2024年5月8日发(作者：肥溪澈)

1992年第4期 中学数学研究（广州）

数学竞赛中的数论问题

安徽南陵县黄塘中学 张承宇

在国内外一些数学竞赛中，数论问题经常出现，但由于这类问题往往只与小学数学有密

切联系，因此，有的竞赛辅导者对此往往忽视，笔者认为，数论问题所涉及到的知识不多，

但解题方法灵活，技巧性强，是考察学生数学才能的一类好题，因此，竞赛辅导的第一讲就

应当的数论.在此，我们就初中数学范围内，介绍整数的一些最基本的知识及利用整数知识

解题的一些基本方法.

一、 整数的多项式表示法

给定一个n位整数M，其各位上的数字分别为

a

1,

a

2,

,a

n

,

此数可记为

Ma

1

a

2

a

n

即

(a

1

0).

我们研究的整数通常是十进位制数，因此，常将整数表示成关于10的（n-1）次多项式，

M10

n1

a

1

10

n2

a

2

10a

n1

a

n

,

其中

a

1

都是整数，

0a

1

9

（i=1, 2, „，n），且

a

1

0.

这种表示法称为整数的多项式表示法，最左边的一位数字

a

1

叫首位数字，最右边的一

位数字

a

n

叫末位数字.

例1 （1987年全国初中数学联赛试题）.有一个五位正奇数X，将X中的所有2都换成

5，所有5都换成2，其它数字不变，得到一个新的五位数，记作y,若x和y满足等式

y=2(x+1),那么x是_________.

解 由于y > 2x,则y的万位数字就要大于x 的万位数字，而同一数位上的不同数字只能

是2和5，所以x的万位数字是2，y的万位数字是5.设

x210

4

10

3

a10

2

b10cd

y510

4

10

3

a



10

2

b



10c



d



这里

a

与

a



、c与

c



、d与

d



分别是2与5或5与2或其它相同的数字.代入y=2 (x+1)

b

与

b



、

并整理得

999810(2aa



)10

(2bb



)10(2cc



)(2dd



)

因为d=

d



时,

2dd



d;dd

时，

32

2dd



2528,

或

2251

（借位得9）.

注意到

2dd



d

或8都不进位，而且依上式，此值为8，故应取d=8或5，对于

2cc



9

可取c=9或2（此时借位），但因第2位是9，不是2的倍数，故只能c=9.同理，b=9 ，

a9

，

故x=29995或29998.

检验，2（29995+1）=59992，2（29998+1）=59998.两解都合题意.

例2（1988年江苏省初中数学竞赛）.将一个三位数的数字重新排列所得的最大的三位

数减去最小的三位数正好等于原数，求这个三位数.

解 设三位数的三个数字为

a

, b, c, 若

abc

最大，则

cba

最小，且

abccba(10

2

a10bc)

(10

2

c10ba)99(ac),

即所求的三位数是99倍数.而在这样的三位数198，297，396，495，594，693，792，

891中仅有495符合题意。故所求的三位数为495.

二、 整数的奇偶性

我们通常把整数分为两部分：其中被2除后余数为1的称奇数，能被2整除（即余数为

0）的称偶数.奇数可用2k—1或2k+1来表示，偶数可用2k来表示（这里k为整数）.

奇数和偶数有着许多十分明显又十分简单的性质：

（1） 奇数≠偶数；

（2） 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；

（3） 奇数个奇数之和是奇数，任意多个偶数之和是偶数；

（4） 奇数×奇数=奇数，（奇数）= 奇数（n为非负整数），偶数×整数=偶数，偶

n

数×偶数= 4的倍数；

（5） 两个数的和与差有相同的奇偶性；

（6） 奇数的平方被4除余1；

（7） 任意两个整数的平方和被4除一定不余3；

（8） 任意两个整数的平方差被4除一定不余2.

以上诸性质的证明留给读者，下面举例说明其应用.

例3 （上海市1988年初二数学竞赛试题）.方程

xy1988

的不同整数解的组数

是______________.

解

xy1988

，则

(xy)(xy)2771

考虑到性质（5），得

222

22



xy27,

xy271;



xy271,

xy27;





xy2771,

xy2;

xy2,

xy2771;

符号取同“+”或同“—”共有八组不同的整数解.

例4（第25届IMO试题）.设

a

, b, c, d是奇整数，

0abcd,

并且

adbc.

证

2024年5月8日发(作者：肥溪澈)

1992年第4期 中学数学研究（广州）

数学竞赛中的数论问题

安徽南陵县黄塘中学 张承宇

在国内外一些数学竞赛中，数论问题经常出现，但由于这类问题往往只与小学数学有密

切联系，因此，有的竞赛辅导者对此往往忽视，笔者认为，数论问题所涉及到的知识不多，

但解题方法灵活，技巧性强，是考察学生数学才能的一类好题，因此，竞赛辅导的第一讲就

应当的数论.在此，我们就初中数学范围内，介绍整数的一些最基本的知识及利用整数知识

解题的一些基本方法.

一、 整数的多项式表示法

给定一个n位整数M，其各位上的数字分别为

a

1,

a

2,

,a

n

,

此数可记为

Ma

1

a

2

a

n

即

(a

1

0).

我们研究的整数通常是十进位制数，因此，常将整数表示成关于10的（n-1）次多项式，

M10

n1

a

1

10

n2

a

2

10a

n1

a

n

,

其中

a

1

都是整数，

0a

1

9

（i=1, 2, „，n），且

a

1

0.

这种表示法称为整数的多项式表示法，最左边的一位数字

a

1

叫首位数字，最右边的一

位数字

a

n

叫末位数字.

例1 （1987年全国初中数学联赛试题）.有一个五位正奇数X，将X中的所有2都换成

5，所有5都换成2，其它数字不变，得到一个新的五位数，记作y,若x和y满足等式

y=2(x+1),那么x是_________.

解 由于y > 2x,则y的万位数字就要大于x 的万位数字，而同一数位上的不同数字只能

是2和5，所以x的万位数字是2，y的万位数字是5.设

x210

4

10

3

a10

2

b10cd

y510

4

10

3

a



10

2

b



10c



d



这里

a

与

a



、c与

c



、d与

d



分别是2与5或5与2或其它相同的数字.代入y=2 (x+1)

b

与

b



、

并整理得

999810(2aa



)10

(2bb



)10(2cc



)(2dd



)

因为d=

d



时,

2dd



d;dd

时，

32

2dd



2528,

或

2251

（借位得9）.

注意到

2dd



d

或8都不进位，而且依上式，此值为8，故应取d=8或5，对于

2cc



9

可取c=9或2（此时借位），但因第2位是9，不是2的倍数，故只能c=9.同理，b=9 ，

a9

，

故x=29995或29998.

检验，2（29995+1）=59992，2（29998+1）=59998.两解都合题意.

例2（1988年江苏省初中数学竞赛）.将一个三位数的数字重新排列所得的最大的三位

数减去最小的三位数正好等于原数，求这个三位数.

解 设三位数的三个数字为

a

, b, c, 若

abc

最大，则

cba

最小，且

abccba(10

2

a10bc)

(10

2

c10ba)99(ac),

即所求的三位数是99倍数.而在这样的三位数198，297，396，495，594，693，792，

891中仅有495符合题意。故所求的三位数为495.

二、 整数的奇偶性

我们通常把整数分为两部分：其中被2除后余数为1的称奇数，能被2整除（即余数为

0）的称偶数.奇数可用2k—1或2k+1来表示，偶数可用2k来表示（这里k为整数）.

奇数和偶数有着许多十分明显又十分简单的性质：

（1） 奇数≠偶数；

（2） 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；

（3） 奇数个奇数之和是奇数，任意多个偶数之和是偶数；

（4） 奇数×奇数=奇数，（奇数）= 奇数（n为非负整数），偶数×整数=偶数，偶

n

数×偶数= 4的倍数；

（5） 两个数的和与差有相同的奇偶性；

（6） 奇数的平方被4除余1；

（7） 任意两个整数的平方和被4除一定不余3；

（8） 任意两个整数的平方差被4除一定不余2.

以上诸性质的证明留给读者，下面举例说明其应用.

例3 （上海市1988年初二数学竞赛试题）.方程

xy1988

的不同整数解的组数

是______________.

解

xy1988

，则

(xy)(xy)2771

考虑到性质（5），得

222

22



xy27,

xy271;



xy271,

xy27;





xy2771,

xy2;

xy2,

xy2771;

符号取同“+”或同“—”共有八组不同的整数解.

例4（第25届IMO试题）.设

a

, b, c, d是奇整数，

0abcd,

并且

adbc.

证