2024年4月27日发(作者：局琼)
数理统计期末练习题
1.
在总体
N(7.6,4)
中抽取容量为
n
的样本
，
如果要求样本均值落在
(5.6,9.6)
内的概率不 小于
，
则
n
至少
为多少 _________________________
2
•设心
,x
n
是来自
N( ,25)
的样本
，
问
n
多大时才能使得
P(| x | 1) 0.95
成立_
3.
由正态总体
N(100,4)
抽取两个独立样本
，
样本均值分别为
x,y
,
样本容量分别
15,20,
试求
P
(|X yi 0.2).
___________________________________
5.
设
x
1
, ,x
16
是来自
N( ,
2
)
的样本,经计算
x 9,s
2
5.32
,
试求
P(| x | 0.6). _____________
0
,
有
6.
设
X
1
, ,X
n
是来自
(,1)
的样本,试确定最小的常数
c,
使得对任意的
(|x| c)
7.
设随机变量
X~F(n,n),
证明
(
X
1)
9
.设
x
1
,x
2
是来自
N(0, )
的样本
，
试求
Y
2
x
1
x
2
x
1
x
2
2
服从 分布
.
10.
设总体为
N(0,1), x
「
X
2
为样本
，
试求常数
些/
2
k
使得
(X
1
X
2
) (X
1
X
2
)
0.05.
11
.设心x是来自
N (
本
,c,d
是任意两个不为
0
的常数
,
证明
t
(n 1)Sx (m 1)Sy
的样本
，
％, ,y
y
1
,
m
是来自
N(
2
)
的样
c(x
1
)d(y
s
i
(
2
c d
n m
22
)
~ t(n
2),
其中
s
2
,s
2
与
s
y
分别是两个样本方差
.
1
n
2
x
n
, x
n 1
是来自
N( ,
2
)
的样本
，
R - x, n
i 1
S
n
_
12
.设
x
1
, x
2
,
(x
x
n
)
2
,
试求常
使得
t
c
S
n
服从
t
分布
,
并指出分布的自由度
13.
取容量为
2
设从两个方差相等的正态总体中分别抽
15,20
的样本,其样本方差分别为
s, s,
i 2
试求
p(
S
2
2
). _______________
14.
某厂生产的灯泡使用寿命
X ~ N(2250,250
2
)
,
现进行质量检查
,
方法如下：随机抽
取若干个灯泡
，
如果这些灯泡的平均寿命超过
2200h,
就认为该厂生产的灯泡质量合格
,
若要使检查能通过的概率不低于
，
问至少应检查多少只灯泡？
15
.设
(x
i
X
17
)
是来自正态分布
N( ,
2
)
的一个样本
,
x
与
s
2
分别是样本
均值与样本方差。求
k,
使得
p(x ks) 0.95 _______________________
, ____
21
.设
X
1
,L ,X
n
是来自正态分布总体
N ,
2
的一个样本。
s
； —
X X
是样本方
n 1
i 1
2
1
n
差
,
试求满足
P 1.5 0.95
的最小
n
值 _____________ 。
1.
设
(X
1
, X
2
,
…
,X
n
)
为来自正态总体
N
亿
?
2
)
的样本
，？
2
未知
，
现要检验假设
H): ?
=?
0
,
则应选取的统计量是 _____________
;
当
H＞
成立时
，
该统计量服从 __________ 布
.
2.
在显着性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小
，
则只有增加 _________________
.
1.
设总体
X
〜
N(?, ?
2
) , ?
2
已知
，x
1
, x
2
,
…
,x
n
为取自
X
的样本观察值
，
现在显着 水平
？=
下接受了
H): ? = ?
0
.
若将
？
改为时
，
下面结论中正确的是
(A)
必拒绝
H)(B)
必接受
H)(C)
犯第一类错误概率变大
变小
(D)
犯第一类错误概率
2.
在假设检验中
，H
o
表示原假设
，H
1
为备选假设
，
则称为犯第二类错误的是
(A) H
1
不真
，
接受
H
(C) H
0
不真
，
接受
H
0
(B) H
(D) H
0
不真
，
接受
H
为真
，
接受
H
0
3.
设
(X
1
, X
2
,
…
,X
n
)
为来自正态总体
N
亿
?
2
)
的样本
，?, ?
2
未知参数
，
且
n _
n
i 1
X
i
,
Q
2
i 1
(X
i
X)
2
则检验假设
H): ? = 0
---------- x
(A) n(n 1)
Q
(B)
应选取统计量为
n
Q
(C)
X
Q
2
4
,对于单因素试验方差分析的数学模型,
设
S
T
为总离差平方和，
S
e
为误差平方和，
S
A
为效应平方和，则总有
S
T
S
e
S
A
1
、设来自总体
X
的样本值为
(3,2,1,2,0)
，则总体
X
的经验分布函数
F
5
(
X
)
在
x 0.8
处 的值为 。
2
、设来自总体
B(1,)
的一个样本为
X
「
X
2
丄，
X
n
,
X
为样本均值。则
Var(X)
0
3
、设
X
「
K ,X
m
,X
m 1
,
…，
X
2m
是来自总体
N(0,)
的简单随机样本，则统计量
m
2
4
、设
X
i
,K ,X
n
为来自总体
U(0,)
的样本， 为未知参数，则 的矩法估计量为
n
5
、 设
X
i
,X
2
,L ,X
n
为来指数分布
Exp()
的简单随机样本， 为未知参数，则
2
从自由度为 ___________ 的卡方分布。
X
i
服
i 1
6
、
设
X
i
,X
2
, L ,X
n
为来自正态分布
N( ,
2
)
的简单随机样本，
，
2
均未知，
X,S
2
分
别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设
H
0
:
为
t Vn(X__
0
)
，在显着性水平
S
0
VS H
1
:
0
的检验统计量
下的拒绝域为
_
n 1
1
、设
X
1
,K ,X
n
是来自总体
N(
2
)
的简单随机样本，统计量
T
c (X
i 1
i 1
X
i
)
2
为
的无偏估计。则常数
c
为
勺
2(n 1)
3
、设
X
1
,X
2
,X
3
,X
4
是来自总体
B(1,p)
样本容量为
4
的样本，若对假设检验问题
H
。
4
p 0.5 ,
H
1
:
p 0.75
的拒绝域为
W
i 1
x
i
3
，该检验犯第一类错误的概率为()
(
A
)
1/2
(
B
)
3/4
(
C
)
5/16
(
D 11/16
4
、设
X
1
,X
2
,L ,X
n
为来自总体
X
的简单随机样本
，
总体
X
的方差
2
未知，
X,S
2
分别 为样本均值和样本无偏
方差，则下述结论正确的是(
(
A
)
S
是 的无偏估计量
(
C
)
S
是 的相合估计量
(
B
)
S
是 的最大似然估计量
(
D
)
S
与
X
相互独立
)。
1
某种产品以往的废品率为
5%
采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，
这种产品的废品率是否有所降低，取显着水平
5%
，则此，设题的原假设
H ° : ___________
备择假设
H
i
: _________
.
犯第一类错误的概率为 __________ 。
2
、设总体
x~N( ,
2
)
，方差
2
未知，对假设
H
°
:
检验，通常米取的统计量是 ，服从
和
°
，
H
i
:
°
，进行假设
分布，自由度是
°
3
、设总体
x ~ N( ,
2
)
，
若用
t
检验法进行假设检验,
均未知。统计假设取为
H
°
:
之下，拒绝域是(
B
)
H
1
:
则在显着水平
A
、
|t| t (n 1)
1 —
2
B
、
|t| t
i
(n 1)
1 —
2
c
、
|t| t
i
(n 1)
4
、在假设检验中，原假设
1
A
、
H
°
为真，接受
H
°
C
、
H
°
为真，拒绝
H
°
n _
D
、
|t| t
i
(n 1)
H
°
，备择选择
H
1
，则称(
B
)为犯第二类错误
B
D
、
、
H
°
不真，接受
H
°
H
°
不真，拒绝
H
°
2
、 设X
i
,X
2
,…,X
n
为取自总体X ~ N( ,
2
)的样本，
X
为样本均值，S
2
- (X
i
X)
2
，
n
i i
则服从自由度为n 1的
t
分布的统计量为 ______________
3
、 若总体
X
〜
N( ,
2
)
，其中
2
已知，当样本容量
n
保持不变时，如果置信度
1
小，贝
U
的置信区间
减
4
、 在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容
)•
(
B
)
增大时也增大；
量
n
- 」定时，下列说法中正确的是(
(
A
)
(
C
)
减小时也减小；
,
其中一个减小，另一个会增大；
(
D
)
(
A
)和(
B
)同时成立
6
、 设总体
X
和
Y
相互独立，且都服从正态分布
N(0, 3
2
)
，而
(X
1
,X
2
L ,X
9
)
和
(Y
i
,Y
，
L ,Y
9
)
是分别来自
X
和
Y
的样本，贝
U U
Xl L X
9
服从的分布是 ________________
.
Y
i
2
L Y
9
2
7
、 设
？
与
?
2
都是总体未知参数
足 _________________________
.
的估计，且
？
比
?
2
有效，则
？
与
?
2
的期望与方差满
8
设总体
X~N( ,
2
)
,
2
已知，
n
为样本容量，总体均值 的置信水平为
1
置信区间为(X ,X )，贝U的值为 _______________
的
9
、设X
1
, X
2
,...,X
n
为取自总体X ~ N( ,
2
)的一个样本，对于给定的显着性水平
知关于
2
检验的拒绝域为
一、填空题
2
，已
<
1
2
(n 1)，则相应的备择假设H
i
为 __________________ ；
1.
若X是离散型随机变量，分布律是
P{X X} P(x;),
(是待估计参数)，则似然函数 __________________________ ，
X是连续型随机变量，概率密度是
f(x;)
，则似然函数是 _____________ 。
2.
若未知参数 的估计量是
$
，若__________________ 称
$
是 的无偏估计量。设
$
1
,$
2
是未知参数 的两个
无偏估计量，若 ___________________ 则称
$
1
较
$
2
有效。
3.
对任意分布的总体，样本均值
X
是 ____________________________________ 的无偏估计量。样本方差
S
2
是 ___________________________ 的无偏估计量。
4.
设总体
X ~P()
，其中
0
是未知参数，
X
1
,K ,X
n
是
X
的一个样本，贝
U
的矩估计量
为 __________ ，极大似然估计为 ________________ 。
一、选择题
1
•设随机变量
X
服从
n
个自由度的
t
分布，定义
t
a
满足
P(X
<
t
a
2024年4月27日发(作者：局琼)
数理统计期末练习题
1.
在总体
N(7.6,4)
中抽取容量为
n
的样本
，
如果要求样本均值落在
(5.6,9.6)
内的概率不 小于
，
则
n
至少
为多少 _________________________
2
•设心
,x
n
是来自
N( ,25)
的样本
，
问
n
多大时才能使得
P(| x | 1) 0.95
成立_
3.
由正态总体
N(100,4)
抽取两个独立样本
，
样本均值分别为
x,y
,
样本容量分别
15,20,
试求
P
(|X yi 0.2).
___________________________________
5.
设
x
1
, ,x
16
是来自
N( ,
2
)
的样本,经计算
x 9,s
2
5.32
,
试求
P(| x | 0.6). _____________
0
,
有
6.
设
X
1
, ,X
n
是来自
(,1)
的样本,试确定最小的常数
c,
使得对任意的
(|x| c)
7.
设随机变量
X~F(n,n),
证明
(
X
1)
9
.设
x
1
,x
2
是来自
N(0, )
的样本
，
试求
Y
2
x
1
x
2
x
1
x
2
2
服从 分布
.
10.
设总体为
N(0,1), x
「
X
2
为样本
，
试求常数
些/
2
k
使得
(X
1
X
2
) (X
1
X
2
)
0.05.
11
.设心x是来自
N (
本
,c,d
是任意两个不为
0
的常数
,
证明
t
(n 1)Sx (m 1)Sy
的样本
，
％, ,y
y
1
,
m
是来自
N(
2
)
的样
c(x
1
)d(y
s
i
(
2
c d
n m
22
)
~ t(n
2),
其中
s
2
,s
2
与
s
y
分别是两个样本方差
.
1
n
2
x
n
, x
n 1
是来自
N( ,
2
)
的样本
，
R - x, n
i 1
S
n
_
12
.设
x
1
, x
2
,
(x
x
n
)
2
,
试求常
使得
t
c
S
n
服从
t
分布
,
并指出分布的自由度
13.
取容量为
2
设从两个方差相等的正态总体中分别抽
15,20
的样本,其样本方差分别为
s, s,
i 2
试求
p(
S
2
2
). _______________
14.
某厂生产的灯泡使用寿命
X ~ N(2250,250
2
)
,
现进行质量检查
,
方法如下：随机抽
取若干个灯泡
，
如果这些灯泡的平均寿命超过
2200h,
就认为该厂生产的灯泡质量合格
,
若要使检查能通过的概率不低于
，
问至少应检查多少只灯泡？
15
.设
(x
i
X
17
)
是来自正态分布
N( ,
2
)
的一个样本
,
x
与
s
2
分别是样本
均值与样本方差。求
k,
使得
p(x ks) 0.95 _______________________
, ____
21
.设
X
1
,L ,X
n
是来自正态分布总体
N ,
2
的一个样本。
s
； —
X X
是样本方
n 1
i 1
2
1
n
差
,
试求满足
P 1.5 0.95
的最小
n
值 _____________ 。
1.
设
(X
1
, X
2
,
…
,X
n
)
为来自正态总体
N
亿
?
2
)
的样本
，？
2
未知
，
现要检验假设
H): ?
=?
0
,
则应选取的统计量是 _____________
;
当
H＞
成立时
，
该统计量服从 __________ 布
.
2.
在显着性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小
，
则只有增加 _________________
.
1.
设总体
X
〜
N(?, ?
2
) , ?
2
已知
，x
1
, x
2
,
…
,x
n
为取自
X
的样本观察值
，
现在显着 水平
？=
下接受了
H): ? = ?
0
.
若将
？
改为时
，
下面结论中正确的是
(A)
必拒绝
H)(B)
必接受
H)(C)
犯第一类错误概率变大
变小
(D)
犯第一类错误概率
2.
在假设检验中
，H
o
表示原假设
，H
1
为备选假设
，
则称为犯第二类错误的是
(A) H
1
不真
，
接受
H
(C) H
0
不真
，
接受
H
0
(B) H
(D) H
0
不真
，
接受
H
为真
，
接受
H
0
3.
设
(X
1
, X
2
,
…
,X
n
)
为来自正态总体
N
亿
?
2
)
的样本
，?, ?
2
未知参数
，
且
n _
n
i 1
X
i
,
Q
2
i 1
(X
i
X)
2
则检验假设
H): ? = 0
---------- x
(A) n(n 1)
Q
(B)
应选取统计量为
n
Q
(C)
X
Q
2
4
,对于单因素试验方差分析的数学模型,
设
S
T
为总离差平方和，
S
e
为误差平方和，
S
A
为效应平方和，则总有
S
T
S
e
S
A
1
、设来自总体
X
的样本值为
(3,2,1,2,0)
，则总体
X
的经验分布函数
F
5
(
X
)
在
x 0.8
处 的值为 。
2
、设来自总体
B(1,)
的一个样本为
X
「
X
2
丄，
X
n
,
X
为样本均值。则
Var(X)
0
3
、设
X
「
K ,X
m
,X
m 1
,
…，
X
2m
是来自总体
N(0,)
的简单随机样本，则统计量
m
2
4
、设
X
i
,K ,X
n
为来自总体
U(0,)
的样本， 为未知参数，则 的矩法估计量为
n
5
、 设
X
i
,X
2
,L ,X
n
为来指数分布
Exp()
的简单随机样本， 为未知参数，则
2
从自由度为 ___________ 的卡方分布。
X
i
服
i 1
6
、
设
X
i
,X
2
, L ,X
n
为来自正态分布
N( ,
2
)
的简单随机样本，
，
2
均未知，
X,S
2
分
别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设
H
0
:
为
t Vn(X__
0
)
，在显着性水平
S
0
VS H
1
:
0
的检验统计量
下的拒绝域为
_
n 1
1
、设
X
1
,K ,X
n
是来自总体
N(
2
)
的简单随机样本，统计量
T
c (X
i 1
i 1
X
i
)
2
为
的无偏估计。则常数
c
为
勺
2(n 1)
3
、设
X
1
,X
2
,X
3
,X
4
是来自总体
B(1,p)
样本容量为
4
的样本，若对假设检验问题
H
。
4
p 0.5 ,
H
1
:
p 0.75
的拒绝域为
W
i 1
x
i
3
，该检验犯第一类错误的概率为()
(
A
)
1/2
(
B
)
3/4
(
C
)
5/16
(
D 11/16
4
、设
X
1
,X
2
,L ,X
n
为来自总体
X
的简单随机样本
，
总体
X
的方差
2
未知，
X,S
2
分别 为样本均值和样本无偏
方差，则下述结论正确的是(
(
A
)
S
是 的无偏估计量
(
C
)
S
是 的相合估计量
(
B
)
S
是 的最大似然估计量
(
D
)
S
与
X
相互独立
)。
1
某种产品以往的废品率为
5%
采取某种技术革新措施后，对产品的样本进行检验，
这种产品的废品率是否有所降低，取显着水平
5%
，则此，设题的原假设
H ° : ___________
备择假设
H
i
: _________
.
犯第一类错误的概率为 __________ 。
2
、设总体
x~N( ,
2
)
，方差
2
未知，对假设
H
°
:
检验，通常米取的统计量是 ，服从
和
°
，
H
i
:
°
，进行假设
分布，自由度是
°
3
、设总体
x ~ N( ,
2
)
，
若用
t
检验法进行假设检验,
均未知。统计假设取为
H
°
:
之下，拒绝域是(
B
)
H
1
:
则在显着水平
A
、
|t| t (n 1)
1 —
2
B
、
|t| t
i
(n 1)
1 —
2
c
、
|t| t
i
(n 1)
4
、在假设检验中，原假设
1
A
、
H
°
为真，接受
H
°
C
、
H
°
为真，拒绝
H
°
n _
D
、
|t| t
i
(n 1)
H
°
，备择选择
H
1
，则称(
B
)为犯第二类错误
B
D
、
、
H
°
不真，接受
H
°
H
°
不真，拒绝
H
°
2
、 设X
i
,X
2
,…,X
n
为取自总体X ~ N( ,
2
)的样本，
X
为样本均值，S
2
- (X
i
X)
2
，
n
i i
则服从自由度为n 1的
t
分布的统计量为 ______________
3
、 若总体
X
〜
N( ,
2
)
，其中
2
已知，当样本容量
n
保持不变时，如果置信度
1
小，贝
U
的置信区间
减
4
、 在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容
)•
(
B
)
增大时也增大；
量
n
- 」定时，下列说法中正确的是(
(
A
)
(
C
)
减小时也减小；
,
其中一个减小，另一个会增大；
(
D
)
(
A
)和(
B
)同时成立
6
、 设总体
X
和
Y
相互独立，且都服从正态分布
N(0, 3
2
)
，而
(X
1
,X
2
L ,X
9
)
和
(Y
i
,Y
，
L ,Y
9
)
是分别来自
X
和
Y
的样本，贝
U U
Xl L X
9
服从的分布是 ________________
.
Y
i
2
L Y
9
2
7
、 设
？
与
?
2
都是总体未知参数
足 _________________________
.
的估计，且
？
比
?
2
有效，则
？
与
?
2
的期望与方差满
8
设总体
X~N( ,
2
)
,
2
已知，
n
为样本容量，总体均值 的置信水平为
1
置信区间为(X ,X )，贝U的值为 _______________
的
9
、设X
1
, X
2
,...,X
n
为取自总体X ~ N( ,
2
)的一个样本，对于给定的显着性水平
知关于
2
检验的拒绝域为
一、填空题
2
，已
<
1
2
(n 1)，则相应的备择假设H
i
为 __________________ ；
1.
若X是离散型随机变量，分布律是
P{X X} P(x;),
(是待估计参数)，则似然函数 __________________________ ，
X是连续型随机变量，概率密度是
f(x;)
，则似然函数是 _____________ 。
2.
若未知参数 的估计量是
$
，若__________________ 称
$
是 的无偏估计量。设
$
1
,$
2
是未知参数 的两个
无偏估计量，若 ___________________ 则称
$
1
较
$
2
有效。
3.
对任意分布的总体，样本均值
X
是 ____________________________________ 的无偏估计量。样本方差
S
2
是 ___________________________ 的无偏估计量。
4.
设总体
X ~P()
，其中
0
是未知参数，
X
1
,K ,X
n
是
X
的一个样本，贝
U
的矩估计量
为 __________ ，极大似然估计为 ________________ 。
一、选择题
1
•设随机变量
X
服从
n
个自由度的
t
分布，定义
t
a
满足
P(X
<
t
a