2024年3月27日发(作者：受雁芙)

《通信原理》习题第三章

第三章习题

习题3.1 设一个载波的表达式为

c(t)5cos1000



t

，基带调制信号的表达式为：

m(t)=1+

cos200



t

。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解：

s



t



m



t



c



t







1cos200



t



5cos



1000



t



5co1s00



0t5co2s0



0tco1s00



0t

5

5co1s00



0t



co1s20



0tco8s0



0t



2

由傅里叶变换得

5







f500









f500







5







f600









f600







24

5







f400









f400





4

已调信号的频谱如图3-1所示。

S



f





52

54

－600－500－400

S(f)

0

400500600

图3-1 习题3.1图

习题3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？

解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。

习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ

的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。

解：由题意，已知

f

m

=2kHZ，

f

=5kHZ，则调制指数为

m

f



f5

2.5

f

m

2

已调信号带宽为

B2(f

m

f)2(52)14

k

习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之

和最大等于载波频率的一半。

证明：设基带调制信号为

m

'

(t)

，载波为c(t)=A

cos



0

t

，则经调幅后，有

'

s

AM

(t)





1m(t)





Acos



0

t

2'22



已调信号的频率

P

AM

s

AM

(t)



1m(t)Acos



0

t



2

8

《通信原理》习题第三章

A

2

cos

2



0

tm

'2

(t)A

2

cos

2



0

t2m

'

(t)A

2

cos

2



0

t

因为调制信号为余弦波，设

B2(1m

f

)f

m

f1000 kHZ100

''2

，故

m

2

1

m(t)0, m(t)

22

A

2

则：载波频率为

P

c

Acos



0

t

2

22

m

'2

(t)A

2

A

2



边带频率为

P

s

m(t)Acos



0

t

24

P

1

因此

s



。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

P

c

2

'222

习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换

为卷积关系：Z()=X()*Y()。

证明：根据傅立叶变换关系，有

1

F



X







Y











2



1



1









2







j



t



XuY



udued













变换积分顺序:

F

-1



X







Y













1

2









X



u



1







e

j



t

u



Y



ud













2







1



jut

1



j



t



XueY



ed





du











2





2





1



jut



Xuey



t



du

2







x



t



y



t



又因为

z



t





x



t



y



t



F

-1



Z









则

F

1



Z











F

-1



X







Y









即

Z







X







Y







习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对

频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信

号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。

解：由题意，

f

m

10 kHZ , A

m

1 V

最大相移为



max

10 rad

瞬时相位偏移为



(t)k

p

m(t)

，则

k

p

10

。

瞬时角频率偏移为d

d



(t)

k

p



m

sin



m

t

则最大角频偏





k

p



m

。

dt

因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指

9

2024年3月27日发(作者：受雁芙)

《通信原理》习题第三章

第三章习题

习题3.1 设一个载波的表达式为

c(t)5cos1000



t

，基带调制信号的表达式为：

m(t)=1+

cos200



t

。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解：

s



t



m



t



c



t







1cos200



t



5cos



1000



t



5co1s00



0t5co2s0



0tco1s00



0t

5

5co1s00



0t



co1s20



0tco8s0



0t



2

由傅里叶变换得

5







f500









f500







5







f600









f600







24

5







f400









f400





4

已调信号的频谱如图3-1所示。

S



f





52

54

－600－500－400

S(f)

0

400500600

图3-1 习题3.1图

习题3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？

解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。

习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ

的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。

解：由题意，已知

f

m

=2kHZ，

f

=5kHZ，则调制指数为

m

f



f5

2.5

f

m

2

已调信号带宽为

B2(f

m

f)2(52)14

k

习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之

和最大等于载波频率的一半。

证明：设基带调制信号为

m

'

(t)

，载波为c(t)=A

cos



0

t

，则经调幅后，有

'

s

AM

(t)





1m(t)





Acos



0

t

2'22



已调信号的频率

P

AM

s

AM

(t)



1m(t)Acos



0

t



2

8

《通信原理》习题第三章

A

2

cos

2



0

tm

'2

(t)A

2

cos

2



0

t2m

'

(t)A

2

cos

2



0

t

因为调制信号为余弦波，设

B2(1m

f

)f

m

f1000 kHZ100

''2

，故

m

2

1

m(t)0, m(t)

22

A

2

则：载波频率为

P

c

Acos



0

t

2

22

m

'2

(t)A

2

A

2



边带频率为

P

s

m(t)Acos



0

t

24

P

1

因此

s



。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。

P

c

2

'222

习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换

为卷积关系：Z()=X()*Y()。

证明：根据傅立叶变换关系，有

1

F



X







Y











2



1



1









2







j



t



XuY



udued













变换积分顺序:

F

-1



X







Y













1

2









X



u



1







e

j



t

u



Y



ud













2







1



jut

1



j



t



XueY



ed





du











2





2





1



jut



Xuey



t



du

2







x



t



y



t



又因为

z



t





x



t



y



t



F

-1



Z









则

F

1



Z











F

-1



X







Y









即

Z







X







Y







习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对

频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信

号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。

解：由题意，

f

m

10 kHZ , A

m

1 V

最大相移为



max

10 rad

瞬时相位偏移为



(t)k

p

m(t)

，则

k

p

10

。

瞬时角频率偏移为d

d



(t)

k

p



m

sin



m

t

则最大角频偏





k

p



m

。

dt

因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指

9