2024年4月26日发(作者：慕容荷紫)

2020

届中考数学二轮复习专题训练：二次函数与几何

1.

如图，抛物线

C

1

:y

＝

ax

2

＋

bx+1

的顶点坐标为

D

（

1,0

），

（

1

）求抛物线

C

1

的解析式；

（

2

）如图

1

，将抛物线

C

1

向右平移

1

个单位，向下平移

1

个单位得到抛物线

C

2

，直线

yxc

，经

过点

D

交

y

轴于点

A

，交抛物线

C

2

于点

B

，抛物线

C

2

的顶点为

P,

求

△DBP

的面积

（

3

）如图

2

，连结

AP,

过点

B

作

BC⊥AP

于

C,

设点

Q

为抛物线上点

P

至点

B

之间的一动点，连结

PQ

并延长交

BC

于点

E

，连结

BQ

并延长交

AC

于点

F

，试证明：

FC(ACEC)

为定值．

y

B

y

B

E

Q

O

A

D

P

图1

x

O

A

D

P

F

图2

C

x

【解答】

2

（

1

）

∵

抛物线顶点为

P(1,0)

，经过点（

0,1

）

∴

可设抛物线的解析式为：

ya(x1)

，得：

a1

∴

抛物线的解析式为

yx2x1

（

2

）根据题意的

p

（

2

，

-1

）

∴

抛物线的解析式为：

y(x2)1

，

∴A(0

，

-1),B(4,3)∴△DBP

的面积

=3

2

（

3

）过点

Q

作

QMAC

于点

M

，过点

Q

作

QNBC

于点

N

，设点

Q

的坐标是

(t,t4t3)

，则

2

2

QMCN(t2)

2

，

MCQN4t

.

QMPM

(t2)

2

t1

∵

QM//CE

∴

PQM

∽

PEC

∴

即



，得

EC2(t2)



ECPC

EC2

QNBN4

4t3(t

2

4t3)

∵

QN//FC

∴

BQN

∽

BFC

∴

即

FC

，得



FCBCt

FC4

又

∵

AC4

4

∴

FC(ACEC)[42(t2)]8

，即

FC(ACEC)

为定值

8.

t

2

2.

如图，

B

两点已知抛物线

C

1

：

ya



x2



5

的顶点为

P

，与

x

轴相交于

A

、（点

A

在点

B

的左边），

点

B

的横坐标是

1

．

（

1

）求

P

点坐标及

a

的值；（

3

分）

（

2

）如图

1

，抛物线

C

2

与抛物线

C

1

关于

x

轴对称，将抛物线

C

2

向右平移，平移后的抛物线记为

C

3

，

C

3

的顶点为

M

，当点

P

、

M

关于点

B

成中心对称时，求

C

3

的解析式；（

4

分）

（

3

）如图

2

，点

Q

是

x

轴正半轴上一点，将抛物线

C

1

绕点

Q

旋转

180°

后得到抛物线

C

4

．抛物线

C

4

的顶点为

N

，与

x

轴相交于

E

、

F

两点（点

E

在点

F

的左边），当以点

P

、

N

、

F

为顶点的三角形是直

角三角形时，求点

Q

的坐标．（

5

分）

C

1

y

M

A

O

P

图1

B

x

C

1

y

N

A

O

P

图2

图2

B

Q

E

F

x

C

2

图1

C

3

C

4

【解答】

2

（

1

）由抛物线

C

1

：

ya



x2



5

得顶点

P

的为（

-2

，

-5

）

5

2

∵

点

B

（

1

，

0

）在抛物线

C

1

上

∴

0a



12



5

，

∴a

＝

9

（

2

）连接

PM

，作

PH⊥x

轴于

H

，作

MG⊥x

轴于

G

∵

点

P

、

M

关于点

B

成中心对称，

∴PM

过点

B

，且

PB

＝

MB

∴△PBH≌△MBG

，

∴MG

＝

PH

＝

5

，

BG

＝

BH

＝

3

∴

顶点

M

的坐标为（

4

，

5

），抛物线

C

2

由

C

1

关于

x

轴对称得到，抛物线

C

3

由

C

2

平移得到

∴

抛物线

C

3

的表达式为

y

5



x4



2

5

9

（

3

）

∵

抛物线

C

4

由

C

1

绕点

x

轴上的点

Q

旋转

180°

得到

∴

顶点

N

、

P

关于点

Q

成中心对称由（

2

）得点

N

的纵坐标为

5

设点

N

坐标为（

m

，

5

）

作

PH⊥x

轴于

H

，作

NG⊥x

轴于

G

，

作

PK⊥NG

于

K

∵

旋转中心

Q

在

x

轴上

y

C

1

∴EF

＝

AB

＝

2BH

＝

6

N

∴FG

＝

3

，点

F

坐标为（

m+3

，

0

）

H

B

Q

H

坐标为（

2

，

0

），

K

坐标为（

m

，

-5

），

G

A

E

O

根据勾股定理得

F

x

PN

2

＝

NK

2

+PK

2

＝

m

2

+4m+104

K

PF

2

＝

PH

2

+HF

2

＝

m

2

+10m+50

P

C

4

NF

2

＝

5

2

+3

2

＝

34

图(2)

44

①

当

∠PNF

＝

90º

时，

PN

2

+ NF

2

＝

PF

2

，解得

m

＝

3

，

∴Q

点坐标

19

为（

3

，

0

）

102

222

②

当

∠PFN

＝

90º

时，

PF+ NF

＝

PN

，解得

m

＝

3

，

∴Q

点坐标为（

3

，

0

）

③∵PN

＞

NK

＝

10

＞

NF

，

∴∠NPF≠90º

192

综上所得，当

Q

点坐标为（

3

，

0

）或（

3

，

0

）时，以点

P

、

N

、

F

为顶点的三角形是直角三角形．

3.

已知

:

如图

1,

二次函数

y

＝

a (x

－

1)

2

－

4

的图象交

x

轴负半轴于点

A,

交

x

轴正半轴于点

B,

交

y

轴负

半轴于点

C,

且

OB

＝

3OA.

(1)

求二次函数的解析式

;

(2)

如图

2, M

是抛物线的顶点

, P

是抛物线在

B

点右侧上一点

, Q

是对称轴上一点

,

并且

AQ⊥PQ,

是否存在这样的点

P,

使得

∠PAQ

＝

∠AMQ ?

若存在

,

请求出

P

点坐标

;

若不存在

,

请说明

理由

.

（

3

）如图

3,

设

(1)

中抛物线的顶点为

M,R

为

x

轴正半轴上一点，将（

1

）中抛物线绕

R

旋转

180

0

得到抛物线

C

1

: y

＝

-a (x

－

h)

2

+k

交

x

轴于

D,E

两点，

.

若

tan∠BME=1,

求

R

点的坐标。

2024年4月26日发(作者：慕容荷紫)

2020

届中考数学二轮复习专题训练：二次函数与几何

1.

如图，抛物线

C

1

:y

＝

ax

2

＋

bx+1

的顶点坐标为

D

（

1,0

），

（

1

）求抛物线

C

1

的解析式；

（

2

）如图

1

，将抛物线

C

1

向右平移

1

个单位，向下平移

1

个单位得到抛物线

C

2

，直线

yxc

，经

过点

D

交

y

轴于点

A

，交抛物线

C

2

于点

B

，抛物线

C

2

的顶点为

P,

求

△DBP

的面积

（

3

）如图

2

，连结

AP,

过点

B

作

BC⊥AP

于

C,

设点

Q

为抛物线上点

P

至点

B

之间的一动点，连结

PQ

并延长交

BC

于点

E

，连结

BQ

并延长交

AC

于点

F

，试证明：

FC(ACEC)

为定值．

y

B

y

B

E

Q

O

A

D

P

图1

x

O

A

D

P

F

图2

C

x

【解答】

2

（

1

）

∵

抛物线顶点为

P(1,0)

，经过点（

0,1

）

∴

可设抛物线的解析式为：

ya(x1)

，得：

a1

∴

抛物线的解析式为

yx2x1

（

2

）根据题意的

p

（

2

，

-1

）

∴

抛物线的解析式为：

y(x2)1

，

∴A(0

，

-1),B(4,3)∴△DBP

的面积

=3

2

（

3

）过点

Q

作

QMAC

于点

M

，过点

Q

作

QNBC

于点

N

，设点

Q

的坐标是

(t,t4t3)

，则

2

2

QMCN(t2)

2

，

MCQN4t

.

QMPM

(t2)

2

t1

∵

QM//CE

∴

PQM

∽

PEC

∴

即



，得

EC2(t2)



ECPC

EC2

QNBN4

4t3(t

2

4t3)

∵

QN//FC

∴

BQN

∽

BFC

∴

即

FC

，得



FCBCt

FC4

又

∵

AC4

4

∴

FC(ACEC)[42(t2)]8

，即

FC(ACEC)

为定值

8.

t

2

2.

如图，

B

两点已知抛物线

C

1

：

ya



x2



5

的顶点为

P

，与

x

轴相交于

A

、（点

A

在点

B

的左边），

点

B

的横坐标是

1

．

（

1

）求

P

点坐标及

a

的值；（

3

分）

（

2

）如图

1

，抛物线

C

2

与抛物线

C

1

关于

x

轴对称，将抛物线

C

2

向右平移，平移后的抛物线记为

C

3

，

C

3

的顶点为

M

，当点

P

、

M

关于点

B

成中心对称时，求

C

3

的解析式；（

4

分）

（

3

）如图

2

，点

Q

是

x

轴正半轴上一点，将抛物线

C

1

绕点

Q

旋转

180°

后得到抛物线

C

4

．抛物线

C

4

的顶点为

N

，与

x

轴相交于

E

、

F

两点（点

E

在点

F

的左边），当以点

P

、

N

、

F

为顶点的三角形是直

角三角形时，求点

Q

的坐标．（

5

分）

C

1

y

M

A

O

P

图1

B

x

C

1

y

N

A

O

P

图2

图2

B

Q

E

F

x

C

2

图1

C

3

C

4

【解答】

2

（

1

）由抛物线

C

1

：

ya



x2



5

得顶点

P

的为（

-2

，

-5

）

5

2

∵

点

B

（

1

，

0

）在抛物线

C

1

上

∴

0a



12



5

，

∴a

＝

9

（

2

）连接

PM

，作

PH⊥x

轴于

H

，作

MG⊥x

轴于

G

∵

点

P

、

M

关于点

B

成中心对称，

∴PM

过点

B

，且

PB

＝

MB

∴△PBH≌△MBG

，

∴MG

＝

PH

＝

5

，

BG

＝

BH

＝

3

∴

顶点

M

的坐标为（

4

，

5

），抛物线

C

2

由

C

1

关于

x

轴对称得到，抛物线

C

3

由

C

2

平移得到

∴

抛物线

C

3

的表达式为

y

5



x4



2

5

9

（

3

）

∵

抛物线

C

4

由

C

1

绕点

x

轴上的点

Q

旋转

180°

得到

∴

顶点

N

、

P

关于点

Q

成中心对称由（

2

）得点

N

的纵坐标为

5

设点

N

坐标为（

m

，

5

）

作

PH⊥x

轴于

H

，作

NG⊥x

轴于

G

，

作

PK⊥NG

于

K

∵

旋转中心

Q

在

x

轴上

y

C

1

∴EF

＝

AB

＝

2BH

＝

6

N

∴FG

＝

3

，点

F

坐标为（

m+3

，

0

）

H

B

Q

H

坐标为（

2

，

0

），

K

坐标为（

m

，

-5

），

G

A

E

O

根据勾股定理得

F

x

PN

2

＝

NK

2

+PK

2

＝

m

2

+4m+104

K

PF

2

＝

PH

2

+HF

2

＝

m

2

+10m+50

P

C

4

NF

2

＝

5

2

+3

2

＝

34

图(2)

44

①

当

∠PNF

＝

90º

时，

PN

2

+ NF

2

＝

PF

2

，解得

m

＝

3

，

∴Q

点坐标

19

为（

3

，

0

）

102

222

②

当

∠PFN

＝

90º

时，

PF+ NF

＝

PN

，解得

m

＝

3

，

∴Q

点坐标为（

3

，

0

）

③∵PN

＞

NK

＝

10

＞

NF

，

∴∠NPF≠90º

192

综上所得，当

Q

点坐标为（

3

，

0

）或（

3

，

0

）时，以点

P

、

N

、

F

为顶点的三角形是直角三角形．

3.

已知

:

如图

1,

二次函数

y

＝

a (x

－

1)

2

－

4

的图象交

x

轴负半轴于点

A,

交

x

轴正半轴于点

B,

交

y

轴负

半轴于点

C,

且

OB

＝

3OA.

(1)

求二次函数的解析式

;

(2)

如图

2, M

是抛物线的顶点

, P

是抛物线在

B

点右侧上一点

, Q

是对称轴上一点

,

并且

AQ⊥PQ,

是否存在这样的点

P,

使得

∠PAQ

＝

∠AMQ ?

若存在

,

请求出

P

点坐标

;

若不存在

,

请说明

理由

.

（

3

）如图

3,

设

(1)

中抛物线的顶点为

M,R

为

x

轴正半轴上一点，将（

1

）中抛物线绕

R

旋转

180

0

得到抛物线

C

1

: y

＝

-a (x

－

h)

2

+k

交

x

轴于

D,E

两点，

.

若

tan∠BME=1,

求

R

点的坐标。