2024年6月7日发(作者：圭丹亦)

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x







xosx



，x0

f



x







，在x0处连续，则a

_____________.



x0

（1）已知



a，

2

（2）设

yln

1x

,则

y



x0



_____________.

2

1x

（3）



dx



_____________.

x



4x



（4）设





0

dx



_____________.

x

2

4x8

（1,21,1），



,2

（2,0，t,0）,



3

(0,4,5,2)

的秩为2，则

t

=_____________. （5）已知向量组



1



二、选择题

1.设

x0,时，e

（A）1

tanx

e

x

与x

n

是同阶无穷小，则

n

为（ ）

（C）3 （D）4 （B）2

b

1



(2)设在区间

[a,b]

上

f(x)0,f(x)0,f(x)0.

记

S

1





f(x)dx,S

2

f(b)(ba),S

3

[f(a)f(b)](ba),

a

2

则（ ）

(A)

S

1

S

2

S

3

(C)

S

3

S

1

S

2

(B)

S

2

S

3

S

1

(D)

S

2

S

1

S

3

2x

(3)已知函数

yf



x



对一切

x

满足

xf





x



3x[f





x



]1e,若f





x

0



0



x

0

0



,则

（ ）

(A)

f



x

0



是f



x



的极大值

(B)

f



x

0



是f



x



的极小值

(C)



x

0

，f(x

0

)



是yf（x）的拐点



x

0

,f(x

0

)



也不是曲线yf



x



的拐点

(D)

f



x

0



不是f



x



的极值，

(4)设

F(x)



x2



x

e

sint

sintdt,

则

F(x)

（ ）

(B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 (A)为正常数





x

2

,x0



2x,x0

,f



x







,则g[f



x



]为

（ ） （5）.设

g



x











x,x0



x2,x0



2x

2

,x0

（A）





2x,x0



2x

2

,x0

（B）





2x,x0

- 1 -



2x

2

,x0

（C）





2x,x0



2x

2

,x0

（D）





2x,x0

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）求极限

lim

4x

2

x1x1

xsinx

2

x

.

（2）设

yy



x



由





xarctant

dy

所确定，求

.

2t

dx



2ytye5

（3）计算

e

2x

(tanx1)

2

dx.



（4）求微分方程

3x2xyydxx2xydy0

的通解。

x2xxxx2xx

（5）已知

y

1

xee,y

2

xee,y

3

xeee

是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。



22



2





111





2

（6）已知

A011，且AABE,其中E

是三阶单位矩阵，求矩阵

B.







001





四、（本题满分8分）



2x

1





x

2

x

3

1





取何值时，方程组





x

1

x

2

x

3

2

无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。



4x5x5x1

23



1

五、（本题满分8分）

0



为L

上一定点，若极径

OM

0

、OM与曲线L

所 设曲线

L

的极坐方程为

rr







,M



r,





为L

上的任一点，

M

0



2，

围成的曲边扇形面积值等于

L上M

0

,M

两点间弧长值的一半，求曲线

L

的方程。

六、（本题满分8分）

设函数

f



x



在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足

xf





x



f



x





3a

2

x



a为常数



，

又曲线

2

yf



x



与x1,y0

所围成的图形

S

的面积值为2，求函数

yf



x



，并问

a

为何值时，图形

S绕x

轴旋转一周所得

的旋转体的体积最小。

七、（本题满分8分）

1

f



x



2，设





x







f



xt



dt,求







x



,并讨论







x



的连续性 已知函数

f



x



连续，且

lim

0

x0

x

八、（本题满分8分）

就

k

的不同取值情况，确定方程

x





（0，）

sinxk

在开区间内根的个数，并证明你的结论。

,2

2

- 2 -

1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）设

y(xe),则y



x0



_____________.

2

2



x

2

2

3

（2）

（x1x）dx

_____________.

1



1

（3）微分方程的

y



2y



5y0

通解为_____________.

（4）

limx



sinln(1)sinln(1)





_____________.

x

xx

（5）由曲线

yx

二、选择题

1.设

x0时，e(axbx1)是比x

高阶的无穷小，则（ ）

x22





31





1

,x2及y2

所围图形的面积

S

_____________.

x

1

,b1

2

1

（C）

a,b1

2

（A）

a

（B）

a1,b1

（D）

a1,b1

(2)设函数

f



x



在区间内有定义，若当

x(



,



)

时，恒有

f



x



x

2

,则x0

必是

f



x



的（ ）

（



，



）

(A)间断点

(B)连续而不可导的点

(D)可导的点，且

f





0



0

(C)可导的点，且

f



(0)0

(3)设

f(x)

处处可导，则（ ）

(A)

当limf



x



,必有limf





x





xx

(B)

当limf





x



,必有limf



x





xx

(C)

当limf



x



,必有limf





x





xx

(D)

当limf





x



,必有limf



x





xx

（，）内，方程xxcosx0

（ ） (4)在区间

(A)无实根

(C)有且仅有两个实根

(B)有且仅有一个实根

(D)有无穷多个实根

1

4

1

2

（5）.设

f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)f(x)m(m为常数)，由曲线yg(x),

yf(x),xa及xb

所围平

面图形绕直线

ym

旋转体体积为（ ）

（A）

（C）





[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b

（B）

（D）





[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b



b

a



[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx





[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

- 3 -

（1）计算

（2）求



1n2

0

1e

2x

dx.

dx



1sinx

.

t



d

2

y



x



f(u

2

)du,

0

（3）设



其中

f(u)

具有二阶导数，且

f(u)0,求

2

.

22

dx





y[f(t)],

1x

（4）求函数

f(x)在x0

点处带拉格朗日型余项

n

阶泰勒展开式。

1x

2

（5）求微分方程

y



y



x

的通解。

（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为

2a、2b

，用过此柱体底面的短轴与底面成



角（0





截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积

V.



2

的平面

）

四、（本题满分8分）

计算不定积分

arctanx



x

2

(1x

2

)

dx.

五、（本题满分8分）



12x

2

,x1,



3

1xx,

设函数

f(x)



x,



12x16,x2.



（1）写出

f(x)

的反函数

g(x)

的表达式；

（2）

g(x)

是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。

- 4 -

六、（本题满分8分）

设函数

yy(x)

由方程

2y2y2xyx1

所确定，试求

yy(x)

的驻点，并判别它是否为极值点。

七、（本题满分8分）

设

f(x)

在区间

[a,b]

上具有二阶导数，且

f(a)f(b)0,f



(a)f



(b)0,

试证明：

322

（a,b）和



（a,b），使f(



)0及f



(



)0.

存在





八、（本题满分8分）

设

f(x)

为连续函数，



y



ayf(x),

（1）求初值问题



的解y(x),其中a为正的常数；

y0

x0



（2）若

f(x)k(k为常数)，证明：当x0时，有y(x)

- 5 -

k

(1e

ax

).

a

1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

ycos(x)

2

sin

2

1

（1

x

,则y





_____________.

）设

（2）微分方程

y



y2x的通解为

_____________.

）曲线





x1t

2

（3

2

处的切线方程为



yt

3

_____________.

（4）

lim(

1

n

2

n1



2

n

n

2

n2

L

n

n

2

nn

)

_____________.

（5）由曲线

yx

2

e

x

2

的渐近方程为_____________.

二、选择题

1.设

f(x)和



（x）在（，）内有定义，f(x)

为连续函数，且

f(x)0,



(x)

有间断点，则（

（A）



[f(x)]必有间断点

（B）

[



(x)]

2

必有间断点

（C）

f[



(x)]必有间断点

（D）



（x）

f(x)

必有间断点

(2)曲线

yx(x1)(2x)与x

轴所围图形的面积可表示为（ ）

(A)





2

0

x(x1)(2x)dx

(B)



12

0

x(x1)(2x)dx



1

x(x1)(2x)dx

(C)





12

0

x(x1)(2x)dx



1

x(x1)(2x)dx

(D)



2

0

x(x1)(2x)dx

(3)设

f(x)

在

（，）

内可导，且对任意

x

1

,x

2

,当x

1

x

2

时，都有f(x

1

)f(x

2

),则

（ ）

(A)

对任意x,f



(x)0

(B)

对任意x,f



(x)0

(C)

函数f(x)单调增加

(D)

函数f(x)单调增加

(4)设函数

f(x)在[0,1]上f



(x)0,则f



(1)、f



(0)、f(1)f(0)或f(0)f(1)

的大小顺序是（ ）

(A)

f



(1)f



(0)f(1)f(0)

(B)

f



(1)f(1)f(0)f



(0)

(C)

f(1)f(0)f



(1)f



(0)

(D)

f



(1)f(0)f(1)f



(0)

（5）.设

f(x)可导，F（x）f(x)(1|sinx|),若使F(x)在x0处可导，则必有

（ ）

（A）

f(0)0

（B）

f



(0)0

（C）

f(0)f



(0)0

（D）

f(0)f



(0)0

- 6 -

）

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）求

lim



x0

1xosx

.

x(1cosx)

f(y)

（2）设函数

yy(x)

由方程

xe

d

2

y

e

确定，其中

f

具有二阶导数，且

f



1，求

2

.

dx

y

x

2

,且f[



(x)],求





(x)dx.

（3）设

f(x1)ln

2

x2

2

1





xarctan

2

,x0,

（4）设

f(x)



试讨论

f



(x)

在

x0

处的连续性。

x



x0,



0,

（5）求摆线





x1cost

一拱（0t2



）的弧长.



ytsint

（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度

v

t0

v

0

,

已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问

t

为多少时此

质点的速度为

v

0

？并求到此时刻该质点所经过的路程。

3

四、（本题满分8分）

求函数

f(x)



x

2

0

(2t)e

t

dt

的最大值和最小值。

五、（本题满分8分）

设

ye是微分方程xy



p(x)yx

的一个解，求此微分方程满足条件

y

- 7 -

x

x1n2

0

的特解。

六、（本题满分8分）

如图，设曲线

L

的方程为

yf(x),且y



0,又MT,MP

分别为该曲线在点

M（x

0

,y

0

）

处的切线和法线，已知线段



）（1y

0



y



(x

0

),y

0



y



(x

0

))

试推导出点

P（



，



）

的坐标表达式。

(其中y

0

MP

的长度为

3

2

2

y



0



七、（本题满分8分）

设

f(x)



x

sint



t

dt,计算





00

f(x)dx.

八、（本题满分8分）

设

lim

f(x)

x0

x

1,且f



(x),证明f(x)x.

- 8 -

1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)



f(x)



sin2xe

2ax

1



,x0,

在（，）上连续，则a

_____________.

（1）若



x



a,x0

（2）设函数

yy(x)

由参数方程





xt1n(1t),

d

2

y



yt

3

t

2

所确定，则

dx

2



_____________.

（3）

d



cos3x

dx







0

f(t)dt









_____________.

（4）



x

3

e

x

2

dx

_____________.

（5）微分方程

ydx(x

2

4x)dy0

的通解为_____________.

二、选择题

1.设

lim

ln(1x)(axbx

2

)

x0

x

2

2

则（ ）

（A）

a1,b

5

2

（B）

a0,b2

（C）

a0,b

5

2

（D）

a1,b2



(2)设

f(x)



2



x

3

,x1

,则f(x)在点x1



3

处的

（ ）



x

2

,x1

(A)左、右导数都存在 (B))左导数存在，但右导数不存在

(C)左导数不存在，但右导数存在 (D) )左、右导数都不存在

(3)设

yf(x)

是满足微分方程

y



y



e

sinx

0的解，且f



(x

0

)0,则f(x)在

（ ）

(A)

x

0

的某个领域内单调增加

(B)

x

0

的某个领域内单调减少

(C)

x

0

出取得极小值

(D)

x

0

处取得极大值

1

(4)曲线

ye

x

2

arctan

x

2

x1

(x1)(x2)

的渐近线有（ ）

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条



（5）.设

M



sinx



4



2

2

cosxdx,N

2

(sin

3

xcos

4

x)dx,P

2

234

2

1x











(xsinxcosx)dx,

则有（

2





2

（A）

NPM

（B）

MPN

（C）

NMP

（D）

PMN

- 9 -

）

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

d

2

y

，求

2

.

（1）设

yf(xy),其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1

dx

（2）计算



x(1x)

0

n

1

3

4

2

dx.

2

).

n

4n

dx

（4）计算



.

sin2x2sinx

（3）计算

limtan(

（5）如图，设曲线方程为

yx

2



1

，梯形

OABC

的面积为

D

，曲边梯形

OABC

的面积为

D

1

，为

A

的坐标为

2

（a,0），a0,证明

D3

.

D

1

2

四、（本题满分9分）

设

x0

当时，方程

kx

五、（本题满分9分）

1

1

有且仅有一个解，求

k

的取值范围

2

x

x

3

4

,

设

y

2

x

（1）求函数的增减区间及极值；

（2）求函数图像的凹凸区间及拐点；

- 10 -

（3）求其渐近线；

（4）作出其图形。

六、（本题满分9分）

求微分方程

y



aysinx

的通解，其中常数

a0.

七、（本题满分9分）

设

f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0



1时，f(x)dx



0

2







1

0

f(x)dx.

八、（本题满分8分）

求曲线

y3|x1|与x轴围成的封闭图形绕直线y3

旋转所得的旋转体体积。

- 11 -

2

1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）

x0



limxlnx

_____________.

22

x2

（2）函数

yy(x)

由方程

sin(xy)exy0所确定，则

（3）设

F(x)

dy



_____________.

dx



x

1

(2

1

)dt(x0),则函数F(x)

的单调减少区间是_____________.

t

（4）



tanx

dx

_____________.

cosx

（x,y）

（5）已知曲线

yf(x)过点（0，

，且其上任一点处的切线斜率为

xin(1x),则f(x)

_____________.

）

二、选择题

1.当

x0时，变量

1

2

2

11

sin是

则（ ）

2

xx

（B）无穷大

（D）有界的，但不是无穷大

（A）无穷小

（C）有界的，但不是无穷小



|x

2

1|



,x1,

则在点x1处函数f(x)

（ ） (2)设

f(x)



x1



x1,



2,

(A)不连续

(C)可导，但导数不连续

(B))连续，但不可导

(D) )可导，且导数连续

x



x

2

,0x1,

(3)已知

f(x)



设F（x）



f(t)dt(0x2),则F（x）为

（ ）

1

1,1x2,





1

3



x,0x1

(A)



3





x,1x2



1

3



x,0x1

(C)



3





x1,1x2

(4)设常数

k0,函数f(x)lnx

(A)3 (B)2



1

3

1



x,0x1

(B)



3

3





x,1x2



1

3

1



x,0x1

(D)



3

3





x1,1x2

x

k在（0，）

内零点个数为（ ）

e

(C)1 (D)0

）内f



(x)0,f



(x)0,则f(x)在（，0）内

则有（ ） （5）.设

f(x)f(x),在（0，

（A）

f



(x)0,f



(x)0

（C）

f



(x)0,f



(x)0

（B）

f



(x)0,f



(x)0

（D）

f



(x)0,f



(x)0

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

- 12 -

d

2

y

.

（1）设

ysin[f(x)],其中f具有二阶导数，求

2

dx

2

（2）求

limx(x100x).

x

2



（3）求





4

0

x

dx.

1cos2x

x

dx.

3



1x



2

（4）求



0

（x1）dy(2xycosx)dx0

满足初始条件求

y

（5）求微分方程

四、（本题满分9分）

x0

0的特解.

设二阶常数系数线性微分方程求

y



ay







y



e

的一个特解为求

ye

求该方程的通解。

五、（本题满分9分）

x2x

(1x)e

x

,

试确定常数



，



，



，

并

设平面图形

A

由求

xy2x与yx所确定，求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积。

六、（本题满分9分）

作半径为求

r

的球外切正圆锥，问此圆锥的高求

h

为何值时，其体积求

V

最小，并求出该最小值。

七、（本题满分6分）

设

x0,常数ae,证明（ax）a

八、（本题满分8分）

aax

22

.

Ma

2

axf



(x).

设求

f



(x)在[0,a]上连续，且f(0)0,证明：



0

f(x)dx

2

,其中Mm

0xa

a

- 13 -

1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)



xf(t)



,

dy



其中f可导，且f（0）0，则



3t

dx

（1）设



yf(e1),

（2）函数

yx2cosx在[0,

t0



_____________.



2

]

上的最大值为____________.

11x

2



_____________. （3）设

lim

x

x0

ecosx

（4）





1

dx



_____________.

x(x1)

x

（5）由曲线

yxe

与直线

yex

所围成的图形的面积

S

_____________.

二、选择题

1.当

x0时，xsinx是x的

则（ ）

（A）低阶无穷小

（C）等价无穷小

（B）高阶无穷小

（D）同阶但非等价的无穷小

2



x

2

,x0

(2)设

f(x)



2

,则

（ ）



xx,x0



x

2

,x0

(A)

f(x)



2

（xx）,x0







x

2

,x0

(C)

f(x)



2



xx,x0

1



（x

2

x），x0

(B))

f(x)



2

x,x0





x

2

x，x0

(D) )

f(x)



2



x,x0

x

2

1

x1

e的极限

（ ） (3)当

x1时，函数

x1

(A)等于2 (B)等于0 (C)等



(D)不存在但不为



x

2



(4)设

f(x)连续，F（x）

(A)

f(x)

42



0

4

f(t

2

)dt,则F



（x）等于

内零点个数为（ ）

(C)

2xf(x)

4

(B)

xf(x)

(D)

2xf(x)

2

（5）.若

f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为

则有（ ）

（A）

1sinx

（B）

1sinx

（C）

1cosx

（D）

1cosx

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1

3x

x

2

).

（1）求

lim(

x

6x

- 14 -

2024年6月7日发(作者：圭丹亦)

1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

x







xosx



，x0

f



x







，在x0处连续，则a

_____________.



x0

（1）已知



a，

2

（2）设

yln

1x

,则

y



x0



_____________.

2

1x

（3）



dx



_____________.

x



4x



（4）设





0

dx



_____________.

x

2

4x8

（1,21,1），



,2

（2,0，t,0）,



3

(0,4,5,2)

的秩为2，则

t

=_____________. （5）已知向量组



1



二、选择题

1.设

x0,时，e

（A）1

tanx

e

x

与x

n

是同阶无穷小，则

n

为（ ）

（C）3 （D）4 （B）2

b

1



(2)设在区间

[a,b]

上

f(x)0,f(x)0,f(x)0.

记

S

1





f(x)dx,S

2

f(b)(ba),S

3

[f(a)f(b)](ba),

a

2

则（ ）

(A)

S

1

S

2

S

3

(C)

S

3

S

1

S

2

(B)

S

2

S

3

S

1

(D)

S

2

S

1

S

3

2x

(3)已知函数

yf



x



对一切

x

满足

xf





x



3x[f





x



]1e,若f





x

0



0



x

0

0



,则

（ ）

(A)

f



x

0



是f



x



的极大值

(B)

f



x

0



是f



x



的极小值

(C)



x

0

，f(x

0

)



是yf（x）的拐点



x

0

,f(x

0

)



也不是曲线yf



x



的拐点

(D)

f



x

0



不是f



x



的极值，

(4)设

F(x)



x2



x

e

sint

sintdt,

则

F(x)

（ ）

(B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 (A)为正常数





x

2

,x0



2x,x0

,f



x







,则g[f



x



]为

（ ） （5）.设

g



x











x,x0



x2,x0



2x

2

,x0

（A）





2x,x0



2x

2

,x0

（B）





2x,x0

- 1 -



2x

2

,x0

（C）





2x,x0



2x

2

,x0

（D）





2x,x0

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）求极限

lim

4x

2

x1x1

xsinx

2

x

.

（2）设

yy



x



由





xarctant

dy

所确定，求

.

2t

dx



2ytye5

（3）计算

e

2x

(tanx1)

2

dx.



（4）求微分方程

3x2xyydxx2xydy0

的通解。

x2xxxx2xx

（5）已知

y

1

xee,y

2

xee,y

3

xeee

是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。



22



2





111





2

（6）已知

A011，且AABE,其中E

是三阶单位矩阵，求矩阵

B.







001





四、（本题满分8分）



2x

1





x

2

x

3

1





取何值时，方程组





x

1

x

2

x

3

2

无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。



4x5x5x1

23



1

五、（本题满分8分）

0



为L

上一定点，若极径

OM

0

、OM与曲线L

所 设曲线

L

的极坐方程为

rr







,M



r,





为L

上的任一点，

M

0



2，

围成的曲边扇形面积值等于

L上M

0

,M

两点间弧长值的一半，求曲线

L

的方程。

六、（本题满分8分）

设函数

f



x



在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足

xf





x



f



x





3a

2

x



a为常数



，

又曲线

2

yf



x



与x1,y0

所围成的图形

S

的面积值为2，求函数

yf



x



，并问

a

为何值时，图形

S绕x

轴旋转一周所得

的旋转体的体积最小。

七、（本题满分8分）

1

f



x



2，设





x







f



xt



dt,求







x



,并讨论







x



的连续性 已知函数

f



x



连续，且

lim

0

x0

x

八、（本题满分8分）

就

k

的不同取值情况，确定方程

x





（0，）

sinxk

在开区间内根的个数，并证明你的结论。

,2

2

- 2 -

1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）设

y(xe),则y



x0



_____________.

2

2



x

2

2

3

（2）

（x1x）dx

_____________.

1



1

（3）微分方程的

y



2y



5y0

通解为_____________.

（4）

limx



sinln(1)sinln(1)





_____________.

x

xx

（5）由曲线

yx

二、选择题

1.设

x0时，e(axbx1)是比x

高阶的无穷小，则（ ）

x22





31





1

,x2及y2

所围图形的面积

S

_____________.

x

1

,b1

2

1

（C）

a,b1

2

（A）

a

（B）

a1,b1

（D）

a1,b1

(2)设函数

f



x



在区间内有定义，若当

x(



,



)

时，恒有

f



x



x

2

,则x0

必是

f



x



的（ ）

（



，



）

(A)间断点

(B)连续而不可导的点

(D)可导的点，且

f





0



0

(C)可导的点，且

f



(0)0

(3)设

f(x)

处处可导，则（ ）

(A)

当limf



x



,必有limf





x





xx

(B)

当limf





x



,必有limf



x





xx

(C)

当limf



x



,必有limf





x





xx

(D)

当limf





x



,必有limf



x





xx

（，）内，方程xxcosx0

（ ） (4)在区间

(A)无实根

(C)有且仅有两个实根

(B)有且仅有一个实根

(D)有无穷多个实根

1

4

1

2

（5）.设

f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)f(x)m(m为常数)，由曲线yg(x),

yf(x),xa及xb

所围平

面图形绕直线

ym

旋转体体积为（ ）

（A）

（C）





[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b

（B）

（D）





[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b



b

a



[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx





[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

a

b

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

- 3 -

（1）计算

（2）求



1n2

0

1e

2x

dx.

dx



1sinx

.

t



d

2

y



x



f(u

2

)du,

0

（3）设



其中

f(u)

具有二阶导数，且

f(u)0,求

2

.

22

dx





y[f(t)],

1x

（4）求函数

f(x)在x0

点处带拉格朗日型余项

n

阶泰勒展开式。

1x

2

（5）求微分方程

y



y



x

的通解。

（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为

2a、2b

，用过此柱体底面的短轴与底面成



角（0





截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积

V.



2

的平面

）

四、（本题满分8分）

计算不定积分

arctanx



x

2

(1x

2

)

dx.

五、（本题满分8分）



12x

2

,x1,



3

1xx,

设函数

f(x)



x,



12x16,x2.



（1）写出

f(x)

的反函数

g(x)

的表达式；

（2）

g(x)

是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。

- 4 -

六、（本题满分8分）

设函数

yy(x)

由方程

2y2y2xyx1

所确定，试求

yy(x)

的驻点，并判别它是否为极值点。

七、（本题满分8分）

设

f(x)

在区间

[a,b]

上具有二阶导数，且

f(a)f(b)0,f



(a)f



(b)0,

试证明：

322

（a,b）和



（a,b），使f(



)0及f



(



)0.

存在





八、（本题满分8分）

设

f(x)

为连续函数，



y



ayf(x),

（1）求初值问题



的解y(x),其中a为正的常数；

y0

x0



（2）若

f(x)k(k为常数)，证明：当x0时，有y(x)

- 5 -

k

(1e

ax

).

a

1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

ycos(x)

2

sin

2

1

（1

x

,则y





_____________.

）设

（2）微分方程

y



y2x的通解为

_____________.

）曲线





x1t

2

（3

2

处的切线方程为



yt

3

_____________.

（4）

lim(

1

n

2

n1



2

n

n

2

n2

L

n

n

2

nn

)

_____________.

（5）由曲线

yx

2

e

x

2

的渐近方程为_____________.

二、选择题

1.设

f(x)和



（x）在（，）内有定义，f(x)

为连续函数，且

f(x)0,



(x)

有间断点，则（

（A）



[f(x)]必有间断点

（B）

[



(x)]

2

必有间断点

（C）

f[



(x)]必有间断点

（D）



（x）

f(x)

必有间断点

(2)曲线

yx(x1)(2x)与x

轴所围图形的面积可表示为（ ）

(A)





2

0

x(x1)(2x)dx

(B)



12

0

x(x1)(2x)dx



1

x(x1)(2x)dx

(C)





12

0

x(x1)(2x)dx



1

x(x1)(2x)dx

(D)



2

0

x(x1)(2x)dx

(3)设

f(x)

在

（，）

内可导，且对任意

x

1

,x

2

,当x

1

x

2

时，都有f(x

1

)f(x

2

),则

（ ）

(A)

对任意x,f



(x)0

(B)

对任意x,f



(x)0

(C)

函数f(x)单调增加

(D)

函数f(x)单调增加

(4)设函数

f(x)在[0,1]上f



(x)0,则f



(1)、f



(0)、f(1)f(0)或f(0)f(1)

的大小顺序是（ ）

(A)

f



(1)f



(0)f(1)f(0)

(B)

f



(1)f(1)f(0)f



(0)

(C)

f(1)f(0)f



(1)f



(0)

(D)

f



(1)f(0)f(1)f



(0)

（5）.设

f(x)可导，F（x）f(x)(1|sinx|),若使F(x)在x0处可导，则必有

（ ）

（A）

f(0)0

（B）

f



(0)0

（C）

f(0)f



(0)0

（D）

f(0)f



(0)0

- 6 -

）

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）求

lim



x0

1xosx

.

x(1cosx)

f(y)

（2）设函数

yy(x)

由方程

xe

d

2

y

e

确定，其中

f

具有二阶导数，且

f



1，求

2

.

dx

y

x

2

,且f[



(x)],求





(x)dx.

（3）设

f(x1)ln

2

x2

2

1





xarctan

2

,x0,

（4）设

f(x)



试讨论

f



(x)

在

x0

处的连续性。

x



x0,



0,

（5）求摆线





x1cost

一拱（0t2



）的弧长.



ytsint

（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度

v

t0

v

0

,

已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问

t

为多少时此

质点的速度为

v

0

？并求到此时刻该质点所经过的路程。

3

四、（本题满分8分）

求函数

f(x)



x

2

0

(2t)e

t

dt

的最大值和最小值。

五、（本题满分8分）

设

ye是微分方程xy



p(x)yx

的一个解，求此微分方程满足条件

y

- 7 -

x

x1n2

0

的特解。

六、（本题满分8分）

如图，设曲线

L

的方程为

yf(x),且y



0,又MT,MP

分别为该曲线在点

M（x

0

,y

0

）

处的切线和法线，已知线段



）（1y

0



y



(x

0

),y

0



y



(x

0

))

试推导出点

P（



，



）

的坐标表达式。

(其中y

0

MP

的长度为

3

2

2

y



0



七、（本题满分8分）

设

f(x)



x

sint



t

dt,计算





00

f(x)dx.

八、（本题满分8分）

设

lim

f(x)

x0

x

1,且f



(x),证明f(x)x.

- 8 -

1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)



f(x)



sin2xe

2ax

1



,x0,

在（，）上连续，则a

_____________.

（1）若



x



a,x0

（2）设函数

yy(x)

由参数方程





xt1n(1t),

d

2

y



yt

3

t

2

所确定，则

dx

2



_____________.

（3）

d



cos3x

dx







0

f(t)dt









_____________.

（4）



x

3

e

x

2

dx

_____________.

（5）微分方程

ydx(x

2

4x)dy0

的通解为_____________.

二、选择题

1.设

lim

ln(1x)(axbx

2

)

x0

x

2

2

则（ ）

（A）

a1,b

5

2

（B）

a0,b2

（C）

a0,b

5

2

（D）

a1,b2



(2)设

f(x)



2



x

3

,x1

,则f(x)在点x1



3

处的

（ ）



x

2

,x1

(A)左、右导数都存在 (B))左导数存在，但右导数不存在

(C)左导数不存在，但右导数存在 (D) )左、右导数都不存在

(3)设

yf(x)

是满足微分方程

y



y



e

sinx

0的解，且f



(x

0

)0,则f(x)在

（ ）

(A)

x

0

的某个领域内单调增加

(B)

x

0

的某个领域内单调减少

(C)

x

0

出取得极小值

(D)

x

0

处取得极大值

1

(4)曲线

ye

x

2

arctan

x

2

x1

(x1)(x2)

的渐近线有（ ）

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条



（5）.设

M



sinx



4



2

2

cosxdx,N

2

(sin

3

xcos

4

x)dx,P

2

234

2

1x











(xsinxcosx)dx,

则有（

2





2

（A）

NPM

（B）

MPN

（C）

NMP

（D）

PMN

- 9 -

）

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

d

2

y

，求

2

.

（1）设

yf(xy),其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1

dx

（2）计算



x(1x)

0

n

1

3

4

2

dx.

2

).

n

4n

dx

（4）计算



.

sin2x2sinx

（3）计算

limtan(

（5）如图，设曲线方程为

yx

2



1

，梯形

OABC

的面积为

D

，曲边梯形

OABC

的面积为

D

1

，为

A

的坐标为

2

（a,0），a0,证明

D3

.

D

1

2

四、（本题满分9分）

设

x0

当时，方程

kx

五、（本题满分9分）

1

1

有且仅有一个解，求

k

的取值范围

2

x

x

3

4

,

设

y

2

x

（1）求函数的增减区间及极值；

（2）求函数图像的凹凸区间及拐点；

- 10 -

（3）求其渐近线；

（4）作出其图形。

六、（本题满分9分）

求微分方程

y



aysinx

的通解，其中常数

a0.

七、（本题满分9分）

设

f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0



1时，f(x)dx



0

2







1

0

f(x)dx.

八、（本题满分8分）

求曲线

y3|x1|与x轴围成的封闭图形绕直线y3

旋转所得的旋转体体积。

- 11 -

2

1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

（1）

x0



limxlnx

_____________.

22

x2

（2）函数

yy(x)

由方程

sin(xy)exy0所确定，则

（3）设

F(x)

dy



_____________.

dx



x

1

(2

1

)dt(x0),则函数F(x)

的单调减少区间是_____________.

t

（4）



tanx

dx

_____________.

cosx

（x,y）

（5）已知曲线

yf(x)过点（0，

，且其上任一点处的切线斜率为

xin(1x),则f(x)

_____________.

）

二、选择题

1.当

x0时，变量

1

2

2

11

sin是

则（ ）

2

xx

（B）无穷大

（D）有界的，但不是无穷大

（A）无穷小

（C）有界的，但不是无穷小



|x

2

1|



,x1,

则在点x1处函数f(x)

（ ） (2)设

f(x)



x1



x1,



2,

(A)不连续

(C)可导，但导数不连续

(B))连续，但不可导

(D) )可导，且导数连续

x



x

2

,0x1,

(3)已知

f(x)



设F（x）



f(t)dt(0x2),则F（x）为

（ ）

1

1,1x2,





1

3



x,0x1

(A)



3





x,1x2



1

3



x,0x1

(C)



3





x1,1x2

(4)设常数

k0,函数f(x)lnx

(A)3 (B)2



1

3

1



x,0x1

(B)



3

3





x,1x2



1

3

1



x,0x1

(D)



3

3





x1,1x2

x

k在（0，）

内零点个数为（ ）

e

(C)1 (D)0

）内f



(x)0,f



(x)0,则f(x)在（，0）内

则有（ ） （5）.设

f(x)f(x),在（0，

（A）

f



(x)0,f



(x)0

（C）

f



(x)0,f



(x)0

（B）

f



(x)0,f



(x)0

（D）

f



(x)0,f



(x)0

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

- 12 -

d

2

y

.

（1）设

ysin[f(x)],其中f具有二阶导数，求

2

dx

2

（2）求

limx(x100x).

x

2



（3）求





4

0

x

dx.

1cos2x

x

dx.

3



1x



2

（4）求



0

（x1）dy(2xycosx)dx0

满足初始条件求

y

（5）求微分方程

四、（本题满分9分）

x0

0的特解.

设二阶常数系数线性微分方程求

y



ay







y



e

的一个特解为求

ye

求该方程的通解。

五、（本题满分9分）

x2x

(1x)e

x

,

试确定常数



，



，



，

并

设平面图形

A

由求

xy2x与yx所确定，求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积。

六、（本题满分9分）

作半径为求

r

的球外切正圆锥，问此圆锥的高求

h

为何值时，其体积求

V

最小，并求出该最小值。

七、（本题满分6分）

设

x0,常数ae,证明（ax）a

八、（本题满分8分）

aax

22

.

Ma

2

axf



(x).

设求

f



(x)在[0,a]上连续，且f(0)0,证明：



0

f(x)dx

2

,其中Mm

0xa

a

- 13 -

1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)



xf(t)



,

dy



其中f可导，且f（0）0，则



3t

dx

（1）设



yf(e1),

（2）函数

yx2cosx在[0,

t0



_____________.



2

]

上的最大值为____________.

11x

2



_____________. （3）设

lim

x

x0

ecosx

（4）





1

dx



_____________.

x(x1)

x

（5）由曲线

yxe

与直线

yex

所围成的图形的面积

S

_____________.

二、选择题

1.当

x0时，xsinx是x的

则（ ）

（A）低阶无穷小

（C）等价无穷小

（B）高阶无穷小

（D）同阶但非等价的无穷小

2



x

2

,x0

(2)设

f(x)



2

,则

（ ）



xx,x0



x

2

,x0

(A)

f(x)



2

（xx）,x0







x

2

,x0

(C)

f(x)



2



xx,x0

1



（x

2

x），x0

(B))

f(x)



2

x,x0





x

2

x，x0

(D) )

f(x)



2



x,x0

x

2

1

x1

e的极限

（ ） (3)当

x1时，函数

x1

(A)等于2 (B)等于0 (C)等



(D)不存在但不为



x

2



(4)设

f(x)连续，F（x）

(A)

f(x)

42



0

4

f(t

2

)dt,则F



（x）等于

内零点个数为（ ）

(C)

2xf(x)

4

(B)

xf(x)

(D)

2xf(x)

2

（5）.若

f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为

则有（ ）

（A）

1sinx

（B）

1sinx

（C）

1cosx

（D）

1cosx

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

1

3x

x

2

).

（1）求

lim(

x

6x

- 14 -