2024年3月31日发(作者：蒉锐立)

2019年河南省普通高等学校

选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试

高等数学试卷

一、单项选择题(每小题2分，共60分)

在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑

.

如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

.

1．函数

f

(

x

)



ln(1

x

2

x

)

在定义域内是(

A

．不确定奇偶性

C

．非奇非偶函数

【答案】D

【解析】因为函数

f



x



定义域为

R

，且

1



x



x

22

f





x





ln





ln





1



x



x







ln



1

xx







f



x



，所以

f



x



为奇函数．

2



1



x



x

22

)

B

．偶函数

D

．奇函数

2

．函数

f(x)

的定义域为

[1,e]

，则

f

(

e

x

)

的定义域是

(

A

．



0,1



【答案】

B

B

．



0,1



)

D

．



0,1



C

．



0,1



【解析】由题可知

fe

x

中有

1

e

x



e

，解得

0x1

，所以

fe

x

的定义域为



0,1



．



3．曲线

y

1

3

1

2

xx

6

x

1

在

(0,1)

处的切线与

x

轴的交点坐标为(

32

)

D．



1,0



1

A．

(,0)

6

B．



0,1



1

C．

(,0)

6

【答案】A

【解析】切线斜率

k



y



x

0



x

2



x

6



x

0

6

，则切线方程为

y16



x0



,

即

y6x1

，令

y0

得

x

1

1

，故切线与

x

轴的交点坐标为

(

,0)

．

6

6

1

4．当

x0

时，

3

1

ax

2



1

与



A．



【答案】A

1

2

x

等价，则

a

(

2

)

3

2

B．



2

3

2

C．



1

2

D．

2

3

【解析】因为当

x0

时，

1ax1~

3

2

3

1

2

ax

，则

3

1

2

ax

3

21



ax



1

3

lim



lim



a



1

，所以

a

．

11

x



0

x



0

3

2



x

2



x

2

22

3



2

n



4

n

2



(5

．极限

lim

2

n



3

n



5

n



4

)

B

．

A

．

1

【答案】

D

3

4

C

．



2

5

D

．



4

3

32



4

2

3



2

n



4

n

4

n

n



lim



．【解析】

lim

2

54

n



3

n



5

n



4

n



3

3



2

n

n

2

6．极限

lim

A．

sin4

x



(

x



0

5

x

)

B．

5

4

1

5

C．

4

5

D．

1

【答案】C

【解析】

lim

sin4

x

4

x

4



lim



．

x



0

x



0

5

x

5

x

5

2

7

．当

x0

时，

e

2

x



1

是

x

2

的

(

A．高阶

C．等价

【答案】

D

【解析】当

x0

时，

e

2

x

2

2

)

无穷小

B．低阶

D．同阶非等

e

2

x



12

x

2

2

，则

lim



lim

2

21

，故当

x0

时，



1~2

x

2

x



0

x



0

xx

2

2

e

2

x



1

是

x

的同阶非等价无穷小．

2



a



ln

x

,

x



1



()

fx

8．已知函数

在

x1

处连续，则

a

(





21,1

axx



)

D

．

3

A

．

1

【答案】A

B

．

1

C

．

0

【解析】因为函数

f



x



在

x1

处连续，且

lim

f



x



lim





a

ln

x





a



f



1



,lim



f



x



lim





2

ax

1



2

a

1

，

x



1

x



1

x



1

x



1



所以

2a1a

，故

a1

．



1



x

,

x



1





9．设

f

(

x

)





，则

x1

是其(

cos,



1

xx



2



)

B

．可去间断点

D

．第二类间断点

A

．连续点

C

．跳跃间断点

【答案】A

【解析】因为函数

f



x



在

x1

处有定义，且



x

0

，所以

x1

是函数的连续点．

x



1

x



1

x



1

x



1

2

f

(

a



x

)



f

(

a



x

)



()10

．函数

f(x)

在

xa

处可导，则

lim

x



0

x

lim



f



x





lim





1



x





0



f



1





lim



f



x





lim



cos

A

．

2f





a



【答案】

A

【解析】

B

．

0

C

．

f





a



D

．

1

f





a



2

f



a



x





f



a



x



f



a



x





f

(

a

)



f



a



x





f

(

a

)



lim

x



0

x



0

xx

f



a



x





f



a



f



a



x





f



a





lim



lim

x



0

x



0

x



x



f





a





f





a





2

f





a



.

lim

11

．已知

f

(

x

)



A

．

1

【答案】

A

x

，则

f



1

(1)



(

1



2

x

)

C

．



B

．

1

1

3

D

．

1

3

3

【解析】由

f



x





应选A．

1

xx



1



1

1

，故

，可得到其反函数

f

(

x

)



，故

f



1





1



212

x

1



2

x

12

．已知

yxe

x

，则

dy

(

A

．

xe

x

dx

x

C

．



1

x



edx

)

B

．

e

x

dx

x

D

．

exdx



【答案】

C

【解析】

y



e

x

xe

x





1x



e

x

，故

dy





1

x



e

x

dx

．

x

2

13．

y



的垂直渐近线为(

1



x

)

C

．

y1

D

．

y1

A

．

x1

【答案】B

B

．

x1

【解析】由题意可知，令

1x0

，可得

x1

为其无定义点，故由定义可知

x

2

lim



，所以垂直渐近线是

x1

，故选B．

x



1

1



x

14．方程

3x2sinx0(x)

的实根个数为(

A．0

【答案】

B

B．1C．2

)

D．无数个

则

f





x



32cosx

，由于

1cosx1,

132cosx5

，【解析】设

f



x



3x2sinx

，

故

f





x



0

，

f



x



在



,



内单调递增，又因为

f



0



0

，所以函数

f



x



只有一个

零点，即方程

3x2sinx0

只有一个实根．

15

．

y

1

3

1

2

xx

2

x

1

的拐点为

(

32

)

C．

(0,0)

D．

(0,1)

A．

x0

【答案】

D

B．

(1,1)

【解析】函数

y2x

3

x1

的定义域为

R

，

y



6x

2

1,y



12x

，令

y



0

得

x0

，且

x0

时，

y



0

；

x0

时

y



0

，所以函数的拐点为



0,1



．

4

16．可导函数

f



x



和

g



x



满足

g



(x)f



(x)

，则下列选项正确的是(

A．

g(x)f(x)

C．

g(x)f(x)C

)

B．

(



g(x)dx)



(



f(x)dx)



D．



g(x)dx



f(x)dx

【答案】C

【解析】由

g





x



f





x



两边同取积分得

g



x



f



x



C

，

再积分得



g



x



dx





f



x



C



dx



f



x



dx



Cdx



f



x



dxCx

，

两边求导得





g



x



dx











f



x



dxCx









f



x



dx





C

，故选

C

．

17

．计算不定积分



1

1



2x

dx



()

A

．

1

2

ln1



2

xC

B

．

1

2

ln(1



2

x

)

C

C

．



1

2

ln1



2

xC

D

．



1

2

ln(1



2

x

)

C

【答案】

C

【解析】



1

1



2

x

dx



111

2



1



2

x

d



1



2

x





2

ln1



2

xC

．

18．

d

b

dx



a

cos

tdt



()

A

．

cosbcosa

B

．

0

C

．

sinbsina

D

．

sinasinb

【答案】B

【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是

0

，故选

B

．

19．当

k

为何值时，



0



kx



edx

收敛()

A

．

k0

B

．

k0

C

．

k0

【答案】C

5

D

．

k0

【解析】因为



0



e



kx

0



1

dx





发散



,

k



0,









1

dx





1







收敛



,

k



0,



kx

0





e







k



k









发散



,

k



0,





所以当

k0

时，



0



e



kx

dx

发散；当

k0

时



0



e



kx

dx

收敛，故选C．

151

20．若

f(x)

在

(1,5)

上可积，





1

f(x)dx



1

，





1

f(x)dx



2

，则



5

3f(x)dx



()

A

．

2

【答案】C

B

．

2

C

．

3

D

．

3

【解析】由定积分的性质，可知



5



1

f



x



dx





1



1

f



x



dx





5

1

f



x



dx

，故



f

(

x

)

dx

1

，即

1

5



1

5

3

f

(

x

)

dx



3

f

(

x

)

dx



3



1



3

．



5

1

21

．平面

x2y7z10

和平面

5xyz50

的位置关系为

(

A

．重合

C

．平行

【答案】B

B

．垂直

D

．相交但不垂直

)



【解析】平面

x2y7z10

的法向量

n

1





1,2,7



，

5xyz50

的法向量



n

2





5,1,1



，因为

n

1

n

2

0

，所以两平面垂直．









22

．若

a(6,x,4),b(y,2,2)

，已知

a

//

b

，则

x,y

的值分别是

()

D

．

4,3

A

．

4,3

【答案】

D

【解析】因为

a//b

，所以



B

．

3,4

C

．

3,4

6

x



4



2

，故

x4,y3

．

y



2



2



2

z



(23．已知

zxln(xy)

，则



x



y

)

A．

x



x



y



2

6

B．

y



x



y



2

2

x



y

C．



x



y



2

【答案】B

x



2

y

D．



x



y



2



zx



2

z

1

xy



ln



x



y





,



【解析】．



xx



y



x



yx



y



x



y



2



x



y



2

24

．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的

(

A

．必要

【答案】A

B

．充分

)

条件

C

．充要

D

．无关

【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可

导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．

2

n

n

x

的收敛区间为

(

25

．级数

n



2

n



1





)



11



A

．





,





44



【答案】

B



11



B

．





,





22



C

．



1,1



D

．



2,2





a

n



1

2

n

n

2

n



1





n



2



2



n



2



x

的



lim



lim



2

，所以级数【解析】因为





lim

n



a

n





n



3





2

n

n



n



3

n



2

n

n



1



收敛半径

R



1





1



11



，故收敛区间为





,



．

2



22



26．已知

L

为

xy0

上从点

(2,2)

到点

(2,2)

上的一段弧，则

A

．

2sin2

【答案】A

【解析】

L:yx,x:22

，则

原式







cosydx



(

L

)

B

．

2sin2

C

．

2cos2

D

．

cos2



cos

ydx





cos





x



dx

sin

x

L

2



2



2

2

2sin2

．

27．已知



(

u

2

n



1



u

2

n

)

收敛，则(

n



1



)

lim

u

n

0

B．

n



7

A．



u

n

收敛

n0

2024年3月31日发(作者：蒉锐立)

2019年河南省普通高等学校

选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试

高等数学试卷

一、单项选择题(每小题2分，共60分)

在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑

.

如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

.

1．函数

f

(

x

)



ln(1

x

2

x

)

在定义域内是(

A

．不确定奇偶性

C

．非奇非偶函数

【答案】D

【解析】因为函数

f



x



定义域为

R

，且

1



x



x

22

f





x





ln





ln





1



x



x







ln



1

xx







f



x



，所以

f



x



为奇函数．

2



1



x



x

22

)

B

．偶函数

D

．奇函数

2

．函数

f(x)

的定义域为

[1,e]

，则

f

(

e

x

)

的定义域是

(

A

．



0,1



【答案】

B

B

．



0,1



)

D

．



0,1



C

．



0,1



【解析】由题可知

fe

x

中有

1

e

x



e

，解得

0x1

，所以

fe

x

的定义域为



0,1



．



3．曲线

y

1

3

1

2

xx

6

x

1

在

(0,1)

处的切线与

x

轴的交点坐标为(

32

)

D．



1,0



1

A．

(,0)

6

B．



0,1



1

C．

(,0)

6

【答案】A

【解析】切线斜率

k



y



x

0



x

2



x

6



x

0

6

，则切线方程为

y16



x0



,

即

y6x1

，令

y0

得

x

1

1

，故切线与

x

轴的交点坐标为

(

,0)

．

6

6

1

4．当

x0

时，

3

1

ax

2



1

与



A．



【答案】A

1

2

x

等价，则

a

(

2

)

3

2

B．



2

3

2

C．



1

2

D．

2

3

【解析】因为当

x0

时，

1ax1~

3

2

3

1

2

ax

，则

3

1

2

ax

3

21



ax



1

3

lim



lim



a



1

，所以

a

．

11

x



0

x



0

3

2



x

2



x

2

22

3



2

n



4

n

2



(5

．极限

lim

2

n



3

n



5

n



4

)

B

．

A

．

1

【答案】

D

3

4

C

．



2

5

D

．



4

3

32



4

2

3



2

n



4

n

4

n

n



lim



．【解析】

lim

2

54

n



3

n



5

n



4

n



3

3



2

n

n

2

6．极限

lim

A．

sin4

x



(

x



0

5

x

)

B．

5

4

1

5

C．

4

5

D．

1

【答案】C

【解析】

lim

sin4

x

4

x

4



lim



．

x



0

x



0

5

x

5

x

5

2

7

．当

x0

时，

e

2

x



1

是

x

2

的

(

A．高阶

C．等价

【答案】

D

【解析】当

x0

时，

e

2

x

2

2

)

无穷小

B．低阶

D．同阶非等

e

2

x



12

x

2

2

，则

lim



lim

2

21

，故当

x0

时，



1~2

x

2

x



0

x



0

xx

2

2

e

2

x



1

是

x

的同阶非等价无穷小．

2



a



ln

x

,

x



1



()

fx

8．已知函数

在

x1

处连续，则

a

(





21,1

axx



)

D

．

3

A

．

1

【答案】A

B

．

1

C

．

0

【解析】因为函数

f



x



在

x1

处连续，且

lim

f



x



lim





a

ln

x





a



f



1



,lim



f



x



lim





2

ax

1



2

a

1

，

x



1

x



1

x



1

x



1



所以

2a1a

，故

a1

．



1



x

,

x



1





9．设

f

(

x

)





，则

x1

是其(

cos,



1

xx



2



)

B

．可去间断点

D

．第二类间断点

A

．连续点

C

．跳跃间断点

【答案】A

【解析】因为函数

f



x



在

x1

处有定义，且



x

0

，所以

x1

是函数的连续点．

x



1

x



1

x



1

x



1

2

f

(

a



x

)



f

(

a



x

)



()10

．函数

f(x)

在

xa

处可导，则

lim

x



0

x

lim



f



x





lim





1



x





0



f



1





lim



f



x





lim



cos

A

．

2f





a



【答案】

A

【解析】

B

．

0

C

．

f





a



D

．

1

f





a



2

f



a



x





f



a



x



f



a



x





f

(

a

)



f



a



x





f

(

a

)



lim

x



0

x



0

xx

f



a



x





f



a



f



a



x





f



a





lim



lim

x



0

x



0

x



x



f





a





f





a





2

f





a



.

lim

11

．已知

f

(

x

)



A

．

1

【答案】

A

x

，则

f



1

(1)



(

1



2

x

)

C

．



B

．

1

1

3

D

．

1

3

3

【解析】由

f



x





应选A．

1

xx



1



1

1

，故

，可得到其反函数

f

(

x

)



，故

f



1





1



212

x

1



2

x

12

．已知

yxe

x

，则

dy

(

A

．

xe

x

dx

x

C

．



1

x



edx

)

B

．

e

x

dx

x

D

．

exdx



【答案】

C

【解析】

y



e

x

xe

x





1x



e

x

，故

dy





1

x



e

x

dx

．

x

2

13．

y



的垂直渐近线为(

1



x

)

C

．

y1

D

．

y1

A

．

x1

【答案】B

B

．

x1

【解析】由题意可知，令

1x0

，可得

x1

为其无定义点，故由定义可知

x

2

lim



，所以垂直渐近线是

x1

，故选B．

x



1

1



x

14．方程

3x2sinx0(x)

的实根个数为(

A．0

【答案】

B

B．1C．2

)

D．无数个

则

f





x



32cosx

，由于

1cosx1,

132cosx5

，【解析】设

f



x



3x2sinx

，

故

f





x



0

，

f



x



在



,



内单调递增，又因为

f



0



0

，所以函数

f



x



只有一个

零点，即方程

3x2sinx0

只有一个实根．

15

．

y

1

3

1

2

xx

2

x

1

的拐点为

(

32

)

C．

(0,0)

D．

(0,1)

A．

x0

【答案】

D

B．

(1,1)

【解析】函数

y2x

3

x1

的定义域为

R

，

y



6x

2

1,y



12x

，令

y



0

得

x0

，且

x0

时，

y



0

；

x0

时

y



0

，所以函数的拐点为



0,1



．

4

16．可导函数

f



x



和

g



x



满足

g



(x)f



(x)

，则下列选项正确的是(

A．

g(x)f(x)

C．

g(x)f(x)C

)

B．

(



g(x)dx)



(



f(x)dx)



D．



g(x)dx



f(x)dx

【答案】C

【解析】由

g





x



f





x



两边同取积分得

g



x



f



x



C

，

再积分得



g



x



dx





f



x



C



dx



f



x



dx



Cdx



f



x



dxCx

，

两边求导得





g



x



dx











f



x



dxCx









f



x



dx





C

，故选

C

．

17

．计算不定积分



1

1



2x

dx



()

A

．

1

2

ln1



2

xC

B

．

1

2

ln(1



2

x

)

C

C

．



1

2

ln1



2

xC

D

．



1

2

ln(1



2

x

)

C

【答案】

C

【解析】



1

1



2

x

dx



111

2



1



2

x

d



1



2

x





2

ln1



2

xC

．

18．

d

b

dx



a

cos

tdt



()

A

．

cosbcosa

B

．

0

C

．

sinbsina

D

．

sinasinb

【答案】B

【解析】定积分的结果是一个确定的常数，常数求导是

0

，故选

B

．

19．当

k

为何值时，



0



kx



edx

收敛()

A

．

k0

B

．

k0

C

．

k0

【答案】C

5

D

．

k0

【解析】因为



0



e



kx

0



1

dx





发散



,

k



0,









1

dx





1







收敛



,

k



0,



kx

0





e







k



k









发散



,

k



0,





所以当

k0

时，



0



e



kx

dx

发散；当

k0

时



0



e



kx

dx

收敛，故选C．

151

20．若

f(x)

在

(1,5)

上可积，





1

f(x)dx



1

，





1

f(x)dx



2

，则



5

3f(x)dx



()

A

．

2

【答案】C

B

．

2

C

．

3

D

．

3

【解析】由定积分的性质，可知



5



1

f



x



dx





1



1

f



x



dx





5

1

f



x



dx

，故



f

(

x

)

dx

1

，即

1

5



1

5

3

f

(

x

)

dx



3

f

(

x

)

dx



3



1



3

．



5

1

21

．平面

x2y7z10

和平面

5xyz50

的位置关系为

(

A

．重合

C

．平行

【答案】B

B

．垂直

D

．相交但不垂直

)



【解析】平面

x2y7z10

的法向量

n

1





1,2,7



，

5xyz50

的法向量



n

2





5,1,1



，因为

n

1

n

2

0

，所以两平面垂直．









22

．若

a(6,x,4),b(y,2,2)

，已知

a

//

b

，则

x,y

的值分别是

()

D

．

4,3

A

．

4,3

【答案】

D

【解析】因为

a//b

，所以



B

．

3,4

C

．

3,4

6

x



4



2

，故

x4,y3

．

y



2



2



2

z



(23．已知

zxln(xy)

，则



x



y

)

A．

x



x



y



2

6

B．

y



x



y



2

2

x



y

C．



x



y



2

【答案】B

x



2

y

D．



x



y



2



zx



2

z

1

xy



ln



x



y





,



【解析】．



xx



y



x



yx



y



x



y



2



x



y



2

24

．一元函数在某点处极限存在是在该点可导的

(

A

．必要

【答案】A

B

．充分

)

条件

C

．充要

D

．无关

【解析】一元函数在某点处极限存在但在该点不一定可导；反之一元函数在某点处可

导则在该点一定连续，进而在该点极限一定存在．

2

n

n

x

的收敛区间为

(

25

．级数

n



2

n



1





)



11



A

．





,





44



【答案】

B



11



B

．





,





22



C

．



1,1



D

．



2,2





a

n



1

2

n

n

2

n



1





n



2



2



n



2



x

的



lim



lim



2

，所以级数【解析】因为





lim

n



a

n





n



3





2

n

n



n



3

n



2

n

n



1



收敛半径

R



1





1



11



，故收敛区间为





,



．

2



22



26．已知

L

为

xy0

上从点

(2,2)

到点

(2,2)

上的一段弧，则

A

．

2sin2

【答案】A

【解析】

L:yx,x:22

，则

原式







cosydx



(

L

)

B

．

2sin2

C

．

2cos2

D

．

cos2



cos

ydx





cos





x



dx

sin

x

L

2



2



2

2

2sin2

．

27．已知



(

u

2

n



1



u

2

n

)

收敛，则(

n



1



)

lim

u

n

0

B．

n



7

A．



u

n

收敛

n0