2024年5月20日发(作者：成向)

ruize

[课时作业]页

[A组 基础巩固]

1．等差数列{a

n

}中，d＝2，a

n

＝11，S

n

＝35，则a

1

等于( )

A．5或7

C．7或－1

B．3或5

D．3或－1





a

n

＝11，





解析：由题意，得



即



nn－1





S

n

＝35，

na＋×2＝35.

1



a

1

＋2n－1＝11，

2







n＝5，



n＝7，



解得或





a

1

＝3，





a

1

＝－1.

★答案★：D

2．已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

2

＝4，S

4

＝20，则该数列的公差d为( )

A．7

C．3

B．6

D．2

解析：由S

2

＝4，S

4

＝20，得2a

1

＋d＝4,4a

1

＋6d＝20，解得d＝3.

★答案★：C

3．已知等差数列{a

n

}满足a

2

＋a

4

＝4，a

3

＋a

5

＝10，则它的前10项的和S

10

等于( )

A．138

C．95

B．135

D．23

10×9

解析：由a

2

＋a

4

＝4，a

3

＋a

5

＝10，可知d＝3，a

1

＝－4.∴S

10

＝－40＋×3＝95.

2

★答案★：C

4．若等差数列{a

n

}的前5项和S

5

＝25，且a

2

＝3，则a

7

等于( )

A．12

C．14

解析：由S

5

＝5a

3

＝25，∴a

3

＝5.

∴d＝a

3

－a

2

＝5－3＝2.

∴a

7

＝a

2

＋5d＝3＋10＝13.

★答案★：B

5．已知数列{a

n

}的前n项和S

n

＝n

2

－9n，第k项满足5＜a

k

＜8，则k等于( )

A．9

C．7

解析：当n＝1时，a

1

＝S

1

＝－8；

当n≥2时，a

n

＝S

n

－S

n

－

1

＝(n

2

－9n)－[(n－1)

2

－9(n－1)]＝2n－10.

B．8

D．6

B．13

D．15

ruize

综上可得数列{a

n

}的通项公式a

n

＝2n－10.

所以a

k

＝2k－10.令5＜2k－10＜8，解得k＝8.

★答案★：B

1

6．已知数列{a

n

}中，a

1

＝1，a

n

＝a

n

－

1

＋(n≥2)，则数列{a

n

}的前9项和等于________．

2

11

解析：∵n≥2时，a

n

＝a

n

－

1

＋，且a

1

＝1，所以数列{a

n

}是以1为首项，以为公差的等差

22

9×8

1

数列，所以S

9

＝9×1＋×＝9＋18＝27.

22

★答案★：27

7．等差数列{a

n

}中，若a

10

＝10，a

19

＝100，前n项和S

n

＝0，则n＝________.





a

1

＋9d＝10

解析：



，∴d＝10，a

1

＝－80.





a

1

＋18d＝100

nn－1

∴S

n

＝－80n＋×10＝0，

2

∴－80n＋5n(n－1)＝0，n＝17.

★答案★：17

8．等差数列{a

n

}中，a

2

＋a

7

＋a

12

＝24，则S

13

＝________.

解析：因为a

1

＋a

13

＝a

2

＋a

12

＝2a

7

，

又a

2

＋a

7

＋a

12

＝24，

所以a

7

＝8.

13a

1

＋a

13



所以S

13

＝＝13×8＝104.

2

★答案★：104

9．在等差数列{a

n

}中：

(1)已知a

5

＋a

10

＝58，a

4

＋a

9

＝50，求S

10

；

(2)已知S

7

＝42，S

n

＝510，a

n

－

3

＝45，求n.

解析：(1)由已知条件得



a

5

＋a

10

＝2a

1

＋13d＝58，



a

1

＝3，





解得





a＋a＝2a＋11d＝50，d＝4.



4



91

10×10－110×9

∴S

10

＝10a

1

＋d＝10×3＋×4＝210.

22

7a

1

＋a

7



(2)S

7

＝＝7a

4

＝42，

2

∴a

4

＝6.

na

1

＋a

n

na

4

＋a

n

－

3

n6＋45

∴S

n

＝＝＝＝510.

222

ruize

∴n＝20.

10．在等差数列{a

n

}中，a

10

＝18，前5项的和S

5

＝－15，

(1)求数列{a

n

}的通项公式；

(2)求数列{a

n

}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．

解析：(1)设{a

n

}的首项，公差分别为a

1

，d.

a＋9d＝18，





1

则



5

5a＋×4×d＝－15，

1



2



解得a

1

＝－9，d＝3，

∴a

n

＝3n－12.

na

1

＋a

n



1

2

(2)S

n

＝＝(3n－21n)

22

7

3147

n－



2

－， ＝



2



2



8

∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.

[B组 能力提升]

1．S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，a

3

＋a

6

＋a

12

为一个常数，则下列也是常数的是( )

A．S

17

C．S

13

B．S

15

D．S

7

解析：∵a

3

＋a

6

＋a

12

为常数，∴a

2

＋a

7

＋a

12

＝3a

7

为常数，∴a

7

为常数．又S

13

＝13a

7

，∴S

13

为常数．

★答案★：C

2．设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，S

m

－

1

＝－2，S

m

＝0，S

m

＋

1

＝3，则m＝( )

A．3

C．5

B．4

D．6

解析：a

m

＝S

m

－S

m

－

1

＝2，a

m

＋

1

＝S

m

＋

1

－S

m

＝3，

∴d＝a

m

＋

1

－a

m

＝1，由S

m

＝

a

1

＋a

m

m

＝0，

2

知a

1

＝－a

m

＝－2，a

m

＝－2＋(m－1)＝2，

解得m＝5.

★答案★：C

a

5

5S

9

3．设S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，若＝，则等于________．

a

3

9S

5

a

5

2a

5

a

1

＋a

9

5

解析：由等差数列的性质，＝＝＝，

a

3

2a

3

a

1

＋a

5

9

ruize

9

a

1

＋a

9



S

9

2

95

∴＝＝×＝1.

S

5

559

a

1

＋a

5



2

★答案★：1

4．设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知前6项和为36，最后6项和为180，S

n

＝324(n>6)，

则数列的项数n＝________，a

9

＋a

10

＝________.

解析：由题意，可知a

1

＋a

2

＋…＋a

6

＝36 ①，a

n

＋a

n

－

1

＋a

n

－

2

＋…＋a

n

－

5

＝180 ②，由①

＋②，得(a

1

＋a

n

)＋(a

2

＋a

n

－

1

)＋…＋(a

6

＋a

n

－

5

)＝6(a

1

＋a

n

)＝216，∴a

1

＋a

n

＝36.又S

n

＝

na

1

＋a

n



＝324，∴18n＝324，∴n＝18，∴a

1

＋a

18

＝36，∴a

9

＋a

10

＝a

1

＋a

18

＝36.

2

★答案★：18 36

3205

5．等差数列{a

n

}的前n项和S

n

＝－n

2

＋n，求数列{|a

n

|}的前n项和T

n

.

22

解析：a

1

＝S

1

＝101，当n≥2时，

3

3205

－n－1

2

＋

a

n

＝S

n

－S

n

－

1

＝－n

2

＋n－





2

22

205

n－1



＝－3n＋104，a

1

＝S

1

＝101也适合

2



2

上式，所以a

n

＝－3n＋104，令a

n

＝0，n＝34，故n≥35时，a

n

<0，n≤34时，a

n

>0，所以

3

3205

对数列{|a

n

|}，n≤34时，T

n

＝|a

1

|＋|a

2

|＋…＋|a

n

|＝a

1

＋a

2

＋…＋a

n

＝－n

2

＋n，

22

当n≥35时，T

n

＝|a

1

|＋|a

2

|＋…＋|a

34

|＋|a

35

|＋…＋|a

n

|＝a

1

＋a

2

＋…＋a

34

－a

35

－…－a

n

3205

＝2(a

1

＋a

2

＋…＋a

34

)－(a

1

＋a

2

＋…＋a

n

)＝2S

34

－S

n

＝n

2

－n＋3 502，

22



－

2

n＋

2

nn≤34，

所以T＝



3205

n－



22

n＋3 502n≥35.

2

n

2

3205



S

n



6．设{a

n

}为等差数列，S

n

为数列{a

n

}的前n项和，已知S

7

＝7，S

15

＝75，T

n

为数列



n



的前



n项和，求T

n

.

解析：设等差数列{a

n

}的公差为d，

1

则S

n

＝na

1

＋n(n－1)d，

2

∵S

7

＝7，S

15

＝75，



7a

1

＋21d＝7，



∴





15a＋105d＝75，



1





a

1

＋3d＝1，



a

1

＝－2，



即解得





a

1

＋7d＝5，





d＝1，

ruize

S

n

11

∴＝a

1

＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，

n22

∵

S

n

＋

1

S

n

1

－＝，

n＋1

n2



S

n



1

∴数列



n



是等差数列，其首项为－2，公差为，

2



n·n－1

11

2

9

∴T

n

＝n×(－2)＋×＝n－n.

2244

2024年5月20日发(作者：成向)

ruize

[课时作业]页

[A组 基础巩固]

1．等差数列{a

n

}中，d＝2，a

n

＝11，S

n

＝35，则a

1

等于( )

A．5或7

C．7或－1

B．3或5

D．3或－1





a

n

＝11，





解析：由题意，得



即



nn－1





S

n

＝35，

na＋×2＝35.

1



a

1

＋2n－1＝11，

2







n＝5，



n＝7，



解得或





a

1

＝3，





a

1

＝－1.

★答案★：D

2．已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

2

＝4，S

4

＝20，则该数列的公差d为( )

A．7

C．3

B．6

D．2

解析：由S

2

＝4，S

4

＝20，得2a

1

＋d＝4,4a

1

＋6d＝20，解得d＝3.

★答案★：C

3．已知等差数列{a

n

}满足a

2

＋a

4

＝4，a

3

＋a

5

＝10，则它的前10项的和S

10

等于( )

A．138

C．95

B．135

D．23

10×9

解析：由a

2

＋a

4

＝4，a

3

＋a

5

＝10，可知d＝3，a

1

＝－4.∴S

10

＝－40＋×3＝95.

2

★答案★：C

4．若等差数列{a

n

}的前5项和S

5

＝25，且a

2

＝3，则a

7

等于( )

A．12

C．14

解析：由S

5

＝5a

3

＝25，∴a

3

＝5.

∴d＝a

3

－a

2

＝5－3＝2.

∴a

7

＝a

2

＋5d＝3＋10＝13.

★答案★：B

5．已知数列{a

n

}的前n项和S

n

＝n

2

－9n，第k项满足5＜a

k

＜8，则k等于( )

A．9

C．7

解析：当n＝1时，a

1

＝S

1

＝－8；

当n≥2时，a

n

＝S

n

－S

n

－

1

＝(n

2

－9n)－[(n－1)

2

－9(n－1)]＝2n－10.

B．8

D．6

B．13

D．15

ruize

综上可得数列{a

n

}的通项公式a

n

＝2n－10.

所以a

k

＝2k－10.令5＜2k－10＜8，解得k＝8.

★答案★：B

1

6．已知数列{a

n

}中，a

1

＝1，a

n

＝a

n

－

1

＋(n≥2)，则数列{a

n

}的前9项和等于________．

2

11

解析：∵n≥2时，a

n

＝a

n

－

1

＋，且a

1

＝1，所以数列{a

n

}是以1为首项，以为公差的等差

22

9×8

1

数列，所以S

9

＝9×1＋×＝9＋18＝27.

22

★答案★：27

7．等差数列{a

n

}中，若a

10

＝10，a

19

＝100，前n项和S

n

＝0，则n＝________.





a

1

＋9d＝10

解析：



，∴d＝10，a

1

＝－80.





a

1

＋18d＝100

nn－1

∴S

n

＝－80n＋×10＝0，

2

∴－80n＋5n(n－1)＝0，n＝17.

★答案★：17

8．等差数列{a

n

}中，a

2

＋a

7

＋a

12

＝24，则S

13

＝________.

解析：因为a

1

＋a

13

＝a

2

＋a

12

＝2a

7

，

又a

2

＋a

7

＋a

12

＝24，

所以a

7

＝8.

13a

1

＋a

13



所以S

13

＝＝13×8＝104.

2

★答案★：104

9．在等差数列{a

n

}中：

(1)已知a

5

＋a

10

＝58，a

4

＋a

9

＝50，求S

10

；

(2)已知S

7

＝42，S

n

＝510，a

n

－

3

＝45，求n.

解析：(1)由已知条件得



a

5

＋a

10

＝2a

1

＋13d＝58，



a

1

＝3，





解得





a＋a＝2a＋11d＝50，d＝4.



4



91

10×10－110×9

∴S

10

＝10a

1

＋d＝10×3＋×4＝210.

22

7a

1

＋a

7



(2)S

7

＝＝7a

4

＝42，

2

∴a

4

＝6.

na

1

＋a

n

na

4

＋a

n

－

3

n6＋45

∴S

n

＝＝＝＝510.

222

ruize

∴n＝20.

10．在等差数列{a

n

}中，a

10

＝18，前5项的和S

5

＝－15，

(1)求数列{a

n

}的通项公式；

(2)求数列{a

n

}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．

解析：(1)设{a

n

}的首项，公差分别为a

1

，d.

a＋9d＝18，





1

则



5

5a＋×4×d＝－15，

1



2



解得a

1

＝－9，d＝3，

∴a

n

＝3n－12.

na

1

＋a

n



1

2

(2)S

n

＝＝(3n－21n)

22

7

3147

n－



2

－， ＝



2



2



8

∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.

[B组 能力提升]

1．S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，a

3

＋a

6

＋a

12

为一个常数，则下列也是常数的是( )

A．S

17

C．S

13

B．S

15

D．S

7

解析：∵a

3

＋a

6

＋a

12

为常数，∴a

2

＋a

7

＋a

12

＝3a

7

为常数，∴a

7

为常数．又S

13

＝13a

7

，∴S

13

为常数．

★答案★：C

2．设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，S

m

－

1

＝－2，S

m

＝0，S

m

＋

1

＝3，则m＝( )

A．3

C．5

B．4

D．6

解析：a

m

＝S

m

－S

m

－

1

＝2，a

m

＋

1

＝S

m

＋

1

－S

m

＝3，

∴d＝a

m

＋

1

－a

m

＝1，由S

m

＝

a

1

＋a

m

m

＝0，

2

知a

1

＝－a

m

＝－2，a

m

＝－2＋(m－1)＝2，

解得m＝5.

★答案★：C

a

5

5S

9

3．设S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，若＝，则等于________．

a

3

9S

5

a

5

2a

5

a

1

＋a

9

5

解析：由等差数列的性质，＝＝＝，

a

3

2a

3

a

1

＋a

5

9

ruize

9

a

1

＋a

9



S

9

2

95

∴＝＝×＝1.

S

5

559

a

1

＋a

5



2

★答案★：1

4．设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知前6项和为36，最后6项和为180，S

n

＝324(n>6)，

则数列的项数n＝________，a

9

＋a

10

＝________.

解析：由题意，可知a

1

＋a

2

＋…＋a

6

＝36 ①，a

n

＋a

n

－

1

＋a

n

－

2

＋…＋a

n

－

5

＝180 ②，由①

＋②，得(a

1

＋a

n

)＋(a

2

＋a

n

－

1

)＋…＋(a

6

＋a

n

－

5

)＝6(a

1

＋a

n

)＝216，∴a

1

＋a

n

＝36.又S

n

＝

na

1

＋a

n



＝324，∴18n＝324，∴n＝18，∴a

1

＋a

18

＝36，∴a

9

＋a

10

＝a

1

＋a

18

＝36.

2

★答案★：18 36

3205

5．等差数列{a

n

}的前n项和S

n

＝－n

2

＋n，求数列{|a

n

|}的前n项和T

n

.

22

解析：a

1

＝S

1

＝101，当n≥2时，

3

3205

－n－1

2

＋

a

n

＝S

n

－S

n

－

1

＝－n

2

＋n－





2

22

205

n－1



＝－3n＋104，a

1

＝S

1

＝101也适合

2



2

上式，所以a

n

＝－3n＋104，令a

n

＝0，n＝34，故n≥35时，a

n

<0，n≤34时，a

n

>0，所以

3

3205

对数列{|a

n

|}，n≤34时，T

n

＝|a

1

|＋|a

2

|＋…＋|a

n

|＝a

1

＋a

2

＋…＋a

n

＝－n

2

＋n，

22

当n≥35时，T

n

＝|a

1

|＋|a

2

|＋…＋|a

34

|＋|a

35

|＋…＋|a

n

|＝a

1

＋a

2

＋…＋a

34

－a

35

－…－a

n

3205

＝2(a

1

＋a

2

＋…＋a

34

)－(a

1

＋a

2

＋…＋a

n

)＝2S

34

－S

n

＝n

2

－n＋3 502，

22



－

2

n＋

2

nn≤34，

所以T＝



3205

n－



22

n＋3 502n≥35.

2

n

2

3205



S

n



6．设{a

n

}为等差数列，S

n

为数列{a

n

}的前n项和，已知S

7

＝7，S

15

＝75，T

n

为数列



n



的前



n项和，求T

n

.

解析：设等差数列{a

n

}的公差为d，

1

则S

n

＝na

1

＋n(n－1)d，

2

∵S

7

＝7，S

15

＝75，



7a

1

＋21d＝7，



∴





15a＋105d＝75，



1





a

1

＋3d＝1，



a

1

＝－2，



即解得





a

1

＋7d＝5，





d＝1，

ruize

S

n

11

∴＝a

1

＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，

n22

∵

S

n

＋

1

S

n

1

－＝，

n＋1

n2



S

n



1

∴数列



n



是等差数列，其首项为－2，公差为，

2



n·n－1

11

2

9

∴T

n

＝n×(－2)＋×＝n－n.

2244