2024年4月1日发(作者：嵇涵润)
崔永晨
在求最值的时候，我们经常会遇到一类求
“两条线段长之和”的最值问题。这类问题中
动点，则Ａｃ＋１ＢＣ＠￣小值为
有时还会出现一条线段乘一个“分数”的情
况。如何化解这个分数，成为很多同学比较头
疼的问题。下面我们来看看，如何运用相似对
这一类最值问题进行转化。
一
：Ｉ· Ｂ
ｃ
¨ Ｉ
｜
．
、
构造相似化解
例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ是边长为４的
，Ｃ ；， ｜
／ ～
／
、
～
ｐ
Ｄ 一 】
Ｄ 】
正方形，ｏ曰的半径为２，点Ｐ是ｏＢ上一动点，
则ＰＤ＋ Ｐｃ的最小值为
Ｄ Ｄ
图３ 图４
【分析】如何化解 １ ＢＣ？结合题目中的已
知条件Ａ（一１，０），Ｂ（Ｏ，２ ），仔细分析，坐标
可以转化为线段，即：ＯＡ＝Ｉ，ＯＢ＝２ 。怎样才
会出现 和 １ ＢＣ？如图４，结合图形不难发
Ｃ Ｃ
现，只要连接ＡＢ即可求得ＡＢ＝３，从而得到
图ｌ 图２
ＯＡ＝ １
，
那么，谁与 ｃ之比也是 ？只需构造
【分析】如何处理 Ｐｃ是解决本题的关
键。结合已知条件：ｏ 的半径为２，正方形的
出一个含ＢＣ边的三角形与ＡＡＯＢ相似，且使
得Ａｃ和 １ ＢＣ在ｙ轴的异侧。如图４，在 轴上
取点Ａ关于点０的对称点Ａ ，连接Ａ ，过点Ｃ
作ＣＤＬＡ Ｂ，垂足为点Ｄ，由△曰ｃＤ △ＢＡ ０。
可以求得ＣＤ＝ １日Ｃ，从而实现对线段的转化，
所以求ＡＣ＋ １ ｃ的最小值，即转化为求ＡＣ＋ＣＤ
边长为４，它们的比值为 ，可考虑构造两个相
似三角形，使其相似比为１：２，并将Ｐｃ构造在
其中，从而找出ＪｐＣ的一半。如图２，连接ＢＰ，在
ＢＣ上取一点 ，使ＢＥ＝ｌ，则ＡＢＥＰ＇－＇ＡＢＰＣ，此
时ＥＰ＝ １ Ｊｐｃ，所以ＰＤ＋ １ ＰＣ＝ＰＤ＋ＥＰ。当点
的最小值，最终将问题转化为点Ａ到直线Ａ Ｂ
Ｄ、Ｐ、Ｅ共线时，ＰＤ＋ＥＰ取得最小值，且最小值
的距离ＡＤ 。运用“面积法”（５ ＝ １ Ａ Ａ·ＯＢ＝
为ＥＤ的长，在Ｒｔ△ＣＤＥ中求得其值为５。
二、构造相似化解
。
去Ａ Ｂ·ＡＤ ）或相似（△Ｍ Ｄ ￣＇ＡＢＡ ０）可求得
ＡＤ，＇ 。即ＡＤ＋ Ｂｃ的最，Ｊ＼ｆ直为 。
例２ 如图３，在平面直角坐标系ｘＯｙ
中，Ａ（一ｌ，０），Ｂ（０，２√２），Ｃ是线段ＯＢ上的
：’：‘：’． ．１ 。
－···
● ● ， ＿ ● －
－ ● ● ＿ ● ● － － － － ｆ
．
● ●
１ Ｊ ＿
．
＝ ●
… ●
６８－Ｉ·策略方法， －·
： ： ： ：．：．． ： ： ：．：
三、构造相似化解 １
Ｑ＋孚 的最，Ｊ、值为
，
例３如图５，在ＲｔＡＡＢＣ中，ＺＡＣＢ＝９０。，
ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，点ＪＤ是Ａ 上一点，且 Ａ Ｐ＝ １
点
≥
‘， 、 ，
Ｐ
二 足
Ｆ在以点Ｐ为圆心，ＡＰ为半径的ｏＰ上，则ＣＦ＋
曰Ｆ的最小值为
ｌ奎｛７
辫
辫
是解题的关键。因
，ＭＯ＝２，
【分析】如何化解
‘
为 ，ｆ
二
＝
，
所以想方设法构造３条线段，使
√２
５
得其中３条线段已知，第四条预留为半 。
结合题目条件中的ｏＯ的半径为
一
【分析】同样的思路，化解｛ＢＦ是解决问
题的关键。由已知条件 ＡＰ： １
可以联想到
，
只需再构造一条长度为ｌ的线段，即可构造
对相似三角形。如图８，在ＯＭ上取一点
Ｇ，使得ＯＧ＝Ｉ，连接ＱＧ，ＱＯ，ＰＧ，则ＡＯＱＧ一
构造相似比为１：４的三角形进行转化。如图６，
考虑到 Ｐ＝ＦＰ，可将条件转化为 ＦＰ＝ １
结
，
Ａ ＯＭＱ，根据相似比得：ＧＱ＝半Ｑ ，所以
ＰＱ＋ ＱＭ＝ＰＱ＋ＱＧ，其最小值即为ＰＧ，在
合ｏＰ的半径ＦＰ，可在ＰＢ上取一点Ｅ，使ＰＥ＝
１ ＰＦ
，
连接ＥＦ、ＰＦ，从而构造出ＡＰＥＦＶ＂ＡＰＦＢ，
通过相似比找出Ｅ １ ＢＦ，进而将问题转化
为求ＣＦ＋ＥＦ的最小值，即求ｃＥ的值。连接
ＲｔＡＰＯＧ中可求得：ＰＧ＝√ 。
ＣＥ，过点Ｅ作ＥＧ￣ＡＣ，在已知ＡＥ＝ ５的基础
Ｐ
上，由ＡＡＥＧ￣＇，ＡＡＢＣ可求得ＥＧ＝要，ＡＧ＝２，昕
以ＧＣ＝６，在ＲｔＡＥＣＧ中，由勾股定理求得ＥＣ＝
，
图８
故ｃｎ 口Ｆ的最小值为 。
通过以上几道题目的分析可以发现，在
探究形如“ＡＢ＋ｍＣＤ”最小值的过程中，首先
要针对ｍ进行仔细分析，在题目中找出两条
线段的比表示为ｍ，通过相似，将ｍＣＤ进行转
化后，再去考虑化曲为直的问题，最终将问题
转化为“点到直线距离最短”或“两点之间线
段最短”来解决。所以，相似在解决此类问题
中成为关键步骤，结合圆的半径不变、对称变
图６
换或三角形三边关系，在相似这条思路的指
四、构造相似化解 ２
弓１下，将最值问题步步转化，最终化归到我们
，ＰＯ＝
熟悉的问题上来。
（作者单位：江苏省东台中学）
，
。。 ‘
，
‘。
例４ 如图７，ｏ ０的半径为
√而，ＭＯ＝２，ＬＰＯＭ＝９０。，Ｑ为ｏ０上一动点，
：一，、 ‘
、
、一 ，
‘ ‘／、。－ 、ｌ ’，、’
’
≯ 尊 ０ ≥≥
， Ｉ。＾
、
，。 ’
、
2024年4月1日发(作者：嵇涵润)
崔永晨
在求最值的时候，我们经常会遇到一类求
“两条线段长之和”的最值问题。这类问题中
动点，则Ａｃ＋１ＢＣ＠￣小值为
有时还会出现一条线段乘一个“分数”的情
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疼的问题。下面我们来看看，如何运用相似对
这一类最值问题进行转化。
一
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例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ是边长为４的
，Ｃ ；， ｜
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正方形，ｏ曰的半径为２，点Ｐ是ｏＢ上一动点，
则ＰＤ＋ Ｐｃ的最小值为
Ｄ Ｄ
图３ 图４
【分析】如何化解 １ ＢＣ？结合题目中的已
知条件Ａ（一１，０），Ｂ（Ｏ，２ ），仔细分析，坐标
可以转化为线段，即：ＯＡ＝Ｉ，ＯＢ＝２ 。怎样才
会出现 和 １ ＢＣ？如图４，结合图形不难发
Ｃ Ｃ
现，只要连接ＡＢ即可求得ＡＢ＝３，从而得到
图ｌ 图２
ＯＡ＝ １
，
那么，谁与 ｃ之比也是 ？只需构造
【分析】如何处理 Ｐｃ是解决本题的关
键。结合已知条件：ｏ 的半径为２，正方形的
出一个含ＢＣ边的三角形与ＡＡＯＢ相似，且使
得Ａｃ和 １ ＢＣ在ｙ轴的异侧。如图４，在 轴上
取点Ａ关于点０的对称点Ａ ，连接Ａ ，过点Ｃ
作ＣＤＬＡ Ｂ，垂足为点Ｄ，由△曰ｃＤ △ＢＡ ０。
可以求得ＣＤ＝ １日Ｃ，从而实现对线段的转化，
所以求ＡＣ＋ １ ｃ的最小值，即转化为求ＡＣ＋ＣＤ
边长为４，它们的比值为 ，可考虑构造两个相
似三角形，使其相似比为１：２，并将Ｐｃ构造在
其中，从而找出ＪｐＣ的一半。如图２，连接ＢＰ，在
ＢＣ上取一点 ，使ＢＥ＝ｌ，则ＡＢＥＰ＇－＇ＡＢＰＣ，此
时ＥＰ＝ １ Ｊｐｃ，所以ＰＤ＋ １ ＰＣ＝ＰＤ＋ＥＰ。当点
的最小值，最终将问题转化为点Ａ到直线Ａ Ｂ
Ｄ、Ｐ、Ｅ共线时，ＰＤ＋ＥＰ取得最小值，且最小值
的距离ＡＤ 。运用“面积法”（５ ＝ １ Ａ Ａ·ＯＢ＝
为ＥＤ的长，在Ｒｔ△ＣＤＥ中求得其值为５。
二、构造相似化解
。
去Ａ Ｂ·ＡＤ ）或相似（△Ｍ Ｄ ￣＇ＡＢＡ ０）可求得
ＡＤ，＇ 。即ＡＤ＋ Ｂｃ的最，Ｊ＼ｆ直为 。
例２ 如图３，在平面直角坐标系ｘＯｙ
中，Ａ（一ｌ，０），Ｂ（０，２√２），Ｃ是线段ＯＢ上的
：’：‘：’． ．１ 。
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● ● ， ＿ ● －
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．
● ●
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三、构造相似化解 １
Ｑ＋孚 的最，Ｊ、值为
，
例３如图５，在ＲｔＡＡＢＣ中，ＺＡＣＢ＝９０。，
ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，点ＪＤ是Ａ 上一点，且 Ａ Ｐ＝ １
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【分析】如何化解
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，
所以想方设法构造３条线段，使
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得其中３条线段已知，第四条预留为半 。
结合题目条件中的ｏＯ的半径为
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【分析】同样的思路，化解｛ＢＦ是解决问
题的关键。由已知条件 ＡＰ： １
可以联想到
，
只需再构造一条长度为ｌ的线段，即可构造
对相似三角形。如图８，在ＯＭ上取一点
Ｇ，使得ＯＧ＝Ｉ，连接ＱＧ，ＱＯ，ＰＧ，则ＡＯＱＧ一
构造相似比为１：４的三角形进行转化。如图６，
考虑到 Ｐ＝ＦＰ，可将条件转化为 ＦＰ＝ １
结
，
Ａ ＯＭＱ，根据相似比得：ＧＱ＝半Ｑ ，所以
ＰＱ＋ ＱＭ＝ＰＱ＋ＱＧ，其最小值即为ＰＧ，在
合ｏＰ的半径ＦＰ，可在ＰＢ上取一点Ｅ，使ＰＥ＝
１ ＰＦ
，
连接ＥＦ、ＰＦ，从而构造出ＡＰＥＦＶ＂ＡＰＦＢ，
通过相似比找出Ｅ １ ＢＦ，进而将问题转化
为求ＣＦ＋ＥＦ的最小值，即求ｃＥ的值。连接
ＲｔＡＰＯＧ中可求得：ＰＧ＝√ 。
ＣＥ，过点Ｅ作ＥＧ￣ＡＣ，在已知ＡＥ＝ ５的基础
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以ＧＣ＝６，在ＲｔＡＥＣＧ中，由勾股定理求得ＥＣ＝
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故ｃｎ 口Ｆ的最小值为 。
通过以上几道题目的分析可以发现，在
探究形如“ＡＢ＋ｍＣＤ”最小值的过程中，首先
要针对ｍ进行仔细分析，在题目中找出两条
线段的比表示为ｍ，通过相似，将ｍＣＤ进行转
化后，再去考虑化曲为直的问题，最终将问题
转化为“点到直线距离最短”或“两点之间线
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中成为关键步骤，结合圆的半径不变、对称变
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换或三角形三边关系，在相似这条思路的指
四、构造相似化解 ２
弓１下，将最值问题步步转化，最终化归到我们
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