2024年3月30日发(作者：王羡)

2.6.1 试计算面心立方晶体的（100），（110），（111）等晶面的面间距和面致密度，并指出

面间距最大的面。

答案：在面心立方中，当（hkl）不全为奇数或不全为偶数时，有附加面

因此：d

100

= 1/2×a/(1

2

+0+0)

1/2

= 0.5a

d

110

= 1/2×a/(1

2

+1

2

+0)

1/2

= 0.354a

d

111

= a/(1

2

+1

2

+1

2

)

1/2

= 0.577a

K

100

= [1/4×4 ＋ 1] πr

2

/ a

2

= 0.785

K

110

= [1/4×4 ＋ 1/2×2 ] πr

2

/ 2

1/2

a

2

= 0.555

K

111

= [1/6×3 ＋ 1/2×3 ] πr

2

/ [ 3

1/2

/4×2

1/2

a

2

]= 0.907

2.6.2 试证明理想密排六方结构的轴比c/a=1.633。

答案：h ＝ (3/4)

1/2

a

且：d = [(c/2)

2

+ (2h/3)

2

]

1/2

= (c

2

/4 + a

2

/3)

1/2

由于密排六方中：d = a

故 c/a = (8/3)

1/2

= 1.633

2.6.3 Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r=0.1243 nm，试求Ni的晶格常数和

密度。

答案：a = 4r/2

1/2

= 4×0.1243/1.4142 = 0.3516 nm

－

ρ = 4A

r

/(a

3

×N

A

) = 4×58.69 / [(3.516×10

8

)

3

×6.023×10

23

] = 8.967 g/cm

3

2.6.4 Mo的晶体结构为体心立方结构，其晶格常数a=0.31468nm，试求Mo的原子半径r。

答案：a = 4r/3

1/2

因此，r = 0.1363 nm

2.6.5 Cr的晶格常数a=0.28844nm，密度为ρ=7.19g/cm

3

，试确定此时Cr的晶体结构。

答案：ρ = nA

r

/(a

3

×N

A

)

计算得：n = 1.9977 ≈ 2，故为体心立方

3.5.1 若将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量是否改变？位错的类型性

质是否变化？一个位错环上各点位错类型是否相同？

答案：将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量将反向，位错的类型性质不

会发生变化。一个位错环上各点位错类型可以相同，即伯氏矢量与位错环垂直，都为纯刃位

错；除了这种情况以外，一个位错环上各点位错类型处处不同。

3.5.2 有两根左螺旋位错线，各自的能量都为E

1

，当他们无限靠拢时，总能量为多少？

答案：位错能量为E

1

，则其伯氏矢量为(E

1

/k)

1/2

；当他们无限靠拢时，合成后的位错为

2(E

1

/k)

1/2

，则其能量为k×[2(E

1

/k)

1/2

]

2

= 4 E

1

3.6.1 Nb的晶体结构为bcc，其晶格常数为0.3294nm，密度为8.57g/cm

3

, 试求每10

6

Nb中

所含空位数目。

答案：设空位之粒子数分数为x，

Ρ＝[2(1-x)A

r

]/[a

3

N

A

]

－－

x = [2A

r

－ρa

3

N

A

]/ 2A

r

= 1－[8.57×(3.294×10

9

)

3

×6.023×10

23

]/[2×92.91]= 7176.6×10

6

因此，每10

6

Nb中所含空位数目为：7176.6个

3.6.2 若fcc的Cu中每500个原子会失去一个，其晶格常数为0.3615nm，试求Cu的密度。

1

)63.54

500

答案：



8.915

g/cm

3

8323

(3.61510)6.02310

4(1

3.6.3 在Fe中形成1 mol空位的能量为104.675kJ，试计算从20℃升温至 850℃时空位数目

增加多少倍？

答案：X

2

/X

1

＝ exp(-Q/RT

2

+ Q/RT

1

)＝exp[-104675/(8.31×1123) + 104675/(8.31×293)]

＝ e

31.8

3.6.4 由600℃降至300℃时，Ge晶体中的空位平衡浓度降低了六个数量级，试计算Ge晶

体中的空位形成能。

答案：X

2

/X

1

= exp(-Q/RT

2

+ Q/RT

1

) = 10

6

T

2

= 873 K, T

1

= 573 K, R = 8.31

Q =

3.6.5 有两个被钉扎住的刃型位错A-B和C-D，他们的长度x

相等，且具有相同的b大小和方向（图3-2）。每个位

错都可看作F-R位错源。试分析在其增值过程中两者间

的交互作用。若能形成一个大的位错源，使其开动的



c

多大？若两位错b相反，情况又如何？

答案：两位错在外力作用下将向上弯曲并不断扩大，当它们相遇时，将于相互连接处断开，

放出一个大的位错环。新位错环的长度为5x，则开动该位错环的临界切应力为Gb/5X。

若两个位错伯氏矢量相反，当他们扩大接近时将相互排斥，从而使位错受阻，并使位错环形

状发生变化。随着位错环的不断扩展，斥力越来越大，最后将完全抑制彼此的扩展而相互钉

扎。

4.6.1 一块含0.1%C的碳钢在930℃渗碳，渗到0.05cm的地方碳的浓度达到0.45%。在t>0

的全部时间，渗碳气氛保持表面成分为1%，假设 D = 2.0×10

-5

exp(-140000/RT)

(m

2

/s)，

(a) 计算渗碳时间；

(b) 若将渗层加深一倍，则需多长时间？

(c) 若规定0.3%C作为渗碳层厚度的量度，则在930℃渗碳10小时的渗层厚度为870℃

渗碳10小时的多少倍？

答案：（a）由Fick第二定律得：







s

(



s





0

)erf(

x

2Dt

)

两边同除合金密度，得：

ww

s

(w

s

w

0

)erf(

计算得：t

1.0×10

4

(s)

x

2Dt

)

(b) 由关系式

xADt

，得：

x

1

AD

1

t

1

，

x

2

AD

2

t

2

2

x

2

Dt

两式相比，得：

2



22

D

1

t

1

x

1

2024年3月30日发(作者：王羡)

2.6.1 试计算面心立方晶体的（100），（110），（111）等晶面的面间距和面致密度，并指出

面间距最大的面。

答案：在面心立方中，当（hkl）不全为奇数或不全为偶数时，有附加面

因此：d

100

= 1/2×a/(1

2

+0+0)

1/2

= 0.5a

d

110

= 1/2×a/(1

2

+1

2

+0)

1/2

= 0.354a

d

111

= a/(1

2

+1

2

+1

2

)

1/2

= 0.577a

K

100

= [1/4×4 ＋ 1] πr

2

/ a

2

= 0.785

K

110

= [1/4×4 ＋ 1/2×2 ] πr

2

/ 2

1/2

a

2

= 0.555

K

111

= [1/6×3 ＋ 1/2×3 ] πr

2

/ [ 3

1/2

/4×2

1/2

a

2

]= 0.907

2.6.2 试证明理想密排六方结构的轴比c/a=1.633。

答案：h ＝ (3/4)

1/2

a

且：d = [(c/2)

2

+ (2h/3)

2

]

1/2

= (c

2

/4 + a

2

/3)

1/2

由于密排六方中：d = a

故 c/a = (8/3)

1/2

= 1.633

2.6.3 Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为r=0.1243 nm，试求Ni的晶格常数和

密度。

答案：a = 4r/2

1/2

= 4×0.1243/1.4142 = 0.3516 nm

－

ρ = 4A

r

/(a

3

×N

A

) = 4×58.69 / [(3.516×10

8

)

3

×6.023×10

23

] = 8.967 g/cm

3

2.6.4 Mo的晶体结构为体心立方结构，其晶格常数a=0.31468nm，试求Mo的原子半径r。

答案：a = 4r/3

1/2

因此，r = 0.1363 nm

2.6.5 Cr的晶格常数a=0.28844nm，密度为ρ=7.19g/cm

3

，试确定此时Cr的晶体结构。

答案：ρ = nA

r

/(a

3

×N

A

)

计算得：n = 1.9977 ≈ 2，故为体心立方

3.5.1 若将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量是否改变？位错的类型性

质是否变化？一个位错环上各点位错类型是否相同？

答案：将一位错线的正向定义为原来的反向，此位错的柏氏矢量将反向，位错的类型性质不

会发生变化。一个位错环上各点位错类型可以相同，即伯氏矢量与位错环垂直，都为纯刃位

错；除了这种情况以外，一个位错环上各点位错类型处处不同。

3.5.2 有两根左螺旋位错线，各自的能量都为E

1

，当他们无限靠拢时，总能量为多少？

答案：位错能量为E

1

，则其伯氏矢量为(E

1

/k)

1/2

；当他们无限靠拢时，合成后的位错为

2(E

1

/k)

1/2

，则其能量为k×[2(E

1

/k)

1/2

]

2

= 4 E

1

3.6.1 Nb的晶体结构为bcc，其晶格常数为0.3294nm，密度为8.57g/cm

3

, 试求每10

6

Nb中

所含空位数目。

答案：设空位之粒子数分数为x，

Ρ＝[2(1-x)A

r

]/[a

3

N

A

]

－－

x = [2A

r

－ρa

3

N

A

]/ 2A

r

= 1－[8.57×(3.294×10

9

)

3

×6.023×10

23

]/[2×92.91]= 7176.6×10

6

因此，每10

6

Nb中所含空位数目为：7176.6个

3.6.2 若fcc的Cu中每500个原子会失去一个，其晶格常数为0.3615nm，试求Cu的密度。

1

)63.54

500

答案：



8.915

g/cm

3

8323

(3.61510)6.02310

4(1

3.6.3 在Fe中形成1 mol空位的能量为104.675kJ，试计算从20℃升温至 850℃时空位数目

增加多少倍？

答案：X

2

/X

1

＝ exp(-Q/RT

2

+ Q/RT

1

)＝exp[-104675/(8.31×1123) + 104675/(8.31×293)]

＝ e

31.8

3.6.4 由600℃降至300℃时，Ge晶体中的空位平衡浓度降低了六个数量级，试计算Ge晶

体中的空位形成能。

答案：X

2

/X

1

= exp(-Q/RT

2

+ Q/RT

1

) = 10

6

T

2

= 873 K, T

1

= 573 K, R = 8.31

Q =

3.6.5 有两个被钉扎住的刃型位错A-B和C-D，他们的长度x

相等，且具有相同的b大小和方向（图3-2）。每个位

错都可看作F-R位错源。试分析在其增值过程中两者间

的交互作用。若能形成一个大的位错源，使其开动的



c

多大？若两位错b相反，情况又如何？

答案：两位错在外力作用下将向上弯曲并不断扩大，当它们相遇时，将于相互连接处断开，

放出一个大的位错环。新位错环的长度为5x，则开动该位错环的临界切应力为Gb/5X。

若两个位错伯氏矢量相反，当他们扩大接近时将相互排斥，从而使位错受阻，并使位错环形

状发生变化。随着位错环的不断扩展，斥力越来越大，最后将完全抑制彼此的扩展而相互钉

扎。

4.6.1 一块含0.1%C的碳钢在930℃渗碳，渗到0.05cm的地方碳的浓度达到0.45%。在t>0

的全部时间，渗碳气氛保持表面成分为1%，假设 D = 2.0×10

-5

exp(-140000/RT)

(m

2

/s)，

(a) 计算渗碳时间；

(b) 若将渗层加深一倍，则需多长时间？

(c) 若规定0.3%C作为渗碳层厚度的量度，则在930℃渗碳10小时的渗层厚度为870℃

渗碳10小时的多少倍？

答案：（a）由Fick第二定律得：







s

(



s





0

)erf(

x

2Dt

)

两边同除合金密度，得：

ww

s

(w

s

w

0

)erf(

计算得：t

1.0×10

4

(s)

x

2Dt

)

(b) 由关系式

xADt

，得：

x

1

AD

1

t

1

，

x

2

AD

2

t

2

2

x

2

Dt

两式相比，得：

2



22

D

1

t

1

x

1