2024年6月13日发(作者：尹棠华)

高二数学同步检测一

平面与空间直线

说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ

卷可在各题后直接作答.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）

1.列命题是真命题的是( )

A.空间不同三点确定一个平面

B.空间两两相交的三条直线确定一个平面

C.四边形确定一个平面

D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内

答案:D

解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三

点,才能确定一个平面,所以A错.

如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.

如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.

2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )

A.30° B.30°或150°

C.150° D.以上结论都不对

答案:B

解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.

3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )

A.直线AC B.直线BC

C.直线AB D.直线CD

答案:D

解析:

CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.

4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直

线的图是( )

答案:C

解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C

中的PQ与RS异面.

5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )

①a∩b=



且a不平行于b ②a



平面α,b



平面β且α∩β=



③a



平面α,b



平面

α ④不存在平面α,使a



平面α且b



平面α成立

A.①② B.①③ C.①④ D.③④

答案:C

解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相

交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个

平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还

可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.

6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方

体盒子中，∠ABC的值为…( )

A.180° B.90° C.60° D.45°

答案:C

解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC

内.

7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系

是( )

>a =a

答案:C

解析:如图,取AC中点P,则MP

11

BC,NPAD,且MP+NP=(BC+AD)=a>MN,故C正确.

22

8.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是

CC

1

、AD的中点，那么异面直线OE和FD

1

所成的角的余弦值等于( )

A.

42

1015

B. C. D.

53

55

答案:B

解析一:如图(1),取面CC

1

D

1

D的中心为H，连结FH、D

1

H.易知OE∥FH，所以∠D

1

FH为所

求异面直线所成的角.在△FHD

1

中，

FD

1

=

53215

，FH=，D

1

H=由余弦定理，得∠D

1

FH的余弦值为.

2225

解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC

1

、FD

1

,则GC

1

∥FD

1

.再取GC中点为H,连结HE、

OH，则∠OEH为异面直线所成的角.

在△OEH中，OE=

355

,HE=，OH=.

244

15

.

5

由余弦定理，可得cos∠OEH=

9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则

P,Q两点之间的最小距离为( )

A.1 B.

3

C.

2

D.

3

2

答案:C

解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ⊥AB,PQ⊥

CD.在Rt△BQP中,

∵BQ=

3

,BP=1,∴PQ=

31

=

2

.

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

答案:C

解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①

②不正确.

因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,

则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,

因为BN=

3

a,ND′=

2

a,BD′=

5

a,所以BN

2

+D′N

2

=D′B

2

,即BN⊥ND′,BN⊥DM.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）

11.以下四个命题:

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α



l



α;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β



α∩β=AB;

③l



α,A∈l



A



a;

④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线



α与β重合.

其中推理正确的序号是__________.

答案:①②④

解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l可能与平面α

相交于A.故③不正确.

12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个.

答案:6

解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,

平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.

13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;

②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

其中不正确的序号是__________.

答案:①②

解析:在如图所示的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,A

1

D

1

⊥D

1

D,C

1

D

1

⊥D

1

D,

即A

1

D

1

与D

1

D,C

1

D

1

与D

1

D所成的角都是90°,但A

1

D

1

与C

1

D

1

不平行,可知①②不正确,由公

理4可知③正确.

14.在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，如果E、F分别为AB、CC

1

的中点，那么异面直线A

1

C

与EF所成的角等于_______________.

答案:arccos

2

3

1

AA

1

，

2

解析:延长AA

1

到P，使A

1

P=

连结PF，则PF∥A

1

C，设A

1

A=a.

3

2

1

2

10

2

a)+(a)=a，

224

116

EF

2

=(a)

2

+a

2

+(a)

2

=a

2

，PF

2

=A

1

C

2

=3a

2

.

224

则PE

2

=(

610

3a

2

a

2

a

2

2

44

∴cos∠PEF=.



3

6

23aa

2

>a =a

答案:C

解析:如图,取AC中点P,则MP

11

BC,NPAD,且MP+NP=(BC+AD)=a>MN,故C正确.

22

8.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是

CC

1

、AD的中点，那么异面直线OE和FD

1

所成的角的余弦值等于( )

A.

42

1015

B. C. D.

53

55

答案:B

解析一:如图(1),取面CC

1

D

1

D的中心为H，连结FH、D

1

H.易知OE∥FH，所以∠D

1

FH为所

求异面直线所成的角.在△FHD

1

中，

FD

1

=

53215

，FH=，D

1

H=由余弦定理，得∠D

1

FH的余弦值为.

2225

解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC

1

、FD

1

,则GC

1

∥FD

1

.再取GC中点为H,连结HE、

OH，则∠OEH为异面直线所成的角.

在△OEH中，OE=

355

,HE=，OH=.

244

15

.

5

由余弦定理，可得cos∠OEH=

9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则

P,Q两点之间的最小距离为( )

A.1 B.

3

C.

2

D.

3

2

答案:C

解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ⊥AB,PQ⊥

CD.在Rt△BQP中,

∵BQ=

3

,BP=1,∴PQ=

31

=

2

.

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是( )

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④

答案:C

解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①

②不正确.

因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,

则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,

因为BN=

3

a,ND′=

2

a,BD′=

5

a,所以BN

2

+D′N

2

=D′B

2

,即BN⊥ND′,BN⊥DM.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）

11.以下四个命题:

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α



l



α;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β



α∩β=AB;

③l



α,A∈l



A



a;

④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线



α与β重合.

其中推理正确的序号是__________.

答案:①②④

解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l可能与平面α

相交于A.故③不正确.

12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个.

答案:6

解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,

平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.

13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;

②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

其中不正确的序号是__________.

答案:①②

解析:在如图所示的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,A

1

D

1

⊥D

1

D,C

1

D

1

⊥D

1

D,

即A

1

D

1

与D

1

D,C

1

D

1

与D

1

D所成的角都是90°,但A

1

D

1

与C

1

D

1

不平行,可知①②不正确,由公

理4可知③正确.

14.在正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，如果E、F分别为AB、CC

1

的中点，那么异面直线A

1

C

与EF所成的角等于_______________.

答案:arccos

2

3

1

AA

1

，

2

解析:延长AA

1

到P，使A

1

P=

连结PF，则PF∥A

1

C，设A

1

A=a.

3

2

1

2

10

2

a)+(a)=a，

224

116

EF

2

=(a)

2

+a

2

+(a)

2

=a

2

，PF

2

=A

1

C

2

=3a

2

.

224

则PE

2

=(

610

3a

2

a

2

a

2

2

44

∴cos∠PEF=.



3

6

23aa

2