2024年5月26日发(作者：铎莎莉)

山西省晋中市2023届高三三模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

2

1

．已知集合

M



x4x2



，N{xxx60



，则

MN

=

A

．

{x4x3



B

．

{x4x2



C

．

{x2x2



D

．

{x2x3



ix

2

．欧拉公式

ecosxisinx



xR



是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数

π

3

学中的天桥．若复数

ze

，

ze

，则

z

1

z

2



（

）

1

2

A

．

-i

C

．



22



i

22

i

i

π

6

B

．

i

D

．

22



i

22







3

．设向量

a

与向量

b

的夹角为，定义

a

与

b

的向量积：

ab

是一个向量，它的模







ababsin



．若

m



1,0



，

n1,3

，则

mn

（

）



A

．

-1B

．

1C

．

3

D

．

3

4

．田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等

马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹

中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（

）

A

．

1

3

B

．

2

1

C

．

2

3

D

．

4

9

5

．角



的始边与

x

轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点

P

．已知

tan



sin



cos



．则点

P

可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（

）

A

．



AB



B

．

CD



C

．

EF



D

．

GH

6

．已知



，



为锐角，且

tan



2

，

sin













A

．



310

10

2

，则

cos





（

）

2

B

．

310

10

C

．



10

10

D

．

10

10

试卷第1页，共4页



7

．已知点

P

在棱长为

2

的正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的表面上运动，则

PAPB

的最大值

为（

）

A

．

6

1

1

B

．

7

1

C

．

8D

．

9

8

．设

a2

2

,be

e

,c3

3

，则（

）

A

．

acb

C

．

bac

B

．

abc

D

．

cba

二、多选题

9

．下列各式中能够说明随机事件

A

与随机事件

B

相互独立的是（

）

A

．

P



A|B



P



B|A



C

．

P



A



P



AB



B

．

P



A|B



P



A|B



D

．

P



B



P



AB



10

．

ChatGPT

是

OpenAI

公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能

写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查

机构为了解美国大学生用

ChatGPT

代写作业的学生比例，对

8

所高校进行了调查，其

中

6

所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：

71%

、

75%

、

77%

、

80%

、

82%

、

85%

，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这

8

所学校使用

ChatGPT

代写作业的学生比例的中位数可能是（

）

A

．

76%B

．

77.5%C

．

80%D

．

81.5%

2

11

．已知函数

f



x



xlnx

，关于

x

的方程

f



x





2

f



x



a0

，下列结论正确的是

e

（

）

A

．存在

aR

使方程恰有

2

个不相等的实根

B

．存在

aR

使方程恰有

4

个不相等的实根

C

．存在

aR

使方程恰有

5

个不相等的实根

D

．存在

aR

使方程恰有

6

个不相等的实根

12

．已知圆

C:(xa)

2

ye

a



2

1

，则（

）

A

．存在两个不同的

a

，使得圆

C

经过坐标原点

B

．存在两个不同的

a

，使得圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等

C

．存在唯一的

a

，使得圆

C

的面积被直线

yex

平分

D

．存在三个不同的

a

，使得圆

C

与

x

轴或

y

轴相切

试卷第2页，共4页

三、填空题

13

．设

x1,y0

且

x2y1

，则

11



的最小值为

_________

．

x



1y

14

．从

0

，

1

，

2

，

⋯

，

9

这

10

个数字中任取三个数，使这三个数的和是

3

的倍数，则不

同的取法有

_________

种．（用数字作答）

15

．在

ABC

中，

AB



BC

，

A





3

，

D

是

AC

边的中点，且

AC=2

．将

△ABD

沿

BD

折起，使平面

ABD⊥

平面

BCD

，形成四面体

A-BCD

．则该四面体外接球的表面积为

_________

．

x

2

y

2

c

2

16

．点

A

1

，

A

2

是双曲线

E:

2



2



1(a



0,b



0)

的左、右顶点．若直线

x



上存在

a

ab

π

点

P

，使得

A

1

PA

2



，则该双曲线的离心率取值范围为

_________

．

6

四、解答题

17

．如图，在四棱锥

P-ABCD

中，底面

ABCD

为矩形，

E

是

CD

的中点，

AE

与

BD

交

于点

F

，

G

是

PAD

的重心．

(1)

求证：

GF//

平面

PCD

；

(2)

若平面

PAD⊥

平面

ABCD

，

PAD

为等腰直角三角形，且

PAPDAB22

，求直

线

AG

与平面

PBD

所成角的正弦值．

18

．记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，已知

2S

n

na

n

，且

a

2

1

．

(1)

求证：数列



a

n



是等差数列，并求



a

n



的通项公式；

(2)

从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．

若

_________

，求数列



b

n



的前

n

项和

T

n

．

nn

n

①

b

n

a

n



2

；

②

b

n

(1)a

n

2

；

③

b

n



2

．

(n



2)a

n



1

π



19

．锐角

ABC

中，

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

sinC



2cosAsin



B





.

3



(1)

求

A

；

(2)

若

b+c=6

，求

BC

边上的高

AD

长的最大值

.

试卷第3页，共4页

20

．晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文

景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山

等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游

1

2

览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意

3

3

愿相互独立．

(1)

从游客中随机选取

5

人，记

5

人中选择人文景观的人数为

X

，求

X

的均值与方差；

(2)

现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记

2

分，选择自然景观记

1

分，记已调查过

的累计得分为

n

分的概率为

P

n

，求

P

n

．

x

2

y

2

21

．椭圆

2



2



1(a



b



0)

的左、右顶点分别为

A,B

，过左焦点

F



1,0



的直线与椭

ab

圆交于

C,D

两点（其中

C

点位于

x

轴上方），当

CD

垂直于

x

轴时，

CD3

．

(1)

求椭圆的方程；

(2)

记直线

AC,BD

的斜率分别为

k

1

,k

2

，求

k

1



22

．

f



x





2lnx



ax



1

的最小值．

k

2

3

．

ax

(1)

讨论

f



x



的单调性；

2

(2)

g



x





f



x





x



3

，若

g



x



有两个极值点

x

1

,x

2

，且

x

1

x

2

，试求

g



x

2



2g



x

1



ax

的最大值．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，

利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，

M



x4x2



,N



x2x3



，则

MN



x2x2



．故选

C

．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括

二者部分．

2

．

B

【分析】由欧拉公式求

z

1

,z

2

的代数形式，再结合复数运算法则求

z

1

z

2

.

【详解】由欧拉公式可得：

π

i

ππ13ππ31

z

1

ecosisini

，

z

2

e

6

cosisini

，

33226622

i

π

3



13



31



3133

zz



i



i



i



i



i

．则

12





22



22



4444



故选：

B.

3

．

D



【分析】先求

m,n

，即可求出

cos



,

即可求出

sin



，代入即可求解

.



22

【详解】

∵

m101,n



1



2

32

，

2



m



n1

3

∴

cos









，又







0,π



，

∴

sin





1



cos

2





，

2

|m||n|

2



∴

|mn||m||n|sin



3

．

故选：

D.

4

．

A

【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件

田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率

.

【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为

a

，

b

，

c

，

齐王的上等马、中等马、下等马分别为

A

，

B

，

C

.

由题意可知，可能的比赛有方案有：

答案第1页，共17页

aA

，

bA

，

cA

，

aB

，

bB

，

cB

，

aC

，

bC

，

cC

，共

9

种，

其中田忌可以获胜的事件为

aB

，

aC

，

bC

，共

3

种，

则田忌的马获胜的概率为

P

故选：

A.

5

．

C

【分析】由三角函数的定义结合

tan



sin



cos



，即可判断

.

【详解】设

P



x,y



，则

tan





因为

tan



sin



cos



，所以

由于

tan





故选：

C

6

．

D

【分析】由条件，结合同角关系求

sin



,cos



，再由特殊角三角函数值求







，再利用两

角差的余弦公式求

cos



.

【详解】因为

tan



2

，所以

sin



2cos



，

又

sin

2



cos

2



1

，



为锐角，

π

25

5

，

cos





，且





．

4

5

5

π

π

因为



，



为锐角，





，所以











π

，

4

4

31



.

93

y

,sin





y

,cos





x

.

x

y



y



x

，所以

x,y

同号，且

yx

，则

AB

错误；

x

y

,



x

0



，则

D

错误；

x

所以

sin





又

sin(







)



3



2

，

所以









，

4

2

3π3π10



3π



故

cos





cos











coscos





sinsin





．

44410



故选：

D.

7

．

C

【分析】取

AB

中点

O

，连接

PO

，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得

.

【详解】取

AB

中点

O

，连接

PO

，如图，

答案第2页，共17页



2



2



2

则

PAPBPOOAPOOBPOOAPO1

，



当

P

在正方体表面上运动时，运动到

D

1

或

C

1

处时，

PO

最大，



2

所以

PO

max

D

1

D

2

DA

2

AO

2

9

,



所以

PAPB

的最大值为

8.

故选：

C

8

．

A

【分析】构造函数，根据函数的单调性求解

.

1

1

1

lnx

1



lnx

'

，【详解】只需比较

ln2

，

lne

，

ln3

的大小；令

f



x





，则

f



x





x

x

2

3

e

'

'

当

xe

时，

f



x



0,f



x



单调递减，当

0xe

时

f



x



0,f



x



单调递增，

11

1111

又

ln2



ln4

，故

ln2



ln4



ln3



lne

，即

acb

；

243e

24

故选：

A.

9

．

BC

【分析】根据条件概率公式及事件相互独立的意义判断选项求解即可

.

【详解】



P



A|B





P(AB)P(AB)



P



B|A





，

P(B)P(A)

P(A)P(B)

，不能说明随机事件

A

与随机事件

B

相互独立，故

A

不正确；



P



A|B





P(AB)P(AB)



P



A|B





，

P(AB)P(B)P(B)P(AB)

,

P(B)

P(B)

P(AB)[1P(B)]P(B)[P(A)P(AB)]

，化简得

P(AB)P(A)P(B)

,

即随机事件

A

与随机事件

B

相互独立，故

B

正确；



P



AB





P(AB)P(AB)

，



P



A





P



AB





，即

P(AB)P(A)P(B)

，随机事件

A

与随机

P(B)P(B)

事件

B

相互独立，故

C

正确；

答案第3页，共17页



P



B





P



AB





P(AB)

，

P(AB)P(B)P(B)

，由于

P(A),P(B)

不一定相等，不能说明

P(B)

A,B

事件相互独立，故

D

不正确

.

故选：

BC

10

．

ABC

【分析】分别求出另外两所学校都小于或等于

71%

时和另外两所学校都大于或等于

85%

时

的中位数，即可得解

.

【详解】当另外两所学校都小于或等于

71%

时，中位数为

小，

当另外两所学校都大于或等于

85%

时，中位数为

故中位数的取值区间



76%,81%



.

故选：

ABC.

11

．

AB

75%



77%



76%

，此时中位数最

2

80%



82%



81%

，此时中位数最大，

2

2

2

【分析】令

tf(x)

，则

tta0

，利用导数研究函数

f



x



的单调性，由此确定方程

e

f(x)t

的解的个数及范围，再结合二次函数性质确定结论

.

2

2

【详解】令

f(x)t

，则

tta0

，

e

因为

f



x



xlnx

，所以当

x1

时，

f



x



xlnx

，

所以

f





x



lnx10

，所以函数

f



x



在

(1,)

上单调递增，

当

0x1

时，

f



x



xlnx

，

所以

f





x



lnx1

，令

f





x



0

，可得

x

1

，

e

1



1



x

)

>

0

，函数

f



x



在



0,



上单调递增；当

0x

时，

f

¢

(

e



e



1



1



当

x1

时，

f





x



0

，函数

f



x



在



,1



上单调递减，

e



e





1



1

又

f





，

f(1)0

，且当

x0

时，

f



x



0

，当

x

时，

f



x





，



e



e

1

x

又当

0x1

时，

f



x





，故

x0

时，

f



x



0

，

1

x

ln

答案第4页，共17页

故函数

f



x



的大致图象如下：

所以当

t0

时，方程

f(x)t

没有实根；

当

t0

或

t

当

t



1

时，方程

f(x)t

有

1

个实根；

e

1

时，方程

f(x)t

有

2

个实根；

e

1

当

0t

时，方程

f(x)t

有

3

个实根

.

e

2

4

2

因为方程

tta0

的判别式

Δ

2

4a

，

e

e

所以当

a

1

2

2

Δ0

tta0

没有实根，，，方程

e

2

e

2

f



x



a0

无实根；

e

2

故方程

f



x





当

a

1

1

t



Δ0

，，此时，

e

2

e

2

f



x



a0

有

2

个不等实根；

e

2

故方程

f



x





当

a

1

2

2

tta0

有

2

个不等实根

t

1

，

t

2

，

Δ0

，，方程

e

e

2

1

2

1

，

t

1

t

2

a

，则必有

t

1



，

t

2



，

e

e

e

不妨取

t

1

t

2

，则

t

1

t

2



若

a<

0

，则

t

1

0

，

f(x)t

1

没有实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

2

所以方程

f



x





2

f



x



a0

有

1

个实根；

e

若

a0

，则

t

1

0

，

f(x)t

1

有

1

个实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

2

所以方程

f



x





2

f



x



a0

有

2

个实根；

e

若

0a

1

1

0t

，则，

f(x)t

1

有

3

个实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

1

2

e

e

2

f



x



a0

有

4

个实根，

e

2

所以方程

f



x





答案第5页，共17页

2

综上所述：当

a<

0

时，方程

f



x





2

f



x



a0

有

1

个实根；

e

当

a0

或

a

当

0a

当

a

2

1

f

2



x



f



x



a0

有

2

个实根；

2

时，方程

e

e

1

2

2

fxf



x



a0

有

4

个实根；



时，方程

e

e

2

1

2

2

fxf



x



a0

没有实根

.



时，方程

e

e

2

故选：

AB.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过换元，将问题转化为方程组的解的问题，再

利用数形结合方法及二次函数性质研究方程的解

.

12

．

ACD

【分析】对于

A

，等价于判断方程

a

2

e

a

交点个数，结合图象判断即可，

对于

B

，由弦长公式可得等价于判断方程

e

a

a

的解的个数，利用导数研究函数性质判断

即可，

对于

C

，等价于判断方程

e

a



e

a

的解，利用导数研究函数的性质即可判断，

a

对于

D

，等价于判断

|a|1

或

e



1

的解的个数，解方程即可判断

.



2

1

的解的个数，等价于判断

ye

x

与

x

2

y

2

1

【详解】圆

(xa)

2





ye

a



1

的圆心坐标为



a,e



，半径为

1

，

2

a

对于

A

：设圆

C

过原点

(0,0)

，则

a

2

e

a

方程

a

2

e

a



2

1

，



2

1

的解的个数等价于函数

ye

x

的图象与曲线

x

2

y

2

1

的交点个数，

作函数

y

e

x

与圆

x

2

y

2

1

的图象可得：

所以函数

y

e

x

的图象与曲线

x

2

y

2

1

的交点个数为

2

，

所以存在两个不同的

a

，使得圆

C

经过坐标原点，

A

正确；

答案第6页，共17页

对于

B

：圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等等价于

21a

2

21e

a

即

a

2

e

a

，即

e

a

a0

，



2

，



2

x

x

方程

e

a

a

0

的解的个数函数

g



x



ex

和

h



x





e

x

的零点的个数和相等，

x



1

因为

g





x





e



1



0

，又

g





1





e



1



0

，

g



0



100

，

所以函数

g



x



在区间



0,1



上存在一个零点，即函数

g



x



存在一个零点，

x

因为

h





x





e



1

，

当

x0

时，

h





x



0

，函数

h



x



在



0,





上单调递增，

当

x0

时，

h





x



0

，函数

h



x



在







,0



上单调递减，

又

h



0



10

，所以

h



x



0

，故函数

h



x



没有零点，

所以方程

e

a

a

0

的解的个数为

1

，

即存在一个

a

，使得圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等，

B

错误；

对于

C

：圆

C

的面积被直线

yex

平分等价于

yex

过圆心，

所以

e

a



e

a

，令

f(a)e

a

ea

，

求导可得

f



(

a

)



e

a



e

，令

f



(a)



0

，可得

a1

，

当

a1

时，

f



(a)0

，函数

f(a)

在

(1,)

上单调递增，

当

a

1

时，

f



(a)0

，函数

f(a)

在

(,1)

上单调递减，

又

f(1)0

，所以函数

f

(

a

)



e

a



e

a

只有一个零点，

即方程

e

a



e

a

只有一解，

所以存在唯一的

a

，使得圆

C

的面积被直线

yex

平分，

C

正确；

a

对于

D

：圆

C

与

x

轴或

y

轴相切等价于

|a|1

或

e



1

，

则

a1

或

a=0

，共

3

解，

所以存在三个不同的

a

，使得圆

C

与

x

轴或

y

轴相切，

D

正确；

故选：

ACD.

【点睛】知识点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，方程与函数的综合问题，利用导数研

究函数的零点等知识，考查数形结合，逻辑推理的能力

.

答案第7页，共17页

2024年5月26日发(作者：铎莎莉)

山西省晋中市2023届高三三模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

2

1

．已知集合

M



x4x2



，N{xxx60



，则

MN

=

A

．

{x4x3



B

．

{x4x2



C

．

{x2x2



D

．

{x2x3



ix

2

．欧拉公式

ecosxisinx



xR



是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数

π

3

学中的天桥．若复数

ze

，

ze

，则

z

1

z

2



（

）

1

2

A

．

-i

C

．



22



i

22

i

i

π

6

B

．

i

D

．

22



i

22







3

．设向量

a

与向量

b

的夹角为，定义

a

与

b

的向量积：

ab

是一个向量，它的模







ababsin



．若

m



1,0



，

n1,3

，则

mn

（

）



A

．

-1B

．

1C

．

3

D

．

3

4

．田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等

马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹

中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（

）

A

．

1

3

B

．

2

1

C

．

2

3

D

．

4

9

5

．角



的始边与

x

轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点

P

．已知

tan



sin



cos



．则点

P

可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（

）

A

．



AB



B

．

CD



C

．

EF



D

．

GH

6

．已知



，



为锐角，且

tan



2

，

sin













A

．



310

10

2

，则

cos





（

）

2

B

．

310

10

C

．



10

10

D

．

10

10

试卷第1页，共4页



7

．已知点

P

在棱长为

2

的正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的表面上运动，则

PAPB

的最大值

为（

）

A

．

6

1

1

B

．

7

1

C

．

8D

．

9

8

．设

a2

2

,be

e

,c3

3

，则（

）

A

．

acb

C

．

bac

B

．

abc

D

．

cba

二、多选题

9

．下列各式中能够说明随机事件

A

与随机事件

B

相互独立的是（

）

A

．

P



A|B



P



B|A



C

．

P



A



P



AB



B

．

P



A|B



P



A|B



D

．

P



B



P



AB



10

．

ChatGPT

是

OpenAI

公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能

写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查

机构为了解美国大学生用

ChatGPT

代写作业的学生比例，对

8

所高校进行了调查，其

中

6

所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：

71%

、

75%

、

77%

、

80%

、

82%

、

85%

，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这

8

所学校使用

ChatGPT

代写作业的学生比例的中位数可能是（

）

A

．

76%B

．

77.5%C

．

80%D

．

81.5%

2

11

．已知函数

f



x



xlnx

，关于

x

的方程

f



x





2

f



x



a0

，下列结论正确的是

e

（

）

A

．存在

aR

使方程恰有

2

个不相等的实根

B

．存在

aR

使方程恰有

4

个不相等的实根

C

．存在

aR

使方程恰有

5

个不相等的实根

D

．存在

aR

使方程恰有

6

个不相等的实根

12

．已知圆

C:(xa)

2

ye

a



2

1

，则（

）

A

．存在两个不同的

a

，使得圆

C

经过坐标原点

B

．存在两个不同的

a

，使得圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等

C

．存在唯一的

a

，使得圆

C

的面积被直线

yex

平分

D

．存在三个不同的

a

，使得圆

C

与

x

轴或

y

轴相切

试卷第2页，共4页

三、填空题

13

．设

x1,y0

且

x2y1

，则

11



的最小值为

_________

．

x



1y

14

．从

0

，

1

，

2

，

⋯

，

9

这

10

个数字中任取三个数，使这三个数的和是

3

的倍数，则不

同的取法有

_________

种．（用数字作答）

15

．在

ABC

中，

AB



BC

，

A





3

，

D

是

AC

边的中点，且

AC=2

．将

△ABD

沿

BD

折起，使平面

ABD⊥

平面

BCD

，形成四面体

A-BCD

．则该四面体外接球的表面积为

_________

．

x

2

y

2

c

2

16

．点

A

1

，

A

2

是双曲线

E:

2



2



1(a



0,b



0)

的左、右顶点．若直线

x



上存在

a

ab

π

点

P

，使得

A

1

PA

2



，则该双曲线的离心率取值范围为

_________

．

6

四、解答题

17

．如图，在四棱锥

P-ABCD

中，底面

ABCD

为矩形，

E

是

CD

的中点，

AE

与

BD

交

于点

F

，

G

是

PAD

的重心．

(1)

求证：

GF//

平面

PCD

；

(2)

若平面

PAD⊥

平面

ABCD

，

PAD

为等腰直角三角形，且

PAPDAB22

，求直

线

AG

与平面

PBD

所成角的正弦值．

18

．记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和，已知

2S

n

na

n

，且

a

2

1

．

(1)

求证：数列



a

n



是等差数列，并求



a

n



的通项公式；

(2)

从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．

若

_________

，求数列



b

n



的前

n

项和

T

n

．

nn

n

①

b

n

a

n



2

；

②

b

n

(1)a

n

2

；

③

b

n



2

．

(n



2)a

n



1

π



19

．锐角

ABC

中，

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，已知

sinC



2cosAsin



B





.

3



(1)

求

A

；

(2)

若

b+c=6

，求

BC

边上的高

AD

长的最大值

.

试卷第3页，共4页

20

．晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文

景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山

等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游

1

2

览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意

3

3

愿相互独立．

(1)

从游客中随机选取

5

人，记

5

人中选择人文景观的人数为

X

，求

X

的均值与方差；

(2)

现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记

2

分，选择自然景观记

1

分，记已调查过

的累计得分为

n

分的概率为

P

n

，求

P

n

．

x

2

y

2

21

．椭圆

2



2



1(a



b



0)

的左、右顶点分别为

A,B

，过左焦点

F



1,0



的直线与椭

ab

圆交于

C,D

两点（其中

C

点位于

x

轴上方），当

CD

垂直于

x

轴时，

CD3

．

(1)

求椭圆的方程；

(2)

记直线

AC,BD

的斜率分别为

k

1

,k

2

，求

k

1



22

．

f



x





2lnx



ax



1

的最小值．

k

2

3

．

ax

(1)

讨论

f



x



的单调性；

2

(2)

g



x





f



x





x



3

，若

g



x



有两个极值点

x

1

,x

2

，且

x

1

x

2

，试求

g



x

2



2g



x

1



ax

的最大值．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，

利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，

M



x4x2



,N



x2x3



，则

MN



x2x2



．故选

C

．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括

二者部分．

2

．

B

【分析】由欧拉公式求

z

1

,z

2

的代数形式，再结合复数运算法则求

z

1

z

2

.

【详解】由欧拉公式可得：

π

i

ππ13ππ31

z

1

ecosisini

，

z

2

e

6

cosisini

，

33226622

i

π

3



13



31



3133

zz



i



i



i



i



i

．则

12





22



22



4444



故选：

B.

3

．

D



【分析】先求

m,n

，即可求出

cos



,

即可求出

sin



，代入即可求解

.



22

【详解】

∵

m101,n



1



2

32

，

2



m



n1

3

∴

cos









，又







0,π



，

∴

sin





1



cos

2





，

2

|m||n|

2



∴

|mn||m||n|sin



3

．

故选：

D.

4

．

A

【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件

田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率

.

【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为

a

，

b

，

c

，

齐王的上等马、中等马、下等马分别为

A

，

B

，

C

.

由题意可知，可能的比赛有方案有：

答案第1页，共17页

aA

，

bA

，

cA

，

aB

，

bB

，

cB

，

aC

，

bC

，

cC

，共

9

种，

其中田忌可以获胜的事件为

aB

，

aC

，

bC

，共

3

种，

则田忌的马获胜的概率为

P

故选：

A.

5

．

C

【分析】由三角函数的定义结合

tan



sin



cos



，即可判断

.

【详解】设

P



x,y



，则

tan





因为

tan



sin



cos



，所以

由于

tan





故选：

C

6

．

D

【分析】由条件，结合同角关系求

sin



,cos



，再由特殊角三角函数值求







，再利用两

角差的余弦公式求

cos



.

【详解】因为

tan



2

，所以

sin



2cos



，

又

sin

2



cos

2



1

，



为锐角，

π

25

5

，

cos





，且





．

4

5

5

π

π

因为



，



为锐角，





，所以











π

，

4

4

31



.

93

y

,sin





y

,cos





x

.

x

y



y



x

，所以

x,y

同号，且

yx

，则

AB

错误；

x

y

,



x

0



，则

D

错误；

x

所以

sin





又

sin(







)



3



2

，

所以









，

4

2

3π3π10



3π



故

cos





cos











coscos





sinsin





．

44410



故选：

D.

7

．

C

【分析】取

AB

中点

O

，连接

PO

，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得

.

【详解】取

AB

中点

O

，连接

PO

，如图，

答案第2页，共17页



2



2



2

则

PAPBPOOAPOOBPOOAPO1

，



当

P

在正方体表面上运动时，运动到

D

1

或

C

1

处时，

PO

最大，



2

所以

PO

max

D

1

D

2

DA

2

AO

2

9

,



所以

PAPB

的最大值为

8.

故选：

C

8

．

A

【分析】构造函数，根据函数的单调性求解

.

1

1

1

lnx

1



lnx

'

，【详解】只需比较

ln2

，

lne

，

ln3

的大小；令

f



x





，则

f



x





x

x

2

3

e

'

'

当

xe

时，

f



x



0,f



x



单调递减，当

0xe

时

f



x



0,f



x



单调递增，

11

1111

又

ln2



ln4

，故

ln2



ln4



ln3



lne

，即

acb

；

243e

24

故选：

A.

9

．

BC

【分析】根据条件概率公式及事件相互独立的意义判断选项求解即可

.

【详解】



P



A|B





P(AB)P(AB)



P



B|A





，

P(B)P(A)

P(A)P(B)

，不能说明随机事件

A

与随机事件

B

相互独立，故

A

不正确；



P



A|B





P(AB)P(AB)



P



A|B





，

P(AB)P(B)P(B)P(AB)

,

P(B)

P(B)

P(AB)[1P(B)]P(B)[P(A)P(AB)]

，化简得

P(AB)P(A)P(B)

,

即随机事件

A

与随机事件

B

相互独立，故

B

正确；



P



AB





P(AB)P(AB)

，



P



A





P



AB





，即

P(AB)P(A)P(B)

，随机事件

A

与随机

P(B)P(B)

事件

B

相互独立，故

C

正确；

答案第3页，共17页



P



B





P



AB





P(AB)

，

P(AB)P(B)P(B)

，由于

P(A),P(B)

不一定相等，不能说明

P(B)

A,B

事件相互独立，故

D

不正确

.

故选：

BC

10

．

ABC

【分析】分别求出另外两所学校都小于或等于

71%

时和另外两所学校都大于或等于

85%

时

的中位数，即可得解

.

【详解】当另外两所学校都小于或等于

71%

时，中位数为

小，

当另外两所学校都大于或等于

85%

时，中位数为

故中位数的取值区间



76%,81%



.

故选：

ABC.

11

．

AB

75%



77%



76%

，此时中位数最

2

80%



82%



81%

，此时中位数最大，

2

2

2

【分析】令

tf(x)

，则

tta0

，利用导数研究函数

f



x



的单调性，由此确定方程

e

f(x)t

的解的个数及范围，再结合二次函数性质确定结论

.

2

2

【详解】令

f(x)t

，则

tta0

，

e

因为

f



x



xlnx

，所以当

x1

时，

f



x



xlnx

，

所以

f





x



lnx10

，所以函数

f



x



在

(1,)

上单调递增，

当

0x1

时，

f



x



xlnx

，

所以

f





x



lnx1

，令

f





x



0

，可得

x

1

，

e

1



1



x

)

>

0

，函数

f



x



在



0,



上单调递增；当

0x

时，

f

¢

(

e



e



1



1



当

x1

时，

f





x



0

，函数

f



x



在



,1



上单调递减，

e



e





1



1

又

f





，

f(1)0

，且当

x0

时，

f



x



0

，当

x

时，

f



x





，



e



e

1

x

又当

0x1

时，

f



x





，故

x0

时，

f



x



0

，

1

x

ln

答案第4页，共17页

故函数

f



x



的大致图象如下：

所以当

t0

时，方程

f(x)t

没有实根；

当

t0

或

t

当

t



1

时，方程

f(x)t

有

1

个实根；

e

1

时，方程

f(x)t

有

2

个实根；

e

1

当

0t

时，方程

f(x)t

有

3

个实根

.

e

2

4

2

因为方程

tta0

的判别式

Δ

2

4a

，

e

e

所以当

a

1

2

2

Δ0

tta0

没有实根，，，方程

e

2

e

2

f



x



a0

无实根；

e

2

故方程

f



x





当

a

1

1

t



Δ0

，，此时，

e

2

e

2

f



x



a0

有

2

个不等实根；

e

2

故方程

f



x





当

a

1

2

2

tta0

有

2

个不等实根

t

1

，

t

2

，

Δ0

，，方程

e

e

2

1

2

1

，

t

1

t

2

a

，则必有

t

1



，

t

2



，

e

e

e

不妨取

t

1

t

2

，则

t

1

t

2



若

a<

0

，则

t

1

0

，

f(x)t

1

没有实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

2

所以方程

f



x





2

f



x



a0

有

1

个实根；

e

若

a0

，则

t

1

0

，

f(x)t

1

有

1

个实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

2

所以方程

f



x





2

f



x



a0

有

2

个实根；

e

若

0a

1

1

0t

，则，

f(x)t

1

有

3

个实根，

f(x)t

2

有

1

个实根，

1

2

e

e

2

f



x



a0

有

4

个实根，

e

2

所以方程

f



x





答案第5页，共17页

2

综上所述：当

a<

0

时，方程

f



x





2

f



x



a0

有

1

个实根；

e

当

a0

或

a

当

0a

当

a

2

1

f

2



x



f



x



a0

有

2

个实根；

2

时，方程

e

e

1

2

2

fxf



x



a0

有

4

个实根；



时，方程

e

e

2

1

2

2

fxf



x



a0

没有实根

.



时，方程

e

e

2

故选：

AB.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过换元，将问题转化为方程组的解的问题，再

利用数形结合方法及二次函数性质研究方程的解

.

12

．

ACD

【分析】对于

A

，等价于判断方程

a

2

e

a

交点个数，结合图象判断即可，

对于

B

，由弦长公式可得等价于判断方程

e

a

a

的解的个数，利用导数研究函数性质判断

即可，

对于

C

，等价于判断方程

e

a



e

a

的解，利用导数研究函数的性质即可判断，

a

对于

D

，等价于判断

|a|1

或

e



1

的解的个数，解方程即可判断

.



2

1

的解的个数，等价于判断

ye

x

与

x

2

y

2

1

【详解】圆

(xa)

2





ye

a



1

的圆心坐标为



a,e



，半径为

1

，

2

a

对于

A

：设圆

C

过原点

(0,0)

，则

a

2

e

a

方程

a

2

e

a



2

1

，



2

1

的解的个数等价于函数

ye

x

的图象与曲线

x

2

y

2

1

的交点个数，

作函数

y

e

x

与圆

x

2

y

2

1

的图象可得：

所以函数

y

e

x

的图象与曲线

x

2

y

2

1

的交点个数为

2

，

所以存在两个不同的

a

，使得圆

C

经过坐标原点，

A

正确；

答案第6页，共17页

对于

B

：圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等等价于

21a

2

21e

a

即

a

2

e

a

，即

e

a

a0

，



2

，



2

x

x

方程

e

a

a

0

的解的个数函数

g



x



ex

和

h



x





e

x

的零点的个数和相等，

x



1

因为

g





x





e



1



0

，又

g





1





e



1



0

，

g



0



100

，

所以函数

g



x



在区间



0,1



上存在一个零点，即函数

g



x



存在一个零点，

x

因为

h





x





e



1

，

当

x0

时，

h





x



0

，函数

h



x



在



0,





上单调递增，

当

x0

时，

h





x



0

，函数

h



x



在







,0



上单调递减，

又

h



0



10

，所以

h



x



0

，故函数

h



x



没有零点，

所以方程

e

a

a

0

的解的个数为

1

，

即存在一个

a

，使得圆

C

在

x

轴和

y

轴上截得的线段长相等，

B

错误；

对于

C

：圆

C

的面积被直线

yex

平分等价于

yex

过圆心，

所以

e

a



e

a

，令

f(a)e

a

ea

，

求导可得

f



(

a

)



e

a



e

，令

f



(a)



0

，可得

a1

，

当

a1

时，

f



(a)0

，函数

f(a)

在

(1,)

上单调递增，

当

a

1

时，

f



(a)0

，函数

f(a)

在

(,1)

上单调递减，

又

f(1)0

，所以函数

f

(

a

)



e

a



e

a

只有一个零点，

即方程

e

a



e

a

只有一解，

所以存在唯一的

a

，使得圆

C

的面积被直线

yex

平分，

C

正确；

a

对于

D

：圆

C

与

x

轴或

y

轴相切等价于

|a|1

或

e



1

，

则

a1

或

a=0

，共

3

解，

所以存在三个不同的

a

，使得圆

C

与

x

轴或

y

轴相切，

D

正确；

故选：

ACD.

【点睛】知识点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，方程与函数的综合问题，利用导数研

究函数的零点等知识，考查数形结合，逻辑推理的能力

.

答案第7页，共17页