2024年3月29日发(作者：程永宁)
雅可比矩阵(Jacobi方法)
Jacobi 方法
Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，
它是基于以下两个结论
1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,
使得
Q
T
AQ = diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
) (3.1)
其中λ
i
(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a
ij
)
n
×
n
,Q交矩阵,
记B=Q
T
AQ=(b
ij
)
n
×
n
, 则
Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化
成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的
非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值
和特征向量。
1 矩阵的旋转变换
设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵
易见 V
ij
(φ)是正交矩阵, 记
注意到B=V
ij
A的第i,j行元素以及
的第i,j列元素为
可得
如果a
ij
≠0，取φ使得 则有
对A
(1)
重复上述的过程，可得A
(2)
,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A
(k)
}。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，
但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A
(1)
为例进行讨论。
设 由式(3.4)
可得
这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可
2024年3月29日发(作者：程永宁)
雅可比矩阵(Jacobi方法)
Jacobi 方法
Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，
它是基于以下两个结论
1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,
使得
Q
T
AQ = diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
) (3.1)
其中λ
i
(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a
ij
)
n
×
n
,Q交矩阵,
记B=Q
T
AQ=(b
ij
)
n
×
n
, 则
Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化
成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的
非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值
和特征向量。
1 矩阵的旋转变换
设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵
易见 V
ij
(φ)是正交矩阵, 记
注意到B=V
ij
A的第i,j行元素以及
的第i,j列元素为
可得
如果a
ij
≠0，取φ使得 则有
对A
(1)
重复上述的过程，可得A
(2)
,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A
(k)
}。
可以证明，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，
但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A
(1)
为例进行讨论。
设 由式(3.4)
可得
这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可