2024年4月14日发(作者：欧阳子安)
复变函数rez公式
1.复数的定义
一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,yImz.i21，X称为复数的实部，
y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模：
zx2y2；
2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。
argzArgz（多值函数）；主值
3）argz与
arctanyx之间的关系如下：
yx；
当x0,
argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx
4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：
2.复数的四则运算
1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：
3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其
argzz1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y
4）若z1z1ei1,z2z2ei2,则z1z2z1z2ei12；z1i12z1ez2z2
5.无穷远点得扩充与扩充复平面复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,
与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应
的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面这样的球面称
作复球面.扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集复
平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域
的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数
域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。
第二章复变量函数
1.复变量函数的定义
设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于
集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w
是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).
1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质反函数有界性周期性，3）
极限与连续性极限：设函数wf(z)定义在z0的去心邻域连续性
0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()
使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.
如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)zz0在z0处连续.如果f(z)在区域D内处
处连续,我们说f(z)在D内连续.2.复变量函数的形式偏导
1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解
析；且注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：主
值：zzez。Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；（单值函数）lnzlnziargzLnz
的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz1z；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
4)乘幂与幂函数：
abebLna(a0)；zbebLnz(z0)bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析，且zbz。
eizeizeizeiz5)三角函数：sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz
在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz
注：有界性
sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）
ezezezez6）双曲函数
shz2,chz2；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析
shzchz,chzshz
第三章解析函数的定义
1.复变量函数的导数
设函数wf(z)定义于区域D,z0为D中的一
点,点z0z不出D的范围,f(z0z)f(z0)
如果极限limz0z存在,那末就称f(z)在z0可导.这个极限值称为f(z)在z0的
导数,复变量函数的解析性如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)
在z0解析.如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在区域D内解析.或称
f(z)是区域D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
2.函数可导与解析的充要条件1）函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy
可导ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：uv,xyuvuvfziyx此时，
有xx。
2）函数解析的充要条件：
fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：
uv,xyfzuvyx；uvixx。
此时
注意：若
ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则
ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明
u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。
解析映射的几何意义
保角性：任何两条相交曲线的夹角（即在交点的切线的夹角）在解析映射下
的夹角保持不变
2024年4月14日发(作者：欧阳子安)
复变函数rez公式
1.复数的定义
一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,yImz.i21，X称为复数的实部，
y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模：
zx2y2；
2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。
argzArgz（多值函数）；主值
3）argz与
arctanyx之间的关系如下：
yx；
当x0,
argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx
4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：
2.复数的四则运算
1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：
3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其
argzz1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y
4）若z1z1ei1,z2z2ei2,则z1z2z1z2ei12；z1i12z1ez2z2
5.无穷远点得扩充与扩充复平面复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,
与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应
的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面这样的球面称
作复球面.扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集复
平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域
的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数
域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。
第二章复变量函数
1.复变量函数的定义
设G是一个复数zxiy的集合.如果有一个确定的法则存在,按这个法则,对于
集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w
是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).
1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质反函数有界性周期性，3）
极限与连续性极限：设函数wf(z)定义在z0的去心邻域连续性
0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()
使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.
如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)zz0在z0处连续.如果f(z)在区域D内处
处连续,我们说f(z)在D内连续.2.复变量函数的形式偏导
1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解
析；且注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：主
值：zzez。Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；（单值函数）lnzlnziargzLnz
的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz1z；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
4)乘幂与幂函数：
abebLna(a0)；zbebLnz(z0)bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析，且zbz。
eizeizeizeiz5)三角函数：sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz
在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz
注：有界性
sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）
ezezezez6）双曲函数
shz2,chz2；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析
shzchz,chzshz
第三章解析函数的定义
1.复变量函数的导数
设函数wf(z)定义于区域D,z0为D中的一
点,点z0z不出D的范围,f(z0z)f(z0)
如果极限limz0z存在,那末就称f(z)在z0可导.这个极限值称为f(z)在z0的
导数,复变量函数的解析性如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)
在z0解析.如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在区域D内解析.或称
f(z)是区域D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).
2.函数可导与解析的充要条件1）函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy
可导ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：uv,xyuvuvfziyx此时，
有xx。
2）函数解析的充要条件：
fzux,yivx,y在区域内解析ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：
uv,xyfzuvyx；uvixx。
此时
注意：若
ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则
ux,y,vx,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明
u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。
解析映射的几何意义
保角性：任何两条相交曲线的夹角（即在交点的切线的夹角）在解析映射下
的夹角保持不变