2024年4月8日发(作者：红乐英)

2023-2024学年浙江省湖州市高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1

．椭圆

4x

2

49y

2

196

的长轴长、短轴长、离心率依次是（

A

．

7,2,

35

7

）

D

．

14,4,

35

7

B

．

14,4,

5

7

C

．

7,2,

5

7

【正确答案】D

【分析】把方程化为标准方程后得

a,b,c

，从而可得长轴长、短轴长、离心率．

x

2

y

2

【详解】由已知，可得椭圆标准方程为



1

，

494

则

a7

，

b2

，

c49435

，

所以长轴长为

2a14

、短轴长为

2b4

、离心率为

e



故选：D.

c

35

.



a

7



2

．已知平面



的一个法向量为

n



1,2,1



,A



1,0,1



,B



0,1,1



，且

A



,B



，则点

A

到平面



的距离为（

A

．

1

3

）

B

．

6

6

C

．

3

3

D

．

1

【正确答案】B

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．

【详解】∵

A



1,0,1



,B



0,1,1



，

uuur



∴

AB



1,1,2



，又平面



的一个法向量为

n



1,2,1



，





AB



n

6

∴点

A

到平面



的距离为





n

6

故选：B

3

．在等差数列



a

n



中，首项

a

1

3

，前

3

项和为

6

，则

a

3

a

4

a

5

等于（

A．0

【正确答案】A

【分析】根据题意求出公差

d

，从而可得出答案.

【详解】设公差为

d

，

B．6C．12D．18

）

则

a

1

a

2

a

3

3a

1

3d6

，解得

d1

，

所以

a

3

a

4

a

5

3a

1

9d0

.

故选：A.

4．已知点

P(1,2)

到直线

l:4x3ym0

的距离为1，则m的值为（

A．

5

或

15

【正确答案】D

【分析】利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】解：点

P(1,2)

到直线

l:4x3ym0

的距离为1，

B．

5

或15C．5或

15

）

D．5或15



|



1



4



3



2

m

|

4



(



3)

22



1,

解得：m=15或5．

故选：D.

已知圆

C:x

2

y

2

8x8y70

，直线

l:mxy3m20,l

与

C

交于两点

M,N

，则当

MN

最

5

．

小时，实数

m

的值是（

A

．

2

【正确答案】C

【分析】由直线方程得直线所过定点

P

坐标，由几何性质知当

CP

与直线

MN

垂直时，弦长

MN

最

小，由斜率关系可得

m

．

【详解】直线

l

方程为

mxy3m20

知直线

l

过定点

P(3,2)

，

圆

C

标准方程为

(x4)

2

(y4)

2

25

，圆心为

C(4,4)

，半径为

5

，

）

C

．

2

1

B

．

-2D

．



1

2

CP(43)

2

(42)

2

55

，

P

在圆内部，

因此当直线

l

与

CP

垂直时，

MN

最小，

k

CP



4



2

1



2

，∴

m21

，

m

．

4



3

2

故选：C．

6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心

在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线

.

已知

ABC

的顶点分别为

A



1,3



,B



2,4



,C



3,2



，则

ABC

的欧拉线方程是（

A．

xy10

C．

xy50

【正确答案】C

）

B．

xy30

D．

3xy90

【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，

即可求出欧拉线方程.

【详解】由题可知，△

ABC

的重心为

G



2,3



，

可得直线

AB

的斜率为

直线

AC

的斜率为

3



4



1

，则

AB

边上高所在的直线斜率为

1

，则方程为

yx5

，

1



2

3



21



，则

AC

边上高所在的直线斜率为

2

，则方程为

y2x

，

1



32



y



x



5



510



联立方程



可得△

ABC

的垂心为

H



,



，



33





y



2

x

10

3



1

则直线

GH

斜率为，则可得直线

GH

方程为

y3



x2



，

5

2



3

3



故△ABC的欧拉线方程为

xy50

.

故选：C.

7

．已知等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，则下列说法一定正确的是（

A

．若

S

2022

0

，则

a

1

0

C

．若

S

2022

0

，则

a

2

0

【正确答案】B

B

．若

S

2023

0

，则

a

1

0

D

．若

S

2023

0

，则

a

2

0

）

【分析】根据等比数列的前

n

项和公式分别讨论

S

2022

0

和

S

2023

0

即可得答案

.

【详解】当

q1

时，

S

2022

2022a

1

0

，故

a

1

0

，

a

2

0

，

当

q1

时，

S

2022



a

1



1



q

2022



1



q



0

，分以下几种情况，

当

q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

当

1q0

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

，

当

0q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

当

q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

故当

S

2022

0

时，

a

1

与

a

2

可正可负，故排除

A

、

C.

当

q1

时，

S

2023

2023a

1

0

，故

a

1

0

，

a

2

0

；

当

q1

时，

S

2023



a

1



1



q

2023



1



q



0

，由于

1q

2023

与

1q

同号，故

a

1

0

，

所以

a

2

a

1

q

符号随

q

正负变化，故

D

不正确，

B

正确；

故选：B

x

2

y

2

8

．双曲线



1(

m



0,

n



0)

的离心率是

2

，左右焦点分别为

F

1

,F

2

,P

为双曲线左支上一点，

mn

则

PF

2

PF

1

的最大值是（）

B

．

2C

．

3D

．

4A

．

3

2

【正确答案】C

【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.

PF

2

PF

1

【详解】由焦半径公式得



ex



a

2

a

2



1



1



，

x



,a



，则当

xa

时，

2

ex



aex



a

x



1

a



PF

2



2



1



3

.



2

PF



1



max







a





1

a

故选：C.

二、多选题

x

2

y

2

9

．已知曲线

C

的方程为



1



m



R



，则（

m

2

m



5

A．曲线

C

可以表示圆

B．曲线

C

可以表示焦点在

x

轴上的椭圆

C．曲线

C

可以表示焦点在

y

轴上的椭圆

D．曲线

C

可以表示焦点在

y

轴上的双曲线

【正确答案】CD

【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.

）

【详解】对A，若曲线表示圆，则有

m2m50

，无解，A错；



m



0



对

BC

，若曲线表示椭圆，则有



2

m



5



0



m



0

，此时

2m5m

，则曲线

C

表示焦点在

y

轴



m



2

m



5



上的椭圆，C对B错；

5

对

D

，若曲线表示双曲线，则有

m



2

m

5





0

m

0

，此时

m02m5

，此时曲线

C

表

2

示焦点在

y

轴上的双曲线，D对.

故选：CD.

10

．已知数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，则下列说法正确的是（

2

A

．若

S

n



2

n

1

，则



a

n



是等差数列

）



1



B

．若

S

n







1

，则



a

n



是等比数列



2



n

C

．若



a

n



是等差数列，则

S

199

199a

100

D

．若



a

n



是等比数列，则

S

99

S

101

S

100

2

【正确答案】BC

【分析】由前

n

项和求得

a

n

后判断

AB

，根据等差数列、等比数列的性质判断

CD

．

22

【详解】选项

A

，

n2

时，

a

n



S

n



S

n



1



2

n



1



2(

n



1)



1



4

n



2

，

a

1

S

1

3

，

a

2

6

，

a

3

10

，

a

3

a

2

a

2

a

1

，



a

n



不是等差数列，

A

错；

1

选项

B

，

a

1

S

1



，

2

1

1111

n2

时，

a

n



S

n



S

n



1



()

n



1



()

n



1



1



(



)

n

，

a

2



，

a

3



，

8

2224

a

2

1

a



3

，



a

n



是等比数列，

B

正确；

a

1

2

a

2

选项

C

，若



a

n



是等差数列，则

S

199



选项

D

，若

a

n



1

，则

S

n

n

，

199(

a

1



a

199

)199



2

a

100



199

a

100

，

C

正确；

22

2

S

99

S

101

991019999

，而

S

100

100

2

100009999

，

D

错误，

故选：BC．

x

2

y

2

x

2

y

2

11

．已知

F

1

,F

2

分别为椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

和双曲线

E

:

2



2



1



a

0



0,

b

0



0



的公共左，

a

0

b

0

ab



右焦点，

P

（在第一象限）为它们的一个交点，且

F

1

PF

2

60

，直线

PF

2

与双曲线交于另一点

Q

，

若

PF

2

2F

2

Q

，则下列说法正确的是（）

B

．双曲线

E

的离心率为

D

．

PF

1

4PF

2

16

a

5

13

C

．椭圆

C

的离心率为

5

的周长为

A

．

△PFQ

1

【正确答案】BCD

13

3

【分析】设

QF

2

t

，则

PF

2

2t

，由双曲线定义得

PF

1

2t2a

0

，

QF

1

t2a

0

，再由余弦定理

得

a

0

3t

，然后由椭圆定义得

a5t

，利用余弦定理求得

c13t

，再求三角形周长，求出椭圆、

双曲线的离心率，从而判断各选项．

【详解】设

QF

2

t

，则

PF

2

2t

，

PF

1

2t2a

0

，

QF

1

t2a

0

，

△PFQ

1

中由余弦定理

QF

1

PF

1

PQ2PF

1

PQcosF

1

PQ

，得

(t2a

0

)

2

(2t2a

0

)

2

9t

2

2(2a

0

2t)3tcos60

，化简得

a

0

3t

，

PF

1

2t2a

0

8t

4PF

2

，

D

正确；

又

2aPF

1

PF

2

10t

，所以

a5t

，又

QF

1

t2a

0

7t

，

222

△PFQ

1

的周长为

8

t

3

t

7

t

18

t

18

a

，

A

错误；

5

△PF

1

F

2

中，

F

1

F

2

2

c

，由余弦定理得

4c

2

(8t)

2

(2t)

2

28t2tcos60

，所以

c13t

，

因此双曲线的离心率为

e

1



椭圆的离心率为

e

2



故选：BCD．

c

13

t

13



，

B

正确；

a

0

3

t

3

c

13

t

13

，

C

正确，



a

5

t

5



12

．在棱长为

1

的正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点

P

满足

DP



DD

1





DA,







0,1



，







0,1



，

则以下说法正确的是（）

A

．当







时，

AC

1

BP



6



,2



B

．当







1

时，线段

CP

长度的范围是





2



C

．当







1

时，直线

CP

与平面

BCC

1

B

1

所成角的最大值为

D

．当





π

3

1

π

时，存在唯一点

P

使得直线

DP

与直线

AC

所成的角为

2

3

【正确答案】ABD

【分析】以

DA,DC,DD

1

为

x,y,z

轴建立空间直角坐标系

Dxyz

，利用空间向量法判断直线垂直，

求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．

【详解】如图，以

DA,DC,DD

1

为

x,y,z

轴建立空间直角坐标系

Dxyz

，则

A(1,0,0)

，

D

1

(0,0,1)

，

C

1

(0,1,1)

，

C(0,1,0)

，

B(1,1,0)

，

uuuruuuruuur



由

DP



DD

1





DA

得

DP(



,0,



)

，即

P(



,0,



)

，







选项

A

，







时，

BP(



1,1,



)

，

AC

1

(1,1,1)

，

AC

1

BP1



1



0

，

AC

1

BP

，

A

正确；





13

选项

B

，

CP(



,1,



)

，

CP



2



1





2





2



1



(1





)

2



2(





)

2



，

22



11



[0,1]

，所以

(





)

2



[0,]

，

CP

[

6

,2]

，

B

正确；

24

2



选项

C

，平面

BCC

1

B

1

的一个法向量是

n(0,1,0)

，





CP



n



1

cos

CP

,

n









，

CPnCP

1

sin







，由选项

B

得，

sin





[

2

,

6

]

，设直线

CP

与平面

BCC

1

B

1

所成角为



，则

CP

23

π

3

，





，

C

错误；

3

2



1



1

1





P

(,0,



)

DP

(,0,



)

选项

D

，，

，

，

AC(1,1,0)

，

2

22

sin







DP



AC



cos

DP

,

AC







DPAC

又



[0,1]

，∴





故选：ABD．

1

π1

2



cos



，





1

，

32

1

2



2



2

4

1

，即

P

点唯一，

D

正确，

2

.

三、填空题

13

．已知直线

l

1

平分圆

C:(x2)

2

y

2

2

且与

l

2

:6x4y10

互相平行，则

l

1

,l

2

的距离是

__________.

【正确答案】

1113

11

13

##

26

26

【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆

C

的圆心到直线

l

2

的距离作答

.

【详解】因为直线

l

1

平分圆

C:(x2)

2

y

2

2

，于是直线

l

1

过圆心

C(2,0)

，

所以

l

1

,l

2

的距离

d



|6



2



4



0



1|

6

2



4

2



1113

.

26

故

1113

26

14

．在等比数列



a

n



中，

a

9

8,a

12

1

，则数列



a

n



的前

5

项和是

__________.

（用具体数字作答）

【正确答案】3968

【分析】利用

a

9

8,a

12

1

求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案

.



a

1

q

8



8

1

11

【详解】设公比为

q

，因为

a

9

8,a

12

1

，所以



11

，解得

q

,

a

1



2



2048

；

2



a

1

q



1

1



2048





1



5





2





3968

.

所以数列



a

n



的前

5

项和为

S

5



1

1



2

故3968.

15

．已知抛物线

C:x

2

4y

，其焦点为

F,PQ

是过点

F

的一条弦，定点

A

的坐标是



3,3



，当

PAPF

取最小值时，则弦

PQ

的长是

__________.

【正确答案】

169

36

【分析】如图，过点

P

作准线

x=



1

的垂线

PP



，垂足为

P



，则

PAPFPAPP



，由图可知

当

A,P,P



三点共线时，

PAPF

取最小值，由此可得点

P

的坐标，从而可得直线

PQ

的方程，联

立方程求出

Q

点的坐标，即可得解.

【详解】抛物线

C:x

2

4y

的焦点

F



0,1



，准线为

x=



1

，

如图，过点

P

作准线

x=



1

的垂线

PP



，垂足为

P



，

则

PFPP



，

所以

PAPFPAPP



PA

，当且仅当

A,P,P



三点共线时，取等号，

所以当

PAPF

取最小值时，

P

点的横坐标为

3

，

当

x3

时，

y

9



9



，即

P



3,



，

4



4



所以

k

PQ

9



1

5

，



4



3



012

所以直线

PQ

的方程为

y

5

x

1

，

12

5



4



y



x



1

12

联立



，消

y

得

3x

2

5x120

，解得

x3

或

x

，

3

2





x



4

y

4

4



44



当

x

时，

y

，即

Q





,



，

3

9



39



4



94



169

所以

PQ





.



3















3



49



36



22

故答案为

.

169

36

已知平面四边形

ABCD

中，

ABBD,CBCD,AB23,BD2,CBCD

，现将

△BCD

沿

BD

16

．

折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线

AC

与

BD

所成角的余弦值是

__________.

【正确答案】

14

14

【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在AD中点上，则可由半径确定C的位置，

最后建系由向量法求线线角的余弦值.

【详解】设AD的中点为E，BD的中点为F，∴

EF∥AB

.

∵

ABBD,CBCD,AB23,BD2,CBCD

，

∴

CFBD

，

CBCD2,AD2

2

23



2

4

，

EF

CB

1



1

.

AB

3

，

FCFBFD

2

2

四面体的外接球心在过E且垂直于面ABD的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外接球的

半径最小，则当球心为

E

时，半径

rEA

AD



2

最小

.

2

2024年4月8日发(作者：红乐英)

2023-2024学年浙江省湖州市高二上册期末数学

模拟试题

一、单选题

1

．椭圆

4x

2

49y

2

196

的长轴长、短轴长、离心率依次是（

A

．

7,2,

35

7

）

D

．

14,4,

35

7

B

．

14,4,

5

7

C

．

7,2,

5

7

【正确答案】D

【分析】把方程化为标准方程后得

a,b,c

，从而可得长轴长、短轴长、离心率．

x

2

y

2

【详解】由已知，可得椭圆标准方程为



1

，

494

则

a7

，

b2

，

c49435

，

所以长轴长为

2a14

、短轴长为

2b4

、离心率为

e



故选：D.

c

35

.



a

7



2

．已知平面



的一个法向量为

n



1,2,1



,A



1,0,1



,B



0,1,1



，且

A



,B



，则点

A

到平面



的距离为（

A

．

1

3

）

B

．

6

6

C

．

3

3

D

．

1

【正确答案】B

【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．

【详解】∵

A



1,0,1



,B



0,1,1



，

uuur



∴

AB



1,1,2



，又平面



的一个法向量为

n



1,2,1



，





AB



n

6

∴点

A

到平面



的距离为





n

6

故选：B

3

．在等差数列



a

n



中，首项

a

1

3

，前

3

项和为

6

，则

a

3

a

4

a

5

等于（

A．0

【正确答案】A

【分析】根据题意求出公差

d

，从而可得出答案.

【详解】设公差为

d

，

B．6C．12D．18

）

则

a

1

a

2

a

3

3a

1

3d6

，解得

d1

，

所以

a

3

a

4

a

5

3a

1

9d0

.

故选：A.

4．已知点

P(1,2)

到直线

l:4x3ym0

的距离为1，则m的值为（

A．

5

或

15

【正确答案】D

【分析】利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】解：点

P(1,2)

到直线

l:4x3ym0

的距离为1，

B．

5

或15C．5或

15

）

D．5或15



|



1



4



3



2

m

|

4



(



3)

22



1,

解得：m=15或5．

故选：D.

已知圆

C:x

2

y

2

8x8y70

，直线

l:mxy3m20,l

与

C

交于两点

M,N

，则当

MN

最

5

．

小时，实数

m

的值是（

A

．

2

【正确答案】C

【分析】由直线方程得直线所过定点

P

坐标，由几何性质知当

CP

与直线

MN

垂直时，弦长

MN

最

小，由斜率关系可得

m

．

【详解】直线

l

方程为

mxy3m20

知直线

l

过定点

P(3,2)

，

圆

C

标准方程为

(x4)

2

(y4)

2

25

，圆心为

C(4,4)

，半径为

5

，

）

C

．

2

1

B

．

-2D

．



1

2

CP(43)

2

(42)

2

55

，

P

在圆内部，

因此当直线

l

与

CP

垂直时，

MN

最小，

k

CP



4



2

1



2

，∴

m21

，

m

．

4



3

2

故选：C．

6．数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心

在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线

.

已知

ABC

的顶点分别为

A



1,3



,B



2,4



,C



3,2



，则

ABC

的欧拉线方程是（

A．

xy10

C．

xy50

【正确答案】C

）

B．

xy30

D．

3xy90

【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，

即可求出欧拉线方程.

【详解】由题可知，△

ABC

的重心为

G



2,3



，

可得直线

AB

的斜率为

直线

AC

的斜率为

3



4



1

，则

AB

边上高所在的直线斜率为

1

，则方程为

yx5

，

1



2

3



21



，则

AC

边上高所在的直线斜率为

2

，则方程为

y2x

，

1



32



y



x



5



510



联立方程



可得△

ABC

的垂心为

H



,



，



33





y



2

x

10

3



1

则直线

GH

斜率为，则可得直线

GH

方程为

y3



x2



，

5

2



3

3



故△ABC的欧拉线方程为

xy50

.

故选：C.

7

．已知等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，则下列说法一定正确的是（

A

．若

S

2022

0

，则

a

1

0

C

．若

S

2022

0

，则

a

2

0

【正确答案】B

B

．若

S

2023

0

，则

a

1

0

D

．若

S

2023

0

，则

a

2

0

）

【分析】根据等比数列的前

n

项和公式分别讨论

S

2022

0

和

S

2023

0

即可得答案

.

【详解】当

q1

时，

S

2022

2022a

1

0

，故

a

1

0

，

a

2

0

，

当

q1

时，

S

2022



a

1



1



q

2022



1



q



0

，分以下几种情况，

当

q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

当

1q0

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

，

当

0q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

当

q1

时，

a

1

0

，此时

a

2

a

1

q0

；

故当

S

2022

0

时，

a

1

与

a

2

可正可负，故排除

A

、

C.

当

q1

时，

S

2023

2023a

1

0

，故

a

1

0

，

a

2

0

；

当

q1

时，

S

2023



a

1



1



q

2023



1



q



0

，由于

1q

2023

与

1q

同号，故

a

1

0

，

所以

a

2

a

1

q

符号随

q

正负变化，故

D

不正确，

B

正确；

故选：B

x

2

y

2

8

．双曲线



1(

m



0,

n



0)

的离心率是

2

，左右焦点分别为

F

1

,F

2

,P

为双曲线左支上一点，

mn

则

PF

2

PF

1

的最大值是（）

B

．

2C

．

3D

．

4A

．

3

2

【正确答案】C

【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.

PF

2

PF

1

【详解】由焦半径公式得



ex



a

2

a

2



1



1



，

x



,a



，则当

xa

时，

2

ex



aex



a

x



1

a



PF

2



2



1



3

.



2

PF



1



max







a





1

a

故选：C.

二、多选题

x

2

y

2

9

．已知曲线

C

的方程为



1



m



R



，则（

m

2

m



5

A．曲线

C

可以表示圆

B．曲线

C

可以表示焦点在

x

轴上的椭圆

C．曲线

C

可以表示焦点在

y

轴上的椭圆

D．曲线

C

可以表示焦点在

y

轴上的双曲线

【正确答案】CD

【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.

）

【详解】对A，若曲线表示圆，则有

m2m50

，无解，A错；



m



0



对

BC

，若曲线表示椭圆，则有



2

m



5



0



m



0

，此时

2m5m

，则曲线

C

表示焦点在

y

轴



m



2

m



5



上的椭圆，C对B错；

5

对

D

，若曲线表示双曲线，则有

m



2

m

5





0

m

0

，此时

m02m5

，此时曲线

C

表

2

示焦点在

y

轴上的双曲线，D对.

故选：CD.

10

．已知数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，则下列说法正确的是（

2

A

．若

S

n



2

n

1

，则



a

n



是等差数列

）



1



B

．若

S

n







1

，则



a

n



是等比数列



2



n

C

．若



a

n



是等差数列，则

S

199

199a

100

D

．若



a

n



是等比数列，则

S

99

S

101

S

100

2

【正确答案】BC

【分析】由前

n

项和求得

a

n

后判断

AB

，根据等差数列、等比数列的性质判断

CD

．

22

【详解】选项

A

，

n2

时，

a

n



S

n



S

n



1



2

n



1



2(

n



1)



1



4

n



2

，

a

1

S

1

3

，

a

2

6

，

a

3

10

，

a

3

a

2

a

2

a

1

，



a

n



不是等差数列，

A

错；

1

选项

B

，

a

1

S

1



，

2

1

1111

n2

时，

a

n



S

n



S

n



1



()

n



1



()

n



1



1



(



)

n

，

a

2



，

a

3



，

8

2224

a

2

1

a



3

，



a

n



是等比数列，

B

正确；

a

1

2

a

2

选项

C

，若



a

n



是等差数列，则

S

199



选项

D

，若

a

n



1

，则

S

n

n

，

199(

a

1



a

199

)199



2

a

100



199

a

100

，

C

正确；

22

2

S

99

S

101

991019999

，而

S

100

100

2

100009999

，

D

错误，

故选：BC．

x

2

y

2

x

2

y

2

11

．已知

F

1

,F

2

分别为椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

和双曲线

E

:

2



2



1



a

0



0,

b

0



0



的公共左，

a

0

b

0

ab



右焦点，

P

（在第一象限）为它们的一个交点，且

F

1

PF

2

60

，直线

PF

2

与双曲线交于另一点

Q

，

若

PF

2

2F

2

Q

，则下列说法正确的是（）

B

．双曲线

E

的离心率为

D

．

PF

1

4PF

2

16

a

5

13

C

．椭圆

C

的离心率为

5

的周长为

A

．

△PFQ

1

【正确答案】BCD

13

3

【分析】设

QF

2

t

，则

PF

2

2t

，由双曲线定义得

PF

1

2t2a

0

，

QF

1

t2a

0

，再由余弦定理

得

a

0

3t

，然后由椭圆定义得

a5t

，利用余弦定理求得

c13t

，再求三角形周长，求出椭圆、

双曲线的离心率，从而判断各选项．

【详解】设

QF

2

t

，则

PF

2

2t

，

PF

1

2t2a

0

，

QF

1

t2a

0

，

△PFQ

1

中由余弦定理

QF

1

PF

1

PQ2PF

1

PQcosF

1

PQ

，得

(t2a

0

)

2

(2t2a

0

)

2

9t

2

2(2a

0

2t)3tcos60

，化简得

a

0

3t

，

PF

1

2t2a

0

8t

4PF

2

，

D

正确；

又

2aPF

1

PF

2

10t

，所以

a5t

，又

QF

1

t2a

0

7t

，

222

△PFQ

1

的周长为

8

t

3

t

7

t

18

t

18

a

，

A

错误；

5

△PF

1

F

2

中，

F

1

F

2

2

c

，由余弦定理得

4c

2

(8t)

2

(2t)

2

28t2tcos60

，所以

c13t

，

因此双曲线的离心率为

e

1



椭圆的离心率为

e

2



故选：BCD．

c

13

t

13



，

B

正确；

a

0

3

t

3

c

13

t

13

，

C

正确，



a

5

t

5



12

．在棱长为

1

的正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点

P

满足

DP



DD

1





DA,







0,1



，







0,1



，

则以下说法正确的是（）

A

．当







时，

AC

1

BP



6



,2



B

．当







1

时，线段

CP

长度的范围是





2



C

．当







1

时，直线

CP

与平面

BCC

1

B

1

所成角的最大值为

D

．当





π

3

1

π

时，存在唯一点

P

使得直线

DP

与直线

AC

所成的角为

2

3

【正确答案】ABD

【分析】以

DA,DC,DD

1

为

x,y,z

轴建立空间直角坐标系

Dxyz

，利用空间向量法判断直线垂直，

求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项．

【详解】如图，以

DA,DC,DD

1

为

x,y,z

轴建立空间直角坐标系

Dxyz

，则

A(1,0,0)

，

D

1

(0,0,1)

，

C

1

(0,1,1)

，

C(0,1,0)

，

B(1,1,0)

，

uuuruuuruuur



由

DP



DD

1





DA

得

DP(



,0,



)

，即

P(



,0,



)

，







选项

A

，







时，

BP(



1,1,



)

，

AC

1

(1,1,1)

，

AC

1

BP1



1



0

，

AC

1

BP

，

A

正确；





13

选项

B

，

CP(



,1,



)

，

CP



2



1





2





2



1



(1





)

2



2(





)

2



，

22



11



[0,1]

，所以

(





)

2



[0,]

，

CP

[

6

,2]

，

B

正确；

24

2



选项

C

，平面

BCC

1

B

1

的一个法向量是

n(0,1,0)

，





CP



n



1

cos

CP

,

n









，

CPnCP

1

sin







，由选项

B

得，

sin





[

2

,

6

]

，设直线

CP

与平面

BCC

1

B

1

所成角为



，则

CP

23

π

3

，





，

C

错误；

3

2



1



1

1





P

(,0,



)

DP

(,0,



)

选项

D

，，

，

，

AC(1,1,0)

，

2

22

sin







DP



AC



cos

DP

,

AC







DPAC

又



[0,1]

，∴





故选：ABD．

1

π1

2



cos



，





1

，

32

1

2



2



2

4

1

，即

P

点唯一，

D

正确，

2

.

三、填空题

13

．已知直线

l

1

平分圆

C:(x2)

2

y

2

2

且与

l

2

:6x4y10

互相平行，则

l

1

,l

2

的距离是

__________.

【正确答案】

1113

11

13

##

26

26

【分析】根据给定条件，结合平行线间距离的意义，求出圆

C

的圆心到直线

l

2

的距离作答

.

【详解】因为直线

l

1

平分圆

C:(x2)

2

y

2

2

，于是直线

l

1

过圆心

C(2,0)

，

所以

l

1

,l

2

的距离

d



|6



2



4



0



1|

6

2



4

2



1113

.

26

故

1113

26

14

．在等比数列



a

n



中，

a

9

8,a

12

1

，则数列



a

n



的前

5

项和是

__________.

（用具体数字作答）

【正确答案】3968

【分析】利用

a

9

8,a

12

1

求出通项公式，结合等比数列求和公式可得答案

.



a

1

q

8



8

1

11

【详解】设公比为

q

，因为

a

9

8,a

12

1

，所以



11

，解得

q

,

a

1



2



2048

；

2



a

1

q



1

1



2048





1



5





2





3968

.

所以数列



a

n



的前

5

项和为

S

5



1

1



2

故3968.

15

．已知抛物线

C:x

2

4y

，其焦点为

F,PQ

是过点

F

的一条弦，定点

A

的坐标是



3,3



，当

PAPF

取最小值时，则弦

PQ

的长是

__________.

【正确答案】

169

36

【分析】如图，过点

P

作准线

x=



1

的垂线

PP



，垂足为

P



，则

PAPFPAPP



，由图可知

当

A,P,P



三点共线时，

PAPF

取最小值，由此可得点

P

的坐标，从而可得直线

PQ

的方程，联

立方程求出

Q

点的坐标，即可得解.

【详解】抛物线

C:x

2

4y

的焦点

F



0,1



，准线为

x=



1

，

如图，过点

P

作准线

x=



1

的垂线

PP



，垂足为

P



，

则

PFPP



，

所以

PAPFPAPP



PA

，当且仅当

A,P,P



三点共线时，取等号，

所以当

PAPF

取最小值时，

P

点的横坐标为

3

，

当

x3

时，

y

9



9



，即

P



3,



，

4



4



所以

k

PQ

9



1

5

，



4



3



012

所以直线

PQ

的方程为

y

5

x

1

，

12

5



4



y



x



1

12

联立



，消

y

得

3x

2

5x120

，解得

x3

或

x

，

3

2





x



4

y

4

4



44



当

x

时，

y

，即

Q





,



，

3

9



39



4



94



169

所以

PQ





.



3















3



49



36



22

故答案为

.

169

36

已知平面四边形

ABCD

中，

ABBD,CBCD,AB23,BD2,CBCD

，现将

△BCD

沿

BD

16

．

折成一个四面体，则当四面体的外接球表面积最小时，异面直线

AC

与

BD

所成角的余弦值是

__________.

【正确答案】

14

14

【分析】由外接球的性质及外接球表面积最小确定球心在AD中点上，则可由半径确定C的位置，

最后建系由向量法求线线角的余弦值.

【详解】设AD的中点为E，BD的中点为F，∴

EF∥AB

.

∵

ABBD,CBCD,AB23,BD2,CBCD

，

∴

CFBD

，

CBCD2,AD2

2

23



2

4

，

EF

CB

1



1

.

AB

3

，

FCFBFD

2

2

四面体的外接球心在过E且垂直于面ABD的直线上，又四面体的外接球表面积最小，即外接球的

半径最小，则当球心为

E

时，半径

rEA

AD



2

最小

.

2