2024年4月25日发(作者：辛天曼)
江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年
高三年级高考数学第四次综合训练试卷
【参考答案】
一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+2i，则|z|＝（
A．1B．
）
C．2D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2+2i，
∴|1﹣i||z|＝|2+2i|，
则
∴|z|＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知M，N均为R的子集，且M⊆∁
R
N，则∁
R
M∩N＝（
A．∅B．MC．N
）
D．R
，
【分析】根据M⊆∁
R
N可画出Venn图，根据Venn图即可得出∁
R
M∩N＝N．
【解答】解：用Venn图表示M，N如下：
由Venn图看出，M⊆∁
R
N，∁
R
M∩N＝N．
故选：C．
【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算
能力，属于基础题．
3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表
示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则
（）
B．事件A与C相互独立A．事件A与B相互独立
1
C．D．
【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的
定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．
【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往
①②③
三个村庄义诊的试验有
等可能，
事件A含有的基本事件数为
同理P（B）＝P（C）＝，
事件AB含有的基本事件个数为
事件AC含有的基本事件数为
＝2，则P（AB）＝
＝5，则P（AC）＝
，
，
＝12，则P（A）＝＝，
＝36个基本事件，它们
对于A，P（A）P（B）＝≠P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；
对于B，P（A）P（C）＝≠P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；
对于C，P（B|A）＝
对于D，P（C|A）＝
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
4．已知向量，满足＝（
A．1B．
，1），•＝4，则||的最小值为（
C．
）
D．2
＝，故C不正确；
＝，故D正确．
【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．
【解答】解：由＝（
则
则
即，
，
，1），
，
则||的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
2
5．已知直线l：x+（a﹣1）y+2＝0，
A．B．C．
，且l
1
⊥l
2
，则a
2
+b
2
的最小值为（
D．
）
【分析】根据l
1
⊥l
2
得出b与a的关系式，代入a
2
+b
2
中利用二次函数的性质即可求出a
2
+b
2
的最小值．
【解答】解：因为l
1
⊥l
2
，所以
所以a＝1﹣
所以a
2
+b
2
＝
所以当
故选：A．
【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了利用函数求最值的应用问题，是基础题．
6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天
精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm
的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm．
b，
+b
2
＝4b
2
﹣2
时，a
2
+b
2
取最小值为．
b+1＝4+，
b+（a﹣1）＝0，
A．B．C．D．
【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，求解△ABC外接圆圆心O的半径r，转
化求解O
1
到平面DEF距离，推出结果．
【解答】解：由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的
连线向上折叠成直二面角而成，
设：A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，
∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，
，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则
∴，
，
，
∴O
1
到平面DEF距离：9
3
∴冠军奖杯的高度为：
故选：C．
．
【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．已知双曲线
近线分别交于M，N，若
A．
【分析】设N（x
1
，y
1
）则
B．4
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，过F
1
的直线与双曲线E的两条渐
，且∠F
1
NF
2
＝90°，则双曲线E的离心率为（
C．D．6
，利用，M在，求得N，
）
则，，由，即可求双曲线离心率．
【解答】解：设N（x
1
，y
1
），
∵N在，M在，
，
∴
∴，即N，
则，，
∴，
∴，∴，
故选：B．
4
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．
8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2
x
﹣a，若f（x）＝
m|x﹣1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（
A．（，）∪[﹣，﹣]
C．（，）∪{﹣}
）
B．（，）∪[﹣，]
D．（，）∪{﹣}
【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不
等式求解即可．
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）关于x＝1对称，
f（0）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝2
x
﹣a，所以a＝1，
y＝m|x﹣1|关于x＝1对称，f（x）＝m|x﹣1|有6个根，
∴f（x）＝m（x﹣1）在x∈（1，+∞）有三个根，
f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），函数的周期T＝4，作出f（x）图象如图：
当m＞0时，k
AC
＜m＜k
AB
，则
点m＜0时，
∴m的取值范围
故选：D．
，
，
；
5
【点评】本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、
乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整
数）分别服从正态分布N
1
（108，25）、N
2
（97，64），人数保留整数，则（）
参考数：若Z～N（μ，σ
2
），则P（|Z﹣μ|＜σ）≈0.6827，P（|Z﹣μ|＜2σ）≈0.9545，P（|Z﹣μ|＜3σ）≈
0.9973
A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865
B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人
C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散
D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：由题意可设，X～N
1
（108，25），则μ＝108，σ＝5，
Y～N
2
（97，64），μ
1
＝97，σ
1
＝8，
对于A，∵甲服从正态分布N
1
（108，25），
∴μ＝108，σ＝5，
∴
对于B，P（X＜103）＝P（X＜μ﹣σ）＝0.15865，
则甲校数学成绩不超过103的人数为900×0.15865＝142＞140，故B错误，
对于C，∵甲校的σ＝5，乙校的σ
1
＝8，
∴乙更分散，故C正确，
对于D，X～N
1
（108，25），P（X＜113）＝1﹣0.15865＝0.84135，
Y～N
2
（97，64），P（Y＜113）＝P（Y＜μ
1
+2σ
1
）＝0.97725＞0.84135，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
10．设抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有
（）
，故A正确，
A．准线l的方程是y＝﹣2
B．以线段MF为直径的圆与y轴相切
C．|ME|+|MF|的最小值为5
6
D．|ME|﹣|MF|的最大值为2
【分析】求得抛物线的准线方程可判断A；由抛物线的定义和直线与圆相切的性质可判断B；由抛物线的定义
和三点共线取得最值的性质可判断C；由三点共线取得最值的性质可判断D．
【解答】解：抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，故A错误；
设M（m，n），MF的中点为N，可得|MF|＝m+2＝2•
则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；
设M在准线上的射影为H，由|ME|+|MF|＝|ME|+|MH|，
当E，M，H三点共线时，|ME|+|MH|取得最小值，且为3+2＝5，故C正确；
由|ME|﹣|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，且为
，故D错误．
故选：BC．
＝
，即N到y轴的距离是|MF|的一半，
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查方程思想和运算能力、
推理能力，属于中档题．
11．已知函数
A．单调递增B．有零点
在区间（0，1）上可能（
C．有最小值D．有极大值
）
【分析】通过x的范围求解相位的范围，结合正弦函数的性质判断选项的正误即可．
【解答】解：0＜x＜1，则0＜ωx＜ω，
函数
∴f（x）在（0，1）不可能有零点，B错，
f（x）在（0，1）可能有极大值不可能有最小值，C错，D对
f（x）可能在（0，1）是增函数，A对．
，
在区间（0，1）上满足f（x）∈（
，
，1]，
7
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，正弦函数的图象与性质，是中档题．
12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，φ（k）是不大于k的正整数中与k互质
的数的个数，函数φ（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（6）
＝2，φ（8）＝4．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么φ（mn）＝φ（m）φ（n），例如：φ
（6）＝φ（2）φ（3），则（
A．φ（5）＝φ（8）
B．数列{φ（2
n
）}是等比数列
C．数列{φ（6
n
）}不是递增数列
D．数列的前n项和小于
）
【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果．
【解答】解：φ（5）＝4，φ（8）＝4，∴φ（5）＝φ（8），A对；
∵2为质数，∴在不超过2
n
的正整数中，所有偶数的个数为2
n
1
，
﹣
∴φ（2
n
）＝2
n
﹣2
n
1
＝2
n
﹣﹣
1
为等比数列，B对；
∵与3
n
互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，⋯，3
n
﹣2，3
n
﹣1，
共有（3﹣1）⋅3
n
1
＝2⋅3
n
﹣﹣
1
个，∴φ（3
n
）＝2⋅3
n
1
，
﹣
﹣
又∵φ（6
n
）＝φ（2
n
）φ（3
n
）＝2⋅6
n
1
，
∴φ（6
n
）一定是单调增数列，C错；
的前n项和为对．
故选：ABD．
【点评】本题考查了欧拉函数定义及运算性质，等比数列的求和计算，属于中档题．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“∀x∈R，x
2
﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x
2
﹣1≥0”．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x
2
﹣1≥0，
故答案为：∃x∈R，x
2
﹣1≥0．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．在（x+1）
4
（y+z）
6
的展开式中，所有项系数之和为1024；展开式中系数最大项的系数为120．
【分析】利用赋值法求展开式的系数和即可；利用二项展开式系数为正数求解即可．
8
【解答】解：令x＝1，则所有项系数和（1+1）
4
（1+1）
6
＝2
10
＝1024，
∵（x+1）
4
展开式各项系数都为正数，
∴系数最大的项为二项式系数最大的项
同理，（y+z）
6
展开式系数最大的项为
∴（x+1）
4
（y+z）
6
系数最大项的系数为120．
故答案为：1024；120．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质，考查利用赋值法求展开式的系数和，属于中档题．
，
，
15．若＝3，则sin2α＝．
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三
角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为
可得
故答案为：．
＝＝tanα＝3，
＝．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基
础题．
16．若关于x的不等式a（x+1）e
x
﹣x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围
【分析】由题意，不等式变形为a（x+1）＜，用导数法研究f（x）＝
[，）．
的单调性，则不等式a（x+1）e
x
﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l：y＝a（x+1）与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），即
可求出a的取值范围．
【解答】解：a（x+1）e
x
﹣x＜0⇔a（x+1）＜，
，又因为直线l：y＝a（x+1）过定点A（﹣1，0），令
故f（x）在（﹣∞，1）递增，（1，+∞）递减，
，
则，，
9
2024年4月25日发(作者：辛天曼)
江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年
高三年级高考数学第四次综合训练试卷
【参考答案】
一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+2i，则|z|＝（
A．1B．
）
C．2D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2+2i，
∴|1﹣i||z|＝|2+2i|，
则
∴|z|＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知M，N均为R的子集，且M⊆∁
R
N，则∁
R
M∩N＝（
A．∅B．MC．N
）
D．R
，
【分析】根据M⊆∁
R
N可画出Venn图，根据Venn图即可得出∁
R
M∩N＝N．
【解答】解：用Venn图表示M，N如下：
由Venn图看出，M⊆∁
R
N，∁
R
M∩N＝N．
故选：C．
【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算
能力，属于基础题．
3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表
示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则
（）
B．事件A与C相互独立A．事件A与B相互独立
1
C．D．
【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的
定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．
【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往
①②③
三个村庄义诊的试验有
等可能，
事件A含有的基本事件数为
同理P（B）＝P（C）＝，
事件AB含有的基本事件个数为
事件AC含有的基本事件数为
＝2，则P（AB）＝
＝5，则P（AC）＝
，
，
＝12，则P（A）＝＝，
＝36个基本事件，它们
对于A，P（A）P（B）＝≠P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；
对于B，P（A）P（C）＝≠P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；
对于C，P（B|A）＝
对于D，P（C|A）＝
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
4．已知向量，满足＝（
A．1B．
，1），•＝4，则||的最小值为（
C．
）
D．2
＝，故C不正确；
＝，故D正确．
【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．
【解答】解：由＝（
则
则
即，
，
，1），
，
则||的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
2
5．已知直线l：x+（a﹣1）y+2＝0，
A．B．C．
，且l
1
⊥l
2
，则a
2
+b
2
的最小值为（
D．
）
【分析】根据l
1
⊥l
2
得出b与a的关系式，代入a
2
+b
2
中利用二次函数的性质即可求出a
2
+b
2
的最小值．
【解答】解：因为l
1
⊥l
2
，所以
所以a＝1﹣
所以a
2
+b
2
＝
所以当
故选：A．
【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了利用函数求最值的应用问题，是基础题．
6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天
精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm
的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm．
b，
+b
2
＝4b
2
﹣2
时，a
2
+b
2
取最小值为．
b+1＝4+，
b+（a﹣1）＝0，
A．B．C．D．
【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，求解△ABC外接圆圆心O的半径r，转
化求解O
1
到平面DEF距离，推出结果．
【解答】解：由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的
连线向上折叠成直二面角而成，
设：A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，
∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，
，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则
∴，
，
，
∴O
1
到平面DEF距离：9
3
∴冠军奖杯的高度为：
故选：C．
．
【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．已知双曲线
近线分别交于M，N，若
A．
【分析】设N（x
1
，y
1
）则
B．4
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，过F
1
的直线与双曲线E的两条渐
，且∠F
1
NF
2
＝90°，则双曲线E的离心率为（
C．D．6
，利用，M在，求得N，
）
则，，由，即可求双曲线离心率．
【解答】解：设N（x
1
，y
1
），
∵N在，M在，
，
∴
∴，即N，
则，，
∴，
∴，∴，
故选：B．
4
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．
8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2
x
﹣a，若f（x）＝
m|x﹣1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（
A．（，）∪[﹣，﹣]
C．（，）∪{﹣}
）
B．（，）∪[﹣，]
D．（，）∪{﹣}
【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不
等式求解即可．
【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）关于x＝1对称，
f（0）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝2
x
﹣a，所以a＝1，
y＝m|x﹣1|关于x＝1对称，f（x）＝m|x﹣1|有6个根，
∴f（x）＝m（x﹣1）在x∈（1，+∞）有三个根，
f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），函数的周期T＝4，作出f（x）图象如图：
当m＞0时，k
AC
＜m＜k
AB
，则
点m＜0时，
∴m的取值范围
故选：D．
，
，
；
5
【点评】本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、
乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整
数）分别服从正态分布N
1
（108，25）、N
2
（97，64），人数保留整数，则（）
参考数：若Z～N（μ，σ
2
），则P（|Z﹣μ|＜σ）≈0.6827，P（|Z﹣μ|＜2σ）≈0.9545，P（|Z﹣μ|＜3σ）≈
0.9973
A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865
B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人
C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散
D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：由题意可设，X～N
1
（108，25），则μ＝108，σ＝5，
Y～N
2
（97，64），μ
1
＝97，σ
1
＝8，
对于A，∵甲服从正态分布N
1
（108，25），
∴μ＝108，σ＝5，
∴
对于B，P（X＜103）＝P（X＜μ﹣σ）＝0.15865，
则甲校数学成绩不超过103的人数为900×0.15865＝142＞140，故B错误，
对于C，∵甲校的σ＝5，乙校的σ
1
＝8，
∴乙更分散，故C正确，
对于D，X～N
1
（108，25），P（X＜113）＝1﹣0.15865＝0.84135，
Y～N
2
（97，64），P（Y＜113）＝P（Y＜μ
1
+2σ
1
）＝0.97725＞0.84135，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
10．设抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有
（）
，故A正确，
A．准线l的方程是y＝﹣2
B．以线段MF为直径的圆与y轴相切
C．|ME|+|MF|的最小值为5
6
D．|ME|﹣|MF|的最大值为2
【分析】求得抛物线的准线方程可判断A；由抛物线的定义和直线与圆相切的性质可判断B；由抛物线的定义
和三点共线取得最值的性质可判断C；由三点共线取得最值的性质可判断D．
【解答】解：抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，故A错误；
设M（m，n），MF的中点为N，可得|MF|＝m+2＝2•
则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；
设M在准线上的射影为H，由|ME|+|MF|＝|ME|+|MH|，
当E，M，H三点共线时，|ME|+|MH|取得最小值，且为3+2＝5，故C正确；
由|ME|﹣|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，且为
，故D错误．
故选：BC．
＝
，即N到y轴的距离是|MF|的一半，
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查方程思想和运算能力、
推理能力，属于中档题．
11．已知函数
A．单调递增B．有零点
在区间（0，1）上可能（
C．有最小值D．有极大值
）
【分析】通过x的范围求解相位的范围，结合正弦函数的性质判断选项的正误即可．
【解答】解：0＜x＜1，则0＜ωx＜ω，
函数
∴f（x）在（0，1）不可能有零点，B错，
f（x）在（0，1）可能有极大值不可能有最小值，C错，D对
f（x）可能在（0，1）是增函数，A对．
，
在区间（0，1）上满足f（x）∈（
，
，1]，
7
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数的简单性质的应用，正弦函数的图象与性质，是中档题．
12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，φ（k）是不大于k的正整数中与k互质
的数的个数，函数φ（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ（2）＝1，φ（3）＝2，φ（6）
＝2，φ（8）＝4．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么φ（mn）＝φ（m）φ（n），例如：φ
（6）＝φ（2）φ（3），则（
A．φ（5）＝φ（8）
B．数列{φ（2
n
）}是等比数列
C．数列{φ（6
n
）}不是递增数列
D．数列的前n项和小于
）
【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果．
【解答】解：φ（5）＝4，φ（8）＝4，∴φ（5）＝φ（8），A对；
∵2为质数，∴在不超过2
n
的正整数中，所有偶数的个数为2
n
1
，
﹣
∴φ（2
n
）＝2
n
﹣2
n
1
＝2
n
﹣﹣
1
为等比数列，B对；
∵与3
n
互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，⋯，3
n
﹣2，3
n
﹣1，
共有（3﹣1）⋅3
n
1
＝2⋅3
n
﹣﹣
1
个，∴φ（3
n
）＝2⋅3
n
1
，
﹣
﹣
又∵φ（6
n
）＝φ（2
n
）φ（3
n
）＝2⋅6
n
1
，
∴φ（6
n
）一定是单调增数列，C错；
的前n项和为对．
故选：ABD．
【点评】本题考查了欧拉函数定义及运算性质，等比数列的求和计算，属于中档题．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“∀x∈R，x
2
﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x
2
﹣1≥0”．
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x
2
﹣1≥0，
故答案为：∃x∈R，x
2
﹣1≥0．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．在（x+1）
4
（y+z）
6
的展开式中，所有项系数之和为1024；展开式中系数最大项的系数为120．
【分析】利用赋值法求展开式的系数和即可；利用二项展开式系数为正数求解即可．
8
【解答】解：令x＝1，则所有项系数和（1+1）
4
（1+1）
6
＝2
10
＝1024，
∵（x+1）
4
展开式各项系数都为正数，
∴系数最大的项为二项式系数最大的项
同理，（y+z）
6
展开式系数最大的项为
∴（x+1）
4
（y+z）
6
系数最大项的系数为120．
故答案为：1024；120．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质，考查利用赋值法求展开式的系数和，属于中档题．
，
，
15．若＝3，则sin2α＝．
【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三
角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为
可得
故答案为：．
＝＝tanα＝3，
＝．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基
础题．
16．若关于x的不等式a（x+1）e
x
﹣x＜0有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围
【分析】由题意，不等式变形为a（x+1）＜，用导数法研究f（x）＝
[，）．
的单调性，则不等式a（x+1）e
x
﹣x＜0有且只有2个正整数解等价于直线l：y＝a（x+1）与f（x）有两个交点分别在（0，1）和（2，3），即
可求出a的取值范围．
【解答】解：a（x+1）e
x
﹣x＜0⇔a（x+1）＜，
，又因为直线l：y＝a（x+1）过定点A（﹣1，0），令
故f（x）在（﹣∞，1）递增，（1，+∞）递减，
，
则，，
9