2024年4月6日发(作者：纪弘)
第42卷第3期
2022年
6月
振动、测试与诊断
JournalofVibration，Measurement&Diagnosis
Vol.42No.3
Jun.2022
DOI:10.16450/.1004‑6801.2022.03.005
直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
李正发，苟向锋，朱凌云，石建飞
（天津工业大学机械工程学院
摘要
天津，300387）
∗
为研究齿面接触疲劳对齿轮副安全特性的影响，考虑直齿轮副含单/双齿啮合、脱啮和齿背接触等啮合状态，
根据Hertz接触理论建立其齿面接触强度的安全条件。基于胞映射理论，计算考察域内吸引域随参数变化的演变过
程。判断共存吸引子在所建安全条件下的安全特性，分析系统安全盆的演变规律，研究安全盆的侵蚀与分岔机理。
结果表明：考察域内的共存吸引子在齿面接触安全条件下的安全特性不同；吸引子的出现或消失是安全盆分岔的主
要原因；多初值分岔图中的跳跃和分岔导致安全盆分岔。该结果可为齿轮系统的参数选择和故障预测提供参考。
关键词直齿轮副；多状态啮合；齿面接触强度；安全盆；多初值分岔
TH132.41中图分类号
引言
齿侧间隙、阻尼和时变啮合刚度等使齿轮传动
张广玉等
［12］
通过Hertz接触理论建立了小模数齿轮
齿面接触应力的数学模型，得到其应力分布规律。
现有研究主要采用Hertz接触理论考察齿面接触
强度
［13］
。
笔者根据齿面接触强度建立判断齿轮副接触安
全性的安全条件，研究随系统参数变化时考察域内
的吸引子及其演变过程。通过吸引子及建立的安全
条件，判断共存吸引域的安全特性，得到考察域内的
安全盆，分析安全盆的侵蚀与分岔。
系统表现出典型的非线性特性，齿面摩擦和重合度
使其动态响应更加复杂。郜浩冬等
［1］
研究了摩擦因
数对齿轮系统动力学的影响。Shi等研究了含时
变摩擦因数和重合度齿轮系统中单双齿交替及啮合
力突变。尹桩等发现啮合力的周期或混沌突变改
变齿轮系统的运动状态。文献［4‑5］发现，啮合力和
运动状态的改变会破坏齿轮传动系统的安全运行。
安全盆理论被应用于非线性系统安全特性的研
究。Erdem等运用安全盆理论计算出了拖网渔船
安全工作的浪高和风速。Wei等
［7］
研究了白噪声对
电力系统安全盆侵蚀的影响。尚慧琳等
［8］
利用时滞
位置反馈控制转子系统的混沌运动和安全盆侵蚀。
龚璞林等
［9］
获得了安全盆中的安全点和逃逸点，研
究了弱参数扰动对非线性振荡器安全盆的影响。刘
志亮等
［10］
提出了确定安全域边界的惩罚参数选择算
法，对滚动轴承的安全盆进行了研究。
系统安全条件的建立是采用安全盆理论研究系
统安全特性的基础。齿轮传动通过齿面摩擦传递扭
矩和运动，齿面接触疲劳破坏系统的安全运行。根
据齿面接触强度建立安全条件，研究齿轮传动系统
中共存吸引子和周期解的安全特性，可预测齿轮系
统的故障。唐进元等
［11］
根据Hertz接触应力解析式
和有限元方法，研究了面齿轮接触应力的变化规律。
∗
［6］
［3］
［2］
1单自由度齿轮传动系统动力学模型
直齿轮副的物理简化模型如图1所示。其中：
R
bj
，
θ
j
，
T
j
和
I
（n）分别为齿轮j的基圆半径、扭
j
j=m，
k(t)
和c
g
分别为啮合刚转角位移、转矩和转动惯量；
ˉ
为齿侧间度和啮合阻尼；2
De(t)
为综合传递误差；
隙。齿轮副的系统参数见文献［2］。
图2为齿轮副齿面啮合与齿背接触的示意图。
齿面啮合时，齿轮m为主动轮p，齿轮n为从动轮g；
M
1
M
2
为齿背接触时则相反。
N
1
N
2
为齿面啮合线，
齿背接触线。R
pi
和R
g
（2）分别为主动轮p和从
i
i=1，
动轮g中第i对轮齿上啮合点到齿轮中心的距离。
含单/双齿啮合、脱啮和齿背接触的齿轮副无量
纲动力学模型
［2‑3］
为
ˉ
(t)M(t)f(x)=F
m
+F
h
(t)
x+2ξsign(x)x+k
（1）
国家自然科学基金资助项目（51365025）；天津市自然科学基金资助项目（18JCYBJC88800）
收稿日期：2020‑03‑15；修回日期：2020‑04‑24
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
447
F
ni
=F
n
Y
i
(t)
（i=1，2）（5）
x)=(0.841104，0.896444)
，系统初值取
(x，
得
到系统相图及啮合力如图3所示。图3（a）中，虚线
为
x=±D
。相轨迹位于
x=D
右侧时，系统为齿
图1
Fig.1
直齿轮副物理简化模型
Simplifiedphysicalmodelofthespurgearpair
面啮合状态，齿轮m受N
2
N
1
方向的啮合力。相轨迹
位于2条虚线之间时，系统为脱啮。相轨迹位于
x=-D
左侧时，系统为齿背接触，齿轮m受M
1
M
2
方
x
为轮齿的相对位移；其中：“
⋅
”表示对时间求导；t为
ξ=c
g
/(m
e
ω
e
)
为无量纲阻尼；
m
e
=
无量纲时间；
2
为等效质量；
为
ω
e
=k
0
/m
e
，
I
m
I
n
(R
2
bm
I
n
+R
bn
I
m
)
，
向的啮合力。
F
n
的变化过程为：图3（b）中，当
F
n
>0
时，齿面
F
n
逐渐减小到0并沿负方向增加，啮合；最后突变为
ω=ω
h
/ω
e
，
ω
h
系统的固有频率；为无量纲啮合频率；
ˉ
(t)=
[
1+kcos(ωt)
]
，为啮合频率；
k
为无量纲啮合
k
为无量纲刚度波动幅值；
F
m
=(R
bm
I
n
T
m
+
刚度；
R
bn
I
m
T
n
)
/
[(R
I
n
+R
I
m
)m
e
b
c
ω
]
，为无量纲外
2
bm
2
bn
2
e
0，如图3（b）中的A区域所示，此时系统由齿面啮合
变为脱啮；当
F
n
=0
时，系统脱啮。之后红线由
F
n
=0经过F
n
>0变为F
n
=0，最后F
n
<0，如图3（b）
中的B区域。系统由脱啮变为齿背接触。由于
F
n1
≠F
n2
，应分别计算啮合轮齿1和2上的最大齿面
载荷力；特征
2
尺寸
b
c
=0.1
mm；
F
h
(t)=-m
e
e(t)b
c
=εωcos(ωt)
；
ε
为无量纲综合
sign(x)
为阻尼力的方向函数；
f(x)
传递误差幅值；
M(t)
为啮合状态函数，为齿侧间隙函数；可根据文
接触应力。
图3（c）为图3（b）在C方向的放大图。齿面啮
F
n
>0
；
F
n
=0
；
F
n
<
合时，
轮齿脱啮时，齿背接触时，
0
。当
F
n
=F
n1
∪F
n2
=0
时，为单齿啮合；当
F
n
=
F
n1
+F
n2
时，为双齿啮合。图3中，啮合周期
T=
2πω
m
；一次单、双齿交替啮合的时间
T
0
=
2π(Z
m
ω
m
)
。
献［2‑3］计算得到。
图4为轮齿接触带半宽的计算示意图。将啮
图2
Fig.2
直齿轮副齿面啮合与齿背接触示意图
Schematicdiagramofsystemengagementstates
2齿面接触安全条件的建立
齿面接触应力超过齿面许用接触应力，造成齿
面接触疲劳。以齿面接触应力小于齿面许用接触
应力为依据，建立其安全条件。齿面许用接触应
力为
σ
HP
=
σ
Hlim
Z
NT
Z
L
Z
V
Z
R
Z
W
Z
X
S
Hmin
（2）
齿轮取渗氮处理调质钢，其参数
［13］
为
σ
Hlim
=
1500
MPa；
Z
NT
=1.6
；
Z
L
Z
V
Z
R
=1
；
Z
W
=Z
X
=1
；
S
Hlim
=1.1
，则
σ
HP
=2200
MPa。
由式（1）得到无量纲、有量纲动态啮合力分别为
-
F
n
=2ξsign(x)x+
(
1+kcos(ωt)
)
f
(
x
)
（3）
F
n
=
F
n
m
e
ωb
c
2
e
-
图3
Fig.3
系统相图及啮合力随无量纲时间t变化历程
（4）
Phasediagramandcurvesofmeshingforceviadimen‑
sionlesstime
各齿沿啮合线方向的啮合力
F
n1
和
F
n2
为
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振动、测试与诊断
第42卷
合点2接触的轮齿分别视为半径为R
21
和R
22
的圆
柱体。主动轮齿受N
2
N
1
方向的啮合力
-F
n2
，被动
轮齿受N
1
N
2
方向的啮合力
F
n2
，轮齿上形成接触带
宽为2B的接触平面。
)
i=1，
接触带半宽
B
i
(t
（2）为
B
i
(t)=1.128
2
|
F
ni
|
R
i1
(t)R
i2
(t)(1-γ
2
)
EbR
i1
(t)+R
i2
(t)
3齿面接触安全条件下的系统安全盆
侵蚀与动力学分析
安全盆侵蚀指安全盆内吸引域面积和形状的改
变，其运动类型不变。安全盆分岔是指安全盆内吸
引域的消失或出现，以及安全盆拓扑结构的改变。
（6）
3.1参数ω对系统安全盆侵蚀与分岔的影响
k=0.1
，
F
m
=0.1，
ε=0.2
，
系统参数
ξ=0.1
，
D=
()
其中：泊松比
γ=0.3
；弹性模量E=207GPa。
啮合点处的最大接触应力
σ
ni
(t)
为
σ
ni
(t)=4F
ni
/[2πbB
i
(t)](i=1，2)
（7）
1.0；考察域
H
1
=
{
-2.0≤x≤2.0，-2.0≤x≤
2.0
}
。ω在
(0.2，1.2)
内增大时的共存吸引子如表3
将式（5）中的啮合力
F
ni
代入式（7），得到σ
n1
和
σ
n2
随无量纲时间t的变化曲线，如图5所示。齿面接
触应力变化情况和啮合力变化情况一致。当齿面接
触应力大于许用接触应力
σ
HP
时，产生接触疲劳，则
齿面接触强度的安全条件为
σ
ni
(t)≤σ
HP
所示。图6为ω增大时安全盆侵蚀与分岔过程。图
中：P（2，4）表示系统为周期i运动；P
N
表示混
i
i=1，
沌运动；S为满足接触强度安全条件的吸引域；U为
不满足接触强度安全条件的吸引域。图7为以吸引
域内吸引子为初值计算得到的
σ
n1
和
σ
n2
。
0.459)
时，根据表1和图6（a），当
ω∈(0.2，
H
1
内
x)=
只有P
1
吸引子，以该吸引子中的
(x，
（1.1078，
（8）
0.00017）为初值，计算
σ
n1
和
σ
n2
如图7（a）所示，图中
σ
n1
和
σ
n2
均小于
σ
HP
，满足齿面接触强度的安全条件，
表1
Tab.1
ω增大时的共存吸引子
Thecoexistenceattractorswithincreasingofω
ω的值
图例
图6(a)
图6(b),(c)
图6(d)
图6(e)
—
图6(f)
图6(g)
图6(h)
图6(i)
图6(j)
图6(k)
图6(l)
安全
吸引子
P
1
P
1
，Q
1
Q
1
Q
1
Q
1
Q
1
，P
2
Q
2
，P
2
P
4
，P
2
P
4
，Q
4
R
2
，Q
4
R
2
，P
8
Q
N
不安全
吸引子
—
R
1
R
1
P
N
—
—
—
—
—
—
—
—
ω∈(0.2,0.459)
图4
Fig.4
轮齿接触带半宽计算示意图
ω∈[0.459,0.615)
ω∈[0.615,0.652)
ω∈[0.652,0.741)
ω∈[0.741,0.797)
ω∈[0.797,0.836)
ω∈[0.836,0.945)
ω∈[0.945,0.962)
ω∈[0.962,1.005)
ω∈[1.005,1.019)
ω∈[1.019,1.031)
ω∈[1.045,1.2)
Schematicdiagramofthecalculationforthehalfwidth
oftheteethcontactbelt
图5
Fig.5
σ
n1
和σ
n2
随无量纲时间t变化曲线
Curvesofσ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
在安全盆中，以不同吸引子为初值计算啮合点
处的齿面接触应力，再与
σ
HP
进行比较。当
σ
ni
(t)
>
σ
HP
时，该吸引子及其吸引域不安全；反
之，则安全。
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
449
图7以吸引域内的吸引子为初值计算得到
σ
n1
和
σ
n2
Fig.7σ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
x)
=图6（b）为
ω=0.485
的安全盆。以Q
1
的
(x，
图6
Fig.6
ω增大时安全盆侵蚀与分岔过程
x)
=（0.841104，（0.21，0.136667）和R
1
的
(x，
Erosionandbifurcationofsafebasinsviaω
0.896444）为初值，得到图7（b）和（c）。图6（b）中橘
色吸引域为Q
1
S，紫色吸引域为R
1
U。当
ω∈(0.459，0.615)
时，P
1
S的面积减小，Q
1
S和R
1
U的
将其吸引域标为P
1
S。随着ω的增大，安全盆中出
现Q
1
（橘色）和R
1
（紫色）吸引子。当
ω∈[0.459，0.615)
时，吸引子P
1
，Q
1
和R
1
共存。安全
面积增大（如图6（b）~（c）所示）。安全盆内运动拓
扑结构不变，仅由系统初值导致P
1
S被R
1
U和Q
1
S
盆拓扑结构的变化导致安全盆在
ω
=0.459分岔，
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450
振动、测试与诊断
第42卷
侵蚀，即发生了安全盆侵蚀。当
ω=0.615
时，P
1
S
被完全侵蚀而消失（如图6（d）所示），图中R
1
吸引子
超出考察域。当
ω=0.652
时，R
1
吸引子分岔为P
N
吸引子。图6（e）为
ω=0.72
的安全盆，图中P
N
U与
Q
1
S共存，P
N
U在
ω=0.741
消失。
当
ω=0.797
时，安全盆中出现P
2
吸引子（图6
x)=(-0.77，-0.23)
为初值得到（f）），以P
2
的
(x，
图7（d），图6（f）中蓝色吸引域为P
2
S。Q
1
吸引子在
x)=
ω=0.836
分岔为Q
2
（图6（g）），以Q
2
的
(x，
(0.268，0.036)
为初值得到图7（e），图6（g）中橘色吸
引域为Q
2
S。当
ω=0.945
时，Q
2
吸引子倍化为P
4
x)
=（0.97，0.103333）（图6（h）），以P
4
的
(x，
为初
值得到图7（f），图6（h）中橘色吸引域为P
4
S。P
2
吸
引子在
ω=0.962
倍化为Q（图6（i）），以Q
4
吸引子
4
(x，x)=(0.37，0.43)
为初值得到图7（g），图6（i）中
蓝色吸引域为Q
4
S。当
ω=1.005
，P
4
吸引子变为R
2
x)=(1.063333，0.076667)
为（图6（j）），以R
2
的
(x，
图8
Fig.8
随
ω
增大的多初值分岔图和TLE图
Diagramsofmulti-initialbifurcationandTLEviaω
初值得到图7（h），其橘色吸引域为R
2
S。当
ω=
1.019
时，Q
4
吸引子变为P
8
（图6（k）），以P
8
的
(x，x)=
（0.294286，-0.191429）为初值得到图7（i），
右侧，橘色分岔曲线由Q
1
在M
12
（
ω
=0.836）分岔为Q
2
，
Q
2
在G
24
（
ω
=0.945）分岔为P
4
，P
4
在G
42
（
ω
=1.005）分
岔为R
2
，图6（f）~（k）中橘色吸引域由Q
1
S变为Q
2
S再
变为P
4
S，最后变为R
2
S。蓝色分岔曲线P
2
出现在
G
12
（
ω
=0.797），P
2
在M
24
（
ω
=0.962）变为Q
4
，Q
4
在
G
48
（
ω
=1.019）变为P
8
，图6（f）~（k）中蓝色吸引域由
P
2
S变为Q
4
S再变为P
8
S。在G
8N
（
ω
=1.031）右侧，系
统出现短暂的混沌运动和R
2
运动，R
2
在G
2N
（
ω
=
1.045）经过鞍结分岔进入混沌运动（对应图6（l））。
共存运动的出现、消失和转迁（图8（a）中出现
周期跳跃、倍化分岔和鞍结分岔），改变安全盆中的
共存子，系统安全盆发生分岔。例如，P
1
在G
11
经周
期跳跃为Q
1
和R
1
，安全盆中出现吸引域Q
1
S和R
1
U
（图6（a），（b））；Q
1
在M
12
倍化为Q
2
，导致安全盆中橘
色吸引域由Q
1
S变为Q
2
S（图6（f）~（g））；紫色R
1
在
G
1N
鞍结分岔为P
N
，导致安全盆中紫色吸引域由
R
1
U变为P
N
U（图6（d）~（e））。
3.2参数k对系统安全盆侵蚀与分岔的影响
ω=1.7
，
F
m
=0.2
，
ε=0.2
，
系统参数
ξ=0.06
，
D=1.0
；
-3.0≤x
2
≤
考察域
H
2
={-3.0≤x
1
≤3，
0.3)
内减小时的共存吸引子如表2所
3}
。k在
(0，
其蓝色吸引域为P
8
S。当
ω∈
（1.031，1.045）时，H
1
内
共存混沌吸引子和R
2
吸引子。R
2
吸引子在
ω=
1.045
分岔为Q
N
吸引子。图6（l）为
ω
=1.1的安全
x)=(0.73，0.0322)
得到图7盆，以Q
N
的
(x，
（j），图
中
σ
n1
和
σ
n2
始终小于
σ
HP
，吸引子安全。
可见，在齿面接触强度安全条件下，安全盆中共
存吸引域的安全特性不同。图6中共存吸引子的吸
引域构成了安全盆，其分岔和侵蚀过程与吸引子的
演变过程密切相关。吸引子的出现或消失改变安全
盆内的运动类型及拓扑结构，导致安全盆分岔。
多初值分岔图可清晰反映系统运动转迁过程。
图8为系统随
ω
增大的多初值分岔图及对应的最大
Lyapunov指数（topLyapunovexponent，简称TLE）
图。图8（a）中，P
n
，Q
n
和R
n
为分岔曲线的运动周期
数；G
11
，M
12
等为分岔点。由图8可知，在G
11
（
ω
=
0.459）左侧，只有黑色分岔曲线P
1
，对应的TLE值
小于0，安全盆中只存在P
1
S（图6（a））。在G
11
附近，
图8（a）中发生周期跳跃出现橘色Q
1
和紫色R
1
分岔
曲线，在G
11
~M
11
内，P
1
，Q
1
和R
1
共存，对应安全盆如
图6（b）~（c）所示。
在M
11
（0.615）附近，P（对应图6（c）~（d）中黑色
1
吸引域P
1
S）消失。在G
1N
（
ω
=0.625）附近，紫色TLE
值近似等于0，之后大于0，紫色R
1
鞍结分岔为P
N
，
图6（d）~（e）中紫色吸引域由R
1
U变为P
N
U
。
在G
N1
示。图9为k减小时的安全盆侵蚀与分岔，图中P
Q
为概周期运动。以安全盆中吸引子初值计算得到随
无量纲时间t变化的
σ
n1
和
σ
n2
，如图10所示。
图9（a）为
k=0.28
时的安全盆。以灰色吸引域
x)=(0.84428，-1.564286)
计算其相图和中
(x，
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
表2k减小时的共存吸引子
451
Tab.2Thecoexistenceattractorswithdecreasingofk
k的值
图例
图9(a)
图9(b)
图9(c)
图9(d)
图9(e)
图9(f)
图9(g)
图9(h)
图9(i)
图9(j)
-
图9(k)
图9(l)
安全吸引子
P
1
P
1
，P
2
Q
2
，P
2
Q
2
，P
2
P
2
P
2
P
2
P
2
P
4
P
N
P
N
P
N
P
N
不安全吸引子
P
Q
P
Q
P
Q
P
3
，P
Q
P
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
，P
12
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，R
2
P
3
，P
6
，R
2
P
3
，P
6
图9
Fig.9
k减小的安全盆侵蚀与分岔
Erosionandbifurcationofsafebasinsviak
k∈(0.265,0.3)
k∈(0.228,0.265]
k∈(0.196,0.228]
k∈(0.186,0.196]
k∈(0.149,0.186]
k∈(0.136,0.149]
k∈(0.114,0.136]
k∈(0.109,0.114]
k∈(0.079,0.109]
k∈(0.032,0.079]
k∈(0.031,0.032]
k∈(0.026,0.031]
k∈(0,0.026]
Poincaré映射图（图10（a）），图10（a）的灰色吸引域
为概周期运动。当
k>0.265
时，P
1
与P
Q
吸引子共
x)=(0.964286，0.055714)
和P
Q
的存。以P
1
的
(x，
(x，x)=(0.844286，-1.564286)
为初值，得到图
10（b）、图10（c），图9（a）中黑色吸引域为P
1
S，灰色
吸引域为P
Q
U。当
k
减小至k=0.265时，安全盆中出
现P
2
吸引子和蓝色吸引域（如图9（b）），以P
2
的
(x，x)=(0.70875，-0.25125)
为初值得到图10（d），
图9（b）中蓝色吸引域为P
2
S。P
1
吸引子在k=0.228
x)=
分岔为Q
2
吸引子（如图9（c）），以Q
2
的
(x，
(0.89625，0.03375)
为初值得到图10（e），图9（c）中
黑色吸引域为Q
2
S。
当k=0.196，安全盆出现P
3
吸引子和黄色吸引
x)=(-0.60428，
域，如图9（d）所示。以P
3
的
(x，
-0.63851)
为初值得到图10（f），图9（d）中黄色吸
引域为P
3
U。当k=0.186时，Q
2
S被完全侵蚀
（图9（e））。当k=0.149时，安全盆中出现Q
3
吸引
x)=
子和红色吸引域（图9（f）），以Q
3
的
(x，
(0.227143，-0.561429)
为初值得到图10（g），图
9（f）中红色吸引域为Q
3
U。当k=0.136时，安全盆
中出现P
12
吸引子和绿色吸引域（图9（g）），以P
12
的
(x，x)=
（-0.37145，-0.69375）为初值得到
图10（h），图9（g）中绿色吸引域为P
12
U，该吸引子在
k=0.114消失（图9（h））。
当k=0.109时，蓝色吸引域中P
2
吸引子倍化为
x)=
P
（图9（i）），以P
4
的
(x，
（-0.69375，0.43125）
4
为初值得到图10（i），图9（i）中蓝色吸引域为P
4
S。
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452
振动、测试与诊断
第42卷
当k=0.079时，P
4
吸引子变为P
N
（图9（j）），以P
N
的
(x，x)=
（0.88125，-0.25875）为初值得到图10（j），
图9（j）中蓝色吸引域为P
N
U。
P
Q
吸引子在k=0.032时变为R
2
吸引子，Q
3
吸引
子在k=0.031时变为P
6
吸引子。当
ω∈(0.026，0.031]
时，P
N
，P
3
，P
6
与R
2
吸引子共存。
x)=
图9（k）为
k=0.03
时的安全盆，以R
2
的
(x，
(2.961429，-2.97)
为初值得到图10（k），图9（k）中
x)=(0.321429，
灰色吸引域为R
2
U。以P
6
的
(x，
-0.638571)
为初值得到图10（l），图9（k）中红色吸引
域为P
6
U。当k=0.026时，灰色吸引域消失（图9（l））。
图11为k减小的多初值分岔图和TLE图。在
G
12
（k=0.265）右侧，黑色P
1
和灰色P
Q
分岔曲线共存，
黑色TLE值小于0，灰色TLE值在0附近波动。在
G
12
，图11（a）中出现蓝色P
2
分岔曲线，在G
12
~M
12
内，
P
1
，P
2
和P
Q
分岔曲线共存。在M
12
（k=0.228），P
1
倍化
为Q
2
，图9（b）~（c）中，黑色吸引域由P
1
S变为Q
2
S。
在G
23
（k=0.196），图11（a）中出现黄色P
3
分岔曲线，
图9（d）中出现黄色吸引域P
3
U。在G
22
（k=0.186），
图11（a）中黑色Q
2
分岔曲线消失，图9（e）中黑色吸引
域Q
2
S消失。在M
23
（k=0.149），图11（a）中出现红色
Q
3
分岔曲线，图9（f）中出现红色吸引域Q
3
U。图11（a）
中绿色P
12
分岔曲线出现在G
3T
（k=0.136），消失于
G
T3
（k=0.114），安全盆如图9（g）~（h）所示。蓝色分
岔曲线P
2
在G
24
（k=0.109）变为P
4
，P
4
在G
4N
（k=
0.079）变为P
N
，图9（h）~（l）中，蓝色吸引域由P
2
S变
为P
4
S再变为P
N
U。P
Q
在G
Q2
（k=0.032）分岔为R
2
，
图10
Fig.10
随无量纲时间t变化的σ
n1
和σ
n2
σ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
图11
Fig.11
k减小的多初值分岔图和TLE图
Diagramsofmulti-initialbifurcationandTLEwith
decreasingofk
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
2011，38：1908-1915．
453
Q
3
在G
36
（k=0.031）倍化为P
6
。G
36
~G
2N
内，P
N
，P
3
，P
6
和R
2
分岔曲线共存，安全盆如图9（k）所示。在G
2N
（k=
0.026）附近，R
2
跳跃为P
N
，安全盆中灰色吸引域完全
被蓝色吸引域侵蚀，如图9（l）所示。
综上，随k减小的多初值分岔图中出现周期跳
跃和分岔（倍化分岔、鞍结分岔、Hopf分岔），改变安
全盆中吸引子的共存，引起安全盆分岔。
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版社，2010：45．
第一作者简介：李正发，男，1995年8月
生，硕士生。主要研究方向为齿轮传动
系统非线性动力学。
E-mail：*****************
通信作者简介：苟向锋，男，1974年6月
生，教授、博士生导师。主要研究方向为
齿轮传动系统非线性动力学。
E-mail：*************************.cn
4结论
1）齿面接触强度安全条件下，安全盆中共存运
动吸引域的安全特性不同；保证系统的初始激励处
于安全的吸引域内，可避免齿面接触疲劳的产生。
2）安全盆中吸引子的出现、消失或数量的变化
改变安全盆的运动拓扑结构，导致安全盆分岔。
3）多初值分岔图中出现周期跳跃、倍化分岔、
Hopf分岔或鞍结分岔，改变系统的共存周期解，引
起吸引子数量或类型的变化，从而诱发安全盆分岔。
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Copyright©博看网. All Rights Reserved.
2024年4月6日发(作者：纪弘)
第42卷第3期
2022年
6月
振动、测试与诊断
JournalofVibration，Measurement&Diagnosis
Vol.42No.3
Jun.2022
DOI:10.16450/.1004‑6801.2022.03.005
直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
李正发，苟向锋，朱凌云，石建飞
（天津工业大学机械工程学院
摘要
天津，300387）
∗
为研究齿面接触疲劳对齿轮副安全特性的影响，考虑直齿轮副含单/双齿啮合、脱啮和齿背接触等啮合状态，
根据Hertz接触理论建立其齿面接触强度的安全条件。基于胞映射理论，计算考察域内吸引域随参数变化的演变过
程。判断共存吸引子在所建安全条件下的安全特性，分析系统安全盆的演变规律，研究安全盆的侵蚀与分岔机理。
结果表明：考察域内的共存吸引子在齿面接触安全条件下的安全特性不同；吸引子的出现或消失是安全盆分岔的主
要原因；多初值分岔图中的跳跃和分岔导致安全盆分岔。该结果可为齿轮系统的参数选择和故障预测提供参考。
关键词直齿轮副；多状态啮合；齿面接触强度；安全盆；多初值分岔
TH132.41中图分类号
引言
齿侧间隙、阻尼和时变啮合刚度等使齿轮传动
张广玉等
［12］
通过Hertz接触理论建立了小模数齿轮
齿面接触应力的数学模型，得到其应力分布规律。
现有研究主要采用Hertz接触理论考察齿面接触
强度
［13］
。
笔者根据齿面接触强度建立判断齿轮副接触安
全性的安全条件，研究随系统参数变化时考察域内
的吸引子及其演变过程。通过吸引子及建立的安全
条件，判断共存吸引域的安全特性，得到考察域内的
安全盆，分析安全盆的侵蚀与分岔。
系统表现出典型的非线性特性，齿面摩擦和重合度
使其动态响应更加复杂。郜浩冬等
［1］
研究了摩擦因
数对齿轮系统动力学的影响。Shi等研究了含时
变摩擦因数和重合度齿轮系统中单双齿交替及啮合
力突变。尹桩等发现啮合力的周期或混沌突变改
变齿轮系统的运动状态。文献［4‑5］发现，啮合力和
运动状态的改变会破坏齿轮传动系统的安全运行。
安全盆理论被应用于非线性系统安全特性的研
究。Erdem等运用安全盆理论计算出了拖网渔船
安全工作的浪高和风速。Wei等
［7］
研究了白噪声对
电力系统安全盆侵蚀的影响。尚慧琳等
［8］
利用时滞
位置反馈控制转子系统的混沌运动和安全盆侵蚀。
龚璞林等
［9］
获得了安全盆中的安全点和逃逸点，研
究了弱参数扰动对非线性振荡器安全盆的影响。刘
志亮等
［10］
提出了确定安全域边界的惩罚参数选择算
法，对滚动轴承的安全盆进行了研究。
系统安全条件的建立是采用安全盆理论研究系
统安全特性的基础。齿轮传动通过齿面摩擦传递扭
矩和运动，齿面接触疲劳破坏系统的安全运行。根
据齿面接触强度建立安全条件，研究齿轮传动系统
中共存吸引子和周期解的安全特性，可预测齿轮系
统的故障。唐进元等
［11］
根据Hertz接触应力解析式
和有限元方法，研究了面齿轮接触应力的变化规律。
∗
［6］
［3］
［2］
1单自由度齿轮传动系统动力学模型
直齿轮副的物理简化模型如图1所示。其中：
R
bj
，
θ
j
，
T
j
和
I
（n）分别为齿轮j的基圆半径、扭
j
j=m，
k(t)
和c
g
分别为啮合刚转角位移、转矩和转动惯量；
ˉ
为齿侧间度和啮合阻尼；2
De(t)
为综合传递误差；
隙。齿轮副的系统参数见文献［2］。
图2为齿轮副齿面啮合与齿背接触的示意图。
齿面啮合时，齿轮m为主动轮p，齿轮n为从动轮g；
M
1
M
2
为齿背接触时则相反。
N
1
N
2
为齿面啮合线，
齿背接触线。R
pi
和R
g
（2）分别为主动轮p和从
i
i=1，
动轮g中第i对轮齿上啮合点到齿轮中心的距离。
含单/双齿啮合、脱啮和齿背接触的齿轮副无量
纲动力学模型
［2‑3］
为
ˉ
(t)M(t)f(x)=F
m
+F
h
(t)
x+2ξsign(x)x+k
（1）
国家自然科学基金资助项目（51365025）；天津市自然科学基金资助项目（18JCYBJC88800）
收稿日期：2020‑03‑15；修回日期：2020‑04‑24
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
447
F
ni
=F
n
Y
i
(t)
（i=1，2）（5）
x)=(0.841104，0.896444)
，系统初值取
(x，
得
到系统相图及啮合力如图3所示。图3（a）中，虚线
为
x=±D
。相轨迹位于
x=D
右侧时，系统为齿
图1
Fig.1
直齿轮副物理简化模型
Simplifiedphysicalmodelofthespurgearpair
面啮合状态，齿轮m受N
2
N
1
方向的啮合力。相轨迹
位于2条虚线之间时，系统为脱啮。相轨迹位于
x=-D
左侧时，系统为齿背接触，齿轮m受M
1
M
2
方
x
为轮齿的相对位移；其中：“
⋅
”表示对时间求导；t为
ξ=c
g
/(m
e
ω
e
)
为无量纲阻尼；
m
e
=
无量纲时间；
2
为等效质量；
为
ω
e
=k
0
/m
e
，
I
m
I
n
(R
2
bm
I
n
+R
bn
I
m
)
，
向的啮合力。
F
n
的变化过程为：图3（b）中，当
F
n
>0
时，齿面
F
n
逐渐减小到0并沿负方向增加，啮合；最后突变为
ω=ω
h
/ω
e
，
ω
h
系统的固有频率；为无量纲啮合频率；
ˉ
(t)=
[
1+kcos(ωt)
]
，为啮合频率；
k
为无量纲啮合
k
为无量纲刚度波动幅值；
F
m
=(R
bm
I
n
T
m
+
刚度；
R
bn
I
m
T
n
)
/
[(R
I
n
+R
I
m
)m
e
b
c
ω
]
，为无量纲外
2
bm
2
bn
2
e
0，如图3（b）中的A区域所示，此时系统由齿面啮合
变为脱啮；当
F
n
=0
时，系统脱啮。之后红线由
F
n
=0经过F
n
>0变为F
n
=0，最后F
n
<0，如图3（b）
中的B区域。系统由脱啮变为齿背接触。由于
F
n1
≠F
n2
，应分别计算啮合轮齿1和2上的最大齿面
载荷力；特征
2
尺寸
b
c
=0.1
mm；
F
h
(t)=-m
e
e(t)b
c
=εωcos(ωt)
；
ε
为无量纲综合
sign(x)
为阻尼力的方向函数；
f(x)
传递误差幅值；
M(t)
为啮合状态函数，为齿侧间隙函数；可根据文
接触应力。
图3（c）为图3（b）在C方向的放大图。齿面啮
F
n
>0
；
F
n
=0
；
F
n
<
合时，
轮齿脱啮时，齿背接触时，
0
。当
F
n
=F
n1
∪F
n2
=0
时，为单齿啮合；当
F
n
=
F
n1
+F
n2
时，为双齿啮合。图3中，啮合周期
T=
2πω
m
；一次单、双齿交替啮合的时间
T
0
=
2π(Z
m
ω
m
)
。
献［2‑3］计算得到。
图4为轮齿接触带半宽的计算示意图。将啮
图2
Fig.2
直齿轮副齿面啮合与齿背接触示意图
Schematicdiagramofsystemengagementstates
2齿面接触安全条件的建立
齿面接触应力超过齿面许用接触应力，造成齿
面接触疲劳。以齿面接触应力小于齿面许用接触
应力为依据，建立其安全条件。齿面许用接触应
力为
σ
HP
=
σ
Hlim
Z
NT
Z
L
Z
V
Z
R
Z
W
Z
X
S
Hmin
（2）
齿轮取渗氮处理调质钢，其参数
［13］
为
σ
Hlim
=
1500
MPa；
Z
NT
=1.6
；
Z
L
Z
V
Z
R
=1
；
Z
W
=Z
X
=1
；
S
Hlim
=1.1
，则
σ
HP
=2200
MPa。
由式（1）得到无量纲、有量纲动态啮合力分别为
-
F
n
=2ξsign(x)x+
(
1+kcos(ωt)
)
f
(
x
)
（3）
F
n
=
F
n
m
e
ωb
c
2
e
-
图3
Fig.3
系统相图及啮合力随无量纲时间t变化历程
（4）
Phasediagramandcurvesofmeshingforceviadimen‑
sionlesstime
各齿沿啮合线方向的啮合力
F
n1
和
F
n2
为
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448
振动、测试与诊断
第42卷
合点2接触的轮齿分别视为半径为R
21
和R
22
的圆
柱体。主动轮齿受N
2
N
1
方向的啮合力
-F
n2
，被动
轮齿受N
1
N
2
方向的啮合力
F
n2
，轮齿上形成接触带
宽为2B的接触平面。
)
i=1，
接触带半宽
B
i
(t
（2）为
B
i
(t)=1.128
2
|
F
ni
|
R
i1
(t)R
i2
(t)(1-γ
2
)
EbR
i1
(t)+R
i2
(t)
3齿面接触安全条件下的系统安全盆
侵蚀与动力学分析
安全盆侵蚀指安全盆内吸引域面积和形状的改
变，其运动类型不变。安全盆分岔是指安全盆内吸
引域的消失或出现，以及安全盆拓扑结构的改变。
（6）
3.1参数ω对系统安全盆侵蚀与分岔的影响
k=0.1
，
F
m
=0.1，
ε=0.2
，
系统参数
ξ=0.1
，
D=
()
其中：泊松比
γ=0.3
；弹性模量E=207GPa。
啮合点处的最大接触应力
σ
ni
(t)
为
σ
ni
(t)=4F
ni
/[2πbB
i
(t)](i=1，2)
（7）
1.0；考察域
H
1
=
{
-2.0≤x≤2.0，-2.0≤x≤
2.0
}
。ω在
(0.2，1.2)
内增大时的共存吸引子如表3
将式（5）中的啮合力
F
ni
代入式（7），得到σ
n1
和
σ
n2
随无量纲时间t的变化曲线，如图5所示。齿面接
触应力变化情况和啮合力变化情况一致。当齿面接
触应力大于许用接触应力
σ
HP
时，产生接触疲劳，则
齿面接触强度的安全条件为
σ
ni
(t)≤σ
HP
所示。图6为ω增大时安全盆侵蚀与分岔过程。图
中：P（2，4）表示系统为周期i运动；P
N
表示混
i
i=1，
沌运动；S为满足接触强度安全条件的吸引域；U为
不满足接触强度安全条件的吸引域。图7为以吸引
域内吸引子为初值计算得到的
σ
n1
和
σ
n2
。
0.459)
时，根据表1和图6（a），当
ω∈(0.2，
H
1
内
x)=
只有P
1
吸引子，以该吸引子中的
(x，
（1.1078，
（8）
0.00017）为初值，计算
σ
n1
和
σ
n2
如图7（a）所示，图中
σ
n1
和
σ
n2
均小于
σ
HP
，满足齿面接触强度的安全条件，
表1
Tab.1
ω增大时的共存吸引子
Thecoexistenceattractorswithincreasingofω
ω的值
图例
图6(a)
图6(b),(c)
图6(d)
图6(e)
—
图6(f)
图6(g)
图6(h)
图6(i)
图6(j)
图6(k)
图6(l)
安全
吸引子
P
1
P
1
，Q
1
Q
1
Q
1
Q
1
Q
1
，P
2
Q
2
，P
2
P
4
，P
2
P
4
，Q
4
R
2
，Q
4
R
2
，P
8
Q
N
不安全
吸引子
—
R
1
R
1
P
N
—
—
—
—
—
—
—
—
ω∈(0.2,0.459)
图4
Fig.4
轮齿接触带半宽计算示意图
ω∈[0.459,0.615)
ω∈[0.615,0.652)
ω∈[0.652,0.741)
ω∈[0.741,0.797)
ω∈[0.797,0.836)
ω∈[0.836,0.945)
ω∈[0.945,0.962)
ω∈[0.962,1.005)
ω∈[1.005,1.019)
ω∈[1.019,1.031)
ω∈[1.045,1.2)
Schematicdiagramofthecalculationforthehalfwidth
oftheteethcontactbelt
图5
Fig.5
σ
n1
和σ
n2
随无量纲时间t变化曲线
Curvesofσ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
在安全盆中，以不同吸引子为初值计算啮合点
处的齿面接触应力，再与
σ
HP
进行比较。当
σ
ni
(t)
>
σ
HP
时，该吸引子及其吸引域不安全；反
之，则安全。
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第3期
李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
449
图7以吸引域内的吸引子为初值计算得到
σ
n1
和
σ
n2
Fig.7σ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
x)
=图6（b）为
ω=0.485
的安全盆。以Q
1
的
(x，
图6
Fig.6
ω增大时安全盆侵蚀与分岔过程
x)
=（0.841104，（0.21，0.136667）和R
1
的
(x，
Erosionandbifurcationofsafebasinsviaω
0.896444）为初值，得到图7（b）和（c）。图6（b）中橘
色吸引域为Q
1
S，紫色吸引域为R
1
U。当
ω∈(0.459，0.615)
时，P
1
S的面积减小，Q
1
S和R
1
U的
将其吸引域标为P
1
S。随着ω的增大，安全盆中出
现Q
1
（橘色）和R
1
（紫色）吸引子。当
ω∈[0.459，0.615)
时，吸引子P
1
，Q
1
和R
1
共存。安全
面积增大（如图6（b）~（c）所示）。安全盆内运动拓
扑结构不变，仅由系统初值导致P
1
S被R
1
U和Q
1
S
盆拓扑结构的变化导致安全盆在
ω
=0.459分岔，
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450
振动、测试与诊断
第42卷
侵蚀，即发生了安全盆侵蚀。当
ω=0.615
时，P
1
S
被完全侵蚀而消失（如图6（d）所示），图中R
1
吸引子
超出考察域。当
ω=0.652
时，R
1
吸引子分岔为P
N
吸引子。图6（e）为
ω=0.72
的安全盆，图中P
N
U与
Q
1
S共存，P
N
U在
ω=0.741
消失。
当
ω=0.797
时，安全盆中出现P
2
吸引子（图6
x)=(-0.77，-0.23)
为初值得到（f）），以P
2
的
(x，
图7（d），图6（f）中蓝色吸引域为P
2
S。Q
1
吸引子在
x)=
ω=0.836
分岔为Q
2
（图6（g）），以Q
2
的
(x，
(0.268，0.036)
为初值得到图7（e），图6（g）中橘色吸
引域为Q
2
S。当
ω=0.945
时，Q
2
吸引子倍化为P
4
x)
=（0.97，0.103333）（图6（h）），以P
4
的
(x，
为初
值得到图7（f），图6（h）中橘色吸引域为P
4
S。P
2
吸
引子在
ω=0.962
倍化为Q（图6（i）），以Q
4
吸引子
4
(x，x)=(0.37，0.43)
为初值得到图7（g），图6（i）中
蓝色吸引域为Q
4
S。当
ω=1.005
，P
4
吸引子变为R
2
x)=(1.063333，0.076667)
为（图6（j）），以R
2
的
(x，
图8
Fig.8
随
ω
增大的多初值分岔图和TLE图
Diagramsofmulti-initialbifurcationandTLEviaω
初值得到图7（h），其橘色吸引域为R
2
S。当
ω=
1.019
时，Q
4
吸引子变为P
8
（图6（k）），以P
8
的
(x，x)=
（0.294286，-0.191429）为初值得到图7（i），
右侧，橘色分岔曲线由Q
1
在M
12
（
ω
=0.836）分岔为Q
2
，
Q
2
在G
24
（
ω
=0.945）分岔为P
4
，P
4
在G
42
（
ω
=1.005）分
岔为R
2
，图6（f）~（k）中橘色吸引域由Q
1
S变为Q
2
S再
变为P
4
S，最后变为R
2
S。蓝色分岔曲线P
2
出现在
G
12
（
ω
=0.797），P
2
在M
24
（
ω
=0.962）变为Q
4
，Q
4
在
G
48
（
ω
=1.019）变为P
8
，图6（f）~（k）中蓝色吸引域由
P
2
S变为Q
4
S再变为P
8
S。在G
8N
（
ω
=1.031）右侧，系
统出现短暂的混沌运动和R
2
运动，R
2
在G
2N
（
ω
=
1.045）经过鞍结分岔进入混沌运动（对应图6（l））。
共存运动的出现、消失和转迁（图8（a）中出现
周期跳跃、倍化分岔和鞍结分岔），改变安全盆中的
共存子，系统安全盆发生分岔。例如，P
1
在G
11
经周
期跳跃为Q
1
和R
1
，安全盆中出现吸引域Q
1
S和R
1
U
（图6（a），（b））；Q
1
在M
12
倍化为Q
2
，导致安全盆中橘
色吸引域由Q
1
S变为Q
2
S（图6（f）~（g））；紫色R
1
在
G
1N
鞍结分岔为P
N
，导致安全盆中紫色吸引域由
R
1
U变为P
N
U（图6（d）~（e））。
3.2参数k对系统安全盆侵蚀与分岔的影响
ω=1.7
，
F
m
=0.2
，
ε=0.2
，
系统参数
ξ=0.06
，
D=1.0
；
-3.0≤x
2
≤
考察域
H
2
={-3.0≤x
1
≤3，
0.3)
内减小时的共存吸引子如表2所
3}
。k在
(0，
其蓝色吸引域为P
8
S。当
ω∈
（1.031，1.045）时，H
1
内
共存混沌吸引子和R
2
吸引子。R
2
吸引子在
ω=
1.045
分岔为Q
N
吸引子。图6（l）为
ω
=1.1的安全
x)=(0.73，0.0322)
得到图7盆，以Q
N
的
(x，
（j），图
中
σ
n1
和
σ
n2
始终小于
σ
HP
，吸引子安全。
可见，在齿面接触强度安全条件下，安全盆中共
存吸引域的安全特性不同。图6中共存吸引子的吸
引域构成了安全盆，其分岔和侵蚀过程与吸引子的
演变过程密切相关。吸引子的出现或消失改变安全
盆内的运动类型及拓扑结构，导致安全盆分岔。
多初值分岔图可清晰反映系统运动转迁过程。
图8为系统随
ω
增大的多初值分岔图及对应的最大
Lyapunov指数（topLyapunovexponent，简称TLE）
图。图8（a）中，P
n
，Q
n
和R
n
为分岔曲线的运动周期
数；G
11
，M
12
等为分岔点。由图8可知，在G
11
（
ω
=
0.459）左侧，只有黑色分岔曲线P
1
，对应的TLE值
小于0，安全盆中只存在P
1
S（图6（a））。在G
11
附近，
图8（a）中发生周期跳跃出现橘色Q
1
和紫色R
1
分岔
曲线，在G
11
~M
11
内，P
1
，Q
1
和R
1
共存，对应安全盆如
图6（b）~（c）所示。
在M
11
（0.615）附近，P（对应图6（c）~（d）中黑色
1
吸引域P
1
S）消失。在G
1N
（
ω
=0.625）附近，紫色TLE
值近似等于0，之后大于0，紫色R
1
鞍结分岔为P
N
，
图6（d）~（e）中紫色吸引域由R
1
U变为P
N
U
。
在G
N1
示。图9为k减小时的安全盆侵蚀与分岔，图中P
Q
为概周期运动。以安全盆中吸引子初值计算得到随
无量纲时间t变化的
σ
n1
和
σ
n2
，如图10所示。
图9（a）为
k=0.28
时的安全盆。以灰色吸引域
x)=(0.84428，-1.564286)
计算其相图和中
(x，
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李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
表2k减小时的共存吸引子
451
Tab.2Thecoexistenceattractorswithdecreasingofk
k的值
图例
图9(a)
图9(b)
图9(c)
图9(d)
图9(e)
图9(f)
图9(g)
图9(h)
图9(i)
图9(j)
-
图9(k)
图9(l)
安全吸引子
P
1
P
1
，P
2
Q
2
，P
2
Q
2
，P
2
P
2
P
2
P
2
P
2
P
4
P
N
P
N
P
N
P
N
不安全吸引子
P
Q
P
Q
P
Q
P
3
，P
Q
P
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
，P
12
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，P
Q
P
3
，Q
3
，R
2
P
3
，P
6
，R
2
P
3
，P
6
图9
Fig.9
k减小的安全盆侵蚀与分岔
Erosionandbifurcationofsafebasinsviak
k∈(0.265,0.3)
k∈(0.228,0.265]
k∈(0.196,0.228]
k∈(0.186,0.196]
k∈(0.149,0.186]
k∈(0.136,0.149]
k∈(0.114,0.136]
k∈(0.109,0.114]
k∈(0.079,0.109]
k∈(0.032,0.079]
k∈(0.031,0.032]
k∈(0.026,0.031]
k∈(0,0.026]
Poincaré映射图（图10（a）），图10（a）的灰色吸引域
为概周期运动。当
k>0.265
时，P
1
与P
Q
吸引子共
x)=(0.964286，0.055714)
和P
Q
的存。以P
1
的
(x，
(x，x)=(0.844286，-1.564286)
为初值，得到图
10（b）、图10（c），图9（a）中黑色吸引域为P
1
S，灰色
吸引域为P
Q
U。当
k
减小至k=0.265时，安全盆中出
现P
2
吸引子和蓝色吸引域（如图9（b）），以P
2
的
(x，x)=(0.70875，-0.25125)
为初值得到图10（d），
图9（b）中蓝色吸引域为P
2
S。P
1
吸引子在k=0.228
x)=
分岔为Q
2
吸引子（如图9（c）），以Q
2
的
(x，
(0.89625，0.03375)
为初值得到图10（e），图9（c）中
黑色吸引域为Q
2
S。
当k=0.196，安全盆出现P
3
吸引子和黄色吸引
x)=(-0.60428，
域，如图9（d）所示。以P
3
的
(x，
-0.63851)
为初值得到图10（f），图9（d）中黄色吸
引域为P
3
U。当k=0.186时，Q
2
S被完全侵蚀
（图9（e））。当k=0.149时，安全盆中出现Q
3
吸引
x)=
子和红色吸引域（图9（f）），以Q
3
的
(x，
(0.227143，-0.561429)
为初值得到图10（g），图
9（f）中红色吸引域为Q
3
U。当k=0.136时，安全盆
中出现P
12
吸引子和绿色吸引域（图9（g）），以P
12
的
(x，x)=
（-0.37145，-0.69375）为初值得到
图10（h），图9（g）中绿色吸引域为P
12
U，该吸引子在
k=0.114消失（图9（h））。
当k=0.109时，蓝色吸引域中P
2
吸引子倍化为
x)=
P
（图9（i）），以P
4
的
(x，
（-0.69375，0.43125）
4
为初值得到图10（i），图9（i）中蓝色吸引域为P
4
S。
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452
振动、测试与诊断
第42卷
当k=0.079时，P
4
吸引子变为P
N
（图9（j）），以P
N
的
(x，x)=
（0.88125，-0.25875）为初值得到图10（j），
图9（j）中蓝色吸引域为P
N
U。
P
Q
吸引子在k=0.032时变为R
2
吸引子，Q
3
吸引
子在k=0.031时变为P
6
吸引子。当
ω∈(0.026，0.031]
时，P
N
，P
3
，P
6
与R
2
吸引子共存。
x)=
图9（k）为
k=0.03
时的安全盆，以R
2
的
(x，
(2.961429，-2.97)
为初值得到图10（k），图9（k）中
x)=(0.321429，
灰色吸引域为R
2
U。以P
6
的
(x，
-0.638571)
为初值得到图10（l），图9（k）中红色吸引
域为P
6
U。当k=0.026时，灰色吸引域消失（图9（l））。
图11为k减小的多初值分岔图和TLE图。在
G
12
（k=0.265）右侧，黑色P
1
和灰色P
Q
分岔曲线共存，
黑色TLE值小于0，灰色TLE值在0附近波动。在
G
12
，图11（a）中出现蓝色P
2
分岔曲线，在G
12
~M
12
内，
P
1
，P
2
和P
Q
分岔曲线共存。在M
12
（k=0.228），P
1
倍化
为Q
2
，图9（b）~（c）中，黑色吸引域由P
1
S变为Q
2
S。
在G
23
（k=0.196），图11（a）中出现黄色P
3
分岔曲线，
图9（d）中出现黄色吸引域P
3
U。在G
22
（k=0.186），
图11（a）中黑色Q
2
分岔曲线消失，图9（e）中黑色吸引
域Q
2
S消失。在M
23
（k=0.149），图11（a）中出现红色
Q
3
分岔曲线，图9（f）中出现红色吸引域Q
3
U。图11（a）
中绿色P
12
分岔曲线出现在G
3T
（k=0.136），消失于
G
T3
（k=0.114），安全盆如图9（g）~（h）所示。蓝色分
岔曲线P
2
在G
24
（k=0.109）变为P
4
，P
4
在G
4N
（k=
0.079）变为P
N
，图9（h）~（l）中，蓝色吸引域由P
2
S变
为P
4
S再变为P
N
U。P
Q
在G
Q2
（k=0.032）分岔为R
2
，
图10
Fig.10
随无量纲时间t变化的σ
n1
和σ
n2
σ
n1
andσ
n2
viadimensionlesstimet
图11
Fig.11
k减小的多初值分岔图和TLE图
Diagramsofmulti-initialbifurcationandTLEwith
decreasingofk
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李正发，等：直齿轮副齿面接触安全条件及安全盆
2011，38：1908-1915．
453
Q
3
在G
36
（k=0.031）倍化为P
6
。G
36
~G
2N
内，P
N
，P
3
，P
6
和R
2
分岔曲线共存，安全盆如图9（k）所示。在G
2N
（k=
0.026）附近，R
2
跳跃为P
N
，安全盆中灰色吸引域完全
被蓝色吸引域侵蚀，如图9（l）所示。
综上，随k减小的多初值分岔图中出现周期跳
跃和分岔（倍化分岔、鞍结分岔、Hopf分岔），改变安
全盆中吸引子的共存，引起安全盆分岔。
［7］WEIDQ，ZHANGB，LUOXS，etal．Effectofnoise
onerosionofsafebasininpowersystem［J］．Nonlinear
Dynamics，2010，61：477-482．
［8］尚慧琳，韩元波，李伟阳．时滞位置反馈对一类非线性
相对转动系统混沌运动和安全盆侵蚀的控制［J］．物
理学报，2012，63（11）：88-95．
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第一作者简介：李正发，男，1995年8月
生，硕士生。主要研究方向为齿轮传动
系统非线性动力学。
E-mail：*****************
通信作者简介：苟向锋，男，1974年6月
生，教授、博士生导师。主要研究方向为
齿轮传动系统非线性动力学。
E-mail：*************************.cn
4结论
1）齿面接触强度安全条件下，安全盆中共存运
动吸引域的安全特性不同；保证系统的初始激励处
于安全的吸引域内，可避免齿面接触疲劳的产生。
2）安全盆中吸引子的出现、消失或数量的变化
改变安全盆的运动拓扑结构，导致安全盆分岔。
3）多初值分岔图中出现周期跳跃、倍化分岔、
Hopf分岔或鞍结分岔，改变系统的共存周期解，引
起吸引子数量或类型的变化，从而诱发安全盆分岔。
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