2024年4月27日发(作者：侨雁凡)

学而不思则惘，思而不学则殆

2.1 试求图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

F

(

1

)

F

+

F

图

N

30kN50kN

20kN

(

2

)

+

20kN

+

-

F

图

N

10kN

F

10kN

15kN

15kN

20kN

F

10kN

5kN

-

FN图

+

-

10kN

30kN

-

F

q

l

40kN

(4)

40kN

(5)

q

2.2 已知题2.1图中各杆的直径d =20mm，F =20kN，

q =10kN/m，l =2m，求各杆的最大正应力，并用图形表示

正应力沿轴线的变化情况。

l

答 （1）63.66MPa，（2）127.32MPa，（3）63.66MPa，

（4）-95.5MPa，（5）127.32MPa

15kN

15kN

20kN

10kN

15.82MPa

+

-

31.85MPa

-

-

31.85MPa

Fs图

95.5MPa

(4)

F

F

127.32MPa

+

(5)

q

l

F

N2

30010

3



2

7.5MPa

A

2

200

2

4

m

2.4 一正方形截面的阶梯柱受力如题2.4图所示。已知：

a=200mm，b=100mm，F=100kN，不计柱的自重，试

计算该柱横截面上的最大正应力。

解：1-1截面和2-2截面的内力为：

FN1=-F；

F

FN2=-3F

相应截面的应力为：

F

N1

10010

3



1

10MPa

A

1

100

2

4

m

F

F

63.69MPa

F

a

b

最大应力为：



max

10MPa

题

2.4

图

学而不思则惘，思而不学则殆

2.6 钢杆受轴向外力如图所示，横截面面积为500mm2，试求

30

a

ab斜截面上的应力。

解： FN=20kN

b

F

N

F

N

a

p

α

==cos30

o

F

N

AA

α0

F

b



α

p

α

cos30

o



N

cos

2

30

o

a

A

0

s

α

p

α

2010

3

3

30MPa

τ

α

b

5004

3

F

20103

ooo

N

τcos30sin3017.32MPa

α

p

α

sin30

A

0

5004

2.8 图示钢杆的横截面积 A=1000mm2，材料的弹性模量E=200GPa，试求：

（1）各段的轴向变形；（2）各段的轴向线应变；（3）杆的总伸长。

20kN

解：轴力图如图所示

20kN

20kN

Ⅲ

Ⅰ

Ⅱ

F

N1

20kN

1m1m2m

F

N2

0kN

20kN

+

F

N3

20kN

-

Fl

201

4

20kN

L

1



N11

10m

96

EA20010100010

L

2

0m

F

N3

l

3

202

4

L210m

3

96

EA20010100010

L

1

10

4

m

4

4



10

L10m

1

1

l

1

1m

L

2

0m

L

2



2

0

l

2

L

3

210

4

m

L

3

210

4

m



3

10

4

l

3

2m

ll

I

l

II

l

III

0.1mm00.2mm0.1mm

2.10 图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA，杆AB长为l，ABCD 是正方

形。在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB杆的伸长。

解 （a）受力分析如图，由C点平衡可知：

o

20kN

学而不思则惘，思而不学则殆

C

F

AC

B

F

F

AC

F

A

F

AD

D

(

a

)

C

F

CB

F

CB

F

BD

F

F’AC=F’CB=0；

由D点平衡可知： F’AD=F’BD=0；

F

A

再由A点的平衡：

F

x

=0:F

AB

=F

Fl

Fl

因此

L

AB



AB



EAEA

（b）受力分析如图，由C点平衡可知：

F

x

0:

2

F

AC

F

A

2



F

BC



F

AC

2



F

F

y

0:

F

AD



2

2

o



2Fcos45F,FF

ACAC

2

再由A点的平衡：

F

AB

F

AB



F

AD

D

F

BD

F

C

B

D

F

(

b

)





F

C

F

AC

A

F

AC

F

AB

F

AD

F

AD

D

F

F

BD

F

AB

F

CB

F

CB

F

BD



F

x

0:F

AC

F

AD

cos45F

AB

0;F

AB

F

因此

L

F

AB

l



Fl

AB

EAEA

2.12 图示结构中，水平刚杆AB不变形，杆①为钢杆，直径d1=20mm，弹性

模量E1=200GPa；杆②为铜杆，直径d2=25mm，弹性模量E2=100GPa。设在

外力F=30kN作用下，

AB杆保持水平。（1）试求F力作用点到A端的距离a；（2）如果使刚杆保持水

平且竖向位移不超过2mm，则最大的F应等于多少？

解：受力分析如图

M

A

0:2F

N2

Fa0



①

②

1

F

F

N2

Fa

2

A

B

2a



M0:F2a2F0,FF



a

N1N1

B

2

2m

F

N1

l

1

F

N2

l

2



L

1

L

2



E

1

A

1

E

2

A

2

F

N1

F

N2

F

Fal

2

F



2-a



l

1

A

B



2E

1

A

1

2E

2

A

2

a

2m

1

.

5

m

1

m





o

学而不思则惘，思而不学则殆



92-692-6

20010π201010010π2510



2-a



1.5

2a



2

,a1.07911.08m

F

20

2

25

d1=20mm，E1=200GPa；

(

2-a

)

l

1

=

Fal

2

E

2

A

2

d2=25mm，E2=100GPa。

E

1

A

1

L

1

L

2

2m

FlFal

L

2

2m

N22



max2

E

2

A

2

2E

2

A

2

9

π

41001025

2

10

6

4E

2

A

2

4

F181.95kN

max

al

2

1.081

2.15 图示结构中，AB杆和AC杆均为圆截面钢杆，材料相同。已知结点A无

水平位移，试求两杆直径之比。

B

F

x

0:

F

AB

F

AB

cos45

o

F

AC

cos30

o

0

A

45

o

45

o

A

oo

3030

2F

AB

3F

AC

F

F

AC

F

F

3

AB

C



1m

F

AC

2

B

Lcos45

o

Lcos30

o

AC

AB

cos30

o

3

L

AC

L

AB

L

AC

o

cos45

2

由两杆变形的几何关系可得

45

o

A

o

,

30

A

,

,

30

o

o

L

AB



AA'

sin45

o



2

A

45



L2

AA

y

L

,

,

,

AA



1

o

AC

A

sin30

C

1m

L

y

2

AA



L2L;L2L

yAByAC

2F

AB

L

AB

2F

AC

L

AC



2L2L

A

AB

A

AC

ABAC

2F

AB

L

AB

2F

AC

L

AC



F

AB

3

22

2L2L

d

AB

d

AC



ABAC

F

AC

2

2

d2F

AB

L

AB

23332

AB

1.06

2

d

AC

2F

AC

L

AC

2

22

4

4



2-a



1.5

4a



d

AB

1.03

d

AC

学而不思则惘，思而不学则殆

2.20 图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，直径分别为d1=16mm，

d2=20mm ，已知F=40kN ，刚材的许用应力[σ]=160MPa，试分别校核二杆的

强度。

解：受力分析如图

F

x

0:

1

2

F

1

sin45

o

F

2

sin30

o

0(1)

45

30

F

y

0:

F

oo

Fcos45Fcos30F0(2)

12

F

1

45

30

（1）+（2）可解得：F2=29.3kN; F1=20.7kN

F

2

F

d1=16mm，d2=20mm ，[σ]=160MPa

F

1

420.7420.710

2



1

103MPa[



]160MPa

A

1



d

1

2

3.1416

2

2

F

429.3429.310



2



2

93.3MPa[



]160MPa

22

A



d3.1420

22

杆①和杆②都满足强度要求。

2.24 图示结构，BC杆为5号槽钢，其许用应力[σ]1=160MPa；AB杆为100

×50mm2的矩形截面木杆，许用应力[σ]2=8MPa。试求：（1）当F=50kN时，

校核该结构的强度；（2）许用荷载[F]。

解：受力分析如图

A

C

F

y

0:

o

60

oo

F

F

BC

sin60F

BA

sin300(1)

B

F

BC

F

x

0:

F

BA

o

60

F

BA

cos30

o

F

BC

cos60

o

F0(2)

F

B

联立（1）和（2）解得：FBC=25kN; FBA=43.3kN。

查型钢表可得：ABC=6.928cm2，FBC=25kN; FBA=43.3kN；ABC=6.928cm2，

[σ]1=160MPa；AAB=100×50mm2 ；[σ]2=8MPa。

F

BC

2510

3



1

36.1MPa[



]

1

160MPa

2

A

BC

6.92810

F

43.3



2



BA

8.66MPa[



]

2

8MPa

A10050

BA

杆BC满足强度要求，但杆BA不满足强度要求。

[F

BA

]

[



]

2

;[F

BA

][



]

2

A

BA

81005040kN

A

BA

将[FBA]带入（1）、（2）式中求得许用荷载[F]=46.2kN





o

o

o

o





学而不思则惘，思而不学则殆

2.25 图示结构中，横杆AB为刚性杆，斜杆CD为直径d=20mm的圆杆，材料

的许用应力[σ]=160MPa ，试求许用荷载[F]。

C

解：CD=1.25m，sinθ=0.75/1.25=0.6

M

A

=0:-F?2F

DC

sinq?10

å

A

D

B

2F10

F

DC

==F

0.63

F

3

1m1m

F

410F40F10





DC

[



]160

F

DC

A

DC

3



d

2

3



20

2

10

6

F

Ax

A

B

¦Θ

D

26

1603



2010

[F]15.1kN

4010

3

F

Ay

F

3

1m1m





F

DC



410F



40F10

[



]160

226

A

DC

3



d3



2010

160





20

2



10



6

d=20mm

10

3



F=F

[F]15.1kN

DC

3

[σ]=160MPa

4010

3

2.27 图示杆系中，木杆的长度a不变，其强度也足够高，但钢杆与木杆的夹角

α可以改变（悬挂点C点的位置可上、下调整）。若欲使钢杆AC的用料最少，

夹角α应多大？

C

钢

F

AC

F

解：

A

AC

F

y

0:

[



]

AC

[



]

AC

sin



木

F

AC

sin



F0

l

AC

a/cos



A

B

杆AC的体积：

F

a

F

AC

Fa2Fa

=A

AC

l

AC

V

[



]

AC

[



]

AC

sin



cos



[



]

AC

sin2



F

AC

F

钢杆AC的用料最少，则体积最小，有：

A

A

AC

F

[



]

AC

sin



AB

F

l

AC

a/cos



sin2



1;



45

o

2.37 图示销钉连接中，F=100kN ，销钉材料许用剪切应力[τj]=60MPa，试确

定销钉的直径d。

F

F

解：

F

s



2

50kN

4F

s

d

F



[



j

]

45010

3

32.6mm

F

2F

2

3.1460



0

.

7

5

m

F

d

学而不思则惘，思而不学则殆

2.39 图示的铆接接头受轴向力F作用，已知：F=80kN，b=80mm，δ=10mm，

d=16mm，铆钉和板的材料相同，其许用正应力[σ]=160MPa，，许用剪切应力[τ

j]=120MPa，许用挤压应力[σbs]=320MPa 。试校核其强度。

d

F

F

F/4

F/4

F/4

F

F

解：

s



20

k

N

[σ]=160MPa

4

F/4

F/4



1

==31.25MPa<[



]

（b-d)



F

3F/4

F/4

F



2

==125MPa<[



]

（b-2d)



F/4

F



==125MPa<[



]

3

3

F/4

（b-d)



F/4

F

F

s

F

b=80mm，δ=10mm，d=16mm ；

F20kN

3

12

[τj]=120MPa， [σbs]=320MPa

s

4

F

s

42010

3



j

99.5MPa[



j

]

2

A3.1416

3

F

2010

s



bs

===125MPa<[



bs

]

d



1610

3.1 试画下列各杆的扭矩图。

1kN

·

m

4kN

·

m

2kN

·

m

3kN

·

m

(

c

)

3M

e

2M

e

M

e

(

a

)

3kN

·

m

1kN

·

m

+

2M

e

+

-

+

1kN

·

m

-

2kN

·

m

2kN

·

m

6kN

·

m

10kN

·

m

M

e

(

d

)

M

e

3M

e

4kN

·

m

(

b

)

2kN

·

m

+

-

-

-

2M

e

3M

e

6kN

·

m

3.4 薄壁圆筒受力如图所示，其平均半径r0=30mm ，壁厚t=2mm，长度

l=300mm ，当外力偶矩Me=1.2kN时，测得圆筒两端面之间的扭转角φ=0.76o，

试计算横截面上的扭转切应力和圆筒材料的切变模量G。

M

e

解：r0=30mm ，t=2mm，l=300mm ，φ=0.76

o

M

e

T





2



r

0

2

t

1.210

6

=

23.1430

2

2

=106MPa；



l=r

0



r



300.76







=

0

1.32610

3

rad

l300180

l



106.110

3

G80GPa



1.32610

3

b



学而不思则惘，思而不学则殆

3.8 直径d=60mm的圆轴受扭如图所示，试求Ⅰ-Ⅰ截面上A点的切应力和轴中

的最大扭转切应力。

6kN

·

m

I

2kN

·

m

4kN

·

m

解：扭矩图如图

A

I

d/4

2kN

·

m



d

4

I

p



32

W

p





d

16

3

4kN

·

m



A



M

T

32210

6

d1610

6





23.59MPa

43

I

p



d4



d



max

M

Tmax

16410

6

94.36MPa

3

W

p



d

3.11 图示阶梯形圆轴，轮2为主动轮。轴的转速n=100r/min ，材料的许用

切应力[τ]=80MPa 。当轴强度能力被充分发挥时，试求主动轮输入的功率p2。

M

e2

(

P

2

)

M

T





W

p

M

e1

M

e3

轮

2

解：当轴的强度被充分发挥时有：

M[



]W;M[



]W

T1p1T3p3

M

T2

M

T1

M

T3

[



]



W

p1

W

p3



e



M

T2

M

T1

M

T3

[



]





W

p1

W

p3





3

3





d



d

33

3

1



80



5



dd

13







16



16

n2



n100

336



PMM5



dd10

eT23



1



9.559.5560

5





50

3

70

3

10

6





100

76.9kW



9.55

3.14 图示一实心圆轴，直径d=100mm ，外力偶矩Me=6kN.m，材料的切变模

量G=80GPa，试求截面B相对于截面A以及截面C相对于截面A的相对扭转

角。

7

0

2



n

PM

60





5

0

学而不思则惘，思而不学则殆

解：由于整杆各个

C

A

B

截面内力相等，有：

1m

0.5m

M

T

M

e

6kNm

M

T

l

AB

610

6

150032610

6

1500



AB

0.011rad

4

34

3

GI

p

8010



d

8010



d

32

66

Ml

6101000326101000





TAC

0.008rad

AC

4

34

3

GI

p

8010



d

8010



d

32

3.18 某阶梯形圆轴受扭如图所示，材料的切变模量为G=80GPa ，许用切应

力，[τ]=100MPa，单位长度许用扭转角[θ]=1.5o/m，试校核轴的强度和刚度。

解： 扭矩图如图所示；

1.2

kN·m

M

T

16M

T



==

3

max



d

3



d

min

min

2.4

kN·m

16

10001000

161.210

3

1.2

kN·m

==48.9MPa<[



]

39

3.145010

M

T

1.210

6

180



max



1.2

kN·m



d

4



GI

9

p

8010

32

6

321.210180

o

1.4/m

9412

8010



5010



4.1 试用截面法求下列梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。

F=2kN

(

1

)

2

C

1

2

1

A

1

(

2

)

B

2

A

1

B

2

0.5m0.5m

ll

F=2kN

M

1

M

1

F=2kN

Fs

2

M

Fs

1

Fs

1

1

M

2

(1)F

S1

F

S2

F2kN

Fs

2

M

1

F12kNm

(2)F

S1

F

S2

ql

M

2

F0.51kNm

1

2

MMql

12

2

2

1

M

e

7

5

5

0

d

学而不思则惘，思而不学则殆

M

e

=12kN

·

m

(

3

)

F=10kN

1

A

2

2

(

4

)

A

1

2

3m

3m

M

1

F

C

39kNm

lll

F

=7kN

F

=3kN

F

=F/2

F

=3F/2

MM12kNm

F

M

e

=12kNm

2e

M

M

F

F

S1

1

(4)F

S1

F;F

S2

F

F

M

2

F

F

F

S2

F

M

1

0

M

F

B

M =12kNm

e

1

M

F

S2

F

C

M

2

Fl

M

2

F

F

M

M

=3kNmM =9kNm

B

q=4kN/m

(

6

)

A

(5)F

S1

11kN;F

S2

1kN

(

5

)

A

l/2

B

l

F=M/l

M

1

3kNm

F=M/l

3m3m

F=11kN

M

M

2

12kNm

M =3kN

m

F=13kN

F

S1

M

F

A

(6)F

S1

M

e

/l;F

S2

0

M

F

S1

M

1

M

2

M

e

F

S2

F

A

F

F

B

A

M

=3kNm

M

F

S2

F

A

q

0

F=qa

M

e

=qa

2

q

A

1

2

(

8

)

B

3

2

1

1

2

(7)FFF2qa

(

7

)

A

S1S2S3

2

1

l/2

C

l/2

B

3

51

aa

M

1

qa

2

;M

2

qa

2

;

1

M

22

A

F=qa

2

F

S1

1

M

e

=qa

3

q

F

M

3

qa

2

2

2

M

1

2

B

C

M

2

A

11

2

(8)Fql;Fql

F

S10S20

F=qa

M

e

=qa

2

82

q

2

11

22

2

B

M

1

q

0

l;M

2

q

0

l

C

M

2

486

F

S2

4.4 试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

x

2

F

x

1

aFFa

B

F

S1

(0x

1

l);M

1

x

1

(0x

1

l)

A

(

1

)

ll

C

aF



la



F

a

l

F

S2

F;M

2

F(lax

2

)(lx

2

la)

ll

F

A

=aF/l

F

B

=F(l+a)/l

A

C

·

B

C

B

1

C

(3)F

S1

7kN;F

S2

3kN

F

1

B

2

C

1

1

S2

2

S1

C

A

2

·

2

1

S1

A

e1

·

e2

·

1

2

e

1

2

1

2

12

Ae

Be

A

1

e1

·

B

1

2

e1

·

2

1

S1

1

2

1

S2

学而不思则惘，思而不学则殆

q

B

C

(

2

)

A

2

qx

l

l/2

l

F

S1

qx

1

(0x

1

);M

1



1

F(0x

1

l)

22

F

C

=ql/8

F

B

=5ql/8

F

S2



1

ql;(

l

x

2



3l

);M

2



1

qlx

2



3

ql

2

(

l

x

2



3l

)

82281622

B

C

x

2

(

2

)

F

A

x

1

B

l/2

A

l

(

1

)

C

F

C

=ql/8

F

B

=5ql/8

a

l

ql/8

F

A

=aF/l

F

B

=F(l+a)/l

+

-

ql/2

F

+

F

s

图

F

s

图

-

2

aF/l

ql /8

Fa

-

-

M

图

M

图

q

1

M

e

= Fl

F

4

C

(

6

)

B

(

4

)

A

A

D

B

C

q

l/3l/3l/3

l/2l/2

F

A

=11Fl/12

F

D

=Fl/12

11Fl/12

-

F

s

图

+

/4

ql

2

F

s

图

ql

/2

-

Fl/12

/8

ql

2

-

Fl/36

-

图

M

M

图

10Fl/36

11Fl/36

4.5 用微分、积分关系画下列各梁的剪力图和弯矩图。

x

2

1

学而不思则惘，思而不学则殆

(

1

)

F

S

图

(

2

)

F

S

图

q

M

e

=ql

M

e

=Fl/2

F

(

4

)

A

B

(

8

)

A

C

D

C

B

l/4l/4l/2

l

l/3

F =F/4

F =3F/4

D

A

F =3ql/2

F =ql/2

A

B

F/4

+

F

s

图

-

3F/4

3ql/2

+

ql/2

F

s

图

-

Fl/8

+

-

ql

2

M

图

+

M

图

Fl/16

3Fl/8

4.7 检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，若不正确，请改正。

2

F=qa

qM

e

=qa

q

q

(

1

)

A

C

C

D

(

2

)

A

B

B

aaa

a

2a

qa

5

qa

3

F

S

图

qa

F

S

图

qa

5a/3

3

qa

2

/3

M

图

qa

2

/2

M

图

24q

2

a /18

2

25qa /18

2

qa /2

4.8 已知简支梁的剪力图，试根据剪力图画出梁的荷载图和弯矩图（已知梁上

无集中力偶作用）。

4kN

3.5kN

1kN

1.5kN

(

1

)

F

图

1kN

(

2

)

F

图

5kN

2m2m2m

5kN

1m1m2m

6.5kN

2m2m2m

4kN/m

6kN

3kN

2kN

3.5kN

A

A

C

C

1.5kN

5kN

3.5kN

4kN

6.5kN

6.5kN

M

图

M

图

1m1m2m

8kN.m

3.5kN.m

10kN.m

5kN.m

题图

4.9 静定梁承受平面荷载，且无集中力偶作用，若已知A端弯矩为零，试根

Q

2

Q

学而不思则惘，思而不学则殆

据已知的剪力图确定梁上的荷载及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为

何种约束。

9kNm

6kNm

20kN

15kN

F

S

图

(

2

)

M

图

C

A

B

4/3m

3kNm

25kN

3m3m

1m

3m

q=15kN

1kN

F

S

图

A

C

D

B

12kNm

20kN

6kNm

40kN

B

7.5kN.m

A

C

M

图

1kN

1kN

13.3kN.m

（4.9图） （4.10图）

4.10 已知简支梁的弯矩图，试根据弯矩图画出梁的剪力图和荷载图（已知梁上

无分布力偶作用）。

4.11 试用叠加法画图示各梁的弯矩图。

qq

qlql

BB

A

B

A

(

2

)

A

CCC

llllll

F

A

=3ql/4

F

B

=ql/4

+

+

+

2

ql /2

2

ql /4

2

3ql /4

FFa

FaF

AA

A

B

B

(

3

)

=

·

·

·

-

·

·

C

+

C

aa

aaaa

Fa

Fa

=

2Fa

+

5.1 试确定图示平面图形的形心位置。

（1）

b

SydAydy(hy)

z

AA

h

b

h

1

2

y(hy)dybh

0

h6

1

2

bh

S

h

y

C



z



6



1

A

bh

3

1

2

2

hb

S

1b

y

S

y





zdAhb

2

,z

C



6



A

1

6A

bh

3

2

Fa



b

O

z

z



h

y

y

3

0

3

0

3

0

0

学而不思则惘，思而不学则殆

360

O

z

（2）分成3块计算：由于截面有

一个对称轴，可知形心在对称轴上，

30

因此：

y

z180

C

AyA

2

y

C2

A

3

y

C3

y

C



1C1

A

1

A

2

A

3

90

300

360301530030(30)3090(3030015)

2



6030300303090

120.6

NO.36b

5.2 试确定图示平面图形的形心位置。

查表可得：

角钢A=22.261cm2,形心：（-45.8,-21.2)mm

140

×

90×10

槽钢A=68.11cm2，形心：（23.7，-180）mm

z

组合截面的形心坐标为：

O

y

(

b

)

A

1

z

C1

A

2

z

C2

22.261(45.8)68.1123.7

6.58mm

z

C



A

1

A

2

22.26168.11

A

1

y

C1

A

2

y

C2

22.261(21.2)68.11(180)

y140.88mm

C

A

1

A

2

22.26168.11

5.3 试计算图示平面图形的阴影部分对z轴的静矩。

b

S

z

S

z1

S

z2

A

1

y

C1

A

2

y

C2

z

3t

btttt

22

1

2

t(3bt)

2

t

b

t

t

学而不思则惘，思而不学则殆

5.6 试计算图示矩形截面对y、z轴的惯性矩和惯性积以及对O点的极惯性矩。

y

2

1



b



1

b

I

y

hb

3

hb



hb

3

12



2



3

2

1

3



h



1

3

I

z

bhhb



bh

12



2



3

1



b



h



I

yz

0











bhb

2

h

2

4



2



2



z

O

1

3

1

3

1

22

I

p

I

y

I

z

hbbhhb(bh)

333

5.7 试计算图示组合图形对z轴的惯性矩。

250

×

10

解：查表得L100×100×10角钢的截面面积：

100

×

100

×

10

A=19.261cm2， Iz=179.51cm4，z0=2.84cm

z



1

32



I

z

2



2501025010305



600

×

10

12



2

4179.5110

4

1926.1



30028.4



250

×

10

1

294

106001.2210mm

12

5.9 试计算图示平面图形的形心主惯性矩。

b

33

zC

t

33

yC

5.11 图示矩形截面，已知b=150mm，h=200mm，试求：（1）过角点A与底边

夹角为45o的一对正交坐标轴y、z的惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz ；（2）过角点

z

A的主轴方位。

y

解：建立如图所示

两个坐标系，则：

z

'

A

b



I

b(b2t)(bt)b



1212

I

t

bttb



126

b

t

h

y

'

h

4

5

°

学而不思则惘，思而不学则殆

z

C

75mm

y

h

100mm

y

84

C

I

y



2.2510mm

2

b

I

z



4.010

8

mm

4

z

C



2

75mm

I

y



z



2.2510

8

mm

4

2

3

z

'

hbb



84

I

y





A

A



2.2510mm

b

12



2



2

y

'

bh

3

h



84

A



4.010mm

I

z





12



2



IA





h



b



2.2510

8

mm

4

y



z







2



2



I

y



I

z



I

y



I

z



84

Icos2



Isin2



5.37510mm

y



z



y

22

II

z



I

y



I

z



74

I

y



cos2



Isin2



8.7510mm

zy



z



22

I

y



I

z



sin2



I

y



z



cos2



8.7510

8

mm

4

I

yz



2

I

y



2.2510

8

mm

4

令

I

yz



0

，则

84

I4.010mm



z

84

I2.2510mm

y



I

y



z



2.2510

8

mm

4

I4.010

8

mm

4

z



I

y



I

z



Isin2



I

y



z



cos2



yz

84

2

I

y



z



2.2510mm

-2I

y



z



2



-2.25



10

8

tan2



=-=-2.57

8

I

y



I

z





2.25-4.0



10



=-34.37

o

6.1 矩形截面梁受力如图所示，试求I-I截面（固定端截面）

上a、b、c、d四点处的正应力。

180

解：1-1截面弯矩为：

15kN

a

20kN

·

m

I

M=20-15*3=-25KN*M

b

z

I

c

d

3000

对中性轴z的惯性矩为：

I

Z

=bh

3

/12=180*300

3

/12

5000

y

84

=4.05*10mm

3

0

0

7

5

y

C

100mm

z

h

4

5

°

学而不思则惘，思而不学则殆

I

c

M

d

3000



=y=0；

bb

I

z

5000

y

-6

M-2510



c

=y

C

=75=-4.63MPa；

8

I

z

4.0510

M-2510

-6



d

=y

d

=150=-9.26MPa

8

I

z

4.0510

6.2 工字形截面悬臂梁受力如图所示，试求固定端截面上腹板

与翼缘交界处k点的正应力σk

解：固定端截面处弯矩：

20kN

20

3

z

A

M20102000

B

k

410

7

Nmm

2000

100

对中性轴的惯性矩：

3



10020

3



20100

I

z

2



2010060

2



1.6210

7

mm

4

12



12



由正应力公式得：

7

M410



y50123.5MPa

k

7

I

z

1.6210

6.6 图（a）所示两根矩形截面梁，其荷载、跨度、材料都相同。其中一根梁是

截面宽度为b，高度为h的整体梁（图b），另一根梁是由两根截面宽度为b，高

度为h/2的梁相叠而成（两根梁相叠面间可以自由错动，图c）。试分析二梁横

截面上的弯曲正应力沿截面高度的分布规律有何不同？并分别计算出各梁中的

最大正应力。

解：梁的弯矩图如图

q

-

1

2

对于整体梁：

ql

M12ql

2

8



yyy

+

3

3

bh

I

z

8bh

lb

12

(

a

)(

b

)

22

-

12qlh3ql



max



+

32

-

8bh24bh

2

ql /8

+

叠梁：由于小变形

3

b

bh

1

3

(

c

)

M

2

1

M

1

M

1

EI

z1

h

12

1





3



3

1



EI

z1

EI

z2

M

2

EI

z2

bh

2

h

2

3

0

0

-6

M-2510



=y

a

=



-150



=9.26MPa；

a

8

I

z

4.0510

180

15kN

I

20kN

·

m

a

b

z

7

5

1

0

0

2

0

12

h

/

2

h

/

2

h

2

0

学而不思则惘，思而不学则殆



1max



2max

可知上下梁各承担一半弯矩，因此：

11

2

ql

2

h3ql



max



28

3



2

42bh

b



h





12



2



6.8 矩形截面简支梁如图所示，已知F=18kN，试求D截面上a、b点处的弯曲

切应力。

¦Σ

F

0.5m

a

B

A

D

C

b

1m1m

70

11

3

F2070601810207060

*

FS



a



Saz



2



2

11

bI

z

33

70701407070140

1212

0.67MPa



b

0

6.9 试求图示梁固定端截面上腹板与翼缘交界处k点的切应力τk，以及全梁横

截面上的最大弯曲切应力τmax。

20kN

20

解：梁各个截面剪力相

z

A

τ

max

B

等，都等于20kN

k

2000

τ

min

100

*

F

S

S

z

2010

3

1002060

=



k



dI

z





1



1

20



2



10020

3

1002060

2



20100

3





12





12



=7.41MPa

3

*

2010



1002060205025



FS



max



Sz

=

dI

z





1



1

20



2



10020

3

1002060

2



20100

3





12





12



=8.95MPa

1

0

0

2

0

2

0

M

1

bh

2

2

3

WMWh

6



h

1

1

1



1



2



1



2

M

2

M

2

W

1

h

3

bh

h

2

1

2

W

2

6

1

2

0

2

0

学而不思则惘，思而不学则殆

6.10 图示直径为145mm的圆截面木梁，已知l=3m，F=3kN，q=3kN/m。试计

算梁中的最大弯曲切应力。

q

F

解：

F

S

4



max



3A

l/3

l

3.5kN

8.5kN

45.510

3



Fs

图

2

1

3



d

5.5kN

4

3

3kN

3.5kN

45.510

0.44MPa

2

3

1



145

4

6.11 T形截面铸铁梁受力如图所示，已知F=20kN，q=10kN/m 。试计算梁中

横截面上的最大弯曲切应力，以及腹板和翼缘交界处的最大切应力。

z

解：梁中最大切应力

1

发生在 B 支座左边的

c

截面的中性轴处。

2

2

中性轴距顶边位置：

10kN

30kN

z0

Fs

图

10kN

30

C

10kN

A

1

y

1

A

2

y

2

y

20kN

y

C

A

1

A

2

200301530200130

72.5mm

2003030200

157.2

*

S

z,max

30157.23.7210

5

mm

3

2

1

2

3

3020030200157.5100

I

z



12

1

2

20030

3

3020072.515

12

610

7

mm

4

*

F

S,max

S

z,max

2010

3

3.7210

5

4.13MPa



max



7

bI

z

306.010

腹板和翼缘交界处

*53

z,k

*

35

S,maxz,k

k,max

7

z





S



3020057.53.4510mm

FS

20103.4510

3.83MPa

bI306.010

2

0

0

3

0

q

F

200

学而不思则惘，思而不学则殆

M

max

3



d

1

3

2q

a

/12,q4.71kN

6.12



图示矩形截面梁采用（）、（b）两种放置方式，从弯曲正应力强度观点，

2,max



W

z

32

?

2

试计算（b）的承载能力是（a）的多少倍

q

2

解：

bh

W

z

h

6

40



2

2

l

20

hb

Wb

y

(a)(b)

6

1

2

1

2

1

2

M

a,max

2

q

a

l

q

a

lq

b

l



a,max

[



]

22



W

y

W

y

W

y

W

z

1

2

q

b

W

z

M

b,max

2

q

b

l

2



b,max

[



]

q

a

W

y

W

z

W

z

6.13 图示简支梁AB，当荷载F直接作用于中点时，梁内的最大正应力超过许

用值30%。为了消除这种过载现象，现配置辅助梁（图中的CD），试求辅助梁

的最小跨度a。

F

C

D

A

B

M

1,max

3F/2

a/2a/2

s

1,max

===1.3[s]

3m3m

WW

zz

F

A

B

M

2,max

F6-a/4

3m3m

s

2,max

===[s]

W

z

W

z

3F/2

3F/2

F6-a/4

F/2F/2

/=1.3

D

A

B

W

z

W

z

a/2a/2

3m3m

a=1.39m

F(6-a)/6

6.14 图示简支梁，d1=100mm时，在q1的作用下，σmax=0.8[σ] 。材料的

[σ]=12MPa ，试计算：（1）q1=? （2）当直径改用d=2d1时，该梁的许用荷

载[q]为q1的多少倍?

q

1

解：（1）

1

2

M

max

ql2q

8

4m

3

d

1

M



d

1,max



1,max

2q

1

/

1

0.8[



]0.812

W

z1

32

3

0.812



d

1

q

1

0.471kN

64

（2）

2

0

4

0





2d

1



3

()

()

学而不思则惘，思而不学则殆

6.16 图示T形梁受力如图所示，材料的许用拉应力[σt]=80MPa ，许用压

应力[σc]=160MPa，截面对形心轴z的惯性矩Iz=735×104mm4，试校核梁的正

应力强度。

F=10kN

q=5kN/m

解：B截面上部受拉，

C截面下部受拉

D

B

C

A

z

3000

20001000

M

max



t，max

y

max

5kN

15kN

I

z

10kN.m

M

B

y

B,max

M

C

y

C,max

5kN.m

M

C

510

3



t，max

y

max

109.474.42MPa[



t

]

4

I

z

73510

B截面下部受压，C截面上部受压

M

B

1010

3



c，max

y

max

=109.4=148.84MPa[



c

]

4

I

z

73510

6.17 图示工字形截面外伸梁，材料的许用拉应力和许用压应力相等。当只有

F1=12kN作用时，其最大正应力等于许用正应力的1.2倍。为了消除此过载现象，

现于右端再施加一竖直向下的集中力F2 ，试求力F2的变化范围。

F

1

B

解：

A

D

C

1m1m1m

M

1,max



y

max

1,max



I

z

3

610

F

2

F

1

y1.2[



]

B

max

A

I

D

C

z

1m1m1m

1.2[



]

y

max

4

210[



]

6-F /2 kN.m

2

3

I610

z

F k

2

N.m

M

B

M

C



y

maxB,max



C,max

y

max

I

z

I

z

3

3

F10

6F/210

2



2

y

max

y

max

I

z

I

z

34

24

F10210[



][



C

]

6F/210210[



][



]

2t

2

F2kN

F

2

5kN

2

4

0

.

6





1

0

9

.

4

1

5

0

学而不思则惘，思而不学则殆

6.18 图示正方形截面悬臂木梁，木材的许用应力 [σ]=10MPa，现需要在梁中

距固定端为250mm截面的中性轴处钻一直径为d的圆孔。试计算在保证梁的强

度条件下，圆孔的最大直径可达多少？（不考虑应力集中的影响）

解：开孔截面处

F=5kN

q=2kN/m

的弯矩值为：

M=5*0.75+1/2*5*0.752=4.31KNM

开孔截面的惯性矩：

160

250

1000

d

/

2

d

/

2

1

6

0

6.19 图示悬臂梁受均布荷载q，已知梁材料的弹性模量为E，横截面尺寸为b

×h，梁的强度被充分发挥时上层纤维的总伸长为δ ，材料的许用应力为[σ] 。

试求作用在梁上的均布荷载q和跨度l。

q

解：梁的各个截面的

弯矩不相等，x截面：

1

2

M(x)qx

b

l

2

1

2

1

2

ql

qx

2

M(x)

2

[



]



x

,max





强度充分发挥时



l,max



W

z

W

z

W

z

qx

2

由胡克定律，x截面顶部线应变：



x,max





E,





2EW

z

2

ll

qxql

3

ql

3

l[



]

dx

梁的总伸长：







dx

2

00

2EW

ql

6EW3E

zz

6E

2[



]

3E



l

[



]

2W[



]2W[



]

3

q

2

l9E

2



2



h

学而不思则惘，思而不学则殆

6.22 图示矩形截面梁，已知材料的许用正应力[σ]=170MPa，许用切应力

[τ]=100MPa 。试校核梁的强度。

q=6kN/m

解：

M

max

4000



max



W

z

12kN

12kN

50

12kN

+

1210

3



-

12kN

Fs

图

bh

2

6

M

图

1210

6

6

12kN

.

m

144MPa[



]

50100

2

*

3

FS3F

31210



max



s,max



s,max

=3.6MPa

I

z

b2A210050

6.23 图示一简支梁受集中力和均布荷载作用。已知材料的许用正应力

[σ]=170MPa，许用切应力[τ]=100MPa ，试选择工字钢的型号。

F=20kN

q=6kN/m

解：

M

max



max

170MPa

W

z

3m3m

6

5710

W

z

335cm

3

Fs

图

28kN

+

170

-

查表得工字钢的型号：N0.25a

28kN

I

z

5.0210

6

,b80mm

57kN.m

*

I/S21.6cm

z

M

图

3

F

s,max

S

*

2810



max

16.2MPa[



]

I

z

b21.61080

6.24 图示矩形截面木梁。已知木材的许用正应力[σ]=8MPa，许用切应力

[τ]=0.8MPa ，试确定许用荷载[F]。

F

解：

M

max

F





2

2m1m

max

bh

W

z

F/2

3F/2

100

6

F

F

+

6F



2

[



]8MPa

F/2

-

bh

8bh

2

410

6

0.10.15

2

-

F

3kN

[F]

6



3

1

0

0

1

5

0

学而不思则惘，思而不学则殆



max



F

s,max

S

*

bI

z

0.075

F0.0750.1

2



bh

3

b

12

F0.075

2

0.16

[



]0.8MPa

23

0.10.1

63

0.8100.150.1

F8kN

2

6



0.075

取[F]=3KN

6.32 绘出图示梁内危险截面上的正应力和切应力沿横截面高度

的分布示意图。

q=6kN/m

408040

解：

z

B

A

绘出梁的剪力图和弯矩图可知，

2000

14.4kN

5000

z

c

梁的危险截面为A左截面，确定

2.4kN

2.4kN

中性轴位置：

+

-

12kN

F 图

s

y

12kN.m

160

F

s,max

12kN

-

M

max

12kNm

M图

y

S

z



0.160.280.140.080.100.09

0.15m

c

A0.160.280.080.10

150mm

33



16028080100

22



I1602810



8010010



z

12



12



64

26210m

绘正应力分布图最大拉应力在截面的上边缘：

M

max

1210

3

0.15

y

max

6.87MPa



max



6

I

z

26210

最大压应力在截面的下边缘：

M

max

1210

3

0.13

y

max

5.95MPa

max



6



A下，

I

z

26210

1

4

0

1

0

0

4

0

1

3

0

1

5

0

学而不思则惘，思而不学则殆

408040

切应力分布：在1水平线上：S*=0，τ1=0；

z

在2水平线上：

1

2

*

S

z



160



40(15020)83210

6

m

3

z

c

3

36

121083210

4

b160mm:



2

0.24MPa

26210

6

0.16

5

y

1210

3

83210

6

160



b80mm:



2

0.48MPa

6

262100.08

在3水平线上：

*63

S832100401509021310m

z

1210

3

131010

6

0.75MPa

b80mm:



3



6

262100.08

1210

3

131010

6



b160mm:



3

0.375MPa

6

262100.16

在4水平线上：

*63

S1310160105132010m

z

1210

3

132010

6

0.38MPa

b160mm:



4



6

262100.16

在5水平线上：S*=0，τ5=0；

q=6kN/m

408040

6.87

1

0.24

2

2000

5000

0.375

3

0.48

0.38

4

2.4kN

160

5

5.95

12.4kN

F 图

Q

分布图

¦Σ

分布图

12kN.m

单位MPa

M图

7.1 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程、转角方程、最大挠度和最大转角。梁

的抗弯刚度EI为常数。

解：支座反力如图

M

e

A

B

1

4

0

1

0

0

4

0



4

0

1

4

0

1

0

0

-

+

1

3

0

1

5

0

+

-

-

M

e

/l

x

l

(

a

)

M

e

/l

1

3

0

1

5

0

学而不思则惘，思而不学则殆

M(x)

M

e

x

l

M

EIy



M(x)

e

x

l

M

e

2



EIyxC

2l

M

EIy

e

x

3

CxD

6l

M

e

lx



3x

2



边界条件：

x0:y0;xl:y0



0,



1

2



0

6EI



l



M

e

l,D0

代入得：

C

6

3

2

x



0

l

M

e

lx



3x







y

3



1

2



6EI



l



22

Ml3Ml

ee

M

e

lx



x

2



y

max

yx



0



y



1

2



27EI

93EI

6EI



l



7.2 试用积分法求图示各梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。梁的抗弯刚度

EI为常数。

2

解：支座反力如图所示分两段建立

q

M=3ql /8

挠曲线近似微分方程并积分。

B

A

C

AB段：

x

13

2

EIy



M(x)qlxql

11

28

ql/2

x

1

1

2

3

2

x

2



qlxqlxC

1

EIy

1

48

l/2

l/2

13

y

(

b

)

qlx

3

ql

2

x

2

C

1

xD

1

EIy

1



16

BC段：

12

2

131l



EIy



M(x)qlxql

2

qx

22



282



2



3

1

2

3

2

1



l





qlxqlxq



x



C

2

EIy

2

486



2



4

13

22

1



l



3

EIy

2

qlxqlxq



x



C

2

xD

2

121624



2



由连续性条件： 代入边界条件：

l

x0,y0,y



0

x:y

1

y

2

;

2

C

1

C

2

0;D

1

D

2

0



y

2





1





2

y

1

7

3





y(l)ql

C2

CC;DD

48EI

1212

41

y

C

y

2

(l)ql

4

384EI

M

e

l



A





(0)

6EI

M

e

l



B





(l)



max

3EI

2



l



M

e

l

y







2



16EI



学而不思则惘，思而不学则殆

7.2（b）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。梁的抗弯刚度

EI为常数。

2

M=5ql /8

q

ql/2

解：支座反力如图所示，分两段建立

B

挠曲线近似微分方程并积分。

C

A

x

1

51

M

1

(x)qlxql

2

qx

2

x

2

ql

82

l/2l/2

5

2

ql



l



M

2

(x)qlxql



x



(

b

)

82



4



由变形连续条件：

5

2

1



M

1

(x)qlqlxqx

2

EIy

1

82

l



l









EIy

1

EIy



5

2

1

2

1

3

2



2





qlxqlxqxC

1

EIy

1

826



l



l



EIy

1



EIy

2



511



2



2



EIy

1

ql

2

x

2

qlx

3

qx

4

C

1

xD

1

6

24

16

解得：

5qll



1



M

2

(x)ql

2

qlx



EIy

2

x

3



C0;Cql

12

82



4



192

2

51qll



1



ql

2

xqlx

2





EIy

2

xC

D0;Dql

4

2



12

824



4



768

3

5

22

1

3

ql



l



EIy

2

qlxqlx



x



C

2

xD

2

16612



4



代入积分常数可得：

13ql

4

71ql

4

y

C

y(l)



C

y



(l)

48EI

384EI

补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯刚度EI为常数。

解：分为图示两种荷载

q

ql/2

单独作用的情况

B

l

C

A

yy



y

C1BB

2

43

l/2l/2



l



l



(

b

)

qq



4

q

l



2



7ql

2



C

B





y

A

8EI26EI384

y

θ

l/2l/2

1

3

ql

3

ql

2

y

ql/2

C2

3EI6EI

B

C

A

434

y

7qlql71ql

yyy

l/2l/2

B

B

C

C1

C2

CC1C2

3846EI384

学而不思则惘，思而不学则殆

3

7.2（d）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。梁的抗弯刚度

EI为常数。

q

qa

解：支座反力如图，本题应分3段建立

A

B

挠曲近似微分方程。因此，写出3段弯

C

矩方程为：

3qa/4

5qa/4

1

2

(

d

)

x

1

M(x)qx

1

2

x

2

x

3

a3



M(x)qax

aaaa

qa



xa



2



2



4



a



35



M

3

(x)qa



x



qa



x2a



qa



x3a



2



44



挠曲线近似微分方程

q

qa

A

B

1

2



EIyM(x)qx

11

C

2

3qa/4

1

3

5qa/4



qxC

1

EIy

1

(

d

)

x

1

6

x

2

1

4

EIy

x

3

qxC

1

xD

11

aaaa

24

a



3



M

2

(x)qa



EIy

2

x



qa



xa



2



4



2

1



a



3

2

EIy

2



qa



x



qa



xa



C

2

2



2



8

3

1



a



3

3

EIyqaxqaxaC

2

xD

2



2



6



2



24

38

C

2

qa

3

由连续性条件和边界条件： 可得：

48



y

2



;xa:y

1

37

4

D

2

qa

48

y

1

y

2

0

3ql

4

y

C

y

2

(2a)

x3a:y

2

0



l



q



ql

3

2





C1





B



6EI48

1

3

ql

3

ql



C2



2



2EI4EI

13ql

4



C





C1





C2



48EI

8EI

学而不思则惘，思而不学则殆

7.4 用积分法求图示各梁的变形时，应分几段来列挠曲线的近似微分方程？各

有几个积分常数？试分别列出确定积分常数时所需要的位移边界条件和变形连

续光滑条件。

F

F

q

A

C

2EI

EI

EI

B

C

A

B

E

D

l/2 l/2

aaaa

(

a

)

(

b

)

解：（a）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数，位移边界条件：

y1A=y1A’=0；变形连续条件： y1C=y2C; y1C’=y2C’

（b）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数，位移边界条件：

y1A=y3B=0，变形连续条件： y1A=y2A, y1A’=y2A’

y2B=y3B, y2B’=y3B’; y3B=y4B, y3B’=y4B’;

D

EA

F

q

F

q

C

EI

B

A

A

C

EI

B

D

E

l/2l/2

aaaa

(

c

)

(

d

)

解：（c）分为两段列挠曲近似微分方程，共有4个积分常数，位移边界条件：

y1A=0；y2C=(F+ql)a/2EA

变形连续条件： y1B=y2B; y1B’=y2B’

（d）分为四段列挠曲近似微分方程，共有8个积分常数，位移边界条件：

y1A=y2C=y4B=0，

变形连续条件： y1D=y2D, y1D’=y2D’; y2C=y3C, y2C’=y3C’;

y3E=y4E

7.5 根据梁的受力和约束情况，画出图示各梁挠曲线的大致形状。

qa

M

e

aaa

a2a

(

a

)

(

b

)

qa

qa

2

q

M

e

A

a

3a

a

a

aa

(

d

)

(

c

)

a

学而不思则惘，思而不学则殆

7.7 试用叠加法求图示各悬臂梁截面B处的挠度yB和转角θB 。梁的抗弯刚度

EI为常数。

q

ql

2

解：

yyy

BB1B2

B

A

l

ql

4



M

e

l

2



(

a

)









q

8EI



2EI



B

A

422

y

B1

ql(ql)l



B1

8EI2EI

B2

4

3ql

y

B2

ql

2



B

A

8EI

3

M

e

l

ql

3

(ql

2

)l5ql

3

ql



B





B1





B2



6EIEI6EIEI6EI

7.8 试用叠加法求图示简支梁跨中截面C处的挠度yc和支座截面A的转角θA。

梁的抗弯刚度EI为常数。

F

Fl

解：

y

C

y

C1

y

C2

B

A

C

l/2l/2

3

Mx

Fl

22

e

(

b

)

lx

xl/2

48EI6EIl

F

θ

A1

33

C

B

A

ql3ql

y

C1



l/2l/2

48EI48EI

Fl

3

y

C2

ql

θ

A2

B

A



C

l/2l/2

24EI

Fl

2

M

e

l

ql

2

(Fl)l5Fl

2



A





A1





A2



16EI6EI16EI6EI48EI



学而不思则惘，思而不学则殆

7.9 试用叠加法求图示各梁指定截面的位移。梁的抗弯刚度EI为常数。

M

e

=Fl/2

解：

B

(

c

)

A

C

yyy



y



CC1C2C2

l/2

l

3



l





F(l/2)



1



M

e

=Fl/2

B1B2

y

C1

B

23EI2

A

C

¦Θ

A1

l

M

e

l

Fl

3

l

M

e

l

¦Θ

B1

l/2

l





26EI24EI23EIl

F

B

C

Fl

3

Fl

3

Fl

3

y

'

C2



24EI



24EI



12EIl

F

3

Fl/2

ql

B

C

¦Θ

B2

¦Θ

A2



A

y

'

'

C2

12EI

ll/2

7.9 (e)试用叠加法求图示各梁指定截面的位移。梁的抗弯刚度EI为常数。

解：

F=ql/2

q

yyyy

B

CC1C2C3

A

(

e

)

C

D

lq(l/2)

4

l

l/2l/2l/2





B1





B2

F=ql/2

28EI2

y

C1

C

B

232

A

lFlqll(ql/8)l

D

¦Θ

A

¦

B

Θ



q

216EI128EI23EI

C

444

B

y

C2

qlqlql

¦

C

Θ





F=ql/2

64EI128EI48EIl

2

F=ql /8

¦

B

Θ

¦

A

Θ

4

B

C

5ql

A

D



y

C3

384EI

Fl

2

M

e

l







B1





B3





C2



A





A1





A3



C

16EI6EI

3

22

2

Fl(ql/8)l

ql/2

3

ql/8l



qlql

3





16EI3EI6EI

32EI6EI96EI

333

qlqlql



32EI24EI48EIl

ql

3



32EI

F





学而不思则惘，思而不学则殆

7.12 试用叠加法求图示各梁跨中C处的挠度yC。梁的抗弯刚度EI为常数。

y

C

y

C1

y

C2

C

B

A

l/2l/2



q



4

5



l

(

a

)

q/2

2



0

B

A

C

384EI

q/2

4

5ql

C

B



A

768EI

q/2

7.15 图示木梁AB的右端由钢杆支承，已知梁AB的横截面为边长等于200mm

的正方形，弹性模量E1=10GPa; ；钢杆BD的横截面面积A2=250mm2 ，弹性

模量E2=210GPa。现测得梁AB中点处的挠度为yC=4m，试求均布荷载集度q。

解：A支座反力和BD杆受的力为FA=FBD=q

D

15q2

4

F

BD

3

y

C

y

Cq

L

BD



2384E

1

I

1

2E

2

A

2

80q3q

q



384E

1

I

1

2E

2

A

2

A

C

B

80q3q



10001000

0.2

4

221010

6

25010

6

6

3841010

12

4m

q21.6kN/m

8.1 试用解析法求图中各单元体a-b面上的应力（应力单位为MPa）。

解：



x

100MPa;



y

0;

a



xy

20MPa;



135

o



x





y



x





y

100





cos2







xy

sin2



b

20

45

o

22

100100

oo

cos213520sin2135

(

b

)

22

30MPa



x





y





sin2







xy

cos2



2

100

sin2135

o

20cos2135

o

50MPa



2



3

0

0

0

学而不思则惘，思而不学则殆

8.2 试用解析法求图中各单元体所示应力状态的主应力σ1、σ2、σ3值及σ1

的方位，并在图中画出各主平面的位置。（应力单位为MPa）

30

解：



20MPa;



30MPa;



20MPa

xyxy

c

2



x





y







20



xy



2



max









xy

20

22

min



2

37MPa

2030

2



2030







20

(

c

)



27MPa

22



30

2



2(20)40

xy

tan2



0.8

0



x





y

203050

70.67

o

因为：sin2α

0

为正，cos2α

0

、tan2α

0

为负，

则2α0位于第二象限，并有2α

0

=141.34

o

,

20

α0=70.67

o

, 因此：σ1与x轴成70.67

o





1

37MPa;



2

0;



3

27MPa

20

8.3 图示简支梁承受均布荷载，试在m-m横截面处从1、2、3、4、5点截取出

(

c

)

五个单元体（点1、5位于上下边缘处、点3位于h/2处），并标明各单元体上的

q

应力情况（标明存在何种应力

m

及应力方向）。

1

2

3

4

5

解：

m

a-a截面上的1、5两点

b

切应力等于零，只有正

l/4

l

应力；3点位于中性轴

上，正应力等于零，只

1

有切应力；2、4两点既

1

有正应力，又有切应力，

但2点的正应力为拉应力、

2

4点的正应力为压应力。

各单元体上的应力情况如图所示。

τ

3

(

b

)

4

h

/

2

h

/

2

5

1

(

c

)

h

/

2

h

/

2

h

学而不思则惘，思而不学则殆

8.4 直径d＝80mm的受扭圆杆如图所示，已知m-m截面边缘处A点的两个非

零主应力分别为σ1=50MPa，σ3 =－50MPa。试求作用在杆件上的外力偶矩

Me

M

e

M

e

解：

m



max





min



max



A

2

min

m



max





1

;



min





3

;



2

0



1





3



50MPa

max



2

M

T

M

e

16M

e



3

WW



d

pp

3

33







d

50



100.08

M

e



max

5.024kNm

1616

8.9 各单元体上的应力情况如图所示。试求主应力及最大切应力（应力单位

为MPa）。

20

x

解：z为主平面，对应的主应力为

80

30MPa；另外两个主应力按照

σx=-80MPa；σy=0；τxy=-20MPa

的平面应力状态计算得：

30

20

2

(

c

)



x





y





x





y



2



max





z







xy

y

2

min



2



2

4.72MPa

800



800



2







20

84.72MPa

2



2



则：

1

30MPa;

2

4.72MPa;

3

84.72MPa

13

max













30(84.7)

57.35MPa

22

d

学而不思则惘，思而不学则殆

8.12 已知图示圆轴表面一点处某互成45°方向的线应变分别为ε′=3.75×

10-4，ε″=5×10-4。设材料的弹性模量E ＝200GPa，泊松比μ=0.25 ，轴的

'

直径d =100mm。试求外力偶矩Me。

o

"

45

解：设ε’’方向与圆轴的

M

e

M

e

纵向成α角，则 ε’方向

与轴的纵向成α+45

o

。

根据：



x





y



x





y

cos2







xy

sin2









22

可知ε’’方向：









sin2



;









sin2



90

o





sin2



90

o

可知ε’方向：

oo

90

o

在纯剪时，单元体任意两垂直面上的正应力是等值反号的。

'

根据胡克定律：

o

"

45

M

e

M

e

1



o









90





E

'

1





1





















'





E



E

'

"

34

"



E



20010510







'



"

90

1



10.25

"

90

80MPa

E





20010

3

3.7510

4

60MPa







1



10.25

22

2













22













60

2

80

2

100MPa



100

3

19.63kNm

M

T





W

t

100

16

d









sin2





45







cos2













sin2





4590







cos2

















M

e

M

T