2024年5月29日发(作者：柳晓山)
5次对称群S5的一类子群的一个构造方法
唐耀平;吴建平;周立平
【摘 要】由于有限群的Lagrange定理的逆定理不成立.因此,要确定S5的各阶子
群是较困难的.文章通过n次对称群的基本概念及5-循环置换各次方幂的计算及研
究,找到了S5的一类子群的构成规律,并使用构造性方法给出了3、5、6、8阶子群.
【期刊名称】《湖南科技学院学报》
【年(卷),期】2017(038)010
【总页数】4页(P1-4)
【关键词】5次对称群;子群;Lagrange定理;循环置换
【作 者】唐耀平;吴建平;周立平
【作者单位】湖南科技学院 理学院,湖南 永州 425199;湖南科技学院 理学院,湖南
永州 425199;湖南科技学院 理学院,湖南 永州 425199
【正文语种】中 文
【中图分类】O152
关于子群及个数的研究在计算机通信、代数编码及计数理论研究中都具有重要意义。
n次对称群Sn是一个重要的群，由Caylay定理知，任何有限群G都同构于对称
群Sn的一个子群. 所以，只要能够解决Sn的所有子群及这些子群的结构，则任意
有限群的问题就得到完全解决。但n较大时，要找出Sn的全部子群及决定各子群
的结构仍然困难。文献[2]讨论了S4的所有子群及其结构，文献[3-5]讨论了S6的
所有子群及两类子群的构造方法，文献[6]讨论了S5的2、4、20、24阶的子群，
文献[7-13]给出了S5的子群A5的一些性质及其结构。这些文献表明对n次对称
群Sn及其子群的讨论依然是非常活跃的。本文使用有限群的Lagrange定理及n
次对称群的结果，构造性地给出了S5的3、5、6、8阶子群，文中所引用的符号
见文献[1]。
定理1[1]（Lagrange定理）设G是有限群，，则.其中符号表示有限群G的子群
H在群G中的指数.
推论1 设G是有限群，，，则.其中表示a的阶.
定理2[1] 记k－循环置换，则
（1）的阶是k；
（2）；
（3）若k为奇数，则；
若k为偶数，则.
推论2[12] 设k为奇数，k－循环置换，则，，，…分别为，，，即，若i的下标，
则应取以k为模的余.
定理3[1] Sn的任一元可以表为若干个互不相连的循环置换的乘积，即若，.
首先，以的各次方的求得过程来说明一个更一般的5－循环置换各次方幂的计算方
法。使用定理2及推论，可以得到5－循环置换的各次方幂为：
‖ ‖ ‖ ‖ ‖
例如要求的方法：先写出第1个数是“1”，注意到要求的是3次方，在置换中从
1的下一个数开始连续数4个数，即为5. 写下第2个数“5”，再从4的下一个
数开始连续轮回数3个数，即为4. 写下第3个数“4”，再从2的下一个数开始
连续数3个数，即为3. 写下第4个数“3”，同理，写下第5个数“2”，即得置
换.
因，由定理3，S5的所有120个元分别是[13]：
（1）1－循环置换1个，即单位元；
（2）2－循环置换10个，即：，，，，，，，，，；
（3）3－循环置换20个，即：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（4）4－循环置换30个，即：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，；
（5）5－循环置换24个，由上述5－循环置换幂的计算，全部24个5－循环置
换按其1，2，3，4次方幂进行分组，共为6组，分别为：
，，， ，，，
，，， ，，，
，，， ，，，
（6）2×2－循环置换的乘积15个，按的结果，可以分成5组，每组中前两个的
乘积等于第3个，即：，，
，， ，，
，， ，，
（7）3×2－循环置换的乘积20个，按3－循环置换与不相交的2－循环置换的乘
积进行，即
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
由定理1，S5的阶数与其子群k的阶数有关系，，因此只能为1，2，3，4，5，
6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120，显然对应着数字1、120的
是S5的两个平凡子群的阶，分别为，，文献[13]已研究了S5的2、4、20、24
阶的子群，本文只讨论3，5，6，8阶的子群.
命题1 S5有10个3阶子群.
证明：由定理1及推论，由于3是素数，因此3阶群必为循环群，且由一个3阶
元生成，又由定理3，3阶元的平方是其逆元，因此S5有10个3阶子群，即：
，，，
，，，
，，，
.
命题2 S5有6个5阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的5阶子群的元素的阶只可能为1、5，又由于5是
素数，因此5阶群必为循环群，所以组成S5的5阶子群的元素除单位元外，只可
能由5－循环置换的元素组成，即：
，
，
，.
命题3 S5有30个6阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的6阶子群的元素的阶只可能为1、2、3、6，所以
组成S5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、3－循环置换、
2×2－循环置换的乘积、3×2－循环置换的乘积、6－循环置换或它们的元素组合
形式，即；
（1）经计算由单位元、2－循环置换、3－循环置换与3×2－循环置换的乘积形式
的元素组成S5的10个子集均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
，，
，.
每个子群的构浩方法（本文取a、b、c、d、e为5－循环置换的5个元素）：
（1.l）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（1.2）取与这个3阶元不相交的2阶元（如(de)）.
（1.3）将2阶元与3阶子群相乘即得.
（2）经计算由单位元、3－循环置换与3×2－循环皆换的乘积形式的元素组成S5
的10个子集均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
，，
，.
每个子群的构造方法：
（2.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（2.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如(ab)、(ac)、
(bc)）.
（2.3）取与这个3阶元不相交的2阶元（如(de)）.
（2.4）将(de)与第2步中任一个2阶元（如(ab)）相乘得2×2－循环置换的乘积
(如(ab)(de)).
（2.5）将这个2×2－循环置换乘积形式的元与第1步中3阶子群相乘即得.
（3）经计算由单位元、2－循环置换与3－循环置换的元素组成S5的10个子集
均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
，，
，.
每个子群的构造方法：
（3.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（3.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如(ab)、(ac)、(b
c)）.
（3.3）取第2步中任一个2阶元（如(ab)）.
（3.4）将这个2－循环置换的元与第1步中3阶子群相乘即得.
命题4 S5有15个8阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的8阶子群的元素的阶只可能为1、2、4、8，所以
组成S5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、4－循环置换、
2×2－循环置换的乘积或它们的元素组合形式，即：
经计算由单位元、2－循环置换、4－循环置换与2×2－循环置换的乘积形式的元
素组成S5的15个子集均为S5的8阶子群，即：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
每个子群的构造方法：
（1）每个子群的前三个元素是从文章所给的5组2×2－循环置换的乘积中任取的
一组，再加上单位元.
（2）第五、六个元素为前三个的第一个2×2－循环皆换的拆分.
（3）第七、八个元素分别为第二、三个2×2－循环置换按顺序合并成4－循环置
换.
（4）在所取的2×2－循环置换的3个元素中按轮回排列先后顺序.
【相关文献】
[1]徐明耀.有限群导引[M].北京:科学出版社,1999.
[2]孙自行,崔方达.4次对称群的子群个数及其证明[J].阜阳师范学院学报,2005,(4):13-16.
[3]黄本文.对称群S6的一类子群[J].武汉交通科技大学学报,2000,(2):129-134.
[4]Huang subgroups of symmetric groups S6[J].Applied Mathematics A
Journal of Chinese Universities,2001,(1):31-35.
[5]Huang subgroups of symmetric group S6 [J].Journal of Wuhan
Transportation University,2000,(2):129-134.
[6]班桂宁,吴建平,张中建,张玉.S5的一类子群的一个构造方法[J].吉首大学学报(自然科学
版),2008,(4):1-4.
[7]Machi A,Siconofi A.A new characterization of A5[J]..1977:385-388.
[8]Arad Z,Chillang D,Herjog fication of finite groups by a maximal
subgroup[J].Journal of Algebra,1981,(1):235-244.
[9]Shi terization of A5 and the finite groups in which every element has
prime order[J].Journal of Southwest Teachers University,1984,(1):36-40.
[10]Shi terization proerty of A5 [J].Journal of Southwest Teachers
University,1986,(3):11-14.
[11]Huang characterization of A5 [J].Wuhan University Journal of Natural
Sciences,1997,(4):405-410.
[12]孙自行.5次交错群A5的10阶子群的一个构造方法[J].电子科技大学学报,2006,(3):419-422.
[13]包霞,焦艳. A5的一类12阶子群的构造[J].西北民族大学学报,2007,(3):11-15.
2024年5月29日发(作者：柳晓山)
5次对称群S5的一类子群的一个构造方法
唐耀平;吴建平;周立平
【摘 要】由于有限群的Lagrange定理的逆定理不成立.因此,要确定S5的各阶子
群是较困难的.文章通过n次对称群的基本概念及5-循环置换各次方幂的计算及研
究,找到了S5的一类子群的构成规律,并使用构造性方法给出了3、5、6、8阶子群.
【期刊名称】《湖南科技学院学报》
【年(卷),期】2017(038)010
【总页数】4页(P1-4)
【关键词】5次对称群;子群;Lagrange定理;循环置换
【作 者】唐耀平;吴建平;周立平
【作者单位】湖南科技学院 理学院,湖南 永州 425199;湖南科技学院 理学院,湖南
永州 425199;湖南科技学院 理学院,湖南 永州 425199
【正文语种】中 文
【中图分类】O152
关于子群及个数的研究在计算机通信、代数编码及计数理论研究中都具有重要意义。
n次对称群Sn是一个重要的群，由Caylay定理知，任何有限群G都同构于对称
群Sn的一个子群. 所以，只要能够解决Sn的所有子群及这些子群的结构，则任意
有限群的问题就得到完全解决。但n较大时，要找出Sn的全部子群及决定各子群
的结构仍然困难。文献[2]讨论了S4的所有子群及其结构，文献[3-5]讨论了S6的
所有子群及两类子群的构造方法，文献[6]讨论了S5的2、4、20、24阶的子群，
文献[7-13]给出了S5的子群A5的一些性质及其结构。这些文献表明对n次对称
群Sn及其子群的讨论依然是非常活跃的。本文使用有限群的Lagrange定理及n
次对称群的结果，构造性地给出了S5的3、5、6、8阶子群，文中所引用的符号
见文献[1]。
定理1[1]（Lagrange定理）设G是有限群，，则.其中符号表示有限群G的子群
H在群G中的指数.
推论1 设G是有限群，，，则.其中表示a的阶.
定理2[1] 记k－循环置换，则
（1）的阶是k；
（2）；
（3）若k为奇数，则；
若k为偶数，则.
推论2[12] 设k为奇数，k－循环置换，则，，，…分别为，，，即，若i的下标，
则应取以k为模的余.
定理3[1] Sn的任一元可以表为若干个互不相连的循环置换的乘积，即若，.
首先，以的各次方的求得过程来说明一个更一般的5－循环置换各次方幂的计算方
法。使用定理2及推论，可以得到5－循环置换的各次方幂为：
‖ ‖ ‖ ‖ ‖
例如要求的方法：先写出第1个数是“1”，注意到要求的是3次方，在置换中从
1的下一个数开始连续数4个数，即为5. 写下第2个数“5”，再从4的下一个
数开始连续轮回数3个数，即为4. 写下第3个数“4”，再从2的下一个数开始
连续数3个数，即为3. 写下第4个数“3”，同理，写下第5个数“2”，即得置
换.
因，由定理3，S5的所有120个元分别是[13]：
（1）1－循环置换1个，即单位元；
（2）2－循环置换10个，即：，，，，，，，，，；
（3）3－循环置换20个，即：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（4）4－循环置换30个，即：，，，，，，
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（5）5－循环置换24个，由上述5－循环置换幂的计算，全部24个5－循环置
换按其1，2，3，4次方幂进行分组，共为6组，分别为：
，，， ，，，
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（6）2×2－循环置换的乘积15个，按的结果，可以分成5组，每组中前两个的
乘积等于第3个，即：，，
，， ，，
，， ，，
（7）3×2－循环置换的乘积20个，按3－循环置换与不相交的2－循环置换的乘
积进行，即
，，，
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，，，
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，，，
由定理1，S5的阶数与其子群k的阶数有关系，，因此只能为1，2，3，4，5，
6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120，显然对应着数字1、120的
是S5的两个平凡子群的阶，分别为，，文献[13]已研究了S5的2、4、20、24
阶的子群，本文只讨论3，5，6，8阶的子群.
命题1 S5有10个3阶子群.
证明：由定理1及推论，由于3是素数，因此3阶群必为循环群，且由一个3阶
元生成，又由定理3，3阶元的平方是其逆元，因此S5有10个3阶子群，即：
，，，
，，，
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命题2 S5有6个5阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的5阶子群的元素的阶只可能为1、5，又由于5是
素数，因此5阶群必为循环群，所以组成S5的5阶子群的元素除单位元外，只可
能由5－循环置换的元素组成，即：
，
，
，.
命题3 S5有30个6阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的6阶子群的元素的阶只可能为1、2、3、6，所以
组成S5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、3－循环置换、
2×2－循环置换的乘积、3×2－循环置换的乘积、6－循环置换或它们的元素组合
形式，即；
（1）经计算由单位元、2－循环置换、3－循环置换与3×2－循环置换的乘积形式
的元素组成S5的10个子集均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
，，
，.
每个子群的构浩方法（本文取a、b、c、d、e为5－循环置换的5个元素）：
（1.l）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（1.2）取与这个3阶元不相交的2阶元（如(de)）.
（1.3）将2阶元与3阶子群相乘即得.
（2）经计算由单位元、3－循环置换与3×2－循环皆换的乘积形式的元素组成S5
的10个子集均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
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，.
每个子群的构造方法：
（2.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（2.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如(ab)、(ac)、
(bc)）.
（2.3）取与这个3阶元不相交的2阶元（如(de)）.
（2.4）将(de)与第2步中任一个2阶元（如(ab)）相乘得2×2－循环置换的乘积
(如(ab)(de)).
（2.5）将这个2×2－循环置换乘积形式的元与第1步中3阶子群相乘即得.
（3）经计算由单位元、2－循环置换与3－循环置换的元素组成S5的10个子集
均为S5的6阶子群，即：
，，
，，
，，
，，
，.
每个子群的构造方法：
（3.1）从命题2中任意选定一个3阶子群，取其3阶元（如(abc)）.
（3.2）取这个3阶元3个数字的任意二者组合，组成2阶元（如(ab)、(ac)、(b
c)）.
（3.3）取第2步中任一个2阶元（如(ab)）.
（3.4）将这个2－循环置换的元与第1步中3阶子群相乘即得.
命题4 S5有15个8阶子群.
证明：由定理1及推论，S5的8阶子群的元素的阶只可能为1、2、4、8，所以
组成S5的6阶子群的元素除单位元外，只可能由2－循环置换、4－循环置换、
2×2－循环置换的乘积或它们的元素组合形式，即：
经计算由单位元、2－循环置换、4－循环置换与2×2－循环置换的乘积形式的元
素组成S5的15个子集均为S5的8阶子群，即：
，
，
，
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每个子群的构造方法：
（1）每个子群的前三个元素是从文章所给的5组2×2－循环置换的乘积中任取的
一组，再加上单位元.
（2）第五、六个元素为前三个的第一个2×2－循环皆换的拆分.
（3）第七、八个元素分别为第二、三个2×2－循环置换按顺序合并成4－循环置
换.
（4）在所取的2×2－循环置换的3个元素中按轮回排列先后顺序.
【相关文献】
[1]徐明耀.有限群导引[M].北京:科学出版社,1999.
[2]孙自行,崔方达.4次对称群的子群个数及其证明[J].阜阳师范学院学报,2005,(4):13-16.
[3]黄本文.对称群S6的一类子群[J].武汉交通科技大学学报,2000,(2):129-134.
[4]Huang subgroups of symmetric groups S6[J].Applied Mathematics A
Journal of Chinese Universities,2001,(1):31-35.
[5]Huang subgroups of symmetric group S6 [J].Journal of Wuhan
Transportation University,2000,(2):129-134.
[6]班桂宁,吴建平,张中建,张玉.S5的一类子群的一个构造方法[J].吉首大学学报(自然科学
版),2008,(4):1-4.
[7]Machi A,Siconofi A.A new characterization of A5[J]..1977:385-388.
[8]Arad Z,Chillang D,Herjog fication of finite groups by a maximal
subgroup[J].Journal of Algebra,1981,(1):235-244.
[9]Shi terization of A5 and the finite groups in which every element has
prime order[J].Journal of Southwest Teachers University,1984,(1):36-40.
[10]Shi terization proerty of A5 [J].Journal of Southwest Teachers
University,1986,(3):11-14.
[11]Huang characterization of A5 [J].Wuhan University Journal of Natural
Sciences,1997,(4):405-410.
[12]孙自行.5次交错群A5的10阶子群的一个构造方法[J].电子科技大学学报,2006,(3):419-422.
[13]包霞,焦艳. A5的一类12阶子群的构造[J].西北民族大学学报,2007,(3):11-15.