2024年5月6日发(作者：友漫)
全国高中数学竞赛题
第一试
π
2π
1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．
3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住．
4．圆的两条非直径的圆相交,求证：它们不能互相平分．
x－y+z=1， ⑴
y－z+u=2， ⑵
5．解方程组
z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷
v－x+y=5． ⑸
6．解方程：5x
2
+x－x5x
2
－1－2=0．
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．
9．已知一点P(3,1)及两直线l
1
：x+2y+3=0,l
2
：x+2y=7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆的方程．
10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个
最大？证明你的结论．
第二试
1．已知f(x)=x
2
－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对,请证明,如果不对,请
作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．
ππ
3．设0<α<,0<β<,证明
22
11
+
2
≥9 ．
2
cos
α
sin
αsin
2
βcos
2
β
4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这
条曲线的长度不小于1．
n
5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时,f(n)= ,当n为奇数时,f(n)=n+3,
2
1° 证明：对任何一个正整数m,数列a
0
=m,a
1
=f(a
0
),…,a
n
=f(a
n
－
1
),…中总有一项为1或3．
2° 在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上
述数列必然出现“1”？
D
C
A
6．如图,假设两圆O
1
和O
2
交于A、B,⊙O
1
的弦BC交⊙O
2
于E,⊙O
2
的
弦BD交⊙O
1
于F,证明
F
E
⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE；
O
1
O
2
⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA．
7．某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250
B
分,前三名的分数是88、85、80,最低分是30分,得同一分数的学生不超过3
人,问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？
全国高中数学竞赛试题解答
第一试
π
2π
1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
π
2π
π
证明：4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ
333
=2sinθ(1－2sin
2
θ)＋sinθ=3sinθ－4sin
3
θ=sin3θ．
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．
解：设双曲线方程为x
2
－y
2
=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为x
2
－y
2
=1．
3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住．
解：以BC为直径作⊙O,则⊙O即为所求的最小圆．
首先,BC是△ABC的最长边,对于任意直径小于BC的圆,不可能盖住BC．(若能盖住,则得到圆的弦长大
于同圆的直径,这是不可能的)
其次,由于∠A>90,故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证．
4．圆的两条非直径的弦相交,求证：它们不能互相平分．
证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M,连OM,则由M是弦AB中点．
∴ OM⊥AB,同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线,这是不可能的．故证．
x－y+z=1， ⑴
y－z+u=2， ⑵
5．解方程组
z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷
v－x+y=5． ⑸
解：五式相加：x＋y＋z＋u＋v=15．
⑴＋⑵：x＋u=3,⑵＋⑶：y＋v=5,z=7；⑶＋⑷：z＋x=7,⑷＋⑸：u＋y=9,v=－1；
x=0,y=6,u=3．
即x=0,y=6,z=7,u=3,v=－1．
6．解方程：5x
2
+x－x5x
2
－1－2=0．
解：5x
2
－1≥0,x≥
55
或x≤－．
55
101
及x≥1时,5x
2
－1=1－2x＋x
2
,2x
2
＋x－1=0,x=－1,x=．
52
(5x
2
－1)
2
－1－x5x
2
－1＋x=0,(5x
2
－1－1)(5x
2
－1＋1－x)=0,
5x
2
－1=1．x=
∴ x=
10
．
5
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
证明：略(见课本)
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．
112
解：B=60,+=,sin60(sinA＋sinC)=2sinAsinC,
sinAsinCsinB
A－CA－C
1
2cos(A－C)－3cos＋1=0,令x=cos,得4x
2
－3x－1=0,x=1,x=－ (舍)
224
∴ A=B=C=60.
9．已知一点P(3,1)及两直线l
1
：x+2y+3=0,l
2
：x+2y=7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆的方程．
10
解：两直线距离==25,圆心在直线x＋2y－2=0上．
1+2
2
设圆方程为(x－2＋2b)
2
＋(y－b)
2
=5,(3－2＋2b)
2
＋(1－b)
2
=5,1＋4b＋4b
2
＋1－2b＋b
2
=5,
2024年5月6日发(作者：友漫)
全国高中数学竞赛题
第一试
π
2π
1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．
3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住．
4．圆的两条非直径的圆相交,求证：它们不能互相平分．
x－y+z=1， ⑴
y－z+u=2， ⑵
5．解方程组
z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷
v－x+y=5． ⑸
6．解方程：5x
2
+x－x5x
2
－1－2=0．
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．
9．已知一点P(3,1)及两直线l
1
：x+2y+3=0,l
2
：x+2y=7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆的方程．
10．已知锐角三角形的三边a、b、c满足不等式a>b>c,问四个顶点都在三角形边上的三个正方形哪个
最大？证明你的结论．
第二试
1．已知f(x)=x
2
－6x+5,问满足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的点(x,y)在平面上的什么范围内？并画图．
2．命题“一对对边相等及一对对角相等的四边形必为平行四边形”对吗？如果对,请证明,如果不对,请
作一四边形,满足已知条件,但它不是平行四边形．并证明你的作法．
ππ
3．设0<α<,0<β<,证明
22
11
+
2
≥9 ．
2
cos
α
sin
αsin
2
βcos
2
β
4．在单位正方形周界上任意两点间连了一条曲线,如果它把正方形分成两个面积相等的两部分,试证这
条曲线的长度不小于1．
n
5．在正整数上定义一个函数f(n)如下：当n为偶数时,f(n)= ,当n为奇数时,f(n)=n+3,
2
1° 证明：对任何一个正整数m,数列a
0
=m,a
1
=f(a
0
),…,a
n
=f(a
n
－
1
),…中总有一项为1或3．
2° 在全部正整数中,哪些m使上述数列必然出现“3”？哪些m使上
述数列必然出现“1”？
D
C
A
6．如图,假设两圆O
1
和O
2
交于A、B,⊙O
1
的弦BC交⊙O
2
于E,⊙O
2
的
弦BD交⊙O
1
于F,证明
F
E
⑴ 若∠DBA=∠CBA,则DF=CE；
O
1
O
2
⑵ 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA．
7．某区学生若干名参加数学竞赛,每个学生得分都是整数,总分为8250
B
分,前三名的分数是88、85、80,最低分是30分,得同一分数的学生不超过3
人,问至少有多少学生得分不低于60分(包括前三名)？
全国高中数学竞赛试题解答
第一试
π
2π
1．求证：sin3θ=4sinθsin(+θ)sin(+θ)
33
π
2π
π
证明：4 sinθsin(+θ)sin(+θ)=2sinθ[－cos(π＋2θ)＋cos]=2sinθcos2θ＋sinθ
333
=2sinθ(1－2sin
2
θ)＋sinθ=3sinθ－4sin
3
θ=sin3θ．
2．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x+y=0和x－y=0,两顶点间的距离为2,试求此双曲线方程．
解：设双曲线方程为x
2
－y
2
=λ,以(1,0)及(0,1)分别代入,得双曲线方程为x
2
－y
2
=1．
3．在△ABC中,∠A为钝角,求作一个面积最小的圆,把△ABC完全盖住．
解：以BC为直径作⊙O,则⊙O即为所求的最小圆．
首先,BC是△ABC的最长边,对于任意直径小于BC的圆,不可能盖住BC．(若能盖住,则得到圆的弦长大
于同圆的直径,这是不可能的)
其次,由于∠A>90,故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证．
4．圆的两条非直径的弦相交,求证：它们不能互相平分．
证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M,连OM,则由M是弦AB中点．
∴ OM⊥AB,同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线,这是不可能的．故证．
x－y+z=1， ⑴
y－z+u=2， ⑵
5．解方程组
z－u+v=3， ⑶
u－v+x=4， ⑷
v－x+y=5． ⑸
解：五式相加：x＋y＋z＋u＋v=15．
⑴＋⑵：x＋u=3,⑵＋⑶：y＋v=5,z=7；⑶＋⑷：z＋x=7,⑷＋⑸：u＋y=9,v=－1；
x=0,y=6,u=3．
即x=0,y=6,z=7,u=3,v=－1．
6．解方程：5x
2
+x－x5x
2
－1－2=0．
解：5x
2
－1≥0,x≥
55
或x≤－．
55
101
及x≥1时,5x
2
－1=1－2x＋x
2
,2x
2
＋x－1=0,x=－1,x=．
52
(5x
2
－1)
2
－1－x5x
2
－1＋x=0,(5x
2
－1－1)(5x
2
－1＋1－x)=0,
5x
2
－1=1．x=
∴ x=
10
．
5
7．写出并证明立体几何中的“三垂线定理”．
证明：略(见课本)
8．设△ABC三内角成等差数列,三条对应边a、b、c的倒数成等差数列,试求A、B、C．
112
解：B=60,+=,sin60(sinA＋sinC)=2sinAsinC,
sinAsinCsinB
A－CA－C
1
2cos(A－C)－3cos＋1=0,令x=cos,得4x
2
－3x－1=0,x=1,x=－ (舍)
224
∴ A=B=C=60.
9．已知一点P(3,1)及两直线l
1
：x+2y+3=0,l
2
：x+2y=7=0,试求通过P点且与l
1
、l
2
相切的圆的方程．
10
解：两直线距离==25,圆心在直线x＋2y－2=0上．
1+2
2
设圆方程为(x－2＋2b)
2
＋(y－b)
2
=5,(3－2＋2b)
2
＋(1－b)
2
=5,1＋4b＋4b
2
＋1－2b＋b
2
=5,