2024年5月5日发(作者：郗骊娟)
2020-2021
学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷
一、选择题（共
10
小题）
.
1
．（
4
分）已知集合
A
＝
{x|x
﹣
1
≥
0}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，则
A
∩
B
＝（ ）
A
．
{0}
B
．
{1}
C
．
{2}
D
．
{1
，
2}
2
．
（
4
分）已知
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和．若
S
3
＝
3a
1
+3
，则
d
＝（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
3
．（
4
分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（
0
，
1
）上单调递增的是（ ）
A
．
y
＝
2
﹣
x
B
．
y
＝
lnx
C
．
y
＝
D
．
y
＝
sinx
4
．（
4
分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图
为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．（
4
分）与圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
相切于点（
2
，
2
）的直线的斜率为（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
C
．
D
．
2
）的部分图象如图所示，则
f
（π）
6
．（
4
分）函数
f
（
x
）＝
2sin
（ω
x+
φ）（ω＞
0
，
|
φ
|
＜
＝（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
7
．（
4
分）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的
（ ）
A
．充分而不必要条件
C
．充分必要条件
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
8
．（
4
分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，
乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）
A
．
242
种
B
．
220
种
C
．
200
种
D
．
110
种
9
．（
4
分）已知抛物线
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）的焦点
F
到准线的距离为
2
，过焦点
F
的直线与抛
物线交于
A
，
B
两点，且
|AF|
＝
3|FB|
，则点
A
到
y
轴的距离为（ ）
A
．
5
B
．
4
C
．
3
D
．
2
10
．（
4
分）某公园门票单价
30
元，相关优惠政策如下：
①
10
人（含）以上团体购票
9
折优惠；
②
50
人（含）以上团体购票
8
折优惠；
③
100
人（含）以上团体购票
7
折优惠；
④购票总额每满
500
元减
100
元（单张票价不优惠）．
现购买
47
张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）
A
．
1090
元
B
．
1171
元
C
．
1200
元
D
．
1210
元
二、填空题（共
5
小题）
.
11
．复数＝
．
+lnx
的定义域是
．
12
．函数
f
（
x
）＝
13
．已知
sin
θ＝﹣，θ∈（π，），则
cos
θ＝
，
cos2
θ＝
．
14
．已知双曲线
M
：＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
），△
ABC
为等边三角形．若点
A
在
y
轴上，
点
B
，
C
在双曲线
M
上，且双曲线
M
的实轴为△
ABC
的中位线，则双曲线
M
的离心率
为
．
15
．已知函数
f
（
x
）＝
2
[sin
x
]
+3
[cos
x
]
，
x
∈
[0
，
2
π
]
，其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数．例如：
[1]
＝
1
，
[0.5]
＝
0
，
[
﹣
0.5]
＝﹣
1
．
①
f
（）＝
；
②若
f
（
x
）＞
x+a
对任意
x
∈
[0
，
2
π
]
都成立，则实数
a
的取值范围是
．
三、解答题共
6
小题，共
85
分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16
．（
13
分）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
PD
⊥平面
ABCD
，
PD
＝
4
，底面
ABCD
是边
长为
2
的正方形，
E
，
F
分别为
PB
，
PC
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
ADE
⊥平面
PCD
；
（Ⅱ）求直线
BF
与平面
ADE
所成角的正弦值．
17
．（
13
分）已知函数
g
（
x
）＝
sin
（
x
﹣
个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）
f
（
x
）的最小正周期；
（Ⅱ）
f
（
x
）在区间
[0
，
），
h
（
x
）＝
cosx
，再从条件①、条件②这两
]
上的最大值．
条件①：
f
（
x
）＝
g
（
x
）•
h
（
x
）；
条件②：
f
（
x
）＝
g
（
x
）
+h
（
x
）．
18
．（
14
分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取
10
个水果测量质量，样本数据分组
为
[100
，
150
），
[150
，
200
），
[200
，
250
），
[250
，
300
），
[300
，
350
），
[350
，
400]
（单
位：克），其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在
[250
，
300
），
[300
，
350
）的水果中抽取
6
个，
求质量在
[250
，
300
）的水果数量；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的
6
个水果中随机抽取
3
个，记
X
为质量在
[300
，
350
）的水果数
量，求
X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）果园现有该种水果约
20000
个，其等级规格及销售价格如表所示，
质量
m
（单
m
＜
200
200
≤
m
＜
位：克）
等级规格
价格（元
/
个）
试估计果园该种水果的销售收入．
二等
4
300
一等
7
特等
10
m
≥
300
19
．（
15
分）已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）过点
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
2
，
0
），且离
心率为．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设直线
l
与椭圆
C
有且仅有一个公共点
E
，且与
x
轴交于点
G
（
E
，
G
不重合），
ET
⊥
x
轴，垂足为
T
．求证：＝．
20
．（
15
分）已知函数
f
（
x
）＝
1
﹣，
a
∈
R
．
（Ⅰ）若曲线
y
＝
f
（
x
）在点（
1
，
f
（
1
））处的切线平行于直线
y
＝
x
，求该切线方程；
（Ⅱ）若
a
＝
1
，求证：当
x
＞
0
时，
f
（
x
）＞
0
；
（Ⅲ）若
f
（
x
）恰有两个零点，求
a
的值．
21
．（
15
分）给定正整数
m
，
t
（
m
≤
t
），若数列
A
：
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，…满足：
a
i
∈（
0
，
1}
，
a
i
＝
a
i
+
t
，
a
1
+a
2
+
…
+a
t
＝
m
，则称数列
A
具有性质
E
（
t
，
m
）．
对于两个数列
B
：
b
1
，
b
2
，…，
b
n
，…；
C
：
c
1
，
c
2
，…，
c
n
，…，
定义数列
B+C
：
b
1
+c
1
，
b
2
+c
2
，…，
b
n
+c
n
，…．
（Ⅰ）设数列
A
具有性质
E
（
4
，
2
），数列
B
的通项公式为
b
n
＝
n
（
n
∈
N*
），求数列
A+B
的前四项和；
（Ⅱ）设数列
A
i
（
i
∈
N*
）具有性质
E
（
4
，
m
），数列
B
满足
b
1
＝
1
，
b
2
＝
2
，
b
3
＝
3
，
b
4
＝
4
且
b
j
＝
b
j
+4
（
j
∈
N*
）．若存在一组数列
A
1
，
A
2
，……，
A
k
，使得
A
1
+A
2
+
…
+A
k
+B
为常
数列，求出
m
所有可能的值；
（Ⅲ）设数列
A
i
（
i
∈
N*
）具有性质
E
（
t
，
t
﹣
1
）（常数
t
≥
2
），数列
B
满足
b
1
＝
1
，
b
2
＝
2
，…，
b
t
＝
t
且
b
j
＝
b
j
+
（．若存在一组数列
A
1
，
A
2
，…，
A
k
，使得
A
1
+A
2
+
…
+A
k
+B
t
j
∈
N*
）
为常数列，求
k
的最小值．（只需写出结论）
参考答案
一、选择题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1
．（
4
分）已知集合
A
＝
{x|x
﹣
1
≥
0}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，则
A
∩
B
＝（ ）
A
．
{0}
B
．
{1}
C
．
{2}
D
．
{1
，
2}
解：∵
A
＝
{x|x
≥
1}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，
∴
A
∩
B
＝
{1
，
2}
．
故选：
D
．
2
．
（
4
分）已知
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和．若
S
3
＝
3a
1
+3
，则
d
＝（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
解：∵
S
3
＝
3a
1
+3
，∴
3a
1
+3d
＝
3a
1
+3
，
则
d
＝
1
．
故选：
C
．
3
．（
4
分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（
0
，
1
）上单调递增的是（ ）
A
．
y
＝
2
﹣
x
B
．
y
＝
lnx
C
．
y
＝
D
．
y
＝
sinx
解：对于
A
，
y
＝
2
﹣
x
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于
B
，
y
＝
lnx
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于
C
，
y
＝为奇函数，但在区间（
0
，
1
）上单调递减，不符合题意；
对于
D
，
y
＝
sinx
为奇函数，由正弦函数的图象可知，
y
＝
sinx
在区间（
0
，
1
）上单调递增，
符合题意．
故选：
D
．
4
．（
4
分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图
为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：将几何体补充为正方体，如图
1
所示：
则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图
2
所示：
故选：
B
．
5
．（
4
分）与圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
相切于点（
2
，
2
）的直线的斜率为（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
C
．
D
．
2
解：根据题意，圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
，其圆心为（
0
，
1
），设圆心为
C
，切点（
2
，
2
）为
P
，
则
K
PC
＝＝，
则切线的斜率
k
＝﹣
2
，
故选：
A
．
6
．（
4
分）函数
f
（
x
）＝
2sin
（ω
x+
φ）（ω＞
0
，
|
φ
|
＜
＝（ ）
）的部分图象如图所示，则
f
（π）
A
．﹣
B
．﹣
）＝
．
C
．
D
．
解：由图可知，＝
又
2
×
+
φ＝
﹣（﹣，则
T
＝π，∴ω＝
2
．
，∴φ＝﹣
），
则
f
（
x
）＝
2sin
（
2x
﹣
∴
f
（π）＝
2sin
（
2
π﹣
故选：
A
．
）＝
2sin
（﹣）＝﹣．
7
．（
4
分）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的
（ ）
A
．充分而不必要条件
C
．充分必要条件
解：若⊥（﹣），
则•（﹣）＝
＝
∵，是两个不共线向量，∴
∴
∴＞
0
，∵
，
，∴与的夹角为锐角，
，
＝
0
，即，
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
而与的夹角为锐角，不妨设
此时•（﹣）＝﹣
1
≠
0
，故与（﹣）不垂直，
∴“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的必要不充分条件．
故选：
B
．
8
．（
4
分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，
乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）
A
．
242
种
B
．
220
种
C
．
200
种
D
．
110
种
解：根据题意，分
3
步进行分析：
对于甲，不选马和羊，有
10
种选法，
对于乙和丙，有
1
个人选择羊，有
2
种选法，
剩下
1
人在剩下
10
个生肖中任选
1
个，有
10
种选法，
则有
10
×
2
×
10
＝
200
种不同的选法，
故选：
C
．
9
．（
4
分）已知抛物线
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）的焦点
F
到准线的距离为
2
，过焦点
F
的直线与抛
物线交于
A
，
B
两点，且
|AF|
＝
3|FB|
，则点
A
到
y
轴的距离为（ ）
A
．
5
B
．
4
C
．
3
D
．
2
解：焦点
F
到准线的距离为
p
＝
2
，
过点
A
作
AD
垂直于准线
l
于点
D
，过点
B
作
BE
垂直于
l
于点
E
，延长
AB
交
l
于点
C
，
则△
BCE
∽△
ACD
，
所以，
记
BC
＝
x
，则
AC
＝
3x
，
因为
|AF|
＝
3|FB|
，
所以，，
，
F
为
AC
的中点，
因为
CF
＝
BC+BF
＝
所以
AD
＝
2FG
＝
4
，
即点
A
到
y
轴的距离为
故选：
C
．
．
10
．（
4
分）某公园门票单价
30
元，相关优惠政策如下：
①
10
人（含）以上团体购票
9
折优惠；
②
50
人（含）以上团体购票
8
折优惠；
③
100
人（含）以上团体购票
7
折优惠；
④购票总额每满
500
元减
100
元（单张票价不优惠）．
现购买
47
张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）
A
．
1090
元
B
．
1171
元
C
．
1200
元
D
．
1210
元
解：由于需要购买
47
张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，
若只按优惠政策①购买，则门票费用为
47
×
30
×
90%
＝
1269
元；
若将
47
分为
17+17+13
，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，
门票费用为（
17
×
30
﹣
100
）×
2+13
×
30
×
90%
＝
1171
元，
因为
1269
＞
1171
，所以门票费用最少为
1171
元．
故选：
B
．
二、填空题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分。
11
．复数
解：复数
＝
4
﹣
3i
．
＝＝
4
﹣
3i
．
故答案为：
4
﹣
3i
．
12
．函数
f
（
x
）＝
解：由题意得：
，解得：
x
≥
1
，
故函数的定义域是
[1
，
+
∞），
+lnx
的定义域是
[1
，
+
∞） ．
2024年5月5日发(作者：郗骊娟)
2020-2021
学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷
一、选择题（共
10
小题）
.
1
．（
4
分）已知集合
A
＝
{x|x
﹣
1
≥
0}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，则
A
∩
B
＝（ ）
A
．
{0}
B
．
{1}
C
．
{2}
D
．
{1
，
2}
2
．
（
4
分）已知
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和．若
S
3
＝
3a
1
+3
，则
d
＝（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
3
．（
4
分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（
0
，
1
）上单调递增的是（ ）
A
．
y
＝
2
﹣
x
B
．
y
＝
lnx
C
．
y
＝
D
．
y
＝
sinx
4
．（
4
分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图
为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．（
4
分）与圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
相切于点（
2
，
2
）的直线的斜率为（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
C
．
D
．
2
）的部分图象如图所示，则
f
（π）
6
．（
4
分）函数
f
（
x
）＝
2sin
（ω
x+
φ）（ω＞
0
，
|
φ
|
＜
＝（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
7
．（
4
分）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的
（ ）
A
．充分而不必要条件
C
．充分必要条件
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
8
．（
4
分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，
乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）
A
．
242
种
B
．
220
种
C
．
200
种
D
．
110
种
9
．（
4
分）已知抛物线
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）的焦点
F
到准线的距离为
2
，过焦点
F
的直线与抛
物线交于
A
，
B
两点，且
|AF|
＝
3|FB|
，则点
A
到
y
轴的距离为（ ）
A
．
5
B
．
4
C
．
3
D
．
2
10
．（
4
分）某公园门票单价
30
元，相关优惠政策如下：
①
10
人（含）以上团体购票
9
折优惠；
②
50
人（含）以上团体购票
8
折优惠；
③
100
人（含）以上团体购票
7
折优惠；
④购票总额每满
500
元减
100
元（单张票价不优惠）．
现购买
47
张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）
A
．
1090
元
B
．
1171
元
C
．
1200
元
D
．
1210
元
二、填空题（共
5
小题）
.
11
．复数＝
．
+lnx
的定义域是
．
12
．函数
f
（
x
）＝
13
．已知
sin
θ＝﹣，θ∈（π，），则
cos
θ＝
，
cos2
θ＝
．
14
．已知双曲线
M
：＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
），△
ABC
为等边三角形．若点
A
在
y
轴上，
点
B
，
C
在双曲线
M
上，且双曲线
M
的实轴为△
ABC
的中位线，则双曲线
M
的离心率
为
．
15
．已知函数
f
（
x
）＝
2
[sin
x
]
+3
[cos
x
]
，
x
∈
[0
，
2
π
]
，其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数．例如：
[1]
＝
1
，
[0.5]
＝
0
，
[
﹣
0.5]
＝﹣
1
．
①
f
（）＝
；
②若
f
（
x
）＞
x+a
对任意
x
∈
[0
，
2
π
]
都成立，则实数
a
的取值范围是
．
三、解答题共
6
小题，共
85
分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16
．（
13
分）如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
PD
⊥平面
ABCD
，
PD
＝
4
，底面
ABCD
是边
长为
2
的正方形，
E
，
F
分别为
PB
，
PC
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
ADE
⊥平面
PCD
；
（Ⅱ）求直线
BF
与平面
ADE
所成角的正弦值．
17
．（
13
分）已知函数
g
（
x
）＝
sin
（
x
﹣
个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）
f
（
x
）的最小正周期；
（Ⅱ）
f
（
x
）在区间
[0
，
），
h
（
x
）＝
cosx
，再从条件①、条件②这两
]
上的最大值．
条件①：
f
（
x
）＝
g
（
x
）•
h
（
x
）；
条件②：
f
（
x
）＝
g
（
x
）
+h
（
x
）．
18
．（
14
分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取
10
个水果测量质量，样本数据分组
为
[100
，
150
），
[150
，
200
），
[200
，
250
），
[250
，
300
），
[300
，
350
），
[350
，
400]
（单
位：克），其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在
[250
，
300
），
[300
，
350
）的水果中抽取
6
个，
求质量在
[250
，
300
）的水果数量；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的
6
个水果中随机抽取
3
个，记
X
为质量在
[300
，
350
）的水果数
量，求
X
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）果园现有该种水果约
20000
个，其等级规格及销售价格如表所示，
质量
m
（单
m
＜
200
200
≤
m
＜
位：克）
等级规格
价格（元
/
个）
试估计果园该种水果的销售收入．
二等
4
300
一等
7
特等
10
m
≥
300
19
．（
15
分）已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）过点
A
（﹣
2
，
0
），
B
（
2
，
0
），且离
心率为．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设直线
l
与椭圆
C
有且仅有一个公共点
E
，且与
x
轴交于点
G
（
E
，
G
不重合），
ET
⊥
x
轴，垂足为
T
．求证：＝．
20
．（
15
分）已知函数
f
（
x
）＝
1
﹣，
a
∈
R
．
（Ⅰ）若曲线
y
＝
f
（
x
）在点（
1
，
f
（
1
））处的切线平行于直线
y
＝
x
，求该切线方程；
（Ⅱ）若
a
＝
1
，求证：当
x
＞
0
时，
f
（
x
）＞
0
；
（Ⅲ）若
f
（
x
）恰有两个零点，求
a
的值．
21
．（
15
分）给定正整数
m
，
t
（
m
≤
t
），若数列
A
：
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，…满足：
a
i
∈（
0
，
1}
，
a
i
＝
a
i
+
t
，
a
1
+a
2
+
…
+a
t
＝
m
，则称数列
A
具有性质
E
（
t
，
m
）．
对于两个数列
B
：
b
1
，
b
2
，…，
b
n
，…；
C
：
c
1
，
c
2
，…，
c
n
，…，
定义数列
B+C
：
b
1
+c
1
，
b
2
+c
2
，…，
b
n
+c
n
，…．
（Ⅰ）设数列
A
具有性质
E
（
4
，
2
），数列
B
的通项公式为
b
n
＝
n
（
n
∈
N*
），求数列
A+B
的前四项和；
（Ⅱ）设数列
A
i
（
i
∈
N*
）具有性质
E
（
4
，
m
），数列
B
满足
b
1
＝
1
，
b
2
＝
2
，
b
3
＝
3
，
b
4
＝
4
且
b
j
＝
b
j
+4
（
j
∈
N*
）．若存在一组数列
A
1
，
A
2
，……，
A
k
，使得
A
1
+A
2
+
…
+A
k
+B
为常
数列，求出
m
所有可能的值；
（Ⅲ）设数列
A
i
（
i
∈
N*
）具有性质
E
（
t
，
t
﹣
1
）（常数
t
≥
2
），数列
B
满足
b
1
＝
1
，
b
2
＝
2
，…，
b
t
＝
t
且
b
j
＝
b
j
+
（．若存在一组数列
A
1
，
A
2
，…，
A
k
，使得
A
1
+A
2
+
…
+A
k
+B
t
j
∈
N*
）
为常数列，求
k
的最小值．（只需写出结论）
参考答案
一、选择题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1
．（
4
分）已知集合
A
＝
{x|x
﹣
1
≥
0}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，则
A
∩
B
＝（ ）
A
．
{0}
B
．
{1}
C
．
{2}
D
．
{1
，
2}
解：∵
A
＝
{x|x
≥
1}
，
B
＝
{0
，
1
，
2}
，
∴
A
∩
B
＝
{1
，
2}
．
故选：
D
．
2
．
（
4
分）已知
{a
n
}
是公差为
d
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和．若
S
3
＝
3a
1
+3
，则
d
＝（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
解：∵
S
3
＝
3a
1
+3
，∴
3a
1
+3d
＝
3a
1
+3
，
则
d
＝
1
．
故选：
C
．
3
．（
4
分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（
0
，
1
）上单调递增的是（ ）
A
．
y
＝
2
﹣
x
B
．
y
＝
lnx
C
．
y
＝
D
．
y
＝
sinx
解：对于
A
，
y
＝
2
﹣
x
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于
B
，
y
＝
lnx
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于
C
，
y
＝为奇函数，但在区间（
0
，
1
）上单调递减，不符合题意；
对于
D
，
y
＝
sinx
为奇函数，由正弦函数的图象可知，
y
＝
sinx
在区间（
0
，
1
）上单调递增，
符合题意．
故选：
D
．
4
．（
4
分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图
为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：将几何体补充为正方体，如图
1
所示：
则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左）视图如图
2
所示：
故选：
B
．
5
．（
4
分）与圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
相切于点（
2
，
2
）的直线的斜率为（ ）
A
．﹣
2
B
．﹣
C
．
D
．
2
解：根据题意，圆
x
2
+
（
y
﹣
1
）
2
＝
5
，其圆心为（
0
，
1
），设圆心为
C
，切点（
2
，
2
）为
P
，
则
K
PC
＝＝，
则切线的斜率
k
＝﹣
2
，
故选：
A
．
6
．（
4
分）函数
f
（
x
）＝
2sin
（ω
x+
φ）（ω＞
0
，
|
φ
|
＜
＝（ ）
）的部分图象如图所示，则
f
（π）
A
．﹣
B
．﹣
）＝
．
C
．
D
．
解：由图可知，＝
又
2
×
+
φ＝
﹣（﹣，则
T
＝π，∴ω＝
2
．
，∴φ＝﹣
），
则
f
（
x
）＝
2sin
（
2x
﹣
∴
f
（π）＝
2sin
（
2
π﹣
故选：
A
．
）＝
2sin
（﹣）＝﹣．
7
．（
4
分）设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的
（ ）
A
．充分而不必要条件
C
．充分必要条件
解：若⊥（﹣），
则•（﹣）＝
＝
∵，是两个不共线向量，∴
∴
∴＞
0
，∵
，
，∴与的夹角为锐角，
，
＝
0
，即，
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
而与的夹角为锐角，不妨设
此时•（﹣）＝﹣
1
≠
0
，故与（﹣）不垂直，
∴“与的夹角为锐角”是“⊥（﹣）”的必要不充分条件．
故选：
B
．
8
．（
4
分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，
乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）
A
．
242
种
B
．
220
种
C
．
200
种
D
．
110
种
解：根据题意，分
3
步进行分析：
对于甲，不选马和羊，有
10
种选法，
对于乙和丙，有
1
个人选择羊，有
2
种选法，
剩下
1
人在剩下
10
个生肖中任选
1
个，有
10
种选法，
则有
10
×
2
×
10
＝
200
种不同的选法，
故选：
C
．
9
．（
4
分）已知抛物线
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）的焦点
F
到准线的距离为
2
，过焦点
F
的直线与抛
物线交于
A
，
B
两点，且
|AF|
＝
3|FB|
，则点
A
到
y
轴的距离为（ ）
A
．
5
B
．
4
C
．
3
D
．
2
解：焦点
F
到准线的距离为
p
＝
2
，
过点
A
作
AD
垂直于准线
l
于点
D
，过点
B
作
BE
垂直于
l
于点
E
，延长
AB
交
l
于点
C
，
则△
BCE
∽△
ACD
，
所以，
记
BC
＝
x
，则
AC
＝
3x
，
因为
|AF|
＝
3|FB|
，
所以，，
，
F
为
AC
的中点，
因为
CF
＝
BC+BF
＝
所以
AD
＝
2FG
＝
4
，
即点
A
到
y
轴的距离为
故选：
C
．
．
10
．（
4
分）某公园门票单价
30
元，相关优惠政策如下：
①
10
人（含）以上团体购票
9
折优惠；
②
50
人（含）以上团体购票
8
折优惠；
③
100
人（含）以上团体购票
7
折优惠；
④购票总额每满
500
元减
100
元（单张票价不优惠）．
现购买
47
张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）
A
．
1090
元
B
．
1171
元
C
．
1200
元
D
．
1210
元
解：由于需要购买
47
张门票，所以不能享受优惠政策中的②和③，
若只按优惠政策①购买，则门票费用为
47
×
30
×
90%
＝
1269
元；
若将
47
分为
17+17+13
，则可享受两次优惠政策④，一次优惠政策①，
门票费用为（
17
×
30
﹣
100
）×
2+13
×
30
×
90%
＝
1171
元，
因为
1269
＞
1171
，所以门票费用最少为
1171
元．
故选：
B
．
二、填空题共
5
小题，每小题
5
分，共
25
分。
11
．复数
解：复数
＝
4
﹣
3i
．
＝＝
4
﹣
3i
．
故答案为：
4
﹣
3i
．
12
．函数
f
（
x
）＝
解：由题意得：
，解得：
x
≥
1
，
故函数的定义域是
[1
，
+
∞），
+lnx
的定义域是
[1
，
+
∞） ．