2024年6月2日发(作者：仲睿才)
§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，
记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b
＝±|a||b|.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a
⊥
b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|
2
，|a|＝a·a；
a·b
(4)cos θ＝
；
|a||b|
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|
2
＝x
2
＋y
2
或|a|＝x
2
＋y
2
.
→
(2)设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝x
2
－x
1
2
＋y
2
－y
1
2
.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a⊥b⇔x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
→→→→→→→
(3)△ABC内有一点O，满足OA
＋OB＋OC＝0，且OA
·OB
＝OB
·OC
，则△ABC一定是等腰三
角形．( )
→→→→
(4)在四边形ABCD中，AB
＝DC且AC
·BD
＝0，则四边形ABCD为矩形．( )
1
π
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( )
2
4
(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－
或λ>0.( )
3
1．(2014·重庆)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于( )
9
A．－
2
C．3
B．0
15
D.
2
2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
→→→→→
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP
＝2PM，则PA
·(PB
＋PC
)
的值为________．
题型一 平面向量数量积的运算
→→
例1 (1)(2013·湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上
的投影为( )
32
A.
2
32
C. －
2
315
B.
2
315
D．－
2
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB
的值为________；DE
·DC
的最大值为________．
x
1
＋y
1
(1)已知平面向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则
x
2
＋y
2
的值为( )
2255
A. B．－ C. D．－
3366
→→→
(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC
＝－1，则|BC
|的最小值是( )
A.2 B．2 C.6 D．6
题型二 求向量的模与夹角
π
例2 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角
3
2
2024年6月2日发(作者：仲睿才)
§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，
记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b
＝±|a||b|.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a
⊥
b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|
2
，|a|＝a·a；
a·b
(4)cos θ＝
；
|a||b|
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|
2
＝x
2
＋y
2
或|a|＝x
2
＋y
2
.
→
(2)设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB|＝x
2
－x
1
2
＋y
2
－y
1
2
.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a⊥b⇔x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
→→→→→→→
(3)△ABC内有一点O，满足OA
＋OB＋OC＝0，且OA
·OB
＝OB
·OC
，则△ABC一定是等腰三
角形．( )
→→→→
(4)在四边形ABCD中，AB
＝DC且AC
·BD
＝0，则四边形ABCD为矩形．( )
1
π
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．( )
2
4
(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－
或λ>0.( )
3
1．(2014·重庆)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k等于( )
9
A．－
2
C．3
B．0
15
D.
2
2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
→→→→→
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足AP
＝2PM，则PA
·(PB
＋PC
)
的值为________．
题型一 平面向量数量积的运算
→→
例1 (1)(2013·湖北)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上
的投影为( )
32
A.
2
32
C. －
2
315
B.
2
315
D．－
2
→→→→
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB
的值为________；DE
·DC
的最大值为________．
x
1
＋y
1
(1)已知平面向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则
x
2
＋y
2
的值为( )
2255
A. B．－ C. D．－
3366
→→→
(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC
＝－1，则|BC
|的最小值是( )
A.2 B．2 C.6 D．6
题型二 求向量的模与夹角
π
例2 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角
3
2