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1996考研数学三真题和详解

IT圈 admin 2024-05-08 41浏览 0评论

2024年5月8日发(作者：诸如柏)

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1) 设方程

xy

确定

是

的函数,则

dy

___________.

(2) 设

xf(x)dxarcsinxC

,则



dx

___________..

f(x)

(3) 设





是抛物线

yax

bxc

上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足

的关系是___________.

(4) 设





A



n1n1n1





其中

a

(ij;i,j1,2,

























X





B













n1



















,n)

.则线性方程组

XB

的解是___________.

(5) 设由来自正态总体

X~N(



,0.9

)

容量为9的简单随机样本,得样本均值

X5

,则未

知参数



的置信度为0.95的置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)



(1) 累次积分

(A)

(C)







yy

cos



f(rcos



,rsin



)rdr

可以写成 ( )

11y

xx



f(x,y)dx

(B)



f(x,y)dx





f(x,y)dy

(D)





f(x,y)dy

(2) 下述各选项正确的是 ( )

(A) 若



n1

和



n1

都收敛,则



n1

v

)

收敛

(B)



n1



收敛,则



n1



与



n1



都收敛



n1



发散,则



(D) 若级数



n1



收敛,且

v

(n1,2,



)

,则级数



也收敛

n1



(3) 设

阶矩阵

非奇异(

n2

是矩阵

的伴随矩阵,则 ( )



(A)

(A)A

n1

(B)



)



A

(D)



)



A

n1



(C)

(A)A

n2n2

(4) 设有任意两个

维向量组



和



和



,若存在两组不全为零的数



,使

(



k

)



(



k

)



(



k

)



(



k

)



0

,则

( )

(A)



(B)



和





和



都线性相关



都线性无关







线性无关







线性相关

(C)







(D)































(5) 已知

0P(B)1

且



A



B]P(A

B)P(A

,则下列选项成立的是( )

(A)



A



B]P(A

B)P(A

(B)



BA



P(A

B)P(A

(C)



A



P(A

B)P(A

(D)





P





P(BA

)P(A

)P(BA

)

三、(本题满分6分)



g(x)e

x

,x0,



设

f(x)



其中

g(x)

有二阶连续导数,且

g(0)1,g



(0)1



0,x0,



(1)求



(x)

；

(2)讨论



(x)

在

(,)

上的连续性.

四、(本题满分6分)

设函数

zf(u)

,方程

u



(u)



p(t)dt

确定

是

x,y

的函数,其中

f(u),



(u)

可

zz

p(x)

xy

微；

p(t)





(u)

连续,且





(u)1

.求

p(y)

五、(本题满分6分)

计算





x

(1e

x

)

六、(本题满分5分)

设

f(x)

在区间

[0,1]

上可微,且满足条件

f(1)2



xf(x)dx

.试证:存在



(0,1)

使



)





(



)0.

七、(本题满分6分)

设某种商品的单价为

时,售出的商品数量

可以表示成

Q

c

,其中

a、b、

pb

均为正数,且

abc

(1) 求

在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.

(2) 要使销售额最大,商品单价

应取何值?最大销售额是多少?

八、(本题满分6分)

yx

y

求微分方程的通解.



dxx

九、(本题满分8分)





设矩阵

A





100



000



0y1



012



(1) 已知

的一个特征值为3,试求

；

(2) 求矩阵

,使

(AP)(AP)

为对角矩阵.

十、(本题满分8分)

设向量



是齐次线性方程组

AX0

的一个基础解系,向量



不是方程组

AX0

的解,即



0

.试证明:向量组



















线性无关.

十一、(本题满分7分)

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5

个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所

获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?

十二、(本题满分6分)

考虑一元二次方程

xBxC0

,其中

B、C

分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次

先后出现的点数.求该方程有实根的概率

和有重根的概率

十三、(本题满分6分)

假设

是来自总体X的简单随机样本；已知

a

(k1,2,3,4)

证明：当

充分大时,随机变量





近似服从正态分布,并指出其分布参数.

i1

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)【答案】



1lny



【解析】方法1：方程

xy

两边取对数得

lnxlny

ylny

,再两边求微分,

dx



lny1



dydydx



lny1



0





lny1



方法2：把

xy

变形得

xe

ylny

,然后两边求微分得

dxe

ylny



ylny



y



1lny



dyx



1lny



由此可得

dy

dx.



1lny



(2)【答案】





1x



C

【解析】由

xf(x)dxarcsinxC

,两边求导数有



xf(x)



arcsinx







1x



x1x

f(x)

于是有







x1x

dx



1x

f(x)



1xd1x





1x



C

(3)【答案】

0

(或

c

任意

【解析】对

yaxbxc

两边求导得



2axb,y







2ax

b,

所以过





的切线方程为

yy





2ax

b



xx



即

y



bx

c







2ax

b



xx



又题设知切线过原点



0,0



,把

xy0

代入上式,得

c.

ax

bx

c2ax

bx

即

由于系数

a0

,所以,系数应满足的关系为

(4)【答案】



1,0,0,

0

(或

c

任意.



【解析】因为

是范德蒙行列式,由

a

知

A

秩的关系,所以方程组

AXB

有唯一解.

根据克莱姆法则,对于





aa



0

.根据解与系数矩阵







易见

A,D

D



n1

















n1









n1



















n1

















D

0.

x

0

,即



1,0,0,

a

b

a

b

a

b

所以

AXB

的解为

1,x

x





【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组



a





axax



211222







a



或简记为

其系数行列式



j1

b

,i1,2,,n

D

则方程组有唯一解

0



其中

是用常数项

,j1,2,,n.

替换

中第

列所成的行列式,即



(5)【答案】

(4.412,5.588)

【解析】可以用两种方法求解：

1,j1

1,j1

2,j1

n,j1

2,j1

n,j1

(1)已知方差



0.9

,对正态总体的数学期望



进行估计,可根据

因



,0.9)

,设有

个样本,样本均值

X



i1

有

0.9

XE(X)



,将其标准化,由公式

~N(0,1)

得：

D(X)

X



~N(0,1)



X





u





1



可确定临界值



, 由正态分布分为点的定义







进而确定相应的置信区间

(xu





,xu





)

(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值



的置信区间问题.

由教材上已经求出的置信区间



xu









,xu











其中



Uu





1











N(0,1)

,可以直接得出答案.

方法1：由题设,

1



0.95

,可见



0.05.

查标准正态分布表知分位点



1.96.

本

题

n9

X5

, 因此,根据

X



1.96}0.95

,有

5



1.96}0.95

,即

P{4.412



5.588}0.95

故



的置信度为0.95的置信区间是

(4.412,5.588)

方法2：由题设,

1



0.95

P{Uu



}P{u



Uu



}2(u



)10.95,(u



)0.975

22222

查得



1.96.



0.9

n9

X5

代入

(xu





,xu





)

得置信区间

(4.412,5.588)

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)【答案】(D)

【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系

xrcos



,yrsin



中是





D









|0



,0rcos











即是由



x



y



与

轴在第一象限所围成的





平面图形,如右图.

由于

的最左边点的横坐标是

,最右点的横坐标是1,

下边界方程是

y0,

上边界的方程是

y

的直角坐标表示是

xx

,从而

D





x,y



|0x1,0yxx



故(D)正确.

方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为















|0



,0rsin







而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,

(C)中的积分区域是正方形





x,y



|0x1,0y1



所以,他们都是不正确的.故应选(D).

(2)【答案】(A)

【解析】由于级数



n1



和



n1



都收敛,可见级数





n1



v



收敛.由不等式

u

v

及比较判别法知级数



2uv

n1



收敛,从而



2uv

n1



收敛.

又因为



v



uv2u

即级数





v



n1

收敛,故应选(A).

1



n1,2,



,可知(B)不正确.

设





n1,2,



,可知(C)不正确.

设



设



1





n1





n1,2,



,可知(D)不正确.

)

,则级数



也收敛.”

n1



注：在本题中命题(D)“若级数



n1



收敛,且

v

(n1,2,

不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数

一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.

(3)【答案】(C)

【解析】伴随矩阵的基本关系式为

AAAAAE





现将

视为关系式中的矩阵

,则有

A(A)AE



方法一：由

AA



n1

及

(A)

1



,可得

n1



)



A



)

1

A

故应选(C).



方法二：由

A(A)AE

,左乘

得

n1

n2

AA.

(AA



)(A



)



A

故应选(C).

(4)【答案】(D)

,即

(AE)(A



)



A

n1

【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组



无关,即若



x





既然





线性

x



0

,必有

0,x

0,,x

0



与

(C).

不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、

一般情况下,对于



k



k



l



l



0,

不能保证必有



k





有

k



0,

及



l



0,

故(A)不正确.由已知条件,















又

















k











k











0







线性相关.



与

,,k

不全为零,故



















故选(D).

(5)【答案】(B)

【解析】依题意







A







P(B)











BA





B)P(A



,.

P(B)P(B)P(B)P(B)

因

P(B)0

,故有



A



P



)P(A



.因此应选(B).

注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件

都成立,但是忽略了

全概率公式中要求作为条件的事件

应满足

P(A

是对立事

)0,P(A

)0

,且

件.

【相关知识点】条件概率公式：

P(B|A)

三、(本题满分6分)

【解析】(1) 由于

g(x)

有二阶连续导数,故当

x0

时,

f(x)

也具有二阶连续导数,此

时,



(x)

可直接计算,且



(x)

连续；当

x0

时,需用导数的定义求



(0)

P(AB)

P(A)

x[g



(x)e

x

]g(x)e

x



(x)g(x)(x1)e

x

.

当

x0

时,



(x)

当

x0

时,由导数定义及洛必达法则,有

g(x)e

x



(x)e

x



(x)e

x



(0)1



(0)lim

洛

lim

洛

lim

x0x0x0

x2x22





(x)g(x)(x1)e

x

,x0,



所以



(x)





g(0)1



,x0.



2

(2)



(x)

在

x0

点的连续性要用定义来判定.因为在

x0

处,有



(x)g(x)(x1)e

x

limf



(x)lim

x0x0

2024年5月8日发(作者：诸如柏)

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)

(1) 设方程

xy

确定

是

的函数,则

dy

___________.

(2) 设

xf(x)dxarcsinxC

,则



dx

___________..

f(x)

(3) 设





是抛物线

yax

bxc

上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足

的关系是___________.

(4) 设





A



n1n1n1





其中

a

(ij;i,j1,2,

























X





B













n1



















,n)

.则线性方程组

XB

的解是___________.

(5) 设由来自正态总体

X~N(



,0.9

)

容量为9的简单随机样本,得样本均值

X5

,则未

知参数



的置信度为0.95的置信区间为___________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)



(1) 累次积分

(A)

(C)







yy

cos



f(rcos



,rsin



)rdr

可以写成 ( )

11y

xx



f(x,y)dx

(B)



f(x,y)dx





f(x,y)dy

(D)





f(x,y)dy

(2) 下述各选项正确的是 ( )

(A) 若



n1

和



n1

都收敛,则



n1

v

)

收敛

(B)



n1



收敛,则



n1



与



n1



都收敛



n1



发散,则



(D) 若级数



n1



收敛,且

v

(n1,2,



)

,则级数



也收敛

n1



(3) 设

阶矩阵

非奇异(

n2

是矩阵

的伴随矩阵,则 ( )



(A)

(A)A

n1

(B)



)



A

(D)



)



A

n1



(C)

(A)A

n2n2

(4) 设有任意两个

维向量组



和



和



,若存在两组不全为零的数



,使

(



k

)



(



k

)



(



k

)



(



k

)



0

,则

( )

(A)



(B)



和





和



都线性相关



都线性无关







线性无关







线性相关

(C)







(D)































(5) 已知

0P(B)1

且



A



B]P(A

B)P(A

,则下列选项成立的是( )

(A)



A



B]P(A

B)P(A

(B)



BA



P(A

B)P(A

(C)



A



P(A

B)P(A

(D)





P





P(BA

)P(A

)P(BA

)

三、(本题满分6分)



g(x)e

x

,x0,



设

f(x)



其中

g(x)

有二阶连续导数,且

g(0)1,g



(0)1



0,x0,



(1)求



(x)

；

(2)讨论



(x)

在

(,)

上的连续性.

四、(本题满分6分)

设函数

zf(u)

,方程

u



(u)



p(t)dt

确定

是

x,y

的函数,其中

f(u),



(u)

可

zz

p(x)

xy

微；

p(t)





(u)

连续,且





(u)1

.求

p(y)

五、(本题满分6分)

计算





x

(1e

x

)

六、(本题满分5分)

设

f(x)

在区间

[0,1]

上可微,且满足条件

f(1)2



xf(x)dx

.试证:存在



(0,1)

使



)





(



)0.

七、(本题满分6分)

设某种商品的单价为

时,售出的商品数量

可以表示成

Q

c

,其中

a、b、

pb

均为正数,且

abc

(1) 求

在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.

(2) 要使销售额最大,商品单价

应取何值?最大销售额是多少?

八、(本题满分6分)

yx

y

求微分方程的通解.



dxx

九、(本题满分8分)





设矩阵

A





100



000



0y1



012



(1) 已知

的一个特征值为3,试求

；

(2) 求矩阵

,使

(AP)(AP)

为对角矩阵.

十、(本题满分8分)

设向量



是齐次线性方程组

AX0

的一个基础解系,向量



不是方程组

AX0

的解,即



0

.试证明:向量组



















线性无关.

十一、(本题满分7分)

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5

个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所

获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?

十二、(本题满分6分)

考虑一元二次方程

xBxC0

,其中

B、C

分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次

先后出现的点数.求该方程有实根的概率

和有重根的概率

十三、(本题满分6分)

假设

是来自总体X的简单随机样本；已知

a

(k1,2,3,4)

证明：当

充分大时,随机变量





近似服从正态分布,并指出其分布参数.

i1

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1)【答案】



1lny



【解析】方法1：方程

xy

两边取对数得

lnxlny

ylny

,再两边求微分,

dx



lny1



dydydx



lny1



0





lny1



方法2：把

xy

变形得

xe

ylny

,然后两边求微分得

dxe

ylny



ylny



y



1lny



dyx



1lny



由此可得

dy

dx.



1lny



(2)【答案】





1x



C

【解析】由

xf(x)dxarcsinxC

,两边求导数有



xf(x)



arcsinx







1x



x1x

f(x)

于是有







x1x

dx



1x

f(x)



1xd1x





1x



C

(3)【答案】

0

(或

c

任意

【解析】对

yaxbxc

两边求导得



2axb,y







2ax

b,

所以过





的切线方程为

yy





2ax

b



xx



即

y



bx

c







2ax

b



xx



又题设知切线过原点



0,0



,把

xy0

代入上式,得

c.

ax

bx

c2ax

bx

即

由于系数

a0

,所以,系数应满足的关系为

(4)【答案】



1,0,0,

0

(或

c

任意.



【解析】因为

是范德蒙行列式,由

a

知

A

秩的关系,所以方程组

AXB

有唯一解.

根据克莱姆法则,对于





aa



0

.根据解与系数矩阵







易见

A,D

D



n1

















n1









n1



















n1

















D

0.

x

0

,即



1,0,0,

a

b

a

b

a

b

所以

AXB

的解为

1,x

x





【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组



a





axax



211222







a



或简记为

其系数行列式



j1

b

,i1,2,,n

D

则方程组有唯一解

0



其中

是用常数项

,j1,2,,n.

替换

中第

列所成的行列式,即



(5)【答案】

(4.412,5.588)

【解析】可以用两种方法求解：

1,j1

1,j1

2,j1

n,j1

2,j1

n,j1

(1)已知方差



0.9

,对正态总体的数学期望



进行估计,可根据

因



,0.9)

,设有

个样本,样本均值

X



i1

有

0.9

XE(X)



,将其标准化,由公式

~N(0,1)

得：

D(X)

X



~N(0,1)



X





u





1



可确定临界值



, 由正态分布分为点的定义







进而确定相应的置信区间

(xu





,xu





)

(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值



的置信区间问题.

由教材上已经求出的置信区间



xu









,xu











其中



Uu





1











N(0,1)

,可以直接得出答案.

方法1：由题设,

1



0.95

,可见



0.05.

查标准正态分布表知分位点



1.96.

本

题

n9

X5

, 因此,根据

X



1.96}0.95

,有

5



1.96}0.95

,即

P{4.412



5.588}0.95

故



的置信度为0.95的置信区间是

(4.412,5.588)

方法2：由题设,

1



0.95

P{Uu



}P{u



Uu



}2(u



)10.95,(u



)0.975

22222

查得



1.96.



0.9

n9

X5

代入

(xu





,xu





)

得置信区间

(4.412,5.588)

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)【答案】(D)

【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系

xrcos



,yrsin



中是





D









|0



,0rcos











即是由



x



y



与

轴在第一象限所围成的





平面图形,如右图.

由于

的最左边点的横坐标是

,最右点的横坐标是1,

下边界方程是

y0,

上边界的方程是

y

的直角坐标表示是

xx

,从而

D





x,y



|0x1,0yxx



故(D)正确.

方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为















|0



,0rsin







而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,

(C)中的积分区域是正方形





x,y



|0x1,0y1



所以,他们都是不正确的.故应选(D).

(2)【答案】(A)

【解析】由于级数



n1



和



n1



都收敛,可见级数





n1



v



收敛.由不等式

u

v

及比较判别法知级数



2uv

n1



收敛,从而



2uv

n1



收敛.

又因为



v



uv2u

即级数





v



n1

收敛,故应选(A).

1



n1,2,



,可知(B)不正确.

设





n1,2,



,可知(C)不正确.

设



设



1





n1





n1,2,



,可知(D)不正确.

)

,则级数



也收敛.”

n1



注：在本题中命题(D)“若级数



n1



收敛,且

v

(n1,2,

不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数

一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.

(3)【答案】(C)

【解析】伴随矩阵的基本关系式为

AAAAAE





现将

视为关系式中的矩阵

,则有

A(A)AE



方法一：由

AA



n1

及

(A)

1



,可得

n1



)



A



)

1

A

故应选(C).



方法二：由

A(A)AE

,左乘

得

n1

n2

AA.

(AA



)(A



)



A

故应选(C).

(4)【答案】(D)

,即

(AE)(A



)



A

n1

【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组



无关,即若



x





既然





线性

x



0

,必有

0,x

0,,x

0



与

(C).

不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、

一般情况下,对于



k



k



l



l



0,

不能保证必有



k





有

k



0,

及



l



0,

故(A)不正确.由已知条件,















又

















k











k











0







线性相关.



与

,,k

不全为零,故



















故选(D).

(5)【答案】(B)

【解析】依题意







A







P(B)











BA





B)P(A



,.

P(B)P(B)P(B)P(B)

因

P(B)0

,故有



A



P



)P(A



.因此应选(B).

注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件

都成立,但是忽略了

全概率公式中要求作为条件的事件

应满足

P(A

是对立事

)0,P(A

)0

,且

件.

【相关知识点】条件概率公式：

P(B|A)

三、(本题满分6分)

【解析】(1) 由于

g(x)

有二阶连续导数,故当

x0

时,

f(x)

也具有二阶连续导数,此

时,



(x)

可直接计算,且



(x)

连续；当

x0

时,需用导数的定义求



(0)

P(AB)

P(A)

x[g



(x)e

x

]g(x)e

x



(x)g(x)(x1)e

x

.

当

x0

时,



(x)

当

x0

时,由导数定义及洛必达法则,有

g(x)e

x



(x)e

x



(x)e

x



(0)1



(0)lim

洛

lim

洛

lim

x0x0x0

x2x22





(x)g(x)(x1)e

x

,x0,



所以



(x)





g(0)1



,x0.



2

(2)



(x)

在

x0

点的连续性要用定义来判定.因为在

x0

处,有



(x)g(x)(x1)e

x

limf



(x)lim

x0x0