年3月25日发(作者：稽如凡)
《管理运筹学》第四版 第
6
章 单纯形法的灵敏度分析与
对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第
6
章单纯形法的灵敏度分析与对
偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第
6
章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1(
解：
(l) cl?24
⑵ c2?6
(3)cs2?8
2(
解：
(1) cl??0.5
(2) ?2?c3?0
(3) cs2?0.5
3(
解：
(1) bl?250
(2) 0?b2?50
(3) 0?b3?150
4(
解：
(1) bl??4
(2) 0?b2?10
(3) b3?4
最优基矩阵和其逆矩阵分别为:
B???
最优解变为
xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,
最小值变为
-78;
?0, x2?14, x3?2,
最小值变为
-96;
最优解没有变化;最优解变为
xl
6(
解：
⑴利润变动范围
cl?3,
故当
cl=2
时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为
1
判断，此做法有利。
(3) 0?b2?45o
(4)
最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)
此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?
3
小于零，对原生
产计划没有影响。
7.
解：
⑴设
xl,x2,x3
为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
max z?2.5xl?2x2?3x3
约束条件:
8xl?16x2?10x3?350
10xl?5x2?5x3?450
2xl?13x2?5x3?400
xl,x2,x3?0
解得三种食品产量分别为
xl?43.75,x2?x3?0,
这时厂家获利最大为
109.375
万
ye©
(2)
如表中所示，工序
1
对于的对偶价格为
0.313
万元，由题意每增加
10
工时可以多获利
3.13
万元，但是消耗成本为
10
万元，所以厂家这样做不合
算。
(3)B
食品的加工工序改良之后，仍不投产
B,
最大利润不变;
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为
169.7519
万元，其中
xl?14.167,x2?0, x3?ll, x4?31.667;
(4)
若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为
163.1
万元，其中
xl?ll,x2?0, x3?7.2,
x4?38;
所以建议生产乙产品。
8(
解：
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且
对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。
9(
解：
(1) minf= 10yl+20y2.
+y2?2
yl+5y2?l
yl+y2?l
yi,y2?0
(2) max
JL
—
1 OOyl +200y2.
s.t. l/2yl+4y2?4
2yl+6y2?4
2yl+3y2?2
yl,y2?0
10(
解
(l)min f=?10yl+50y2+20y3.
s.t. ?2yl +3y2+y3?l
?yl+y2+y3 =5
yl, y2?0, y3
没有非负限制。
(2)max z= 6yl?3y2+2y3.
?y2?y3?l
2yl+y2+y3 =3
?3yl+2y2?y3??2
yl, y2?o, y3
没有非负限制
11.
解：
max z?6y 1 ?7y2?8y3?9y4?l Oy5
约束条件:
yl?y5?l
yl?y2?l
y2?y3?l
y3?y4?l
y4?y5?l
yl,y2,y3,y4,y5?0
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工
12.
解：
⑴该问题的对偶问题为
max f?4yl?12y2
约束条件:
3yl ?y2?2
2yl?3y2?3
变量。
yl?y2?5
求解得
maxf=12,
如下所示：
(2)
该问题的对偶问题为
min
Z
?2yl?3y2?5y3
约束条件:
2yl?3y2?y3??3
3yl?y2 ?4y3 ??8 5yl?7y2 ?6y3 ??10
yl,y2,y3?0
求得求解得
min z=24,
如下所示：
思考：
在求解
min f?CX
约束条件:
AX?b X?0
max 2?CX
约束条件:
AX?b X?0
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。
13
.解：
其中:
C
为非负行向量，列向量
b
中元素的符号没有要求
其中:
C
为非正行向量，列向量
b
中元素的符号没有要求
⑴错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也
可能无可行解；
(2)
正确;
(3)
错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可
;
(4)
正确；
14(
解：
maxz??xl ?2x2?3x3
??4??xl?x2?x3?sl
能有可行解，甚至为无界解
?x2?x3?s3??2?
?xi?04?l,?,3；sj?0,j?l,?,3?
用对偶单纯形法解如表
6-1
所示。表
6-1
续表
最优解为
xl=6, x2=2, x3=0,
目标函数最优值为
10
。
15.
解:原问题约束条件可以表示为
AX?b?ta,
其中
a
和
b
为常数列
向量。令
t?0,
将问题化为标准型之后求解，过程如下：
其中最优基矩阵的逆矩阵为
?100????1
B???ll?l?,
?001???
则
B*b???ll?l??10???2?
，001 »3»3
冲»»
♦ vx VZ d •♦♦♦♦♦•
?100??t??l??t?????????
B?1 *ta???l 1 ?1 ???t??t??3????3t?
?001??t??l??t?????????
?5?t???
(b?ta)??2?3t?
则
B?l*
?3?t???
从而，
1)
当
时，最优单纯形表为
2?3t?0, 3?t?0,
此
0^ 5?t?0,
线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(5?t,3?t^,
目标函数最大值为
ll?3t;
37
2)
当?
t?
时，由
2?3t?0
可知，
(xl,x2)?(5?&3?t)
并非最优解，利用对偶
22
此时
7?2t?0, ?2?3t?0, 3?t?0,
从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(7?2t,3?t),
目标函数的最大值为
13; 3)
当
7
?t?10
时，，由
7?2t?0
可知,
(xl,x2)?(7?2t,3?t)
并非最优解,利用
2
此时
?7?2t?0, 5?t?0, 10?t?0,
从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(0,10?t),
目标函数的最大值为
20?2t;
16
解先写出原问题的对偶问题
min f?20yl ?20y2
约束条件:
yl?4y2?2⑴
2yl?3y2?2 (2) 3yl?2y2?l
(3) 4yl?y2?l (4)
yl,y2?0
13
将
yl?,y2?
代入对偶问题的约束条件，得有且只有
(2)
、
(4)
式等式成
105
立，
也就是说，其对应的松弛变量取值均为
0,
⑴和
(3)
式对应的松弛 变量不为
0,
从而由互补松弛定理有
xl?x3?0;
又因为
yl?0,y2?0,
从而原问题中的
两个约束应该取等式，把
xl?x3?0
代入其中，得到
2x2?4x4?20
3x2 ?x4?20
解方程组得到
x2?6,x4?2
o
经验证
xl?0,x2?6,x3?0,x4?2
满足原问题约
束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为
14;
2024年3月25日发(作者：稽如凡)
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6
章 单纯形法的灵敏度分析与
对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第
6
章单纯形法的灵敏度分析与对
偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析
第
6
章单纯形法的灵敏度分析与对偶
1(
解：
(l) cl?24
⑵ c2?6
(3)cs2?8
2(
解：
(1) cl??0.5
(2) ?2?c3?0
(3) cs2?0.5
3(
解：
(1) bl?250
(2) 0?b2?50
(3) 0?b3?150
4(
解：
(1) bl??4
(2) 0?b2?10
(3) b3?4
最优基矩阵和其逆矩阵分别为:
B???
最优解变为
xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,
最小值变为
-78;
?0, x2?14, x3?2,
最小值变为
-96;
最优解没有变化;最优解变为
xl
6(
解：
⑴利润变动范围
cl?3,
故当
cl=2
时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为
1
判断，此做法有利。
(3) 0?b2?45o
(4)
最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)
此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?
3
小于零，对原生
产计划没有影响。
7.
解：
⑴设
xl,x2,x3
为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为
max z?2.5xl?2x2?3x3
约束条件:
8xl?16x2?10x3?350
10xl?5x2?5x3?450
2xl?13x2?5x3?400
xl,x2,x3?0
解得三种食品产量分别为
xl?43.75,x2?x3?0,
这时厂家获利最大为
109.375
万
ye©
(2)
如表中所示，工序
1
对于的对偶价格为
0.313
万元，由题意每增加
10
工时可以多获利
3.13
万元，但是消耗成本为
10
万元，所以厂家这样做不合
算。
(3)B
食品的加工工序改良之后，仍不投产
B,
最大利润不变;
若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为
169.7519
万元，其中
xl?14.167,x2?0, x3?ll, x4?31.667;
(4)
若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为
163.1
万元，其中
xl?ll,x2?0, x3?7.2,
x4?38;
所以建议生产乙产品。
8(
解：
均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且
对应的对偶价格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可
知此线性规划有无穷多组解。
9(
解：
(1) minf= 10yl+20y2.
+y2?2
yl+5y2?l
yl+y2?l
yi,y2?0
(2) max
JL
—
1 OOyl +200y2.
s.t. l/2yl+4y2?4
2yl+6y2?4
2yl+3y2?2
yl,y2?0
10(
解
(l)min f=?10yl+50y2+20y3.
s.t. ?2yl +3y2+y3?l
?yl+y2+y3 =5
yl, y2?0, y3
没有非负限制。
(2)max z= 6yl?3y2+2y3.
?y2?y3?l
2yl+y2+y3 =3
?3yl+2y2?y3??2
yl, y2?o, y3
没有非负限制
11.
解：
max z?6y 1 ?7y2?8y3?9y4?l Oy5
约束条件:
yl?y5?l
yl?y2?l
y2?y3?l
y3?y4?l
y4?y5?l
yl,y2,y3,y4,y5?0
用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计算时省去了人工
12.
解：
⑴该问题的对偶问题为
max f?4yl?12y2
约束条件:
3yl ?y2?2
2yl?3y2?3
变量。
yl?y2?5
求解得
maxf=12,
如下所示：
(2)
该问题的对偶问题为
min
Z
?2yl?3y2?5y3
约束条件:
2yl?3y2?y3??3
3yl?y2 ?4y3 ??8 5yl?7y2 ?6y3 ??10
yl,y2,y3?0
求得求解得
min z=24,
如下所示：
思考：
在求解
min f?CX
约束条件:
AX?b X?0
max 2?CX
约束条件:
AX?b X?0
以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。
13
.解：
其中:
C
为非负行向量，列向量
b
中元素的符号没有要求
其中:
C
为非正行向量，列向量
b
中元素的符号没有要求
⑴错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也
可能无可行解；
(2)
正确;
(3)
错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解，可
;
(4)
正确；
14(
解：
maxz??xl ?2x2?3x3
??4??xl?x2?x3?sl
能有可行解，甚至为无界解
?x2?x3?s3??2?
?xi?04?l,?,3；sj?0,j?l,?,3?
用对偶单纯形法解如表
6-1
所示。表
6-1
续表
最优解为
xl=6, x2=2, x3=0,
目标函数最优值为
10
。
15.
解:原问题约束条件可以表示为
AX?b?ta,
其中
a
和
b
为常数列
向量。令
t?0,
将问题化为标准型之后求解，过程如下：
其中最优基矩阵的逆矩阵为
?100????1
B???ll?l?,
?001???
则
B*b???ll?l??10???2?
，001 »3»3
冲»»
♦ vx VZ d •♦♦♦♦♦•
?100??t??l??t?????????
B?1 *ta???l 1 ?1 ???t??t??3????3t?
?001??t??l??t?????????
?5?t???
(b?ta)??2?3t?
则
B?l*
?3?t???
从而，
1)
当
时，最优单纯形表为
2?3t?0, 3?t?0,
此
0^ 5?t?0,
线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(5?t,3?t^,
目标函数最大值为
ll?3t;
37
2)
当?
t?
时，由
2?3t?0
可知，
(xl,x2)?(5?&3?t)
并非最优解，利用对偶
22
此时
7?2t?0, ?2?3t?0, 3?t?0,
从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(7?2t,3?t),
目标函数的最大值为
13; 3)
当
7
?t?10
时，，由
7?2t?0
可知,
(xl,x2)?(7?2t,3?t)
并非最优解,利用
2
此时
?7?2t?0, 5?t?0, 10?t?0,
从而线性规划问题的最优解为
(xl,x2)?(0,10?t),
目标函数的最大值为
20?2t;
16
解先写出原问题的对偶问题
min f?20yl ?20y2
约束条件:
yl?4y2?2⑴
2yl?3y2?2 (2) 3yl?2y2?l
(3) 4yl?y2?l (4)
yl,y2?0
13
将
yl?,y2?
代入对偶问题的约束条件，得有且只有
(2)
、
(4)
式等式成
105
立，
也就是说，其对应的松弛变量取值均为
0,
⑴和
(3)
式对应的松弛 变量不为
0,
从而由互补松弛定理有
xl?x3?0;
又因为
yl?0,y2?0,
从而原问题中的
两个约束应该取等式，把
xl?x3?0
代入其中，得到
2x2?4x4?20
3x2 ?x4?20
解方程组得到
x2?6,x4?2
o
经验证
xl?0,x2?6,x3?0,x4?2
满足原问题约
束条件，从而其为原问题的最优解，对应的目标函数最大值为
14;