2024年4月26日发(作者：严访)

2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．

1010

的倒数是（

A．

1010

）

B．

1

1010

C．



1

1010

D．

1010

2

．下列运算正确的是（

A

．

a

3

a

3

2a

6

C．

a

6

a

3

a

2

）

B

．

a

3

a

3

2a

6

D．



2a

2



8a

6

3

3

．如图，

AB

为

O

的直径，

AB10

cm

，

C

、

D

为

O

上两点，若

BCD60

，则

BD

的长为（）

A．

5cm

4．若式子

A

．

x2

1

2x4

B．

53cm

C．

5

cm

2

D．

）

5

3

cm

2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

B

．

x2

C

．

x2

D

．

x2

5

．受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响

,

2022

年，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好，前

11

个月，社会消费

品零售总额

399190

亿元，同比下降

0.1%

，数据

399190

亿用科学计数法表示为（

A

．

39.91910

12

元

B

．

3.991910

12

元

）

3

2

）

C

．

3.991910

14

元

D

．

3.991910

13

元



2

x



3



0

6．不等式组



的解集是（



4



x



5

A．

x

3

2

B．

3

x

9

2

C．

x

D．

x9

：

157

、

7

．寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩（个

/

分）

159

、

160

、

162

、

160

、

163

、

164

，该组数据的中位数和众数分别为（

A

．

162

、

160B

．

160

、

162C

．

160

、

160

）

D

．

159

、

160

试卷第1页，共8页

8

．在三边都不相等的

ABC

的边

AB

上有一点

D

，过点

D

画一条直线，与三角形的另

一边相交所截得的三角形与

ABC

相似，这样的直线最多可以画（）

A

．

5

条

B

．

4

条

C

．

3

条

D

．

2

条

9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数

y

1

kx3

（k是常数，且

k0

）与反比

例函数

y

2



6

6

的图象交于

A



3,2



，

B



2,m



两点，则不等式

kx



3



的解集是（

x

x

）

A

．

3x2

C

．

3x0

或

x2

B

．

x3

或

x2

D

．

0x2

10．如图，在边长为4的正六边形

ABCDE

中，先以点B为圆心，

AB

的长为半径作



AC

，



交



再以点A为圆心，

AB

的长为半径作

BP

AC

于点P，则图中阴影部分的面积为（）

A．

43



8π

3

B．

43

C．

43



8π

3

D．

23

二、填空题

试卷第2页，共8页

11．





1



3



1.732











______．



4





0



2

12．将抛物线

yx

2

4x1

化成顶点式为______．

13

．一个不透明的袋子里装有

2

个白球，

2

个彩球，这些球除颜色外完全相同，小欢从

袋子里随机一次摸出

2

个球，摸到两个都是彩球的概率是

______

．

14

．某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角

三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用

84

个三

角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有

______

个．

15．如图，点P是双曲线

y

y

2



x0



上的一点，过点P作y轴的平行线交直线

AB

：

x

1

x

1

于点Q，连接

OP、OQ

．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四

4

边形

OAQP

面积的最大值是

______

．

三、解答题

31

tan60



cos30



sin30



sin

2

45



．

32

3

x



12

xx



2



2

（2）先化简：，然后选择一个适当的、你喜欢的数代入求值．

x



2

x



4

x



4

x



4

16．（1）计算：

17

．

2023

年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党

中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争．

1

月

3

日，为了增强学生对此次疫情

的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动．

1

月

13

日为了解

这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校

1500

名学生中随机抽取若干名在线学生进

行知识测试（测试满分

100

分，得分均为整数），并根据这若干人的测试成绩，制作了如

下不完整的统计图表．

学生知识测试成绩的频数表

试卷第3页，共8页

成绩a（分）

A

B

频数（人）

50a60

60a70

70a80

80a90

90a100

10

15

C

D

E

m

40

15

由图表及统计图中给出的信息，回答下列问题：

(1)本次抽取的样本容量是______；扇形

E

的圆心角





______



，并补全频数直方图；

(2)如果

80

分以上（包括

80

分）为优秀，请估计全校

1500

名学生中成绩优秀的人数．

(3)针对这次活动谈谈你的想法．

18．乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内

容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然

的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态

宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路

工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：

6060



30

，

1



20%xx



(1)根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（）

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了

20%

，结果提前30天完成了这一任务

B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了

20%

，结果推迟30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了

20%

，结果推迟30天完成了这一任务

试卷第4页，共8页

D

．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了

20%

，结果提前

30

天完成了这一任务

(2)

在（

1

）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．

E

．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？

F

．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？

我选的问题是：

________________

解：设

19

．如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BAC90

，以

AB

为直径作⊙

O

分别交

BC

，

AC

于点

D

，

E

，连接

AD

，过点

D

作⊙

O

的切线交

AC

于点

F

．



和

ED

»

的数量关系，并说明理由．

(1)

试猜想

BD

(2)若

AB52,AD210

，求AF的长．

20

．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究

发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细

阅读下列材料并完成相应的任务．

在

ABC

中，



A

，



B

，



C

的对边分别为a、b、c，

ABC

的面积为

作

AD



BC

，垂足为D，则在

Rt△ABD

中，

∵

sin

B



AD

AB

S



ABC

，过点A

∴

ADABsinB

111

BCADBCAB

sin

Bac

sin

B

222

∴

1

1

S



ABC

bc

sin

A

S

△

ABC

ba

sin

C

2

2

同理可得，，

111

S

△

ABC

bc

sin

Aac

sin

Bba

sin

C

222

即

……………①

S

△

ABC



由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．

又∵

abc0

111

1

sinAsinBsinC

bc

sin

Aac

sin

Bba

sin

C

abc



222

2

abc

∴将等式两边同除以，得，

abc



∴

sin

A

sin

B

sin

C

…………………②

试卷第5页，共8页

由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．

理解应用：如图，甲船以

302

海里

/

时的速度向正北方向航行，当甲船位于

A

处时，乙

船位于甲船的南偏西

75°

方向的

B

处，且乙船从

B

处沿北偏东

15°

方向匀速直线航行，

当甲船航行

20

分钟到达

D

处时，乙船航行到甲船的南偏西

60°

方向的

C

处，此时两船

相距

102

海里．

(1)

求：

△ADC

的面积；

．

(2)

求：乙船航行的速度（结果保留根号）

21

．光明中学校园有一升旗台，旗杆的高度引起了爱思考的同学们的极大兴趣．数学活

动小组的同学对旗杆的高度进行了测量．测量方法如下：如图，从旗杆底部分别向东、

西走到达点

A

、

C

处，在

A

，

C

两处分别放置学生制作的高为

1.2m

的测倾仪，在

A

处测

得旗杆顶端

Q

的仰角是

60

，在

C

处测得旗杆顶端

Q

仰角为

50

，点

A

，

C

及旗杆

PQ

在

同一平面内，旗杆底部

P

与点

A

，

C

在同一条直线上，

AC10m

，根据测量小组提供

的数据，求该旗杆的高度．

（结果精确到

0.1m

，参考数据：

sin500.77

，

cos500.64

，

tan501.2

，

31.73

）

22

．综合与探究

问题情境：

数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知

Rt△ABC

，

ACB90

，过点

，过点

A

作

ADl

于点

D

，过点

B

作

BEl

于点

C

任作一条直线

l

（不与

CA、CB

重合）

．

E

，当点

A

、

B

在直线

l

同侧时，易证

△ACD∽△CBE

（下列解题可直接用此结论）

试卷第6页，共8页

(1)

如图②，当点

A

、

B

在直线

l

异侧时，求证：

△ACD∽△CBE

．

模型应用：

在平面直角坐标系中，已知直线

l

：

ykx4k

（

k

为常数，

k0

）与

x

轴交于点

A

，与

y

轴的负半轴交于点

B

，以

AB

为边、

B

为直角顶点作直角三角形

ABC

且

tanACB2

．

(2)

若直线

l

经过点



2,3



，当点

C

在第三象限时，点

C

的坐标为

______

．

(3)若点D是函数

y2x



x0



图象上的点，且

BD∥x

轴，当点C在第四象限时，连接

CD

交

y

轴于点

E

，求点

C

、

D

的坐标（用含

k

的式子表示）及

BE

的长．

23

．综合与探究

如图，抛物线

yax

2

bxc

经过点

A



2,0



，

B



6,0



两点，与y轴交于点C，且

OC6

，

点

D

是抛物线上第一象限内的一个动点，设点

D

的横坐标为

m

．连接

AC、BC、DB、DC

．

(1)

求抛物线的函数表达式；

(2)

过点

D

作与

y

轴的平行线的直线

l

，与

BC

交于点

E

，当

CDE

是以

DE

为底边的等腰

三角形时，求点

D

的坐标．

(3)

若点

M

是

y

轴上的动点，在坐标平面内是否存在点

N

，使以点

A

、

C

、

M

、

N

为顶点

试卷第7页，共8页

的四边形是菱形？若存在，请直接写出点

N

的坐标；若不存在，请说明理由．

试卷第8页，共8页

参考答案：

1

．

C

【分析】根据倒数的定义即可得出结论．

【详解】解：由题可知：

1010

的倒数为



故选：

C.

【点睛】本题主要考查了倒数的定义：乘积为

1

的两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是

解此题的关键．

2

．

D

【分析】根据幂的运算法则，合并同类型法则即可判断．

【详解】

A.a

3

a

3

a

6

,

故此选项不符合题意．

B.a

3

a

3

2a

3

,

故此选项不符合题意．

C.a

6

a

3

a

3

,

故此选项不符合题意．

D.



2a

2







2





a

2



8a

6

,

正确，故此选项符合题意．

3

33

1

.

1010

故选：

D.

【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，合并同类型法则，熟练掌握幂的运算法则，合并同

类型法则是解此题的关键．

3

．

B

【分析】如图：连接

AD

，根据直径所对的圆周角为

90

可得

ADB90

，再根据同弧所对

的圆周角相等可得

BADBCD60

，最后根据正弦的定义列式求解即可．

【详解】解：如图：连接

AD

∵

AB

为

O

的直径，

∴

ADB90



BD



∵

BCD60

，

BD

∴

BADBCD60

∴

sin



DAB



故选

B

．

BD

3

BD

3

,,解得：

BD53

．





AB

2

102

答案第

1

页，共

20

页

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握

“

直径所对的圆周角为

90

”

和

“

同弧所对的圆周角相等

”

是解答本题的关键．

4

．

C

【分析】根据二次根式里面的被开方数

2x4≥0

，且分式的分母不为

0

即

2x40

，进行

求解．

【详解】解：

Q

1

2x4

在实数范围内有意义，

2x40

且

2x40

，

解得：

x2

．

故选：

C

．

【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，分母不为零是解题的关键．

5

．

D

【分析】科学记数法是指把一个数表示成

a

10

n

的形式（

1a＜10

，

n

为整数），科学计数法

可以很方便地表示一些绝对值较大的数．

【详解】

399190

亿元

399

元

3.991910

13

元，

故选：

D

．

【点睛】本题考查了科学计数法，掌握科学记数法的表示法则及规律是关键．

6

．

A

【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．



2

x



3



0

①

,

【详解】解：



4



x



5

②



由①得：

x

3

,

2

由②得：

x9,

答案第

2

页，共

20

页

3

∴原不等式组的解集为

x

.

2

故选：

A.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知

“

同大取大，同小取小，大小小大中间

找，大大小小找不到

”

的原则是解此题的关键．

7

．

C

【分析】根据众数和中位数的定义进行解答即可．

【详解】解：将他记录了最近一周的成绩从小到大进行排序：

157

、

159

、

160

、

160

、

162

、

163

、

164

，出现次数最多的数为

160

，因此众数为

160

；排在中间的数为

160

，因此中位数

的

160

，故

C

正确．

故选：

C

．

【点睛】本题主要考查了众数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，

众数是在一组数据中

,

出现次数最多的数据；中位数是按从小到大或从大到小排列，居于中

间位置的数．

8

．

B

【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．

【详解】解：如图，画直线

DE∥BC

交

AC

于点

E

，则

△ADE∽△ABC

；

如图，画直线

DE

交

AC

于点

E

，使

AEDB

，

∵

AA

，

∴

△AED∽△ABC

；

如图，画直线

DE

∥

AC

交

BC

于点

E

，则

△BDE∽△BAC

；

答案第

3

页，共

20

页

如图，画直线

DE

交

BC

于点

E

，使

BEDA

，

∵

BB

，

∴

BDE∽BCA

；

∴这样的直线最多可以画

4

条．

故选：

B

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

9

．

C

【分析】一次函数

y

1

kxb

落在反比例函数

y

2



围即为所求．

【详解】



一次函数

y

1

kx3

与反比例函数

y

2



6

的图象交于

A



3,2



，

B



2,m



两点，

x

c

图象上方的部分对应的自变量的取值范

x



由图象知不等式

kx



3



故选：

C

．

6

的解集是

3x0

或

x2

．

x

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合是解题关键．

10

．

B



上任取一点

M

，【详解】解：如图，连接

AP

、

PB

，过点

P

作

PGAB

，在

BP

由题意可知：

PA=PB=AB=4

，

PAB

是等边三角形，

PBA=60

，

PGAB

，

PG

=

PB

sin60



=4



∴在

RtPGB

中，

sin60



=

PG

，

PB

3

=23

，

2

答案第

4

页，共

20

页

S



PAB



1



4



23



43

，

2

60



8









4

2



，

360



3

8





43

，

3

PBA=PAB=60

，



S

扇形

PAB



S

扇形

ABP





S

弓形

BMP



S

扇形

PAB



S



PAB



ABC=120

，



S

扇形

ABC



∵

六边形

ABCDEF

是正六边形，

120



16









4

2



，

360



3

S

阴影

S

扇形

ABC

S

扇形

ABP

S

弓形

BMP

，



S

阴影



16



8





8











43





43

，

33



3



∴阴影部分的面积为

43

，

故选：

B

．

【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角

和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键．

11

．

17

【分析】先根据零次幂和负整数次幂化简，然后再计算即可．

【详解】解：





1



3



1.732











1



16



17

．



4





0



2

故答案为

17

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，掌握零次幂和负整数次幂的运算法则是解答本题

的关键．

答案第

5

页，共

20

页

12．

y



x2



5

2

【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．

【详解】解：由抛物线

yx

2

4x1

可化为顶点式为

y



x2



5

；

2

故答案为

y



x2



5

．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是

解题的关键．

13．

1

6

2

【分析】根据题意列出表格，可得共有

12

种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的

2

种，

再由概率公式计算，即可求解．

【详解】解：根据题意，列出表格如下：

白1

白1

白2

彩1

彩2

白1、白2

白1、彩1

白1、彩2

白2、彩1

白2、彩2彩1、彩2

白2

白2、白1

彩1

彩1、白1

彩1、白2

彩2

彩2、白1

彩2、白2

彩2、彩1

共有

12

种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的

2

种，

所以摸到两个都是彩球的概率是

故答案为：

1

6

21



．

126

【点睛】题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率



所求情况数与总情况

数之比．

14

．

40

【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数．

1

【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：



(84



3



1)



40

(个)．

2

故答案为∶

40

答案第

6

页，共

20

页

2024年4月26日发(作者：严访)

2023年山西省晋中市太谷区中考一模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．

1010

的倒数是（

A．

1010

）

B．

1

1010

C．



1

1010

D．

1010

2

．下列运算正确的是（

A

．

a

3

a

3

2a

6

C．

a

6

a

3

a

2

）

B

．

a

3

a

3

2a

6

D．



2a

2



8a

6

3

3

．如图，

AB

为

O

的直径，

AB10

cm

，

C

、

D

为

O

上两点，若

BCD60

，则

BD

的长为（）

A．

5cm

4．若式子

A

．

x2

1

2x4

B．

53cm

C．

5

cm

2

D．

）

5

3

cm

2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

B

．

x2

C

．

x2

D

．

x2

5

．受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响

,

2022

年，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好，前

11

个月，社会消费

品零售总额

399190

亿元，同比下降

0.1%

，数据

399190

亿用科学计数法表示为（

A

．

39.91910

12

元

B

．

3.991910

12

元

）

3

2

）

C

．

3.991910

14

元

D

．

3.991910

13

元



2

x



3



0

6．不等式组



的解集是（



4



x



5

A．

x

3

2

B．

3

x

9

2

C．

x

D．

x9

：

157

、

7

．寒假期间王华坚持每天在家做跳绳训练，他记录了最近一周的成绩（个

/

分）

159

、

160

、

162

、

160

、

163

、

164

，该组数据的中位数和众数分别为（

A

．

162

、

160B

．

160

、

162C

．

160

、

160

）

D

．

159

、

160

试卷第1页，共8页

8

．在三边都不相等的

ABC

的边

AB

上有一点

D

，过点

D

画一条直线，与三角形的另

一边相交所截得的三角形与

ABC

相似，这样的直线最多可以画（）

A

．

5

条

B

．

4

条

C

．

3

条

D

．

2

条

9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数

y

1

kx3

（k是常数，且

k0

）与反比

例函数

y

2



6

6

的图象交于

A



3,2



，

B



2,m



两点，则不等式

kx



3



的解集是（

x

x

）

A

．

3x2

C

．

3x0

或

x2

B

．

x3

或

x2

D

．

0x2

10．如图，在边长为4的正六边形

ABCDE

中，先以点B为圆心，

AB

的长为半径作



AC

，



交



再以点A为圆心，

AB

的长为半径作

BP

AC

于点P，则图中阴影部分的面积为（）

A．

43



8π

3

B．

43

C．

43



8π

3

D．

23

二、填空题

试卷第2页，共8页

11．





1



3



1.732











______．



4





0



2

12．将抛物线

yx

2

4x1

化成顶点式为______．

13

．一个不透明的袋子里装有

2

个白球，

2

个彩球，这些球除颜色外完全相同，小欢从

袋子里随机一次摸出

2

个球，摸到两个都是彩球的概率是

______

．

14

．某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角

三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用

84

个三

角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有

______

个．

15．如图，点P是双曲线

y

y

2



x0



上的一点，过点P作y轴的平行线交直线

AB

：

x

1

x

1

于点Q，连接

OP、OQ

．当点P在曲线上运动，且点P在Q的上方时，则四

4

边形

OAQP

面积的最大值是

______

．

三、解答题

31

tan60



cos30



sin30



sin

2

45



．

32

3

x



12

xx



2



2

（2）先化简：，然后选择一个适当的、你喜欢的数代入求值．

x



2

x



4

x



4

x



4

16．（1）计算：

17

．

2023

年元旦期间，面对新型肺炎疫情的侵袭，全国上下众志成城，我们坚信在党

中央的统一领导下必定打赢这场没有硝烟的战争．

1

月

3

日，为了增强学生对此次疫情

的了解与防控，某学校在本校网站上开展了相关知识的宣传教育活动．

1

月

13

日为了解

这次宣传活动的效果，学校在校网站上从全校

1500

名学生中随机抽取若干名在线学生进

行知识测试（测试满分

100

分，得分均为整数），并根据这若干人的测试成绩，制作了如

下不完整的统计图表．

学生知识测试成绩的频数表

试卷第3页，共8页

成绩a（分）

A

B

频数（人）

50a60

60a70

70a80

80a90

90a100

10

15

C

D

E

m

40

15

由图表及统计图中给出的信息，回答下列问题：

(1)本次抽取的样本容量是______；扇形

E

的圆心角





______



，并补全频数直方图；

(2)如果

80

分以上（包括

80

分）为优秀，请估计全校

1500

名学生中成绩优秀的人数．

(3)针对这次活动谈谈你的想法．

18．乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内

容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然

的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态

宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路

工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：

6060



30

，

1



20%xx



(1)根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（）

A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了

20%

，结果提前30天完成了这一任务

B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了

20%

，结果推迟30天完成了这一任务

C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了

20%

，结果推迟30天完成了这一任务

试卷第4页，共8页

D

．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了

20%

，结果提前

30

天完成了这一任务

(2)

在（

1

）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程．

E

．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？

F

．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？

我选的问题是：

________________

解：设

19

．如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

BAC90

，以

AB

为直径作⊙

O

分别交

BC

，

AC

于点

D

，

E

，连接

AD

，过点

D

作⊙

O

的切线交

AC

于点

F

．



和

ED

»

的数量关系，并说明理由．

(1)

试猜想

BD

(2)若

AB52,AD210

，求AF的长．

20

．通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究

发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细

阅读下列材料并完成相应的任务．

在

ABC

中，



A

，



B

，



C

的对边分别为a、b、c，

ABC

的面积为

作

AD



BC

，垂足为D，则在

Rt△ABD

中，

∵

sin

B



AD

AB

S



ABC

，过点A

∴

ADABsinB

111

BCADBCAB

sin

Bac

sin

B

222

∴

1

1

S



ABC

bc

sin

A

S

△

ABC

ba

sin

C

2

2

同理可得，，

111

S

△

ABC

bc

sin

Aac

sin

Bba

sin

C

222

即

……………①

S

△

ABC



由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．

又∵

abc0

111

1

sinAsinBsinC

bc

sin

Aac

sin

Bba

sin

C

abc



222

2

abc

∴将等式两边同除以，得，

abc



∴

sin

A

sin

B

sin

C

…………………②

试卷第5页，共8页

由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．

理解应用：如图，甲船以

302

海里

/

时的速度向正北方向航行，当甲船位于

A

处时，乙

船位于甲船的南偏西

75°

方向的

B

处，且乙船从

B

处沿北偏东

15°

方向匀速直线航行，

当甲船航行

20

分钟到达

D

处时，乙船航行到甲船的南偏西

60°

方向的

C

处，此时两船

相距

102

海里．

(1)

求：

△ADC

的面积；

．

(2)

求：乙船航行的速度（结果保留根号）

21

．光明中学校园有一升旗台，旗杆的高度引起了爱思考的同学们的极大兴趣．数学活

动小组的同学对旗杆的高度进行了测量．测量方法如下：如图，从旗杆底部分别向东、

西走到达点

A

、

C

处，在

A

，

C

两处分别放置学生制作的高为

1.2m

的测倾仪，在

A

处测

得旗杆顶端

Q

的仰角是

60

，在

C

处测得旗杆顶端

Q

仰角为

50

，点

A

，

C

及旗杆

PQ

在

同一平面内，旗杆底部

P

与点

A

，

C

在同一条直线上，

AC10m

，根据测量小组提供

的数据，求该旗杆的高度．

（结果精确到

0.1m

，参考数据：

sin500.77

，

cos500.64

，

tan501.2

，

31.73

）

22

．综合与探究

问题情境：

数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知

Rt△ABC

，

ACB90

，过点

，过点

A

作

ADl

于点

D

，过点

B

作

BEl

于点

C

任作一条直线

l

（不与

CA、CB

重合）

．

E

，当点

A

、

B

在直线

l

同侧时，易证

△ACD∽△CBE

（下列解题可直接用此结论）

试卷第6页，共8页

(1)

如图②，当点

A

、

B

在直线

l

异侧时，求证：

△ACD∽△CBE

．

模型应用：

在平面直角坐标系中，已知直线

l

：

ykx4k

（

k

为常数，

k0

）与

x

轴交于点

A

，与

y

轴的负半轴交于点

B

，以

AB

为边、

B

为直角顶点作直角三角形

ABC

且

tanACB2

．

(2)

若直线

l

经过点



2,3



，当点

C

在第三象限时，点

C

的坐标为

______

．

(3)若点D是函数

y2x



x0



图象上的点，且

BD∥x

轴，当点C在第四象限时，连接

CD

交

y

轴于点

E

，求点

C

、

D

的坐标（用含

k

的式子表示）及

BE

的长．

23

．综合与探究

如图，抛物线

yax

2

bxc

经过点

A



2,0



，

B



6,0



两点，与y轴交于点C，且

OC6

，

点

D

是抛物线上第一象限内的一个动点，设点

D

的横坐标为

m

．连接

AC、BC、DB、DC

．

(1)

求抛物线的函数表达式；

(2)

过点

D

作与

y

轴的平行线的直线

l

，与

BC

交于点

E

，当

CDE

是以

DE

为底边的等腰

三角形时，求点

D

的坐标．

(3)

若点

M

是

y

轴上的动点，在坐标平面内是否存在点

N

，使以点

A

、

C

、

M

、

N

为顶点

试卷第7页，共8页

的四边形是菱形？若存在，请直接写出点

N

的坐标；若不存在，请说明理由．

试卷第8页，共8页

参考答案：

1

．

C

【分析】根据倒数的定义即可得出结论．

【详解】解：由题可知：

1010

的倒数为



故选：

C.

【点睛】本题主要考查了倒数的定义：乘积为

1

的两个数互为倒数，熟练掌握倒数的定义是

解此题的关键．

2

．

D

【分析】根据幂的运算法则，合并同类型法则即可判断．

【详解】

A.a

3

a

3

a

6

,

故此选项不符合题意．

B.a

3

a

3

2a

3

,

故此选项不符合题意．

C.a

6

a

3

a

3

,

故此选项不符合题意．

D.



2a

2







2





a

2



8a

6

,

正确，故此选项符合题意．

3

33

1

.

1010

故选：

D.

【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，合并同类型法则，熟练掌握幂的运算法则，合并同

类型法则是解此题的关键．

3

．

B

【分析】如图：连接

AD

，根据直径所对的圆周角为

90

可得

ADB90

，再根据同弧所对

的圆周角相等可得

BADBCD60

，最后根据正弦的定义列式求解即可．

【详解】解：如图：连接

AD

∵

AB

为

O

的直径，

∴

ADB90



BD



∵

BCD60

，

BD

∴

BADBCD60

∴

sin



DAB



故选

B

．

BD

3

BD

3

,,解得：

BD53

．





AB

2

102

答案第

1

页，共

20

页

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握

“

直径所对的圆周角为

90

”

和

“

同弧所对的圆周角相等

”

是解答本题的关键．

4

．

C

【分析】根据二次根式里面的被开方数

2x4≥0

，且分式的分母不为

0

即

2x40

，进行

求解．

【详解】解：

Q

1

2x4

在实数范围内有意义，

2x40

且

2x40

，

解得：

x2

．

故选：

C

．

【点睛】本题考查了二次根式、分式有意义的条件，分母不为零是解题的关键．

5

．

D

【分析】科学记数法是指把一个数表示成

a

10

n

的形式（

1a＜10

，

n

为整数），科学计数法

可以很方便地表示一些绝对值较大的数．

【详解】

399190

亿元

399

元

3.991910

13

元，

故选：

D

．

【点睛】本题考查了科学计数法，掌握科学记数法的表示法则及规律是关键．

6

．

A

【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．



2

x



3



0

①

,

【详解】解：



4



x



5

②



由①得：

x

3

,

2

由②得：

x9,

答案第

2

页，共

20

页

3

∴原不等式组的解集为

x

.

2

故选：

A.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知

“

同大取大，同小取小，大小小大中间

找，大大小小找不到

”

的原则是解此题的关键．

7

．

C

【分析】根据众数和中位数的定义进行解答即可．

【详解】解：将他记录了最近一周的成绩从小到大进行排序：

157

、

159

、

160

、

160

、

162

、

163

、

164

，出现次数最多的数为

160

，因此众数为

160

；排在中间的数为

160

，因此中位数

的

160

，故

C

正确．

故选：

C

．

【点睛】本题主要考查了众数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义，

众数是在一组数据中

,

出现次数最多的数据；中位数是按从小到大或从大到小排列，居于中

间位置的数．

8

．

B

【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．

【详解】解：如图，画直线

DE∥BC

交

AC

于点

E

，则

△ADE∽△ABC

；

如图，画直线

DE

交

AC

于点

E

，使

AEDB

，

∵

AA

，

∴

△AED∽△ABC

；

如图，画直线

DE

∥

AC

交

BC

于点

E

，则

△BDE∽△BAC

；

答案第

3

页，共

20

页

如图，画直线

DE

交

BC

于点

E

，使

BEDA

，

∵

BB

，

∴

BDE∽BCA

；

∴这样的直线最多可以画

4

条．

故选：

B

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．

9

．

C

【分析】一次函数

y

1

kxb

落在反比例函数

y

2



围即为所求．

【详解】



一次函数

y

1

kx3

与反比例函数

y

2



6

的图象交于

A



3,2



，

B



2,m



两点，

x

c

图象上方的部分对应的自变量的取值范

x



由图象知不等式

kx



3



故选：

C

．

6

的解集是

3x0

或

x2

．

x

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合是解题关键．

10

．

B



上任取一点

M

，【详解】解：如图，连接

AP

、

PB

，过点

P

作

PGAB

，在

BP

由题意可知：

PA=PB=AB=4

，

PAB

是等边三角形，

PBA=60

，

PGAB

，

PG

=

PB

sin60



=4



∴在

RtPGB

中，

sin60



=

PG

，

PB

3

=23

，

2

答案第

4

页，共

20

页

S



PAB



1



4



23



43

，

2

60



8









4

2



，

360



3

8





43

，

3

PBA=PAB=60

，



S

扇形

PAB



S

扇形

ABP





S

弓形

BMP



S

扇形

PAB



S



PAB



ABC=120

，



S

扇形

ABC



∵

六边形

ABCDEF

是正六边形，

120



16









4

2



，

360



3

S

阴影

S

扇形

ABC

S

扇形

ABP

S

弓形

BMP

，



S

阴影



16



8





8











43





43

，

33



3



∴阴影部分的面积为

43

，

故选：

B

．

【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角

和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键．

11

．

17

【分析】先根据零次幂和负整数次幂化简，然后再计算即可．

【详解】解：





1



3



1.732











1



16



17

．



4





0



2

故答案为

17

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，掌握零次幂和负整数次幂的运算法则是解答本题

的关键．

答案第

5

页，共

20

页

12．

y



x2



5

2

【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．

【详解】解：由抛物线

yx

2

4x1

可化为顶点式为

y



x2



5

；

2

故答案为

y



x2



5

．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是

解题的关键．

13．

1

6

2

【分析】根据题意列出表格，可得共有

12

种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的

2

种，

再由概率公式计算，即可求解．

【详解】解：根据题意，列出表格如下：

白1

白1

白2

彩1

彩2

白1、白2

白1、彩1

白1、彩2

白2、彩1

白2、彩2彩1、彩2

白2

白2、白1

彩1

彩1、白1

彩1、白2

彩2

彩2、白1

彩2、白2

彩2、彩1

共有

12

种等可能结果，其中摸到两个都是彩球的

2

种，

所以摸到两个都是彩球的概率是

故答案为：

1

6

21



．

126

【点睛】题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率



所求情况数与总情况

数之比．

14

．

40

【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数．

1

【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：



(84



3



1)



40

(个)．

2

故答案为∶

40

答案第

6

页，共

20

页